O documento introduz experimentos fatoriais, que verificam o efeito conjunto de dois ou mais fatores sobre uma resposta. Explica que os tratamentos são as combinações dos níveis dos fatores e apresenta um exemplo com raça animal e tipo de ração como fatores. Também discute a análise dos efeitos principais e de interação entre os fatores para identificar se um fator influencia os resultados do outro.
2. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
OBJETIVO:
Verificar o efeito conjuntos de dois ou mais fatores sobre
uma dada resposta
SITUAÇÃO:
Tratamentos em estudos são resultados das combinações
dos valores dos diferentes níveis dos fatores em estudo
EXPERIMENTOS FATORIAIS
3. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXEMPLO:
Deseja-se verificar o ganho de peso de animais de diferentes
raças considerando-se diferentes tipos de ração
Fatores: Raça do animal e Tipo de ração.
Tratamentos: Combinações entre as diferentes raças a serem
utilizadas e os diferentes tipos de rações.
EXPERIMENTOS FATORIAIS
4. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
IMPORTANTE:
Um experimento fatorial pode ser conduzido tanto num
experimento completamente aleatorizado, quanto num
experimento aleatorizado em blocos, ou quadrado latino,
entre outros.
PROBLEMA:
Quando o número de fatores cresce, cresce o número de
combinações entre níveis dos fatores dificultando, muitas
vezes, a instalação do experimento.
EXPERIMENTOS FATORIAIS
5. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
ESTRUTURA ENTRE FATORES:
FATORES: CRUZADOS
EFEITOS: FIXOS
EXPERIMENTOS FATORIAIS
6. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
CARACTERÍSTICA:
Os níveis de um fator são combinados com todos os níveis do
outro (dos outros) fator(es).
F a to r A A1 A2 A3
Exemplo:
Fator A : Raça do Animal A1, A2, A3
Fator B : Tipo de Ração B1, B2
F a to r B B1 B2
Tratamentos: A1B1, A1B2, A2B1,A2,B2, A3B1,A3B2
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
7. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EFEITOS FATORIAIS UMA SITUAÇÃO
F2
Fator 1 : A1, A2 F1 Total
B1 B2
Fator 2 : B1, B2 A1 20 30 50
A2 40 52 92
Total 60 82 142
QUESTÕES:
Os fatores F1 e F2 apresentam efeito conjunto ou são “independentes”?
O Fator F1 apresenta efeito significativo?
O Fator F2 apresenta efeito significativo?
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
8. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
RESPOSTA:
Estudo dos efeitos do modelo:
Efeito de Interação
Efeito Principal de F1 (1º Fator)
Efeito Principal de F2 (2º Fator)
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
9. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
QUESTÃO:
Como identificar/interpretar estes efeitos?
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
10. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
GEOMETRICAMENTE
F2
F1 Total
B1 B2
A1 20 30 50
A2 40 52 92
Total 60 82 142
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
11. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
F2 EFEITOS PRINCIPAIS:
F1 Total
B1 B2
A1 20 30 50 Efeito específico de cada fator,
A2 40 52 92 ou ainda, alteração que ocorre
Total 60 82 142 na variável resposta a partir da
troca de níveis do fator.
A = [(40+52)/2] – [(30+20)/2] = 21
B = [(30+52)/2] – [(40+20)/2] = 11
A mudança do nível A1 para o nível A2 do fator 1
produz um acréscimo de 21 unidades na variável
resposta.
A mudança do nível B1 para o nível B2 do fator 2
produz um acréscimo de 11 unidades na variável
resposta.
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
12. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EFEITOS INTERAÇÃO
F2
F1 Total
B1 B2 Alteração produzida na variável
A1 20 30 50 resposta a partir da mudança de
A2 40 52 92
Total 60 82 142 níveis de um fator dentro dos
diferentes níveis do outro fator.
Comportamento de um fator é praticamente o
mesmo nos diferentes níveis do outro fator, isto
é: A(B1) = 20 22 = A(B2), por outro lado,
B(A1) = 10 12 = B(A2).
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
13. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
CONCLUSÃO:
Não existe interação Um
fator não influência nos
resultados obtidos pelo outro
fator. O efeito principal de A
é [(20+22)/2] = 21
desconsiderando o fator B e o
efeito de B é [(10+12)/2]= 11
independente do efeito de A.
F2
F1 Total
B1 B2
A1 20 30 50
A2 40 52 92
Total 60 82 142 EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
14. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
SEGUNDA SITUAÇÃO
F2
F1 Total
B1 B2
A1 20 30 50
A2 40 52 92
Total 60 82 142
F2
Total
F1 B1 B2
A1 20 40 60
A2 50 12 62
Total 70 52 122
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
15. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
SEGUNDA SITUAÇÃO Efeitos Principais:
F2 A = [(50+12)/2] – [(20+40)/2] = 1
Total B = [(40+12)/2] – [(50+20)/2] = -9
F1 B1 B2
A1 20 40 60
Efeito da Interação:
A2 50 12 62
A (B1) = 50 – 20 = 30
Total 70 52 122
A (B2) = 12 – 40 = -28
B (A1) = 40 – 20 = 20
B (A2) = 12 – 50 = -38
O comportamento de um fator
não é o mesmo para os
diferentes níveis do outro fator.
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
16. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
GEOMETRICAMENTE
F2
Total
F1 B1 B2
A1 20 40 60
A2 50 12 62
Total 70 52 122
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
17. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
COMPARANDO:
curvas paralelas não existe interação curvas não paralelas existe interação
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
18. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
IMPORTANTE
Os gráficos de interação podem apresentar diferentes
comportamentos. Em geral, quando as retas são paralelas,
não existe interação. Quando as retas se cruzam ou não são
paralelas, pode ser que exista interação. Tudo depende da
magnitude da interação e do erro experimental.
Nem sempre retas cruzadas indicam interação.
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
19. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
ALGUMAS
DIFERENTES
SITUAÇÃO:
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
20. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
21. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES
TWOWAY
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS
22. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXEMPLO:
Um agrônomo está interessado em investigar o efeito da
adubação nitrogenada em dois niveis (N0 e N1) e fostatada
também em dois níveis (P1 e P2) numa determinada cultura. Os
resultados do experimento são apresentados na tabela abaixo:
Fosfato
Nitrogênio P0 P1
N0 1.00 1.60 3.20 4.50
1.20 1.30 5.60 5.50
1.30 4.40
N1 1.50 2.30 3.80 5.00
1.10 1.40 6.00 6.20
1.60 4.80
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
23. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
OBSERVANDO OS DADOS:
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
24. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
INTERAÇÃO: Questões:
1. O rendimento da cultura dado um
nível de nitrogênio independe do
nível de fosfato?
2. Existe efeito de nitrogênio e de
fosfato no rendimento da cultura?
Do ponto de vista estatístico:
1. . Existe interação entre os
fatores?
2. Os efeitos principais são
significativos?
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
25. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
CASO GERAL
Consideremos
Fator A a níveis ì = 1, ..., a
Fator B b níveis i = 1, ..., b
nij = número de observações para cada nível i do fator A e j do
fator B
nij = n ij experimento balanceado
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
26. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
CASO GERAL
Fator B
Fator A 1 2 … b
1 y111, y121, … y1b1,
y112,…,y11n y122,…,y12n y1b2,…,y11n
2 Y211, Y221, … Y2b1,
y212,…,y21n y222,…,y22n y2b2,…,y2bn
… … … … …
a Ya11, Ya21, … Yab1,
ya12,…,ya1n ya22,…,ya2n yab2,…,yabn
A mesma estrutura de um experimento com um fator
aleatorizado em blocos. Porém temos objetivos e
interpretações diferentes.
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
27. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EFEITOS
Fator Efeito Efeito Efeito
A Fixo Aleatório Fixo Aleatório
B Fixo Aleatório Aleatório Fixo
Modelo I Modelo II Modelo III
Modelo Efeitos Efeitos
Efeitos Mistos
Fixos Aleatórios
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
28. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
yijk = + i + j +( )ij + ijk
onde:
yijk= variável resposta de comparação
= efeito comum independente dos fatores
i = efeito principal do i-ésimo nível de A: i = 1, ..., a
j = efeito principal do j-ésimo nível de B: j = 1, ..., b
( )ij = efeito da ij-ésima interação: i = 1, ..., a; j = 1, ..., b
ijk = erro aleatório: i = 1, ..., a; j = 1, ..., b; k = 1,2,...n
Suposição: 2
ijk ~ N(0, )
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
29. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
Modelo na presença de blocos:
yijk = + i + j +( )ij + k + ijk
k = efeito do k-ésimo bloco k: i = 1, ..., k
Obs: Considerando uma observação por tratamento por bloco;
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
30. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
HIPÓTESES DE INTERESSE:
Efeito de Interação:
Efeitos Principais:
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
31. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
HIPÓTESES DE INTERESSE: Procedimento de Análise:
Efeito de Interação: 1. Analisar inicialmente o efeito
de interação do modelo:
SIGNIFICANTE: verificar o efeito
Efeitos Principais: de um fator dentro dos
diferentes níveis do outro fator.
Efeitos principais devem ser
desconsiderados.
NÃO SIGNIFICANTE: Analisar os
efeitos principais.
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
32. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
ANÁLISE DE VARIÂNCIA:
PARTIÇÃO DA SOMA DE QUADRADOS:
SQT = SQM + SQE = SQA + SQB + SQAB + SQE
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
33. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
ANÁLISE DE VARIÂNCIA:
GRAUS DE LIBERDADE
Componente GL
Total abn-1
A a-1
B b-1
AB (a-1)(b-1)
Erro ab(n-1)
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
34. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
ANÁLISE DE VARIÂNCIA:
TABELA ANOVA
Fonte de Graus de Soma de Quadrados E(QM)* F
Variação Liberdade Quadrados Médios
Modelo ab-1 SQM SQM/ab-1
A a-1 SQA
B b-1 SQB
AB (a-1)(b-1) SQAB
Erro N-a SQE
Total N-1 SQT - -
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
35. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
ANÁLISE DE VARIÂNCIA:
ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS
Estimadores:
(valor predito para ijk-ésima das observações é a média das n
observações nas combinações i e j).
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
36. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
ANÁLISE DE VARIÂNCIA:
ADEQUABILIDADE DO MODELO
Gráfico Normal Probabilístico (normalidade)
Gráfico de Resíduos x Predito (homocedasticidade e aleatoriedade)
Gráfico de Resíduos x Fatores (aleatoriedade)
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
37. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
ANÁLISE DE VARIÂNCIA: COMPARAÇÕES MULTIPLAS
1. Quando rejeitado Ho, como identificar diferenças?
Interação não significativa não rejeito Ho
Analisar cada um dos efeitos principais, considerando os
procedimentos de um experimento de 1 fator.
Interação significativa rejeito Ho
alternativas:
1. comparar as médias de um fator dentro dos níveis do outro fator;
2. aplicar comparações múltiplas para as combinações dos tratamentos
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
38. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
ANÁLISE DE VARIÂNCIA: EXEMPLO
Um agrônomo está interessado em investigar o efeito da adubação
nitrogenada em dois níveis (N0 e N1) e fosfatada também em dois
níveis (P1 e P2) numa determinada cultura. Os resultados do
experimento são apresentados na tabela abaixo:
Fosfato
Nitrogênio P0 P1
N0 1.00 1.60 3.20 4.50
1.20 1.30 5.60 5.50
1.30 4.40
N1 1.50 2.30 3.80 5.00
1.10 1.40 6.00 6.20
1.60 4.80
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
39. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
ANÁLISE DE VARIÂNCIA: EXEMPLO
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
40. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
ANÁLISE DE VARIÂNCIA: EXEMPLO
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
41. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
ANÁLISE DE VARIÂNCIA: EXEMPLO
Sum of
Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F
Model 3 61.10550000 20.36850000 37.98 <.0001
Error 16 8.58000000 0.53625000
Corrected
19 69.68550000
Total
R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean
0.876875 23.13715 0.732291 3.165000
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
42. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
ANÁLISE DE VARIÂNCIA: EXEMPLO
Mean
Source DF Type I SS Square F Value Pr > F
Nitrogênio 1 0.84050000 0.84050000 1.57 0.2286
Fosfato 1 60.20450000 60.20450000 112.27 <.0001
Nitro*Potas 1 0.06050000 0.06050000 0.11 0.7413
Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F
Nitrogênio 1 0.84050000 0.84050000 1.57 0.2286
Fosfato 1 60.20450000 60.20450000 112.27 <.0001
Nitrogênio*Fosfato 1 0.06050000 0.06050000 0.11 0.7413
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
43. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
ANÁLISE DE VARIÂNCIA: EXEMPLO
Y
Level of
Nitrogênio N Mean Std Dev
1 10 2.96000000 1.89220624
2 10 3.37000000 2.01717624
Y
Level of
Fosfato N Mean Std Dev
1 10 1.43000000 0.36530049
2 10 4.90000000 0.95916630
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
44. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
MODELO DE EFEITOS FIXOS
ANÁLISE DE VARIÂNCIA: EXEMPLO
Há necessidade da realização de comparações múltiplas?
Y
Level of
Fosfato N Mean Std Dev
1 10 1.43000000 0.36530049
2 10 4.90000000 0.95916630
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
45. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTO FATORIAL – CASO GERAL:
SITUAÇÃO:
O número de fatores a serem investigados no experimento é
maior que 2. Todos estes fatores são cruzados, isto é, níveis de um
fator “combinam” com os níveis de todos os demais fatores. As
diferentes combinações obtidas definem os “tratamentos” a serem
aleatorizados as unidades experimentais. O número de tratamentos
é dado pelo produto do número de níveis de cada fator.
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
46. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTO FATORIAL – CASO GERAL:
A : 2 níveis = a1,a2
B : 3 níveis = b1,b2,b3 Fatorial 2 x 3 x 2
C : 2 níveis = c1, c2
Tratamentos = 12
a1b1c1, a1b1c2, a1,b2,c1, a1b2,c2, a1b3c1,a1b3c2
a2b1c1, a2,b1c2, a2b2c1, a2b2c2, a2b3c1, a2b3c2
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
47. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTO FATORIAL – CASO GERAL:
Efeitos Principais A, B, C
Efeitos de interação de 2 fatores AB, AC, BC
Efeito de interação de 3 fatores ABC
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
48. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTO FATORIAL – CASO GERAL:
NÚMERO DE EFEITOS:
Efeitos com a presença de j fatores:
Caso anterior:
j = 1 Efeitos Principais: 3 Efeitos Principais:
j = 2 Efeitos Interações 2: 3 interações 2 fatores
j = 3 Efeitos Interações 2: 1 interação 3 fatores
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
49. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTO FATORIAL – CASO GERAL:
PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE
Iniciar o teste dos efeitos sempre pelos efeitos com a
presença de um maior número de fatores (interação de
maior ordem):
Rejeição Ho : não devem ser observados os efeitos com
menor número de fatores;
Não-rejeição Ho : testar efeitos com menor número de
fatores.
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
50. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTO FATORIAL – CASO GERAL: MODELO DE EFEITOS FIXOS:
SITUAÇÃO:
Todos os fatores presentes no estudo apresentam efeito fixo,
isto é, a inferência a ser realizada esta restrita aos níveis dos fatores
utilizados no experimento.
ANOVA:
A análise de variância é feita de forma usual, com a devida
partição da variabilidade total e com as estatísticas F tendo como
denominador o QME
Adequabilidade do Modelo, Comparações Múltiplas e Estimação
dos Parâmetros:
Também seguem os procedimentos vistos para o caso de dois
fatores (twoway). EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
51. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTO FATORIAL – CASO GERAL:
Modelo:
yijkl = + i + j + ( )ij + k +( )ik + ( )jk + ( )ijk + ijkl
yijk= variável resposta de comparação
= efeito comum independente dos fatores
i = efeito principal do i-ésimo nível de A: i = 1, ..., a
j = efeito principal do j-ésimo nível de B: j = 1, ..., b
( )ij = efeito ij-ésima interação de AB: i = 1, ..., a; j = 1, ..., b
k = efeito principal do k-ésimo nível de C: k= 1, ..., c
( )ik = efeito da ik-ésima interação de AC. i = 1, ...,a; k = 1, ...,c
( )jk = efeito da jk-ésima interação de BC. j = 1, ...,b; k = 1, ...,c
( )ijk = efeito da ijk-ésima interação de ABC. i = 1, ...,a; j = 1, ...,b; k= 1, ...,c
ijk = erro aleatório: i = 1, ..., a; j = 1, ..., b; k = 1, ...,c; l = 1, ...,n
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
52. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTO FATORIAL – CASO GERAL:
Suposição:
2
ijk ~ N(0, )
Modelo com blocos:
yijkl = + l + i + j +( )ij + k +( )ik + ( )jk + ( )ijk + ijkl
l = efeito do l-ésimo bloco k: i = 1, ..., l
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
53. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTO FATORIAL – CASO GERAL:
HIPÓTESES:
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
54. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
Exemplo:
Certa indústria química está estudando uma dada reação. Três fatores são
considerados importantes na composição desta reação: Temperatura,
Concentração e Catalisador. Um experimento fatorial, completamente
aleatorizado com fatores cruzados, foi realizado para se verificar o efeito
destes fatores na qualidade final da reação. Em função de estudos
anteriores os seguintes níveis dos fatores foram fixados: Temperatura 160
e 180 oC; Concentração 20 e 40%; Catalisador C1 e C2. O tempo de reação
para duas reações de cada uma das combinações dos níveis dos fatores
foi observado e os resultados obtidos São apresentados na tabela abaixo.
Quanto menor o tempo de reação melhor é a qualidade da reação.
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
55. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
Temperatura Concentração Catalisador Y
C1 59 61
20
C2 50 64
160
C1 50 58
40
C2 46 44
C1 74 70
20
C2 81 85
180
C1 69 67
40
C2 79 81
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
56. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F
Model 7 2635.000 376.42857 47.05 <.0001
Error 8 64.00000 8.000000
Corrected
15 2699.000
Total
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
57. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
R-Square Coeff Var Root MSE y Mean
0.976288 4.402221 2.828427 64.25000
Mean
Source DF Type I SS Square F Value Pr > F
temp 1 2116.000000 2116.000000 264.50 <.0001
conc 1 100.000000 100.000000 12.50 0.0077
temp*conc 1 9.000000 9.000000 1.13 0.3198
cata 1 9.000000 9.000000 1.13 0.3198
temp*cata 1 400.000000 400.000000 50.00 0.0001
conc*cata 1 0.000000 0.000000 0.00 1.0000
temp*conc*cata 1 1.000000 1.000000 0.13 0.7328
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
58. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS
59. INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
y LSMEAN
temperatura cata LSMEAN Number
160 C1 57.000 1
160 C2 48.500 2
180 C1 70.000 3
180 C2 81.500 4
EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS