Análise estatística de experimentos com um fator

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010

CAPÍTULO 5

EXPERIMENTOS COM UM ÚNICO FATOR
ONEWAY


EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR

SITUAÇÃO: UM FATOR FIXO - ONEWAY

Um experimento completamente aleatorizado com um
único fator (ONEWAY) é um planejamento experimental
que envolve apenas um fator com `a` níveis onde os
tratamentos são atribuídos as unidades experimentais
sem qualquer restrição, ou ainda, toda unidade
experimental tem a mesma probabilidade de receber
qualquer um dos tratamentos (níveis do fator) em estudo.



PROBLEMA:

Um experimento foi realizado para verificar a
produtividade de 4 tipos de variedade de milho. A
produção em cada unidade experimental (lotes
homogêneos) foi a seguinte:
HIPÓTESE CIENTÍFICA: Existe uma variedade que apresenta
produtividade melhor que as demais?



DADOS:

Varie- Repetições
dade 1 2 3 4 5
A 25 26 20 23 21
B 31 25 28 27 24
C 22 26 28 25 29
D 33 29 31 34 28



DADOS:



CARACTERÍSTICAS DO EXPERIMENTO:
•Completamente Aleatorizado
•Um único fator – Variedades de milho
•Efeitos Fixos (interesse em identificar qual das quatro variedades é a
melhor).
•Balanceado: todos os tratamentos foram aplicados ao mesmo número
de unidades experimentais;



PROBLEMA:

Como definir um teste para verificação da hipótese de existência
ou não de diferença entre os tratamentos?



CASO GERAL
Yij = variável resposta observada no i-ésimo tratamento e j-ésima
unidade experimental;

i = 1, 2, …, a (tratamentos)
j = 1, 2, ..., ni (número de unidades experimentais por
tratamento)

Número total de observações (u.e.)



NOTAÇÃO

Tratamentos Observações Totais Médias
1 y11 y12 ... y1n1 y1. y 1.

2 y21 y22 ... y2n2 y2. y 2.

   
a ya1 ya2 ... yan ya. y a.

y..



NOTAÇÃO

Varie- Repetições
dade 1 2 3 4 5
A 25 26 20 23 21
B 31 25 28 27 24
C 22 26 28 25 29
D 33 29 31 34 28



NOTAÇÃO

(TOTAL do i-ésimo tratamento)

(MÉDIA do i-ésimo tratamento)

(TOTAL GERAL)

(MÉDIA GERAL)



NOTAÇÃO:



ANÁLISE ESTATÍSTICA:

MODELO LINEAR:

YN x 1 = vetor de variável resposta (variável dependente)
XN x a = matriz de planejamento
a x 1 = vetor de parâmetros do modelo, isto é, efeitos dos tratamentos
em estudo
N x 1 = vetor de erros aleatórios não observáveis




PARAMETRIZAÇÃO

yij =  + i + ij (modelo de desvio médio)

Interpretação: A resposta yij é devida a um “efeito comum” mais
um efeito específico do i-ésimo tratamento mais um efeito
aleatório.




FORMA MATRICIAL

yij =  + i + ij

a=3 ni = 3




PROBLEMAS:

Estimar os parâmetros
Teste de Hipótese
Verificar a adequabilidade do modelo




MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO:

Estimadores de Máxima Verossimilhança

Estimadores de Mínimos Quadrados



ANÁLISE ESTATÍSTICA: ESTIMAÇÃO

MODELO DE DESVIOS MÉDIOS: Yij =  + i + ij

 (X’ X)-1 não existe
 estimadores não são únicos


é uma inversa generalizada de X’X



Equações Normais



Problemas:
Como obter a solução do sistema acima se o
rank(X) não é completo.
Uso de inversa generalizada  Impor restrições
ao sistema de equações



RESTRIÇÕES MAIS UTILIZADAS:

i = 0
ESTIMADORES



ESTIMADORES

Interpretação:
1. O efeito comum é estimado pela média geral dos dados
observados;
2. O efeito específico é estimado pela diferença entre a média das
observações do especifico tratamento em relação a média geral.



No Exemplo: Interpretação:
Estimativa dos Parâmetros: 1. O tratamento 1 (adubo A) tem em média um
rendimento médio 3.75 unidades a menos
que o efeito comum (efeito obtido
independente dos tratamentos).
2. O tratamento 2 (adubo B) tem em média um
rendimento médio 0.25 unidades a mais que o
efeito comum (efeito obtido independente
dos tratamentos).
3. O tratamento 3 (adubo C) tem em média um
rendimento médio 0.75 unidades a menos
que o efeito comum (efeito obtido
independente dos tratamentos).
4. O tratamento 4 (adubo D) tem em média um
rendimento médio 4.25 unidades a mais que
o efeito comum (efeito obtido independente
dos tratamentos).



Observação:
Alguns autores preferem o modelo estatístico dado por:

Yij= i + ij
com
i =  + i
definido anteriormente.
Alguns resultados apresentam diferenças em relação ao
modelo apresentado, porém as conclusões obtidas usando qualquer

uma das alternativas são exatamente as mesmas.



TESTE DE HIPÓTESES
•O interesse no estudo é o de comparar três ou mais tratamentos, a
hipótese inicial a ser investigada é a de que se todos os tratamentos
são iguais, ou seja, se todos são igualmente “eficientes”.
•No caso de não rejeição desta hipótese, concluí-se pela igualdade dos
tratamentos envolvidos, ou ainda, que não existe um tratamento com
maior efeito que os demais.
•No caso de rejeição de hipótese de igualdade, conclui-se que pelo
menos dois tratamentos são diferentes e, nesse caso, novos
procedimentos devem ser realizado para se identificar os tratamentos
diferem, ou ainda, que tratamento ou tratamentos são mais eficientes.



TESTE DE HIPÓTESES
Modelo de Médias

Modelo de Desvios Médios

Ho : i = 0  i = 1, ..., a
H1 : i  0 para pelo menos um i.



Interpretação:
Se a hipótese Ho não é rejeitada todos os parâmetros i são
iguais a zero, ou seja, os efeitos específicos de todos os tratamentos são
iguais a zero (não existem), portanto o modelo (5.1) fica:

yij =  + ij
que não depende dos tratamentos, ou ainda, mudança nos níveis do
fator não tem efeito sobre a resposta.
Se a hipótese Ho é rejeitada, pelo menos um i diferente de zero, ou
seja, os existe pelo menos um dos tratamentos com um efeito específico
que o torna melhor (ou pior) que os demais tratamentos.



Suposições:

E[ij] = 0 E(Yi) = E ( + i + i) =  + i + E(ij ) =  + i
V(Yi) = V ( + i + i) = V(ij ) = 2
V[ij] = 2



ij ~ N (0, 2)
Yij ~ N ( +i , 2)



QUESTÃO : COMO TESTAR HO?
ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA

Princípio : Estudo das Fontes Variabilidade




Proposta : Particionar a variabilidade total dos valores
observados para a medida de comparação Yij, em duas
componentes: uma devida ao modelo (parte não aleatória) e
outra devida aos erros aleatórios

VARIABILIDADE TOTAL =

VARIABILIDADE MODELO + VARIABILIDADE DOS ERROS




SQT = Soma de
Quadrados Total



SQTr = SQM = Soma de Quadrados Tratamentos
(modelo) : quantifica a variabilidade entre
tratamentos;

SQE = Soma quadrados dos erros: quantifica a
variabilidade dos erros;



Interpretando:

A medida que cresce a soma de quadrados de tratamentos temos uma
maior variabilidade entre os tratamentos, conseqüentemente temos
que existe diferença entre os tratamentos. Caso contrário, maior
variabilidade dentro dos tratamentos e menor variabilidade entre
tratamentos, temos a não existência de diferença entre tratamentos.



EXPRESSÕES:



PROBLEMA: TESTE DE HIPÓTESES

Ho : i = 0  i = 1, ..., a
H1 : i  0 para pelo menos um i.



PROBLEMA: TESTE DE HIPÓTESES

Problema:
Como quantificar o quanto “pequeno” é a
soma de quadrados de tratamentos?



TABELA - ANOVA
Fonte de Graus de Soma de Quadrados E(QM)* F
Variação Liberdade Quadrados Médios

Modelo a-1 SQTr SQ Tr/a-1 σ
2

 1
a 1
 n i τ i 2 QMTr
(Tratamentos) QME

Erro N-a SQE SQE/N-a σ
2

Total N-1 SQT - -

A tabela acima nos mostra que se a hipótese H0 é verdadeira ( todos i = 0) em
média(E(QM)) o quadrado médio de tratamentos e o quadrado médio de erros
são iguais a um mesmo valor (2 no caso!).



PORTANTO SOB HO:
QME e QMTr são estimadores não viciados de 2 e assim:



CONCLUSÃO:

Quanto mais a razão estiver próxima de 1, estamos sob a
hipótese H0. A medida que esta razão seja superior a 1, QMTr > QME,
ou seja, a cresce a variabilidade entre tratamentos e
conseqüentemente temos que H0 não é verdadeira.

PROBLEMA:
Como definir o quanto a razão acima está próxima de 1?



SOB A HIPÓTESE DE NORMALIDADE DOS ERROS

QMTr  a-1
QME  N-a

LOGO:



REJEITA-SE HO :



TABELA ANOVA
Fonte de Graus de Soma de Quadrados F
Variação Liberdade Quadrados Médios
Modelo a-1 SQTr SQ Tr/a-1 QMTr
QME
(Tratamentos)
Erro N-a SQE SQE/N-a
Total N-1 SQT -

P-Valor = P[ Fa-1,N-a > Fc] = c


RETORNANDO AO EXEMPLO INICIAL
Sum of
Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F
Model 3 163.7500000 54.5833333 7.80 0.0020
Error 16 112.0000000 7.0000000
Corrected
19 275.7500000
Total

R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean
0.593835 9.890659 2.645751 26.75000

F
Source DF Type I SS Mean Square Value Pr > F
F 3 163.7500000 54.5833333 7.80 0.0020


Temos Fc = 7.80
Considerando  = 5% temos F3,16(5%) = 3.24
Logo:

Portanto REJEITA-SE Ho, isto é, pelo menos dois
tratamentos diferem, ou ainda existe pelo menos um
tratamento que é mais eficiente que outro (maior
produtividade no caso!).


De outra forma:

Da tabela da Anova (obtida através de um software estatístico) temos
que:

Portanto REJEITA-SE Ho.
...........................................



DUAS QUESTÕES:

1. O teste F acima definido é válido se a hipótese de que os dados
observados nos diferentes grupos são independentes e podem ser
representados pelo modelo normal. Como verificar que estas
suposições são verdadeiras?

2. Ao rejeitarmos que H0 é verdadeira, concluímos que pelo menos
dois grupos (tratamentos) diferem. Como identificar que grupos
diferem?



CONSIDEREMOS O MODELO:
Modelo estimado
yij =  + i + ij



IMPORTANTE:

Verificarmos a hipótese de independência e
normalidade dos dados é possível a partir da análise
da independência, normalidade e variância
constante dos resíduos.



PROBLEMA: ADEQUABILIDADE DO MODELO

Estatística de teste obtida a partir da hipótese de
que i são iid N (0, 2)

Como verificar se a hipótese acima é verdadeira?



DIAGNÓSTICO DO MODELO

Objetivo:
Verificar se as suposições estabelecidas para
obtenção do ajuste e teste dos parâmetros, são satisfeitas.

i são iid N (0, 2)




Questões:
•Presença de Valores Extremos (Dados aberrantes-discrepantes)
•Independência (Aleatoriedade)
•Normalidade
•Homocedasticidade (Variância Constante)
.



Instrumentos:
Histograma e Box-Plot dos resíduos
Gráfico normal probabilístico
Gráfico de resíduos em ordem temporal (para situações onde
existe uma seqüência temporal na coleta dos dados)
Gráfico de resíduos versus predito
Gráfico de resíduos versus fatores
Testes de Igualdade de Variâncias



VALORES EXTREMOS – PONTOS DISCREPANTES (ABERRANTES):

DADOS ORIGINAIS:



VALORES EXTREMOS – PONTOS DISCREPANTES (ABERRANTES):

RESÍDUOS “ORDINÁRIOS)

RESÍDUOS PADRONIZADOS



PROCEDIMENTO ALTERNATIVO;
Considerando que os erros têm distribuição N(0,2),
pode-se esperar que a média   contém aproximadamente 68%
dos dados, a média  2 contém aproximadamente 95% dos
dados e a média  3 contém aproximadamente 99% dos dados.
Desta forma, podem ser considerados valores extremos aqueles
que forem superiores a  3.



CONCLUSÃO:
Identificado um valor extremo, usualmente ele é
excluído da análise. Porém, na prática, é o pesquisador quem
deve determinar se um valor extremo pode realmente ser
assim considerado. Pois os valores extremos podem fornecer
informações importantes sobre o experimento e
estatisticamente podem demonstrar que uma outra
distribuição deve melhor representar o comportamento dos
dados. Alternativas: Uso de métodos robustos ou modelos
lineares generalizados, por exemplo.



VERIFICANDO A INDEPENDÊNCIA:




NOTAS:
Existindo o registro da ordem de obtenção dos valores,
recomenda-se o uso do gráfico dos resíduos vs a ordem
de coleta de forma a verificar algum padrão na resposta
e, conseqüentemente uma dependência entre as
observações.




NOTAS:
Experimentos cujo processo de aleatorização é
adequadamente realizado dificilmente irão apresentar
problemas com a falta de independência.




NÃO INDEPENDÊNCIA:
Não adequabilidade do modelo utilizado (falta de algum
componente do modelo, por exemplo) e necessidade de
procedimentos estatísticos que considerem a existência
de dependência entre observações (modelos de séries
temporais).



VERIFICANDO A NORMALIDADE

TESTES:
Teste de Shapiro-Wilk
Anderson-Darling
Kolmogorov-Smirnov
Cramer-von Mises
Liliefors.

Homocedasticidade:


Gráfico Normal Probabilístico:

Homocedasticidade:


O gráfico de probabilidade e um método para determinar se os dados da
amostra (erros estimados, nessa situação) seguem uma distribuição
hipotética, baseada no exame visual dos dados. O procedimento geral e
muito simples e pode ser feito rapidamente. Gráfico de probabilidade usa
tipicamente um papel gráfico especial, conhecido como papel de
probabilidade, que tem sido projetado para a distribuição hipotética. O
papel de probabilidade é largamente disponível para as distribuições
normal, lognormal, Weibull e várias distribuições quadrado e gama.
Softwares estatísticos atualmente substituem o uso destes papéis,
necessários durante longo tempo.

Homocedasticidade:


Para construir um gráfico de probabilidade:
1. As observações na amostra são primeiro ordenadas da menor para a
maior. Ou seja, a amostra X1., X2, .. .,Xn e arrumada como x(1),x(2), ...,x(n)
em que x(I) é a menor observação, X(2) e a segunda menor observaçao e
assim por diante, com x(n) sendo a maior.
2. As observações ordenadas X(U) são então grafadas contra suas
freqüências cumulativas observadas (j - 0,5)/n em um papel apropriado
de probabilidade.
3. Se a distribuição hipotética descrever adequadamente os dados, os
pontos picotados cairão, aproximadamente, ao longo de uma linha reta;
4. Se os pontos plotados desviarem significativamente de uma linha reta,
então o modelo hipotético não será apropriado.

Homocedasticidade:


Gráfico Normal Probabilístico: Exemplo

Dez observações sobre o tempo (em minutos) efetivo de vida de serviço de
baterias usadas em um computador pessoal são: 176,191,214,220,205,
192,201,190, 183,185. Imaginemos que a vida da bateria seja modelada
adequadamente por uma distribuição normal. Para usar o gráfico de
probabilidade de modo a investigar essa hipótese, arranje primeiro as
observações em ordem crescente e calcule suas freqüências cumulativas
(j- -0,5)/10 conforme segue.

Homocedasticidade:


j X9i) (j - 0,5)/10
1 176 0,05
2 183 0,15
3 185 0,25
4 190 0,35
5 191 0,45
6 192 0,55
7 201 0,65
8 205 0,75
9 214 0,85
10 220 0,95

Homocedasticidade:



Os pares de valores x(i) e (j - 0,5)/10 são agora plotados em um papel de
probabilidade normal. Esse gráfico é mostrado na figura abaixo. A maioria
dos papeis de probabilidade normal plotam 100(j - 0,5)/n na escala vertical
da esquerda e 100[ 1 - (j - 0,5)/n] na escala vertical da direita, com o valor da
variável plotada na escala horizontal.

Homocedasticidade:



Homocedasticidade:


Gráfico Normal ProbabilísticoALTERNATIVA

Um gráfico de probabilidade normal pode também ser construído em um
papel gráfico normal, plotando os escores normais padrões Zj contra x(i), em
que os escores normais padrões satisfazem:

Por exemplo, se (j-0.5)/n = 0.05 então (zj) = 0.05 zj =-1.64. Para ilustrar,
consideremos os dados do exemplo acima.

Homocedasticidade:


Gráfico Normal ProbabilísticoALTERNATIVA
j X9i) (j - 0,5)/10 Zj
1 176 0,05 -1.64
2 183 0,15 -1.04
3 185 0,25 -0.67
4 190 0,35 -0.39
5 191 0,45 -0.13
6 192 0,55 0.13
7 201 0,65 0.39
8 205 0,75 0.67
9 214 0,85 1.04
10 220 0,95 1.64

Homocedasticidade:


Gráfico Normal Probabilístico: EXEMPLO VARIEDADES DE MILHOS



Modelos Lineares
Generalizados

Não Normalidade

Transformações



VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE
Hipóteses:

Ho : 12 = 22 = ... = a2

H1 : i2 ≠ j2 para pelo menos um i  j



Alguns Testes:
Teste de Hartley: Exige um mesmo número de repetições
entre os tratamentos.
Teste de Bartlett: Pode ser utilizado para qualquer número de
repetições nos tratamentos.
Teste de Cochran: Pode ser utilizado para qualquer número de
repetições nos tratamentos.
Teste de Levene: Anova para resíduos “robustos”.



TESTE DE HARTLETT

2
S max = maior variância dentre os “a” tratamentos;
2
S min = menor variância dentre os “a” tratamentos;

Fmax é comparado com o valor tabelado para H(g,r-1) da tabela de Pearson e Hartley, onde
g=número de tratamentos e r= número de repetições (mesmo para todos os tratamentos).
Se Fmax > H(g,r-1) rejeita-se H0 e conclui-se que não existe homogeneidade de variância
entre os tratamentos. Caso contrário H0 não é rejeitada.



Análise Gráfica



PROBLEMA:

O que fazer quando alguma das suposições ( normalidade

e/ou homocedasticidade) não são satisfeitas?



O procedimento usualmente nestes casos é o uso de
transformações na variável resposta. O uso de transformações é
um artifício matemático com bons resultados quando existe uma
relação entre média e variância (heterocedasticidade regular).

Atualmente, novos procedimentos estatísticos são propostos
como alternativa ao uso de transformação dos dados. Além dos já
tradicionais procedimentos de métodos não paramétricos, hoje
estão disponíveis, inclusive em todos os softwares mais
conhecidos, os métodos de Modelos Lineares Generalizados, que
levam em conta a natureza da distribuição da variável em estudo.


MÉTODOS DE COMPARAÇÕES MULTIPLAS:

Objetivo:
Identificar, quando rejeitamos Ho numa ANOVA, que
tratamentos diferem significativamente.



Proposta:
Estabelecer uma “diferença mínima
significativa(d.m.s)” entre duas médias. Toda vez que o valor
absoluto da diferença entre duas médias for maior ou igual
d.m.s., as médias são consideradas estatisticamente diferentes,
ao nível de significância estabelecido.


OBSERVAÇÃO:
Foram propostas diversas maneiras de estabelecer uma d.m.s. Cada
proposta é na realidade, um teste que, em geral, leva o nome do seu autor.
Não existe um procedimento para a comparação de médias que seja
definitivamente o “melhor”. Vários trabalhos são encontrados na literatura
fazendo estudos comparativos dos diferentes métodos que, incluindo-se
novas propostas que freqüentemente são apresentadas. Em geral é possível
mostrar a existência de procedimentos mais eficientes para situações
especificas, porém não se mostrou, até hoje, um método que seja mais
eficaz para um caso geral.



TESTE T- TESTE LSD (LEAST SIGNIFICANT DIFFERENCE):

Rejeita-se a igualdade se:



TESTE DE TUKEY:

q é chamada de amplitude total studentizada que depende do número de
tratamentos (a) e do número de graus de liberdade dos erros (f = N-p).
(tabela encontrada em Montogomery). O teste preserva o nível de
significância para todos os contrastes. É um teste mais conservador do que
o LSD em declarar um diferença como significativa.



APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS:
1. Ordena-se as médias de tratamentos em ordem crescente (ou
decrescente).
2. Coloca-se uma letra do alfabeto na primeira média e em seguida
compara-se com as médias seguintes
3. Se a diferença for superior ao valor da d.m.s. a diferença é
considerada significativa e portanto é atribuída uma outra letra a
média que foi comparada

Ao final temos que médias de tratamentos que não diferem
significativamente têm em comum uma letra enquanto que
médias que diferem não tem nenhuma letra em comum.



APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS: EXEMPLO
Consideremos: (A > C > D > B):

Caso 1: Situação onde não foi rejeitado H0
Situações na tabela de ANOVA, ou seja, não existem
1 2 3 4 5 Caso 2: Outraentre
diferenças situação quaisquer todos os
extrema, dois
tratamentos. diferem entre si. de todos
tratamentos
Caso 3: Temos que A C diferem
A a a a a a Caso 4: A difere de todos os demais
os tratamentos e D e B são
C a b b b a b tratamentos, C e D são estatisticamente
estatisticamente iguais entre si.
iguais mas C difere de todos os demais
D a c c b c b c
enquanto é estatisticamente igual a C mas
Caso 5: A que D é também
B a d c c c difere dos demais, a B.
estatisticamente igual enquanto que C é
estatisticamente também igual a D e
diferente de B. Por sua vez D é
estatisticamente igual a B.



EXEMPLO: Produtividade de 4 diferentes variedades de milho
t Tests (LSD) for y

Means with the same letter
are not significantly different.

t Grouping Mean N f

A 31.000 5 D

B 27.000 5 B

C B 26.000 5 C

C 23.000 5 A



Tukey's Studentized Range (HSD) Test for y

Means with the same letter
are not significantly different.

Tukey Grouping Mean N f

A 31.000 5 D

B A 27.000 5 B

B 26.000 5 C

B 23.000 5 A

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