1. República bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín toro
Decanato de ingeniería
Alumno: Antonio castillo
CI: 21125933
Asignatura: Matemática II
Prof.: Domingo Méndez

2. La integral definida
Notación sigma
Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales,
complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número
infinito de términos, se conoce como serie infinita.
Dada una sucesión:
Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos con la
notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina
de la letra griega (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ).
La notación sigma es de la siguiente manera:
La ecuación anterior se lee la "suma de desde hasta ." La tetra k
es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la
ecuación después de sigma, por los enteros , y se suman las
expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.
Ejemplo:
Solución:

3. Propiedades
Entonces, para todo entero positivo y todo número real , sabemos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Las propiedades son muy útiles para desarrollar expresiones que nos
permiten calcular áreas limitadas por curvas planas.

4. Suma superior e inferior
Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y
continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en
una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos
rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real.
figura 1
Si observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al calcular el
área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece al
área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.
Figura 2
En la figura 2, el número de rectángulos se ha incrementado hasta 9 y
observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando tomamos 2
rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de
rectángulos "n" más nos aproximamos al área real.
Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy grande,
entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.
La Integral Definida y sus propiedades

5. La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas
limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de
sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se
llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del
plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales
de ecuaciones x = a y x = b.
Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se
permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral
definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral
definida se descompone como una suma de dos integrales
extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es
igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una
función es igual a la constante por la integral de la función.

6. Teorema del Valor Medio para Integrales
Enunciado para una variable
Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [a, b] y
derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el
intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de
la curva en el intervalo cerrado [a, b].
En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo
[a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún

7. punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la
recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:
Este teorema lo formuló Lagrange.
El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del
teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [a, b],
diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y toma valores iguales en los extremos
del intervalo – en otras palabras, f(a) = f(b) – entonces existe al menos algún punto
c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir
f'(c) = 0.
Demostración
El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la
ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la
recta tangente en un punto de la curva es:
Donde los pares de puntos y son una pareja cualquiera de
puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de
puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el
intervalo (a, b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une
los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:
Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir
de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:
Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a) = g(b), existe un c
perteneciente (a, b) tal que g'(c) = 0, y por tanto:

8. y así
como queríamos demostrar.
Forma integral del Teorema del valor medio
Para una función continua en el cerrado , existe un valor en dicho
intervalo, tal que1
Demostración Dado que la función es continua en el cerrado , posee un
valor máximo en dicho intervalo para algún , que llamaremos
y también un valor mínimo en el mismo intervalo: , para
algún . Es decir y
. Si consideramos las áreas de los rectángulos con
base y altura ó tendremos la siguiente desigualdad:
Lo que implica:
De donde se deduce que debe existir algún para el cual la función
alcanza el valor de la integral , es decir:
El teorema no especifíca como determinar , pero resulta que coincide con el
valor medio (promedio) de la función en el intervalo .
Enunciado para varias variables

9. Sea un conjunto abierto y convexo y una función real
diferenciable sobre ese abierto. Entonces se tiene que:2
Donde:
, es la aplicación lineal que representa el jacobiano (gradiente).
Teorema Fundamental del Calculo
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de
que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto
significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral
es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas
denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas
-integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las
matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía
desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y
dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas
como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia
ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una
función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la
integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en
ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la
integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser
integrada.

10. Intuición geométrica
El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la
función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales
para valores pequeños de h.
Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación
gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera
intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva
entre 0 y x aún sin conocer su expresión.
Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se
podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En
resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).
Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área
de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la
aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de
h.
Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h,
y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras
palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad
cuando h tiende a 0 como límite.
Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

11. Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es
sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se
queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.
Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada
de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la
función de área A(x) es la antiderivada de la función original.
Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y
"hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del
teorema fundamental del cálculo integral.
Primer teorema fundamental del cálculo
Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F
sobre por . Si f es continua en
, entonces F es derivable en y F'(c) = f(c).
Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x)
derivables.
Demostración
Sea [[ ]] integrable sobre y
Entonces

12. Demostración
Por definición se tiene que .
Sea h>0. Entonces .
Se define y como:
,
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Por lo tanto,
Sea . Sean
,
.
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Como
,
entonces,
.

13. Puesto que , se tiene que
.
Y como es continua en c se tiene que
,
y esto lleva a que
Sustitución y cambio de Variable
Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla
mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos
tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la
elección del cambio de variable más conveniente.
Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x ® u(x) ® u(x)m , la regla de la
cadena
Por tanto,
Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.
Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable

14. ------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------
Resolución:
Resolución:
· Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se
por la constante (en este caso 2) que falta.
Resolución:
Resolución:

15. · Se multiplica y se divide por 3:
Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |,
por la regla de
Ejercicio:
Resolución:
· Se multiplica y se divide por 6:

16. Resolución:
Por tanto,
La derivada de ex es la propia función ex . Si en lugar de x se tuviese una
función
u( x ), la derivada de eu( x ) por la regla de la cadena es eu( x ) · u' ( x ).
Por consiguiente,