Este documento describe cómo calcular la longitud de una curva y define las integrales de línea de campos escalares y vectoriales a lo largo de una curva. Explica que la longitud de una curva se puede aproximar dividiéndola en segmentos pequeños y sumando las longitudes de esos segmentos. También define las integrales de línea como límites de sumas que aproximan el área bajo una función definida a lo largo de una curva o el trabajo realizado por un campo de fuerzas sobre un móvil que se desplaza a lo largo de la curva.
Longitud de una curva pierangell clmenarez 22094900
1. LONGITUD DE UNA CURVA
República Bolivariana DeVenezuela
UTSAntonio José de Sucre
Extensión Barquisimeto
Alumna: Pierangell Colmenarez
C,I: 22094900
Esc: 72
Diseño de Obras Civiles
Curso: Intensivo Matemáticas II
2. LONGITUD DE UNA CURVA
La idea para calcular la longitud de una curva contenida en el plano o
en el espacio consiste en dividirla en segmentos pequeños,
escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud
mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.
4. Para ello, escogemos una parametrizacion α : [a, b] −→ R n de C, y una
partición P = {a = t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tk = b}, y calculamos aproximadamente
la longitud del arco α([ti , ti+1]) como la longitud del segmento [α(ti),
α(ti+1)]. Utilizando la norma euclıdea en R n , y aplicando a las
coordenadas de α el teorema del valor medio en el intervalo [ti , ti+1],
Utilizamos ahora que como αj es de claseC 1 , su derivada es continua, por
lo que si los intervalos [ti , ti+1] son suficientemente pequeños podemos
suponer que α 0 j (si) = α 0 j (ti), y sustituyendo en la formula anterior
queda
5. El valor de este sumatorio esta entre los valores de la suma inferior y la suma
superior de Riemann de la función g(t) = kα 0 (t)k asociadas a la particion P. Si
tomamos particiones de [a, b] cada vez mas finas, y dado que g(t) = kα 0 (t)k es
integrable por ser continua, las sumas superiores e inferiores tienden a la
integral de Riemann, y se obtiene la definición de la longitud de C como
7. Integral de línea de un campo escalar
SellamacampoescalarenRnaunafuncióndefinidadeRnenR,comopor
ejemplolafunciónquedescribelatemperaturaencadapuntodelespacioR3.
Paraentenderelsignificadodeladefinicióndeintegraldelíneadeuncampo
escalar,consideremoselsiguienteejemplo:Supongamosquetenemosunacurva
CenR2,parametrizadamedianteunafunciónα:[a,b]−→R2,yunafunción
escalarf:R2−→R,continua.Podemosrepresentargráficamentelafunciónf
sobrelacurvaCcomounmuroquelevantaunaalturaf(x,y)sobrecadapunto(x,y)
deC.SetrataahoradecalculareláreadeesemuroentrelacurvaCylagraficadef
sobrelacurva.
