Ligouras mat v_esame_quesintdef2011_01

LIGOURAS Panagiote
I.I.S. “Leonardo da Vinci – Galileo Galilei”
Noci (BA)
Matematica e Informatica
ligouras@alice.it
ESAME DI STATO
Matematica Liceo Scientifico
Integrali definiti
Italia, Europa e Americhe – anni 2011-2015

Panagiote LIGOURAS 02 / ++ Versione 2016-01
Integrali definiti
Se f(x) è continua in [a; b], esiste un numero c ϵ [a; b] tale
he f(c) è uguale al valore medio della funzione in [a; b]
𝒇 𝒄 =
𝟏
𝒃 − 𝒂 𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙
Se f(x) è una funzione continua in [a; b] ed F(x) è una sua
primitiva, allora:
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒃 − 𝑭 𝒂
Se f(x) è una funzione continua in [a; b] ed F(x) definita in
[a; b] è la funzione integrale associata a f(x), definita da:
𝑭 𝒙 =
𝒂
𝒙
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
Allora la F(x) è derivabile in [a; b] e risulta:
F’(x) = f(x)
per ogni x del intervallo [a; b]

Integrali definiti
Area S della regione di piano limitata dai grafici di due
funzioni f e g continue in [a; b] e tali che f(x) ≥ g(x)
𝑺 =
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙
Volume V di un solido limitato da due piani
perpendicolari all’asse x, passanti per (a; 0) e (b; 0).
Volume V del solido generato nella rotazione completa
intorno all’asse x del trapezoide limitato dal grafico di
una funzione continua f nell’intervallo [a; b]
𝑽 =
𝒂
𝒃
𝑺 𝒙 𝒅𝒙
𝑽 = π
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝟐
𝒅𝒙
Essendo S(x) l’area della sezione del solido ottenuta con un piano
perpendicolare all’asse delle ascisse e passante per il punto di coordinate (x; 0)

Integrali definiti – Quesito n.3 – Italia – 2011
Il volume richiesto si ottiene sottraendo al volume del
cilindro di raggio 2 e altezza 8 (generato dalla rotazione
attorno all’asse y del segmento AB) il volume del solido
ottenuto dalla rotazione attorno all’asse y, relativo
all’intervallo [0; 8], dell’arco di equazione:
𝑥 = 3
𝑦
Quindi,

L’area richiesta è data da:
1
𝜋
2
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 −
𝜋
2
2
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 1
𝜋
2
− 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝜋
2
2
= ⋯ =
= 1 − 𝑠𝑒𝑛1 − 𝑠𝑒𝑛2 + 1 = 2 − 𝑠𝑒𝑛1 − 𝑠𝑒𝑛2 ≅ 𝟎. 𝟐𝟓

Il volume richiesto si può ottenere utilizzando il cosiddetto
metodo dei “gusci cilindrici”, che conduce alla formula:
Nel nostro caso si tratta di calcolare l’integrale:
𝑉 = 2𝜋
0
𝑎
𝑥 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑉 = 2𝜋
0
𝜋
𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
= 2𝜋
0
𝜋
𝑥 ∙ −𝑐𝑜𝑠𝑥 ′ 𝑑𝑥 =
= 2𝜋 −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 0
𝜋
=
𝑥 ∙ −𝑐𝑜𝑠𝑥 ′
𝑑𝑥 =
= − 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ′
𝑑𝑥 =
= −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥 ′
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =
= −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =
= −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑘
= 2𝜋 𝜋 = 𝟐𝝅 𝟐

Integrali definiti – Quesito n.5 – Italia supp.– 2011
Il valor medio richiesto è dato da:
Cerchiamo una primitiva di 𝑒 𝑥(𝑥2 + 𝑥 + 1) integrando per parti:
Quindi:

Il volume del solido F si ottiene calcolando
il seguente integrale:
dove 𝐴(𝑦) è l’area del quadrato di lato
𝐴𝐵 = 𝑥 𝐴

Integrali definiti – Quesito n.5 – Italia str.– 2011
Osserviamo che la funzione da 1 a 3 è positiva, quindi il volume del solido richiesto è dato da:

Il valor medio di una funzione f(x) continua in un intervallo [a; b] è dato da:

Integrali definiti – Quesito n.2 – Europa – 2011

Il valor medio richiesto si ottiene
calcolando il seguente integrale:
1
𝑒 − 1 1
𝑒
1
𝑥
𝑑𝑥 =
=
1
𝑒 − 1
𝑙𝑛 𝑥 1
𝑒
=
=
1
𝑒 − 1
𝑙𝑛 𝑒 − 𝑙𝑛 1 =
=
𝟏
𝒆 − 𝟏

La superficie S è rappresentata nella figura:
Più in dettaglio la superficie S:
Il volume del solido Σ è:
A(x) l’area del triangolo
equilatero di lato f(x):

Il valor medio richiesto è dato da:
I valori assunti agli estremi dell’intervallo sono:
La loro media geometrica è:

Il volume di Σ si calcola mediante l’integrale:
essendo A(x) l’area del rettangolo con dimensioni 𝑙𝑛 𝑥 𝑒 4𝑙𝑛𝑥
Quindi
Allora

Quindi
Allora
Il volume infinitesimo d𝑉 è dato da
Integrando per parti cerchiamo una primitiva

Il valor medio richiesto è

Il valor medio della funzione nell’intervallo dato è:
Cerchiamo una primitiva integrando per parti:
Quindi:

Il volume richiesto si ottiene calcolando l’integrale:
Dove S(x) è l’area del triangolo equilatero di lato 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑡𝑔𝑥.
Allora:
Pertanto:
Quindi:

Integrali definiti – Quesito n.4 – Americhe – 2014
Il volume richiesto si ottiene calcolando l’integrale:
Quindi

L’area della parte di piano richiesta è:
Il volume richiesto si ottiene sottraendo al volume 𝑉1 ottenuto
dalla rotazione attorno all’asse x del trapezoide ABCD il volume 𝑉2
del cono ottenuto dalla rotazione attorno all’asse x del triangolo T
(che ha raggio AD = 1 e altezza AB = 1).

Troviamo una primitiva
Troviamo il valore medio

Integrali definiti – Quesito n.4 – Italia ord. – 2014
Il solido in questione può essere visto come somma di infiniti rettangoli di dimensioni
f(x) ed h(x), quindi il suo volume si ottiene calcolando l’integrale:

Integrali definiti – Quesito n.7 – Italia ord. – 2014
Per il teorema della media il valore medio è dato da:
Allora:

Integrali definiti – Quesito n.5 – Italia str. – 2014
Il volume di S si ottiene calcolando l’integrale:
Essendo 𝐴(𝑥) l’area dell’esagono regolare di lato 𝐴𝐵 =
2𝑦, con y ordinata del punto B dell’iperbole e 2 < 𝑦 < 4.
Il volume del solido S è dato da:

Integrali definiti – Quesito n.9 – Italia str. – 2014
Il valor medio richiesto si ottiene calcolando l’integrale:

In base alla simmetria ricordata prima e alle
intersezioni tra le due curve, il volume richiesto è
La retta 𝑦 = 3 diventa 𝑌=0 e la funzione 𝑦 = 𝑥3
− 3𝑥 + 3 diventa: 𝑌 + 3 = 𝑋3 − 3𝑋 + 3 cioè
𝑌 = 𝑋3 − 3𝑋 = 𝑓(𝑋)
Per trovare il volume è utile effettuare la traslazione in
modo che la retta y=3 coincide con l’asse x; tale traslazione
ha vettore v=(0;-3) ed equazioni:
Studiamo sommariamente la curva di equazione 𝑦 = 𝑥3
− 3𝑥 + 3,
continua su tutto R. Essa interseca l’asse delle ordinate in y=3.
La derivata seconda è: 𝑦′′ = 6𝑥 ≥ 0 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0∶ x=0 è punto di
flesso e, trattandosi di una cubica, il punto F=(0;3) è centro
di simmetria per la curva stessa. Notiamo che la retta e la
curva dati si intersecano quando 𝑥3
− 3𝑥 = 0 , 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝑝𝑒𝑟
𝑥 = 0 𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑥 =
Tende a ±∞ se x tende a ±∞; la sua derivata prima è: 𝑦′ = 3𝑥2 − 3 ≥ 0
𝑠𝑒: 𝑥2 ≥ 1 quindi per 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑟 𝑥 ≥ 1: in tali intervalli la funzione è crescente; cioè 𝑥=−1
è punto di massimo relativo e 𝑥 = 1 punto di minimo relativo.

Osserviamo che la funzione è continua nell’intervallo chiuso [1; 6] , infatti il limite sinistro e il
limite destro nel 3 sono uguali a 2, che è anche il valore di f(3).
Il valore x in cui la funzione assume il valor medio è la soluzione dell’equazione

Per il noto “teorema della media” il valor medio richiesto dal quesito è dato da:
e tenuto conto il significato geometrico dell’integrale definito

Integrali definiti – Quesito n.1 – Italia supp. – 2015
Calcoliamo la funzione integrale determinando una primitiva di 𝑙𝑛(𝑡):
Allora:
Intersechiamo le due funzioni:
deve essere x > 0
Per cui:

Integrali definiti – Quesito n.5 – Italia supp. – 2015
Trasliamo la retta e la parabola secondo il vettore 𝑣(−2;0)
e le equazioni di questa traslazione sono:
L’equazione della retta 𝑋 = 0 (𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒)
La nuova parabola ha equazione: 𝑌2
= 8(𝑋 + 2) → 𝑌2
= 8𝑋 + 16 →
La parte di piano compresa fra la retta e la parabola (segmento parabolico)
deve ora ruotare intorno all’esse delle y, come indicato in figura.
Il volume richiesto si può quindi ottenere mediante il calcolo del seguente
integrale:

Il volume del tronco si può ottenere, per esempio, come volume
del solido ottenuto dalla rotazione del segmento di estremi (0;𝑟)
𝑒 (ℎ;𝑅) attorno all’asse delle x; la retta passante per gli estremi del
segmento ha equazione:
Il volume richiesto si ottiene quindi mediante il
seguente integrale definito:

Rappresentiamo graficamente la funzione ed il rettangolo:
Per cui, il rapporto richiesto è dato da:

Panagiote LIGOURAS 20 / 20 Versione 2016.01
Grazie!!!
A l b e r o b e l l o
2 0 1 6
Questa presentazione è disponibile anche all’indirizzo:
http://www.slideshare.net/panagioteligouras/
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