1) O documento descreve o cálculo do produto escalar entre dois vetores u e v. 2) O produto escalar é dado pela soma dos produtos dos correspondentes componentes dos vetores, ou seja, a.d + b.e + c.f. 3) O produto escalar é igual ao módulo de u vezes o módulo de v vezes o cosseno do ângulo entre eles.

1. PROF. NILO

2. PRODUTO ESCALAR
( OU INTERNO )
 
Como visto anteriormente, temos que os
vetoresu v
e são dados por :
 
u = ( a , b, c ) v = (d , e, f )
E também que 
os seus u = a +b +c
2 2 2
módulos são 
dados por : v = d +e + f
2 2 2

3. Vejamos graficamente   
a Diferença de Vetores : u u −v
θ

Aplicando a Lei dos
Cossenos, temos :
v
I
 2 2 2  
u − v = u + v − 2. u . v . cosθ
Temos também que :
 
u − v = (a, b, c) − (d , e, f )
 
u − v = (a − d , b − e, c − f )

4.  
u − v = (a − d , b − e, c − f )
 
u − v = (a − d ) + (b − e) + (c − f )
2 2 2
 2
u − v = (a − d ) + (b − e) + (c − f )
2 2 2
 2
u = a +b +c ⇒ u = a +b +c
2 2 2 2 2 2
 2
v = d +e + f ⇒ v = d +e + f
2 2 2 2 2 2
Aplicando de volta na equação I, temos :

5. (a − d ) + (b − e) + (c − f ) =
2 2 2
 
a + b + c + d + e + f − 2. u . v . cosθ
2 2 2 2 2 2
Desenvolvendo as operações indicadas,
temos :
a + b + c + d + e + f − 2ad − 2be − 2cf =
2 2 2 2 2 2
 
a + b + c + d + e + f − 2. u . v . cosθ
2 2 2 2 2 2
 
− 2ad − 2be − 2cf = −2. u . v . cosθ
Dividindo tudo por (− 2),
 
temos a.d + b.e + c. f =
: u . v . cosθ

6.  
a.d + b.e + c. f = u . v . cosθ
 
Essa soma de produtos das coordenadas dos
vetoresu  v 
por , chamamos de produto
escalar de u vpor .
 
Podemos denotar u escalar v por u .v .

Então : u .v = a.d + b.e + c. f
  
Logo : u .v = u . v . cos θ
 
v .u =d .a +e.b + f .c

7. PRODUTO  
O produto escalar é comutativo.
O produto escalar é comutativo.
ESCALAR u .v = v .u
   O produto escalar
O produto escalar
u u−v (( ou interno ), serve
ou interno ), serve
θ para o cálculo do
para o cálculo do
  
ângulo θ entre os
ângulo θ entre os
v vetores
vetores u e
ev ..

u.v = a.d + b.e + c. f
  
u.v = u . v . cosθ

8. 
u .v = a.d + b.e + c. f
  
u .v = u . v . cosθ
>
 θ é agudo, u .v 0
 =
 θ é reto, u .v 0
θ é obtuso, u .v < 0


    2
se u = v, temos θ = 0º , então u .u = u

9. Desigualdades :
  
Cauchy− Schwars
Cauchy− Schwars u .v ≤ u + v
Pelo Produto Escalar, temos que : Logo :

   u .v
u.v = u . v . cosθ cosθ =  
u .v
Lembrando que : 
u .v
− ≤ cosθ ≤ 1 ⇒ cosθ =  
 1
u .v    u .v
− 1 ≤   ≤ 1 ⇒ u .v ≤ u + v
u .v

10. y

u

j 
São os cossenos dos O u
ângulos que um vetor k 
i x
qualquer forma com os
eixos coordenados. z 
Marcamos um vetor u
inicialmente 
representante do vetor u dado que tenha
como ponto origem, a origem do sistema de
coordenadas. Os ângulos α , β e δ são os
ângulos formados com os eixos coordenados,
dos quais desejamos calcular os cossenos ditos
diretores.

11. y
   
 u .i = u . i . cos α
u    


j β  u . j = u . j . cos β
O u α
   
u .k = u . k . cos δ

k  x
δ i
z
Calculando os produtos escalares
do vetor  com  os
 vetores
unitários i , j e k , obtemos :

12.    
 u .i = u . i . cos α
   
u = ( a , b, c )

u . j = u . j . cos β onde :

    i = (1,0,0)

u .k = u . k . cos δ
 j = (0,1,0)


u = a +b +c
2 2 2
k = (0,0,1)
  
i = j = k =1

13. 2 2 2
(a , b, c).(1,0,0) = a + b + c .1. cos α
2 2 2
(a , b, c).(0,1,0) = a + b + c .1. cos β
2 2 2
(a , b, c).(0,0,1) = a + b + c .1. cos δ
a
cos α =
a +b +c
2 2 2
b
cos β =
a +b +c
2 2 2
c
cos δ =
a +b +c
2 2 2