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I.E.P “LA SORBONA” GEOMETRÍA
5º SECUNDARIA – II PERIODO -
2008OARIAMILLAS PERUANAS"te de
Canal 7 TV equeña y 01 metro de cinta
V. ÁREA DE REGIONES
POLIGONALES Y
CIRCULARES
1.- ÁREAS DE REGIONES
TRIANGULARES
FÓRMULA GENERAL
TRIÁGULO EQUILÁTERO
En función de su lado:
En función de su altura:
FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA
FÓRMULA DE HERÓN
EN FUNCIÓN DEL INRADIO
EN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO
EN FUNCIÓN DEL EXRADIO
DIVERSAS EXPRESIONES DEL
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
RECTÁNGULO
EN FUNCIÓN DE SUS ALTURAS
ALGUNAS RELACIONES DE ÁREAS
80
A
B
C
l l
l
SABC =
4
32
l
A
B
C
h
SABC =
3
32
h
A C
B
a c
b
θ
SABC =
θSen
b.a
2
A C
B
a c
b
Semiperímetro : p
p =
2
cba ++
SABC =
)cp)(bp)(ap(p −−−
A C
B
a c
b
r
SABC = P.r
B
A C
R
b
ca SABC =
R
c.b.a
4
Rc
a
b
A
B
C
SABC = R(p-c)
m
n
A
B
C
SABC = m.n
SABC = r(c+r)
A
B
C
c
r
A
B
R
C
r2
r1 r
SABC = r1.r2
SABC = R.r
SABC =
R.r.r.r 21
rRrr
1111
21
=++
B
A C
hb
hc
ha
H =








++
cba hhh
111
2
1
SABC =
2
1
111
4
1
−
















−+−+−
cba h
H
h
H
h
HH
a b
CA
B
S1
S2
b
a
S
S
=
2
1
A
B
C
h
b
CA
B
b
h
h
b
B
C
A
SABC =
2
h.b

////////////////////////
//////
RELACIONES DE ÁREAS DE
TRIÁNGULARES SEMEJANTES
Si 2 triángulos son semejantes, la
relación de sus áreas es igual a la
relación de los cuadrados de los
elementos homólogos.
CASOS PARTICULARES


PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Calcula el área del triángulo MOC, si el
área del triángulo ABC es 240u2
.
Solución :
2 Como son medianas se cumple:
MOC
ABC
S
6
S
=
MOCS
6
240 =
40 u2
= S MOC
2. Según la figura, AC = 18 , BH = 12,
además BH = 3 EH . Calcula el área
de la región ABCE.
Solución :
SABC - SAEC = SABCE
2
12x18
-
2
4x18
= SABCE
108 – 36 = SABCE
72u2
= SABCE
3. Calcula el área de la región sombreada si
el área del triángulo ABC es 225u2
.
Solución :
BD : Por ser ceviana se cumple :
SABC = 5k
225 = 5k
45 = k
∴ SBCD = 3k = 3(45) = 135u2
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 05
NIVEL I
1).- En la figura, hallar el área de la región
sombreada.
a) 60 U2
b) 65
c) 64
d) 62
e) 56
2).- Calcula el área de un triángulo
equilátero, sabiendo que el radio de la
circunferencia inscrita mide 2m.
a) 10 3 b) 11 3 c) 13
3
d) 12 3 e) 9 3
3).- En un triángulo rectángulo un cateto
mide 4m. Y la altura sobre la hipotenusa
2.4 m ¿Cuál es el área del triángulo?.
a) 3m2
b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
4).- Los lados de un rombo son dos radios y
dos cuerdas de una circunferencia de
16cm de radio. Calcula el área del rombo
en cm2
a) 121 3 b) 122 3 c) 123 3
d) 124 3 e) 128 3
5).- Los lados AB y BC de un triángulo
ABC tienen longitudes de 8 y 9 cm.
Respectivamente. Una semicircunferencia
de radio 6cm. Es tangente a AB y BC,
teniendo su diámetro sobre AC. Halla el
área del triángulo.
a) 50 cm2
b) 51 c) 52
d) 53 e) 54
6).- En un trapecio ABCD, se conocen las
longitudes de las bases BC=15cm; y
AD=27cm. P es un punto de AD, tal que al
unirlo con C, resulta dos regiones
equivalentes. Halla PA.
a) 4cm b) 5 c) 6
81
CA
B
S1 S2
a a
S1 = S2
C
S
S
S S
S
S
B
M
P
A
N S
3S
M N
B
A C
a
c
b
R1
CA
B
h1
r1
m
p
n
R2
PM
N
h2
r2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
h
h
R
R
r
r
p
c
n
b
m
a
S
S
MNP
ABC ======
S1
S2
CA
B
C
B
A
S1
S2
S3
21 SSSABC +=
321 SSSSABC ++=
C
O
B
M
P
A
N
A
B
C
E
H
A
B
C
2K 3K
D
EA
15
B
D
C10
6
4

////////////////////////
//////
d) 7 e) 8
7).- El área de un triángulo ABC es 22cm2
.
Sobre las prolongaciones de los lados BA y
BC se toman longitudes AE=2AB y
CF=3BC. Hallar el área del cuadrilátero
ACFE.
a) 240 b) 241 c) 242
d) 243 e) 244
8).- El área de un triángulo ABC es 72cm2
.
Por el baricentro G se trazan paralelas a
AB y BC, que interceptan a AC en los
puntos E y F, respectivamente. Hallar el
área del triángulo EGF.
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
9).- El área de un triángulo ABC(B=90), es
24cm2
. Exteriormente se dibujan los
triángulos equiláteros AEB y BFC. Trazar
EF y hallar el área del triángulo EBF
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
10).- En un triángulo rectángulo ABC, las
longitudes de los catetos: AB=3cm y
BC=4cm. Se dibuja el triángulo isósceles
BDC (BD=DC), Equivalente a ABC,
Interceptando BD a AC en el punto E.
Hallar el área del triángulo BEC.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
NIVEL II
1).- En un triángulo PQR, La mediana QM
corta a la ceviana interior PE en el punto A.
Siendo ER=2EQ y el área del triángulo
QAE 2cm2
, Hallar el área del triángulo PQR
a) 20 b) 24 c) 28
d) 32 e) 36
2).- Un terreno que tiene forma de un
trapecio rectágulo cuyas bases son;
AB=200m, DC=180m y la altura AD=120m.
Ha de dividirse en tres parcelas
equivalentes, de modo que sus dueños
puedan, sin salir de sus propiedades
respectivas, ir por agua a un pozo P,
situado en la base superior DC y a 75m del
punto D. Hallar la diferencia entre las
longitudes de los segmentos AR y GB de la
base inferior.
a) 20 b) 30 c) 40
d) 50 e) 60
3).- La longitud del lado de un cuadrado
ABCD es 6cm. Se construye exteriormente
l triángulo equilátero CED y se traza AE.
Hallar el área del triángulo AED.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
4).- En la figura ABCD es un cuadrado BE =
4, EC=6. Calcular el área de la región
sombreada.
a) 10
b) 12
c) 24
d) 20
e) 16
5).- Si ABCD es un cuadrado, FB=BE y
EF=8, calcula el área de la región
triangular FBE:
a) 8 b) 4 c) 16
d) 8 2 e) 12
6).- De la figura AC=3AM=10. Si P y T son
pu8ntos de tangencia, calcular el área de la
región sombreada.
a) 15
b) 8
c) 16
d) 6
e) 10
7).- En la figura ABCD es un cuadrado BP=3,
PA=2. Calcular el área de la región
sombreada siendo T punto de tangencia.
a) 5
b) 10
c) 8
d) 6
e) 16
8).- En la figura m⊄TPA=mAB=60, CB=2.
Calcular el área de la región sombreada.
(T: Punto de tangencia)
a) 2
b) 4
c) 3
d) 6
e) 2
9).- Según la figura AB=13, BC=15 y AC=14.
Calcula el área de la región sombreada
siendo P, Q y R puntos de tangencia.
a) 36
b) 24
c) 48
d) 26
e) 30
10).- En la figura si P y Q son puntos de
tangencia, calcular
OBQ
PBO
S
S
a) 1/2 b) 3 c) 2/3
d) 3 /2 e) 2 3 /3
CLAVES DE RESPUESTAS
NIVEL II
1) b 2) d 3) d
4) e 5) b 6) c
7) c 8) c 9)
10)c
NIVEL II
1) b 2) b 3) d
4) d 5) c 6) c
7) c 8) a 9) c
10)b
82
D
C
E
B
A
D
CB
A
E
F
A C
B
T
M
O
53
P
D
CB
A
P
Q
P
B
A
C
T
P R
Q
B
A C
30°
P
B
QO
C
H
60°

////////////////////////
//////
1. ÁREAS DE REGIONES
CUADRANGULARES
DIVERSAS EXPRESIONES DEL
ÁREA DE UN CUADRILÁTERO.
ÁREA DEL TRAPECIO
PARALELOGRAMO
RECTÁNGULOS
CUADRADO
En función de su lado
En función de su diagonal
ROMBO
CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO A
UNA CIRCUNFERENCIA.
CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA
CIRCUNFERENCIA
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Halla el valor de “S”.
Solución :
Prolongando y uniendo se tiene:
5S = a2
S =
5
a2
83
θ
d1
d2
B
A
C
D
A
B
C
b
D
h
S1
S2
S3
S4
P
S
C
D
B
A
SABC =
θSen.
d.d
2
21
SABCD =
2
h.b
S1.S4 =S3.S2
S =
2
ABCDS
A
B C
Da
b
h
A
B C
D
n
h
S
C
DA
B
S1
S2
S2
S1
B
A
C
D
S
S2
S1
S
A
B C
D
A
B C
D
a
b
h1
h2
A
B C
D
S
S
S
S
A
B C
D
h
b
A
B C
D
hS
A
B C
D
l
l
d
A
B C
D
A
B
C
D
d1
d2
A
B
C
D
a
b
c
d
r
A
B
C
D
a
b
c
d
21 SSSABC +=
h
ba
SABCD 




 +
=
2
h.nSABCD =
21 SSS +=
21 SS =
21 S.SS =
21 SSSABCD +=
1h.bSABCD =
2h.aSABCD =
SABCD = b.h
S=
2
ABCDS
SABCD = l 2
SABCD =
2
2
d
SABCD =
2
21 d.d
S = p.r
)dp)(cp)(bp)(ap(SABCD −−−−=
a
S
S

////////////////////////
//////
2) Calcula “S”, si el area del
cuadrilátero ABCD es 84u2
.
Solución:
El área del cuadrilátero ABCD es:
= S
2
84
= S
42u2
= S
3) Calcula S2, si S1 = 15; S3 = 45 y S4
= 30
Solución:
Remplazando:
450 = 45.S2
10 = S2
NIVEL I
1).- El perímetro de una región cuadrada es
numéricamente igual al área de la región.
El valor del área es igual a :
a) 4 b) 16 c) 8
d) 14 e) 22
2).- En a figura AM = MB y CN =ND (ABCD :
romboide) Calcula “x” :
a) 10 b) 15 c) 12
d) 14 e) 5
3).- El área de una región trapezoidal es
igual a 10. Calcula el área de la región
limitada por aquel cuadrilátero que se
forma al trazar paralelas a las diagonales
por los cuatro vértices.
a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
4).- Dado un cuadrado ABCD, BD intersecta
a la circunferencia inscrita en el punto “E”.
Si AE = 3 , calcula S(ABCD)
a) 3 b) 3,5 c) 4
d) 4,5 e) 5
5).- En la figura AB = 28; BC =21, BPQR :
cuadrado. Calcula : S(BPQR)
a) 121
b) 144
c) 225
d) 81
e) 100
6).- Dado un rectángulo ABCD, M punto
medio de AB ; “N” punto medio de AD ;
“O” es el punto de intersección de las
diagonales; “P” es el punto de intersección
de MNyAC ; “Q” es el punto de
intersección de CNyBD . Si AB=8 y
AD=12, calcula S(NPOQ).
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
7).- Una de las diagonales de un trapecio
isósceles mide 13. Sabiendo que la altura
del trapecio mide 5, calcular el área de la
región trapecial correspondiente.
a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70
8).- Dadas una región cuadrada y una región
rectangular de igual perímetro :
S1 = área de la región cuadrada.
S2 = área de la región rectangular.
Entonces :
a) S1 = S2 b) S1 < S2
c) S1 > S2 d) S1 + S2 = 21 S.S
e) ( )2
2121 SSS.S +=
9).- Se tiene un cuadrilátero ABCD inscrito
en una circunferencia; AB=7; BC=CD = 15
y AD= 25. Calcula S(ABCD)
a) 190 b) 192 c) 194
d) 196 e) 198
10).- Dado un cuadrilátero ABCD, M N y Q
son puntos medios de BCyCD;AB
respectivamente. Si MQ=10, QN=17 y
MN=21, calcula S(ABCD)
a) 330 b) 332 c) 334
d) 336 e) 338
NIVEL II
1).- Dada una región rectangular cuya
diagonal mide 6 2 , calcula el área de
dicha región si esta es la máxima posible.
a) 36 b) 36 2 c) 72
d) 48 e) 54
2).- En la figura A, B y C: puntos de
tangencia. Calcula S(OPQ)
a) 100 b) 150 c) 200
d) 250 e) 300
3).- El perímetro de una región rectangular
es igual a 100; sus diámetros están en la
relación de 3 a 2. Calcula el área dela
región.
a) 500 b) 550 c) 600
d) 650 e) 700
4).- En la figura ABCD: paralelogramo,
S(ABCD)=100. Calcula el área de la región
sombreada.
a) 20 b) 25 c) 30
d) 35 e) 40
5).- En la figura PQRS : cuadrado, calcular
S(PQRS).
a) 20,04
b) 21,04
c) 22,04
d) 23,04
e) 24,04
6).- En la figura ABCD : cuadrado, R= 5 .
Calcula S(ABCD)
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
84
D
N
CB
M
A
P
x
7
3
A
Q
C
RB
P
O
P
Q
49
16
B CA
D
CB
A
M
N
12R
CA
P S
Q
B
8
R
CB
DA
S
C
D
B
A
2
ABCDS
S1
S2
S3
S4
P
S1.S4 =S3.S2
15.30 =45.S2

////////////////////////
//////
7).- En un trapecio rectángulo ABCD se tiene
que la base menor BC mide 3cm. En la
altura AB se ubica el punto F tal que el
ángulo AFD es el doble del ángulo BCF y
FD = 8cm. Calcula el área del triángulo
CFD.
a) 6 b) 12 c) 20
d) 28 e) 30
NIVEL I
1) b 2) a 3) c
4) c 5) b 6) c
7) d 8) c 9) b
10)d
NIVEL II
1)a 2)c 3)c
4)b 5)d 6)b
7)b
3.- ÁREA DE REGIONES
CURVAS
3.1. CÍRCULO
Donde: π = 3,14
3.2. CORONA CIRCULAR
3.3. SECTOR CIRCULAR
3.4. SEGMENTO CIRCULAR
3.5. TRAPECIO CIRCULAR
3.6. ZONA O FAJA CIRCULAR
LÚNULAS DE HIPÓCRATES
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Del gráfico, calcula la razón entre el área
del círculo y el área de la región
triangular UNI.
Solución:
Para el círculo: S1 = π x r2
Para el ∆ UNI :
2
2
2
rr
S
×
=
Nos piden: π
S
S
=
2
1
2.- En la figura , calcula S1 / S2 , Si : MA
= MI = MN (M  punto de tangencia)
Solución:
El ∆ ANI, es rectángulo e isósceles notable
de 45° (recto en N).
El ∆ MEN es rectángulo e isósceles notable
de 45° (recto en E).
Ahora, en el trapecio rectángulo IMEN por
propiedad se tiene:
85
R
d
r
R
R
R
A
B
α
α
R
R
A
B
A
D B
C
R
S1
S2
S
B
A C
B
A C
S1
S2
S = πr2
S = π(R2
-r2
)
S =
4
2
dπ
S =






°360
2 α
Rπ
S = S - S
S = S - S
A
B
D
C
S = S - SA B D C
SABC = S1 + S2
SABC = S1 - S2
U N
I
S1
S2
M
N
E
A I
S1
S2
M
N
E
A I
45°
45°
45°45°
B
A
D
C
r
α
R
U N
I
r
r
r
S2
S1
r
r

////////////////////////
//////
S1 = S2 
2
1
S
S
= 1
3.- En el gráfico, calcula S1 / S2, si:
ON//GI//RE mON = 2 x mGR.
Solución:
OLA ≅ GTA (A – L - A)
Es decir (θ - - ψ)
Entonces, se cumple:
S1 + K =
22
2
1
2 S
SK
S
=⇒+
2
1
2
1
=
S
S
4.- Del gráfico, calcula : S1 + S2.
Solución:
Según el gráfico:
S1 =
2
6 h×
S2 =
2
66 ×− )h(
5.- Calcula Sx en función de A y B.
Solución:
Según el gráfico:
* Sx + K =
2
2
r
* A + K + B =
2
2
r
6.- En el gráfico, calcula el área de la región
sombreada, si IC = 1 y CA = 3 (T, A son
puntos de tangencia).
Solución:
En el TIA (propiedad : semejanza)
TI2
= 4 x 1  TI = 2
En el FIA Notable y aproximado de
37° y 53°. Se tiene : FI = 3
Nos piden:
Sx = °×
×
90
2
53
sen Sx = 7,5u2
7.- En el gráfico, ON = 22 . Siendo T
punto de tangencia. Calcula el área de la
corona circular.
Solución:
En el PON (propiedad : semejanza)
(2 2 )2
= (R + r)(R - r)  R2
– r2
= 8
Nos piden:
Sx = π(R2
- r2
)
Sx = 8πu2
1).- De la figura calcula el área de la región
sombreada si A y B son puntos de
tangencia.
a) 9 π
b) 18 π
c) 24 π
d) 36 π
e) 12 π
2).- Calcula el área del círculo mostrado en
la figura, si AB=8 y C es punto de
tangencia.
a) 16 π
b) 9 π
c) 64 π
d) 25 π
86
S1
S2
O N
I
ER
G
S2
S1
6
S1 +S2 = 18
S2
S1
6
h
6 - h
6 6
Sx
A
B
Sx = A + B
Sx
A
B
r
K
r
r
r
45°
45°
r
A
T I
C
A
T I
C Sx
3
1
53°37°
37°26,5°
2 3
P
O
T N
P
O
T
N
R
Sx 2
r
O N
I
ER
G T
S2
/2
S2
/2
S1
K
θ θ
ψ
ψ
θ
θ
θ
L
9
4
A
B
A B
D C
45°

////////////////////////
//////
e) 32 π
3).- Según la figura si AB=6, calcula el área
de la región sombreada.
a) 323 −π b) 226 −π
c) 356 −π d) 3512 −π e)
)332(6 −π
4).- Calcula el área del círculo inscrito en un
triángulo rectángulo, si este determina en
la hipotenusa segmentos que miden 4 y 6.
a) 16 π b) 4 π c) 18 π d) 9 π e) 8 π
5).- En un trapecio rectángulo ABCD, recto
en A y D, con diámetro AD se traza la
semicircunferencia tangente a BC. Calcula
el área del semicírculo si AB=4 y CD=9.
a) 9 π b) 18 π c) 16 π d) 81 π e) 36 π
6).- Según la figura AB=BC, calcular Sx si S1
+ S2=4
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
7).- De la figura si TH=1 y R=2, calcula el
área de la región sombreada. (T es punto
de tangencia)
a) 3/2π
b) 3/4π
c) 3/5π
d) 2/5π
e) 4/5π
8).- Calcula el área de la región sombreada,
si AB=1, BC=8 (t y P son puntos de
tangencia).
a) 3 π
b) 16 π
c) 8 π
d) 9 π
e) 4 π
9).- . En la figura calcula el área de la región
sombreada, si R=2, M y N son puntos de
tangencia.
a) 22 +π
b) 1−π
c) 32 +π
d) 2+π
e) 3+π
10).- De la figura, si BC=15, PC=9 y B es
punto de tangencia, calcula el área de la
región sombreada.
a) 90 π
b) 100 π
c) 70 π
d) 82 π
e) 50 π
NIVEL II
1).- Se tiene un cuadrado ABCD, en la
prolongación de AD se ubica el punto P,
luego se traza una circunferencia de
diámetro DP que interfecta a CP en “T”.
Calcula el área del círculo correspondiente,
si AB=4 y CT=2.
a) 8 π b) 10 π c) 12 π d) 6 π e) 14 π
2).- Si ABCD es un cuadrado, P y Q son
puntos de tangencia, calcula el área de la
región sombreada.
a)
2
34 π−
b)
2
324 π−
c)
3
434 π−
d)
3
224 π−
e)
3
44 π−
3).- Según la figura mAP=40 y m ∠
ACP=10. Calcula el área de la región
sombreada, si R= 6
a) 3/2π b) 2/π
c) 2/3π
d) 3/5π e) 3/4π
4).- Si AD=2 3 y R=2, calcula el área de
la región sombreada.
a)



 π−
3
26 b)



 π−
3
5 c)



 π−
3
6
d)



 π−
5
23 e)



 π−
3
6
5).- De la figura si AD=6, AB=4, calcula el
área de la región sombreada, si D y E son
puntos de tangencia.
a) 36 π
b)
4
25π
c) 16 π
d)
4
5π
e)
4
3π
6).- Si ABCD es un cuadrado; O y A son
centros, calcula S1/S2
a) 1
b) 2
c) 1/2
d) 1/3
e) 3
87
O´
A
B
D
CO
A
B C
S1 S2
SX
H T
P
R
A
O
B
C T
B
A P
B
M
R
N
CA
A P C
B
R
r
A
B
D
C
P
Q2
R
B C
DA
A B E C
D
O
S1
S2
A
B
D
C
A
O B C
R
P Q
R

////////////////////////
//////
7).- De la figura calcula el área de la región
sombreada, si 2(QO)=3(PQ)=6
a)
72
265π
b)
24
125π
c)
36
265π
d)
72
225π
e) 125 π
NIVEL I
1) d 2) d 3) e 4) b 5) b
6) a 7) b 8) d 9) d 10)d
NIVEL II
1) c 2) -- 3) e 4) c 5) b
6) a 7) a
88
A
C Q
P
O B

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