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ECUACIONES E INECUACIONES

              MATEMÁTICAS 4º ESO
ECUACIONES DE PRIMER GRADO (Repaso)
        a· x + b = 0            a, b         a0
   Para resolverlas
       Se opera para eliminar los paréntesis
       Se buscan fracciones equivalentes con denominador
        común (el m.c.m. de los denominadores) para eliminar los
        denominadores.
       Se transponen los términos. Los términos con incógnitas se
        sitúan en un miembro de la ecuación y los términos
        numéricos en el otro. RECUERDA! Los términos que cambian
        de miembro cambian de signo.
       Se operan los términos semejantes.
       Se despeja la incógnita. El número que va multiplicando a x,
        pasa dividiendo al otro miembro, con el mismo signo.
    Ejemplo:
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
   Ecuaciones de segundo grado completas
       a· x2 + b· x + c =0    a, b, c  a  0

Se resuelven con la fórmula:



              es el discriminante.
       Si   0, la ecuación tiene dos soluciones reales.
       Si  = 0, la ecuación tiene una solución real doble.
       Si   0, la ecuación no tiene solución real.

Ejemplos:
   Ecuaciones de segundo grado incompletas:
         a· x2 + b· x =0         a, b         a0
    Se saca factor común y se igualan los distintos factores a cero.
         Ejemplo:




   Ecuaciones de segundo grado incompletas:
       a· x2 + c =0     a, c      a0
    Se despeja x2.
         Ejemplo:
ECUACIONES BICUADRADAS
   Ecuaciones del tipo:
          a· x4 + b· x2 + c =0              a, b, c  a  0

   Para resolverlas:
         Se hace un cambio de variable:
                   x2 = t
                   x4 = t2         a· t2 + b· t + c =0
         Se resuelve la ecuación de segundo grado.
         Se deshace el cambio de variable:



      Ejemplo:
ECUACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

   Para resolverlas hay que eliminar los denominadores
    buscando fracciones algebraicas equivalentes con
    denominador común, el m.c.m. de los denominadores.

   CUIDADO! En estas ecuaciones hay falsas soluciones!
    Son falsas soluciones aquellas que hacen cero al
    denominador de las fracciones algebraicas. Siempre
    hay que comprobar si las soluciones son válidas o no.

        Ejemplo:
ECUACIONES IRRACIONALES
   Son aquellas en las que la incógnita aparece dentro de
    una raíz.
   Para resolverlas:
         Se aísla algún término con raíces para un miembro.
         Se elevan al cuadrado (cuando las raíces son cuadradas)
          los dos miembros de la ecuación. CUIDADO! Aparecen
          muchas veces identidades notables.
         Si continúan quedando raíces, se repite el proceso
          anterior.
         Se resuelve la ecuación resultante.
         Se comprueba la solución porque a veces hay falsas
          soluciones.

Ejemplos:
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
   Aplicamos propiedades de logaritmos hasta obtener:
              log(Expresión 1) = log(Expresión 2)
    Entonces:
                   Expresión 1 = Expresión 2
    y resolvemos esa ecuación.
                                    RECUERDA:

Comprobar la solución:
No serán válidas las soluciones
que hagan que tengamos
que calcular logaritmos de
números menores o iguales a cero.
    Ejemplos:
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON UNA INCÓGNITA
   Una inecuación es una desigualdad que se compone
    de dos expresiones algebraicas separadas por los signos
    >, <, ≥, ≤.
   La solución a una inecuación es un intervalo.
   Se resuelven como si fuesen ecuaciones de primer
    grado, pero, cuando llegamos a tener los términos con x
    en el primer miembro y sin x en el segundo, el
    coeficiente que va con x tiene que ser positivo. Si no es
    así, le cambiamos el signo a todos los términos de la
    ecuación y también cambiamos el signo de la
    desigualdad.

    Ejemplo:
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
CON UNA INCÓGNITA

   Se resuelve la ecuación de segundo grado asociada.
    Las soluciones delimitan distintos intervalos en los que
    hay que probar si se cumple o no la desigualdad.

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Ecuaciones e inecuaciones

  • 1. ECUACIONES E INECUACIONES MATEMÁTICAS 4º ESO
  • 2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO (Repaso) a· x + b = 0 a, b  a0  Para resolverlas  Se opera para eliminar los paréntesis  Se buscan fracciones equivalentes con denominador común (el m.c.m. de los denominadores) para eliminar los denominadores.  Se transponen los términos. Los términos con incógnitas se sitúan en un miembro de la ecuación y los términos numéricos en el otro. RECUERDA! Los términos que cambian de miembro cambian de signo.  Se operan los términos semejantes.  Se despeja la incógnita. El número que va multiplicando a x, pasa dividiendo al otro miembro, con el mismo signo. Ejemplo:
  • 3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO  Ecuaciones de segundo grado completas a· x2 + b· x + c =0 a, b, c  a  0 Se resuelven con la fórmula: es el discriminante. Si   0, la ecuación tiene dos soluciones reales. Si  = 0, la ecuación tiene una solución real doble. Si   0, la ecuación no tiene solución real. Ejemplos:
  • 4. Ecuaciones de segundo grado incompletas: a· x2 + b· x =0 a, b  a0 Se saca factor común y se igualan los distintos factores a cero. Ejemplo:  Ecuaciones de segundo grado incompletas: a· x2 + c =0 a, c  a0 Se despeja x2. Ejemplo:
  • 5. ECUACIONES BICUADRADAS  Ecuaciones del tipo: a· x4 + b· x2 + c =0 a, b, c  a  0  Para resolverlas:  Se hace un cambio de variable: x2 = t x4 = t2 a· t2 + b· t + c =0  Se resuelve la ecuación de segundo grado.  Se deshace el cambio de variable: Ejemplo:
  • 6. ECUACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS  Para resolverlas hay que eliminar los denominadores buscando fracciones algebraicas equivalentes con denominador común, el m.c.m. de los denominadores.  CUIDADO! En estas ecuaciones hay falsas soluciones! Son falsas soluciones aquellas que hacen cero al denominador de las fracciones algebraicas. Siempre hay que comprobar si las soluciones son válidas o no. Ejemplo:
  • 7. ECUACIONES IRRACIONALES  Son aquellas en las que la incógnita aparece dentro de una raíz.  Para resolverlas:  Se aísla algún término con raíces para un miembro.  Se elevan al cuadrado (cuando las raíces son cuadradas) los dos miembros de la ecuación. CUIDADO! Aparecen muchas veces identidades notables.  Si continúan quedando raíces, se repite el proceso anterior.  Se resuelve la ecuación resultante.  Se comprueba la solución porque a veces hay falsas soluciones. Ejemplos:
  • 8. ECUACIONES LOGARÍTMICAS  Aplicamos propiedades de logaritmos hasta obtener: log(Expresión 1) = log(Expresión 2) Entonces: Expresión 1 = Expresión 2 y resolvemos esa ecuación. RECUERDA: Comprobar la solución: No serán válidas las soluciones que hagan que tengamos que calcular logaritmos de números menores o iguales a cero. Ejemplos:
  • 9. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA  Una inecuación es una desigualdad que se compone de dos expresiones algebraicas separadas por los signos >, <, ≥, ≤.  La solución a una inecuación es un intervalo.  Se resuelven como si fuesen ecuaciones de primer grado, pero, cuando llegamos a tener los términos con x en el primer miembro y sin x en el segundo, el coeficiente que va con x tiene que ser positivo. Si no es así, le cambiamos el signo a todos los términos de la ecuación y también cambiamos el signo de la desigualdad. Ejemplo:
  • 10. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA  Se resuelve la ecuación de segundo grado asociada. Las soluciones delimitan distintos intervalos en los que hay que probar si se cumple o no la desigualdad. Ejemplo: