CURSO

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WAVELETS

2. CONTENIDO
1. Historia y cronología de las wavelets
2. Fourier Vrs. wavelets
3. Que son las wavelets
4. Transformada Continua de Wavelets CWT
5. Transformada Discreta de Wavelets DWT
6. Análisis Multiresolución y Bancos de filtros
7. Aplicaciones prácticas

3. 1. HISTORIA
1807 (1822) – Joseph Fourier.
1909 – Alfred Haar - primera wavelet.
1946 – Dennis Gabor – Transformada Fourier ventaneada
(envolvente Gaussiana).
1981 – Jean Morlet. - señal sísmica - “wavelets”
1984 - Alex Grossman, Morlet desarrollan
El término wavelet

4. 1. HISTORIA
1990 – David Donoho y Johnstone usan los wavelets para
eliminar el ruido de una señal.
1992 – El FBI usa los wavelets para comprimir su base de
datos 30 millones de huellas dactilares.
1998 - Walt Disney Pictures y Pixar Animation Studios.
Largometraje de animación informática llamado Bichos.

5. Útil para fenómenos:
•Periódicos
•Invariantes en el tiempo
•Estacionarios
Análisis de Fourier
gn(t)= e jwt exponenciales complejas (sinusoides)
2. FOURIER VS. WAVELETS
•En Ing. Electrónica y Eléctrica es la
forma natural de respuesta de los sistemas.
•Son fáciles de sintetizar por que permiten
Superposición.

6. 2. FOURIER VS. WAVELETS
¿Y las señales no estacionarias o no periódicas que?.
La Transformada Fourier de Periodo Corto STFT, resuelve en
parte el problema:
La Transformada de Gabor utilizó ventanas de envolvente
Gaussiana mejorando la resolución, mas no fue suficiente.
( , ) ( ) *( ) jw
STFTx t f x w t e d

  



 


7. 2. FOURIER VS. WAVELETS
La resolución temporal y la resolución en frecuencia
están acopladas. [principio similar al de Heisenberg]
Dt .Dw ≥ p
Las wavelets sí dan información simultánea de
tiempo y frecuencia.

8. 2. FOURIER VS. WAVELETS

9. Útil para fenómenos:
• Transitorios
• Variantes en el tiempo
• No estacionarios
Familia de funciones para análisis de señales, con información
Simultanea en Tiempo y Escala (frecuencia)
3. Que son las WAVELETS
,
1
( ) ( ) a,b R
a b
t b
t
a
a
 

 
Continua Discreta
2
, ( ) 2 (2 ) j,k
j
j
j k t t k
 
   

10. Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones.
Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”...
Wavelet de Haar (1909)
3. Que son las WAVELETS

11. Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones.
Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”...
Wavelet de Daubechie
(orden 4) (1987)
3. Que son las WAVELETS

12. Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones.
Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”...
Wavelet con
Spline lineal
3. Que son las WAVELETS

13. • El análisis de wavelets:
• Nos da información sobre el espectro de frecuencias en función del tiempo.
• La resolución espectral de una frecuencia f es: f  f
• La resolución temporal de esta frecuencia es: t  1/f (t.f = cte).
3. Que son las WAVELETS
STFT DWT

14. La Transformada CWT de x(t) está dada por:
La Transformada CWT inversa está dada por:
4. Transformada Continua de
Wavelets CWT
0
1 1
( ) ( , ) ( )
CWT
a
t b
x t X a b da db
C a
a


 
 

  
1
( , ) ( ) ( )
CWT
t b
X a b x t dt
a
a




 

15. La Transformada DWT de x(t) está dada por:
(coeficientes wavelets)
5. Transformada Discreta de
Wavelets DWT
2
( , ) 2 ( ) (2 )
j
j
DWT
X j k x t t k dt



 


16. Traslaciones y dilataciones