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MATEMATICAS
                                                                             1º Bachillerato


                                   MaTEX
                                                                                       r=A+lu


                      Proyecto                                              A


                                                                                   d

                                                                                B
                                                                                s=B+mv


                Vectores en el plano                                            CIENCIAS




                                                                           MaTEX
                         Fco Javier Gonz´lez Ortiz
                                        a
                                               −2v




                                                                                   Vectores
                                        w
Directorio                                                       u
      Tabla de Contenido
      Inicio Art´
                ıculo

                                                                     v
                                                     −2u

c 2004 javier.gonzalez@unican.es                                             Doc Doc
D.L.:SA-1415-2004                                    ISBN: 84-688-8267-4
                                                                           Volver Cerrar
MATEMATICAS
                                                 1º Bachillerato

                 Tabla de Contenido             A
                                                           r=A+lu




1. Vectores en el plano                                d


   1.1. Vector fijo y libre                          B
                                                    s=B+mv

   1.2. Operaciones con vectores                    CIENCIAS

   1.3. Combinaci´n lineal de vectores. Base
                  o
2. Coordenada cartesianas                      MaTEX
   2.1. Base can´nica
                o
3. Producto escalar de vectores




                                                       Vectores
   3.1. Vectores ortogonales
   3.2. Producto escalar
   3.3. M´dulo de un vector
          o
        ´
   3.4. Angulo de dos vectores
   Soluciones a los Ejercicios
   Soluciones a los Tests




                                                 Doc Doc

                                               Volver Cerrar
MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
     o                                                                        3     1º Bachillerato
                                                                                              r=A+lu
1. Vectores en el plano                                                            A


1.1. Vector fijo y libre                                                                   d

                                                                                       B
Definici´n 1
       o                                                                               s=B+mv
                                       −−
                                        →                                              CIENCIAS
                  Llamamos vector fijo AB al segmento orientado que tiene su
                  origen en el punto A y su extremo en el punto B.
                                                                                  MaTEX
      M´dulo: Es la longitud del
         o




                                                                                          Vectores
      vector. Lo representamos por
       −
       −→                                      y1
      |AB|                                                  −→          B
                                                            AB
      Direcci´n: Es la direcci´n
              o                 o
      de la recta que lo contiene.             y0    A
      Si dos vectores son paralelos
      tienen la misma direcci´n.
                             o
                                                       x0            x1
      Sentido: Es el que va del
                                                     −→
      origen al extremo. Lo rep-                     AB(x1 − x0 , y1 − y0 )
      resentamos por la punta de
      la flecha. Una direcci´n tiene
                           o
      dos sentidos.

                                                                                    Doc Doc

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MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
     o                                                                              4     1º Bachillerato
                                                                                                    r=A+lu
Definici´n 2
       o                                                                                 A

                  Vectores equipolentes son los vectores que tinen : mismo
                                                                                                d
                  m´dulo, direcci´n y sentido
                   o             o
                                                                                             B
                                                                                             s=B+mv
                                                                                             CIENCIAS


Todos los vectores del gr´fico tienen la
                         a
misma direcci´n, sentido y magnitud,
                o
                                                                B           D
                                                                                        MaTEX
                                                            →
                                                            −
                                                            u           →
                                                                        −
                                                                        u           F
son todos ellos equipolentes. Tambi´n
                                    e
decimos que son representantes del




                                                                                                Vectores
                                                    A               C           →
                                                                                −
vector libre u.                                                                 u
                   − −→
                   − −
                    →         −→
                               −                →
                                                −
                                                u                       E
As´ los vectores AB,CD y EF son
   ı,
equipolentes y representantes del mis-
mo vector libre u.
En el paralelogramo ABDC, son                               C           u           D
                          −
                          −→ −→  −
equipolentes los vectores AB y CD, y
representantes de u.
                                                        v                       v

Tambi´n son equipolentes los vectores
     e
−→ −→ −
AC y BD, y representantes de v.                     A           u           B


                                                                                          Doc Doc

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MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
     o                                                                    5     1º Bachillerato
                                                                                          r=A+lu
1.2. Operaciones con vectores                                                  A


Definici´n 3
       o                                                                              d

                  El producto de un n´mero α por un vector u es otro vector
                                       u                                           B
                                                                                   s=B+mv
                  libre representado por α · u                                     CIENCIAS

El vector α · u mantiene la direcci´n pero
                                   o
puede cambiar el sentido o la magnitud del
vector u.                                            u
                                                           1
                                                           2u                 MaTEX
      Si α > 0, α·u tiene el mismo sentido que              2u




                                                                                      Vectores
      u , y si α < 0 tienen sentido contrario.
      Si α > 1, el vector α · u se dilata o alarga
      y si α < 1, el vector α · u se contrae o
      acorta.                                                       −u
      El caso que α = 0, el vector α · u corre-
      sponde al vector nulo (0, 0)


   En el gr´fico se muestran los vectores m´ltiplos de u, la mitad de u con
           a                              u
    1
α = , el doble de u con α = 2 y el opuesto de u con α = −1.
    2

                                                                                Doc Doc

                                                                              Volver Cerrar
MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
     o                                                                          6      1º Bachillerato
                                                                                                 r=A+lu
Definici´n 4 La suma de los vectores libres u y v es otro vector libre
       o                                                                              A


                                       u+v                                                   d

                                                                                          B
                                                                                          s=B+mv
que se obtiene gr´ficamente, tomando repre-
                   a                                                                      CIENCIAS

sentantes de u y v con el mismo origen, y
trazando la diagonal del paralelogramo que de-
terminan. Tambi´n se llama la resultante.
                 e
                                                        v
                                                                 u+v                 MaTEX




                                                                                             Vectores
                                                             u
Definici´n 5 La resta de los vectores libres u(u1 , u2 ) y v(v1 , v2 ) es otro vec-
          o
tor libre definido por
                             u − v = (u1 − v1 , u2 − v2 )

la interpretaci´n gr´fica de la resta se muestra
               o     a                                              u
en el dibujo. El vector resta u−v es la diagonal
del paralelogramo construido con u y −v.
                                                                 u−v
                                                        −v




                                                                                       Doc Doc

                                                                                     Volver Cerrar
MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
     o                                                                           7     1º Bachillerato
                                                                                                 r=A+lu
Ejemplo 1.1. Dados dos vectores no dependientes u y v hallar 3 · u + 2 v              A


Soluci´n:
      o                                                                                      d
                                          3u
                                                                                          B
                                                                                          s=B+mv
                                                                                          CIENCIAS
                                  u


                                      v
                                                    w                                MaTEX




                                                                                             Vectores
                                               2v

                                                              −
                                                              −→
Ejemplo 1.2. Expresar como combinaci´n lineal de los vectores AB = u y
                                    o
−→
−
BC = v, los siguientes vectores:
     −
     −→                        − →                  −→
                                                     −
  a) BA                     b) AC                c) DB
Soluci´n:
      o
     −
     −→    −−→                                              A   u    B
  a) BA = −AB = −u
     −→ − −→ −→−
  b) AC = AB + BC = u + v                                                v
     −→ −→ −→
      −    −    −
  c) DB = DC + CB = 2 u − v
                                                        D       2u           C         Doc Doc

                                                                                     Volver Cerrar
MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
     o                                                                     8         1º Bachillerato
                                                                                               r=A+lu
Ejemplo 1.3.                                                                        A

Considera el hex´gono regular de la figura. Expresar como combinaci´n lineal
                 a                                                o
                −
                −→       −→                                                                d
de los vectores AB = u y AC = v, los siguientes vectores:                               B
      −→
       −                       −→                        −→
                                                          −                             s=B+mv
  a) BC                    b) AO                     c) AD                              CIENCIAS
      −→
       −                       −→
                                −                        −→
  d ) DO                   e) CD                     f ) AE
Soluci´n:
      o
                                                                                   MaTEX
      −→
      −                                              C             B
  a) BC = −u + v




                                                                                           Vectores
      −→ −→−
  b) AO = BC = −u + v                                                  u
      −→
       −    −→
  c) AD = 2 AO = −2 u + 2 v                                    v
      −→
       −     −→
             −
  d ) DO = − BC = u − v                      D                                 A
      −→ −
       −    → −→ −
                                                             O
  e) CD = CA + AD = −v + (−2 u + 2 v)
      −→
       −
      CD = −2 u + v
      −→ −→ −→
           −      −
  f ) AE = AD + DE = (−2 u + 2 v) − u
      −→                                             E             F
      AE = −3 u + 2 v



                                                                                     Doc Doc

                                                                                   Volver Cerrar
MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
     o                                                                               9     1º Bachillerato
                                                                                                     r=A+lu
Ejercicio 1. Dados dos vectores no dependientes u y v hallar −2 · u − 2 · v               A

                                                              −→
                                                               −
Ejercicio 2. Expresar como combinaci´n lineal de los vectores BC = u y
                                      o                                                          d
−→
 −
CD = v, los siguientes vectores:                                                              B
                                                                                              s=B+mv
                                                                                              CIENCIAS
     −→
      −                                         B           u   C
  a) BD
     −→
  b) AC                                                                  v
                                                                                         MaTEX
     −
     −→
  c) AB




                                                                                                 Vectores
                                                A               2u               D
Ejercicio 3. Siendo M, N, P los puntos medios de los lados, expresar como
                                   −→
                                    −       −→
combinaci´n lineal de los vectores AM = u y AP = v, los siguientes vectores:
         o
     −→
      −                        −
                               −→                                    C
  a) M B                   b) AB
     −→
     −                         −→
                                −
  c) BC                    d ) AN                           P
     −→
      −                        −→
                                −                       v
  e) P M                   f ) MC
                                                                         N
                                                    A
                                                            u
                                                                M

                                                                             B             Doc Doc

                                                                                         Volver Cerrar
MATEMATICAS
Secci´n 1: Vectores en el plano
     o                                                                       10     1º Bachillerato
                                                                                              r=A+lu
1.3. Combinaci´n lineal de vectores. Base
              o                                                                    A


    En los ejercicios anteriores, b´sicamente hemos hecho dos cosas con los
                                   a                                                      d

vectores. Multiplicarlos por un n´mero y sumarlos (restarlos). Esas dos op-
                                   u                                                   B
                                                                                       s=B+mv
eraciones constituyen lo que se llama una combinaci´n lineal, bien de uno o
                                                    o                                  CIENCIAS
m´s vectores.
  a
Definici´n 6
         o
                Decimos que el vector v es combinaci´n lineal del vector u si
                                                    o
                                                                                  MaTEX
                existe un escalar α con
                                           v =α·u




                                                                                          Vectores
                  tambi´n decimos que u y v son dependientes o proporcionales.
                        e
                  Si u y v no son dependientes decimos que son independientes.
Definici´n 7
       o
                  Decimos que el vector w es combinaci´n lineal de los vectores
                                                       o
                  u y v si existen escalares α y β con
                                        w =α·u+β·v
Definici´n 8 (Base)
       o
             Decimos que los vectores u y v forman una base en el plano R2
             si son linealmente independientes. Esto significa que cualquier
             vector w ∈ R2 se obtiene por combinaci´n lineal de u y v.
                                                      o
                                                                                    Doc Doc

                                                                                  Volver Cerrar
MATEMATICAS
Secci´n 2: Coordenada cartesianas
     o                                                                             11      1º Bachillerato
                                                                                                     r=A+lu
2. Coordenada cartesianas                                                                 A


   Tomando en el plano un punto cualquiera O como origen de referencia                           d

vamos a introducir coordenadas para trabajar con los vectores.                                B
                                                                                              s=B+mv
                                                                                              CIENCIAS
2.1. Base can´nica
             o
   De entre todas las bases elegimos la base can´nica determinada por los
                                                       o
vectores i(1, 0) y j(0, 1). As´ cualquier vector u(u1 , u2 ) se pude expresar como
                              ı
                                                                                         MaTEX
                         (u1 , u2 ) = u1 · (1, 0) + u2 · (0, 1)




                                                                                                 Vectores
                                    u = u1 · i + u2 · j

Los n´meros u1 y u2 por este orden son
       u
las componentes del vector.                                            u = u1 i + u2 j
                                                     u2 j
La magnitud o m´dulo del vector
                         o
u(u1 , u2 ) por el teorema de Pit´goras cor-
                                 a
responde a                                                                     u2

              |u| =    u2 + u2                            j       u1
                        1    2
                                                          O   i             u1 i



                                                                                           Doc Doc

                                                                                         Volver Cerrar
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Secci´n 2: Coordenada cartesianas
     o                                                                    12     1º Bachillerato
                                                                                           r=A+lu
Ejemplo 2.1. Expresar los vectores del gr´fico en funci´n de la base can´nica
                                           a           o               o        A

i(1, 0) y j(0, 1) y determinar el m´dulo de de los mismos.
                                   o
                                                                                       d

Soluci´n:
       o                                                                            B
                                                                                    s=B+mv

                                                                  −
                                                                  →
                                                                  v
                                                                                    CIENCIAS
      v =2·i+4·j
                           √
      |v| =    22 + 42 =       20                                              MaTEX
      w = −3 · i + 2 · j                         −
                                                 →
                                                 w
                                √                      →
                                                       −
               (−3)2 + 22 =                            j




                                                                                       Vectores
      |v| =                         13

      n = −3 · i − ·j
                                                             →
                                                             −
                                        √
                                                             i
      |v| =    (−3)2 + (−1)2 =              10   −
                                                 →
                                                 n
      c=4·i−2·j                                                          →
                                                                         −
                                                                         c
                                    √
      |c| =    (4)2 + (−2)2 =           20




   A continuaci´n vamos a repasar los conceptos de dependencia, inde-
               o
pendencia, bases y combinaci´n lineal de vectores utilizando coorde-
                               o                                                 Doc Doc
nadas.
                                                                               Volver Cerrar
MATEMATICAS
Secci´n 2: Coordenada cartesianas
     o                                                               13     1º Bachillerato
                                                                                      r=A+lu
Ejemplo 2.2. Comprobar que el vector w(4, 8) es combinaci´n lineal del
                                                         o                 A

vector u(1, 2)
                                                                                  d

Soluci´n: Comprobamos si existe un escalar α con
      o                                                                        B
                                                                               s=B+mv

                                    (4, 8) = α · (1, 2)                        CIENCIAS


Igualando componentes se tiene
                             4 = 1α
                                                                          MaTEX
                                               =⇒ α = 4
                             8 = 2α




                                                                                  Vectores
Ejemplo 2.3. Dado el vector v(8, 12) hallar:
                                          1                   1
  a) 3 · v        b) −2 · v           c) · v              d) − · v
                                          4                   3
Soluci´n:
      o
  a) 3 · v = 3 · (8, 12) = (24, 36)
  b) −2 · v = −2 · (8, 12) = (−16, −24)
      1      1
  c) · v = · (8, 12) = (2, 3)
      4      4
        1       1               8
  d ) − · v = − · (8, 12) = (− , −4)
        3       3               3
                                                                            Doc Doc

                                                                          Volver Cerrar
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Secci´n 2: Coordenada cartesianas
     o                                                                 14     1º Bachillerato
                                                                                        r=A+lu
Test.                                                                        A


 1. Los vectores u(2, 2) y v(3, 3) son..?                                           d

    (a) Independientes                    (b) Dependientes                       B
                                                                                 s=B+mv

 2. Los vectores u(2, 2) y v(3, 4) son..?                                        CIENCIAS


    (a) Independientes                    (b) Dependientes
                                                                            MaTEX
Ejemplo 2.4. Dados los vectores u(2, 1) y v(−1, 3) hallar:
  a) 3 · u + 2 v
               ˜         b) −2 · u + 3 · v         c) −u + 2 · v




                                                                                    Vectores
Soluci´n:
      o
  a) 3 · u + v = 3 · (2, 1) + (−1, 3) = (5, 6)
  b) −2 · u + 3 · v = −2 · (2, 1) + 3 · (−1, 3) = (−7, 1)
  c) −u + 2 · v = −(2, 1) + 2 · (−1, 3) = (−4, 5)


Ejemplo 2.5. Comprobar que el vector w(4, 7) es combinaci´n lineal de los
                                                          o
vectores u(2, 1) y v(0, 5).
Soluci´n: Comprobamos si (4, 7) = α · (4, 7) + β · (0, 5)
      o
Igualando componentes se tiene
                     4 = 2α + 0β
                                         =⇒ α = 2      β=1
                     7 = 1α + 5β
                                                                              Doc Doc

                                                                            Volver Cerrar
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Secci´n 2: Coordenada cartesianas
     o                                                                      15      1º Bachillerato
                                                                                              r=A+lu
Definici´n 9 (Base)
       o                                                                           A

             Decimos que los vectores u(u1 , u2 ) y v(v1 , v2 ) forman una base           d
             en el plano R2 si son linealmente independientes. Esto signifi-            B
             ca que cualquier vector w ∈ R2 se obtiene por combinaci´n       o         s=B+mv
                                                                                       CIENCIAS
             lineal de u(u1 , u2 ) y v(v1 , v2 ).
Ejemplo 2.6. Comprobar que los vectores u(2, 1) y v(0, 5) forman una base.        MaTEX
Soluci´n: Los dos vectores u(2, 1) y v(0, 5) forman una base, pues son inde-
      o
pendientes ya que no hay ning´n escalar α tal que u(2, 1) = α · v(0, 5).
                              u
Observa que las componentes no son proporcionales:




                                                                                          Vectores
                                   0    5
                                     =
                                   2    1


Ejemplo 2.7. ¿Forman una base los vectores u(2, 1) y v(4, 2)?
Soluci´n: No forman una base, pues los vectores son dependientes, ya que:
      o
                                v(4, 2) = 2 · u(2, 1)
Otra forma es ver que las componentes son proporcionales:
                       2    1
                          = =⇒ son dependientes
                       4    2

                                                                                    Doc Doc

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MATEMATICAS
Secci´n 2: Coordenada cartesianas
     o                                                                      16     1º Bachillerato
                                                                                             r=A+lu
Test. Responde a las cuestiones:                                                  A


 1. Los vectores u(2, 2) y v(3, 3) forman una base en R2 .                               d

    (a) Verdadero                       (b) Falso                                     B
                                                                                      s=B+mv

 2. Los vectores u(1, 0) y v(2, 1) forman una base en R2 .                            CIENCIAS


    (a) Verdadero                       (b) Falso
                                                                                 MaTEX
Ejercicio 4. Expresar el vector w(5, 2) como combinaci´n lineal de los vec-
                                                        o
tores u(1, 2) y w(3, −2). Efectuar una representaci´n gr´fica.
                                                   o    a




                                                                                         Vectores
Ejercicio 5. Dados los vectores u(1, −2) y w(2, 3), hallar v con
                                    w =2·u+3·v

Ejercicio 6. Sean los vectores u(1, 1) y w(−1, 1). Comprobar que forman
una base.
Ejercicio 7. Sean los vectores u(2, a) y w(1, 1). Hallar los valores de a para
que formen una base.




                                                                                   Doc Doc

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MATEMATICAS
Secci´n 3: Producto escalar de vectores
     o                                                                    17     1º Bachillerato
                                                                                           r=A+lu
3. Producto escalar de vectores                                                 A


3.1. Vectores ortogonales                                                              d

                                                                                    B
                                                                                    s=B+mv
    Supongamos dos vectores u y v en (figu-                                          CIENCIAS
    ra). Diremos que son perpendiculares u
    ortogonales si se satisface el teorema de
    Pit´goras:
       a
                                                        v
                                                                               MaTEX
                                                                   u−v
                |u|2 + |v|2 = |u − v|2




                                                                                       Vectores
                                                            u

Aplicando la ecuaci´n, la condici´n se transforma en
                   o             o

             (u2 + u2 ) + (v1 + v2 ) = (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2
                1   2
                            2    2

Simplificando t´rminos comunes queda
              e
                                 (u1 v1 + u2 v2 ) = 0
As´ la igualdad es v´lida si el producto cruzado es cero. Diremos que dos
  ı                  a
vectores u y v son ortogonales u ⊥ v si
                            u ⊥ v ⇐⇒ u1 v1 + u2 v2 = 0                   (1)
                                                                                 Doc Doc

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MATEMATICAS
Secci´n 3: Producto escalar de vectores
     o                                                                         18     1º Bachillerato
                                                                                                r=A+lu
3.2. Producto escalar                                                                A


   Al producto anterior de las componentes de dos vectores le definimos como                 d

producto escalar de dos vectores                                                         B
                                                                                         s=B+mv
                                                                                         CIENCIAS
                        u(u1 , u2 ) · v(v1 , v2 ) = u1 v1 + u2 v2             (2)
Cuando el producto escalar de dos vectores es cero, los vectores son ortog-
onales o perpendiculares.
                                                                                    MaTEX
Para hallar un vector perpendicular a u(u1 , u2 ) basta cambiar el orden y el
signo de una de las componentes.




                                                                                            Vectores
                   u(u1 , u2 ) · v(−u2 , u1 ) = −u1 u2 + u2 u1 = 0
As´
  ı,
            (1, 5) ⊥ (−5, 1)       (2, 3) ⊥ (−3, 2)        (8, 7) ⊥ (−7, 8)

3.3. M´dulo de un vector
      o
   Observar que si multiplicamos escalarmente un vector u por si mismo se
obtiene el cuadrado de su m´dulo o longitud:
                            o
                                u · u = u2 + u2 = |u|2
                                         1    2                               (3)
o dicho de otra forma, el m´dulo de un vector es la ra´ positiva de su producto
                           o                          ız
escalar                                √
                                 |u| = u · u                                (4)
                                                                                      Doc Doc

                                                                                    Volver Cerrar
MATEMATICAS
Secci´n 3: Producto escalar de vectores
     o                                                                      19       1º Bachillerato
                                                                                               r=A+lu
     ´
3.4. Angulo de dos vectores                                                         A


                                                                                           d
    Del teorema del coseno en un tri´ngulo se tiene
                                    a
                                                                                        B
                                                             |v|                        s=B+mv
                                                                                        CIENCIAS
               2         2    2
        |u − v| = |u| + |v| − 2 |u| |v| cos α          (5)
    donde α es el ´ngulo determinado por u y v.
                  a                                            α         |u − v|
                                                                                   MaTEX
                     2
             |u − v| =(u − v) · (u − v)
                     =u · u − 2 u · v + v · v                      |u|




                                                                                           Vectores
                    =|u|2 − 2 u · v + |v|2
Por otra parte, igualando las ecuaciones anteriores se tiene
                                  u · v = |u| · |v| cos α                  (6)
que nos da una segunda definici´n del producto escalar. Por ello se obtiene
                                o
que el ´ngulo θ de dos vectores u y v viene dado por
       a
                                                 u·v
                                  cos(u, v) =                              (7)
                                                |u| · |v|




                                                                                     Doc Doc

                                                                                   Volver Cerrar
MATEMATICAS
Secci´n 3: Producto escalar de vectores
     o                                                                    20     1º Bachillerato
                                                                                           r=A+lu
Ejemplo 3.1. Determinar el ´ngulo de los vectores de R2 , u = (2, 1) y v =
                             a                                                  A

(0, 1).
                                                                                       d

Soluci´n: Tenemos:
        o                                                                           B
                                                                                    s=B+mv
                                 (2, 1) · (0, 1)       1                            CIENCIAS
                 cos(u, v) =                        =√ √
                              |(2, 1)| cot |(0, 1)|   6 1
y de esto bastar´ hallar
                ıa                                                             MaTEX
                                                   1
                              α = ∠(u, v) = arcos √
                                                    6




                                                                                       Vectores
Ejercicio 8. Dados los vectores u = (2, −3) y v = (6, −1) hallar:
 1. los m´dulos de u y v.
          o
 2. El producto escalar de u y v
 3. El coseno del ´ngulo que forman.
                  a
 4. Hallar m para que el vector w(m, 2) sea ortogonal a u
Ejercicio 9. Hallar todos los vectores w perpendiculares a u(u1 , u2 ) y con
el mismo m´dulo.
           o
Ejercicio 10. Dados los vectores u(−4, 6) y v(5, m). Hallar m para que:
  a) Sean dependientes
  b) Sean perpendiculares                                                        Doc Doc

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MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios                                    21      1º Bachillerato
                                                                                 r=A+lu
Soluciones a los Ejercicios                                           A


Ejercicio 1.                                                                 d

                                                                          B
                                                                          s=B+mv
                              w = −2 · u − 2 · v                          CIENCIAS

                              −2v
                                                                     MaTEX
                          w




                                                                             Vectores
                                               u


                                                   v
                                     −2u
                                                       Ejercicio 1




                                                                       Doc Doc

                                                                     Volver Cerrar
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Soluciones a los Ejercicios                        22      1º Bachillerato
                                                                     r=A+lu
Ejercicio 2.                                              A



     −→ −→ −→
      −    −    −             B   u   C                          d
  a) BD = BC + CD = u + v                                     B
     −→ −→ −→
          −    −                           v
                                                              s=B+mv

  b) AC = AD + DC = 2 u − v                                   CIENCIAS

     −
     −→ −  → −→−
  c) AB = AC + CB = u − v
                              A       2u       D
                                           Ejercicio 2
                                                         MaTEX




                                                                 Vectores
                                                           Doc Doc

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Soluciones a los Ejercicios                                   23      1º Bachillerato
                                                                                r=A+lu
Ejercicio 3.                                                         A



      − → −→
       −     −                                    C                         d
  a) M B = AM = u                                                        B
      −
      −→    −→
             −                                                           s=B+mv

  b) AB = 2 AM = 2 u                                                     CIENCIAS

      −→ −
      −     −
            → −   →                       P
  c) BC = BA + AC = −2 u + 2 v
      −→ −
       −    → 1 −→ −
                                      v                             MaTEX
  d ) AN = AC + CB = u + v                              N
                 2                A
      −→ −
       −     → −→ −
  e) P M = P A + AM = u − v




                                                                            Vectores
                                          u
      − → −→ −
       −     −     →
  f ) M C = M A + AC = −u + 2 v               M

                                                            B
                                                      Ejercicio 3




                                                                      Doc Doc

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Soluciones a los Ejercicios                                     24      1º Bachillerato
                                                                                  r=A+lu
Ejercicio 4. Buscamos escalares α y β con                              A


                                  w =α·u+β·v                                  d

                                                                           B
Igualando componentes se tiene                                             s=B+mv
                                                                           CIENCIAS
                       5 = 1α + 3β
                                       =⇒ α = 2   β=1
                       2 = 2α − 2β
                                                                      MaTEX
                                  2u




                                                                              Vectores
                                                  w
                              u




                                  v

                                                        Ejercicio 4
                                                                        Doc Doc

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MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios                                         25      1º Bachillerato
                                                                                      r=A+lu
Ejercicio 5. Igualando componentes se tiene                                A



                   2 = 2 (1) + 3 v1                     7                         d
                                       =⇒ v1 = 0 v2 =
                   3 = 2 (−2) + 3 v2                    3                      B
                                                                               s=B+mv
                                                                               CIENCIAS
                                                            Ejercicio 5

                                                                          MaTEX




                                                                                  Vectores
                                                                            Doc Doc

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MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios                                               26     1º Bachillerato
                                                                                           r=A+lu
Ejercicio 6. Basta comprobar que los vectores u(1, 1) y w(−1, 1) son lineal-    A

mente independientes. Como las componentes no son proporcionales:
                                                                                       d

                      1   1                                                         B
                        = =⇒ son independientes                                     s=B+mv
                     −1   1                                                         CIENCIAS

                                                                Ejercicio 6
                                                                               MaTEX




                                                                                       Vectores
                                                                                 Doc Doc

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Soluciones a los Ejercicios                                                 27     1º Bachillerato
                                                                                             r=A+lu
Ejercicio 7. Basta exigir que los vectores u(2, a) y w(1, 1) sean linealmente     A

independientes., es decir que las componentes no sean proporcionales. Como
                                                                                         d

                               2    a                                                 B
                                 = =⇒ a = 2                                           s=B+mv
                               1    1                                                 CIENCIAS

Si a = 2 son dependientes y no forman base. Para cualquier valor a = 2 son
independientes y forman una base.
                                                                   Ejercicio 7
                                                                                 MaTEX




                                                                                         Vectores
                                                                                   Doc Doc

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Soluciones a los Ejercicios                                                     28      1º Bachillerato
                                                                                                  r=A+lu
Ejercicio 8.                                                                           A
                       √
 1. |u| = 22 + (−3)2 = √ 13                                                                   d

     |v| = 62 + (−1)2 = 37                                                                 B
                                                                                           s=B+mv

  2. El producto escalar                                                                   CIENCIAS


                         u · v = (2, −3) (6, −1) = 2 . 6 + 3 . 1 = 15
  3. Como u . v = ||u|| ||v|| cosα, tenemos,
                                                                                      MaTEX
                                                  15
                                     cos α = √     √




                                                                                              Vectores
                                                 13 37
  4. w ortogonal a u si w . u = 0, luego,
                       (m, 2) . (2, −3) = 0 ⇒ 2m − 6 = 0 ⇒ m = 3
                                                                        Ejercicio 8




                                                                                        Doc Doc

                                                                                      Volver Cerrar
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Soluciones a los Ejercicios                                             29     1º Bachillerato
                                                                                         r=A+lu
Ejercicio 9. Los vectores w perpendiculares a u(u1 , u2 ) y con el mismo      A

m´dulo, son
 o
                                                                                     d
                       w(−u2 , u1 )  w(u2 , −u1 )                                 B
                                                                                  s=B+mv
                                                               Ejercicio 9        CIENCIAS




                                                                             MaTEX




                                                                                     Vectores
                                                                               Doc Doc

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Soluciones a los Ejercicios                                              30     1º Bachillerato
                                                                                          r=A+lu
Ejercicio 10.                                                                  A


  a) los vectores u(−4, 6) y v(5, m) son dependientes si                              d


                              −4   6          15                                   B
                                                                                   s=B+mv
                                 =   =⇒ m = −                                      CIENCIAS
                               5   m           2
   b) los vectores u(−4, 6) y v(5, m) son perpendiculares si
                                                                              MaTEX
                                                              10
                  (−4, 6) · (5, m) = 0 =⇒ −20 + 6m = 0 =⇒ m =
                                                               3




                                                                                      Vectores
                                                               Ejercicio 10




                                                                                Doc Doc

                                                                              Volver Cerrar
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Soluciones a los Tests                                                   31     1º Bachillerato
                                                                                          r=A+lu
Soluciones a los Tests                                                         A


Soluci´n al Test: En efecto los vectores u(2, 2) y v(3, 3) son linealmente
      o                                                                               d

dependientes pues                                                                  B
                                                                                   s=B+mv
                                    3
                          v(3, 3) = · u(2, 2)                                      CIENCIAS
                                    2
                                                             Final del Test
                                                                              MaTEX




                                                                                      Vectores
                                                                                Doc Doc

                                                                              Volver Cerrar
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                                    1º Bachillerato
                                              r=A+lu
                                   A

´
Indice alfab´tico
             e                            d

a
´ngulo de dos vectores, 19             B
                                       s=B+mv
                                       CIENCIAS
base, 10, 15

combinaci´n lineal , 10
         o                        MaTEX
norma, 18




                                          Vectores
producto escalar, 18

vectores
    por un n´mero, 5
             u
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    suma, 6
vectores ortogonales, 17




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Vectores en R2 - 2

  • 1. MATEMATICAS 1º Bachillerato MaTEX r=A+lu Proyecto A d B s=B+mv Vectores en el plano CIENCIAS MaTEX Fco Javier Gonz´lez Ortiz a −2v Vectores w Directorio u Tabla de Contenido Inicio Art´ ıculo v −2u c 2004 javier.gonzalez@unican.es Doc Doc D.L.:SA-1415-2004 ISBN: 84-688-8267-4 Volver Cerrar
  • 2. MATEMATICAS 1º Bachillerato Tabla de Contenido A r=A+lu 1. Vectores en el plano d 1.1. Vector fijo y libre B s=B+mv 1.2. Operaciones con vectores CIENCIAS 1.3. Combinaci´n lineal de vectores. Base o 2. Coordenada cartesianas MaTEX 2.1. Base can´nica o 3. Producto escalar de vectores Vectores 3.1. Vectores ortogonales 3.2. Producto escalar 3.3. M´dulo de un vector o ´ 3.4. Angulo de dos vectores Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests Doc Doc Volver Cerrar
  • 3. MATEMATICAS Secci´n 1: Vectores en el plano o 3 1º Bachillerato r=A+lu 1. Vectores en el plano A 1.1. Vector fijo y libre d B Definici´n 1 o s=B+mv −− → CIENCIAS Llamamos vector fijo AB al segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B. MaTEX M´dulo: Es la longitud del o Vectores vector. Lo representamos por − −→ y1 |AB| −→ B AB Direcci´n: Es la direcci´n o o de la recta que lo contiene. y0 A Si dos vectores son paralelos tienen la misma direcci´n. o x0 x1 Sentido: Es el que va del −→ origen al extremo. Lo rep- AB(x1 − x0 , y1 − y0 ) resentamos por la punta de la flecha. Una direcci´n tiene o dos sentidos. Doc Doc Volver Cerrar
  • 4. MATEMATICAS Secci´n 1: Vectores en el plano o 4 1º Bachillerato r=A+lu Definici´n 2 o A Vectores equipolentes son los vectores que tinen : mismo d m´dulo, direcci´n y sentido o o B s=B+mv CIENCIAS Todos los vectores del gr´fico tienen la a misma direcci´n, sentido y magnitud, o B D MaTEX → − u → − u F son todos ellos equipolentes. Tambi´n e decimos que son representantes del Vectores A C → − vector libre u. u − −→ − − → −→ − → − u E As´ los vectores AB,CD y EF son ı, equipolentes y representantes del mis- mo vector libre u. En el paralelogramo ABDC, son C u D − −→ −→ − equipolentes los vectores AB y CD, y representantes de u. v v Tambi´n son equipolentes los vectores e −→ −→ − AC y BD, y representantes de v. A u B Doc Doc Volver Cerrar
  • 5. MATEMATICAS Secci´n 1: Vectores en el plano o 5 1º Bachillerato r=A+lu 1.2. Operaciones con vectores A Definici´n 3 o d El producto de un n´mero α por un vector u es otro vector u B s=B+mv libre representado por α · u CIENCIAS El vector α · u mantiene la direcci´n pero o puede cambiar el sentido o la magnitud del vector u. u 1 2u MaTEX Si α > 0, α·u tiene el mismo sentido que 2u Vectores u , y si α < 0 tienen sentido contrario. Si α > 1, el vector α · u se dilata o alarga y si α < 1, el vector α · u se contrae o acorta. −u El caso que α = 0, el vector α · u corre- sponde al vector nulo (0, 0) En el gr´fico se muestran los vectores m´ltiplos de u, la mitad de u con a u 1 α = , el doble de u con α = 2 y el opuesto de u con α = −1. 2 Doc Doc Volver Cerrar
  • 6. MATEMATICAS Secci´n 1: Vectores en el plano o 6 1º Bachillerato r=A+lu Definici´n 4 La suma de los vectores libres u y v es otro vector libre o A u+v d B s=B+mv que se obtiene gr´ficamente, tomando repre- a CIENCIAS sentantes de u y v con el mismo origen, y trazando la diagonal del paralelogramo que de- terminan. Tambi´n se llama la resultante. e v u+v MaTEX Vectores u Definici´n 5 La resta de los vectores libres u(u1 , u2 ) y v(v1 , v2 ) es otro vec- o tor libre definido por u − v = (u1 − v1 , u2 − v2 ) la interpretaci´n gr´fica de la resta se muestra o a u en el dibujo. El vector resta u−v es la diagonal del paralelogramo construido con u y −v. u−v −v Doc Doc Volver Cerrar
  • 7. MATEMATICAS Secci´n 1: Vectores en el plano o 7 1º Bachillerato r=A+lu Ejemplo 1.1. Dados dos vectores no dependientes u y v hallar 3 · u + 2 v A Soluci´n: o d 3u B s=B+mv CIENCIAS u v w MaTEX Vectores 2v − −→ Ejemplo 1.2. Expresar como combinaci´n lineal de los vectores AB = u y o −→ − BC = v, los siguientes vectores: − −→ − → −→ − a) BA b) AC c) DB Soluci´n: o − −→ −−→ A u B a) BA = −AB = −u −→ − −→ −→− b) AC = AB + BC = u + v v −→ −→ −→ − − − c) DB = DC + CB = 2 u − v D 2u C Doc Doc Volver Cerrar
  • 8. MATEMATICAS Secci´n 1: Vectores en el plano o 8 1º Bachillerato r=A+lu Ejemplo 1.3. A Considera el hex´gono regular de la figura. Expresar como combinaci´n lineal a o − −→ −→ d de los vectores AB = u y AC = v, los siguientes vectores: B −→ − −→ −→ − s=B+mv a) BC b) AO c) AD CIENCIAS −→ − −→ − −→ d ) DO e) CD f ) AE Soluci´n: o MaTEX −→ − C B a) BC = −u + v Vectores −→ −→− b) AO = BC = −u + v u −→ − −→ c) AD = 2 AO = −2 u + 2 v v −→ − −→ − d ) DO = − BC = u − v D A −→ − − → −→ − O e) CD = CA + AD = −v + (−2 u + 2 v) −→ − CD = −2 u + v −→ −→ −→ − − f ) AE = AD + DE = (−2 u + 2 v) − u −→ E F AE = −3 u + 2 v Doc Doc Volver Cerrar
  • 9. MATEMATICAS Secci´n 1: Vectores en el plano o 9 1º Bachillerato r=A+lu Ejercicio 1. Dados dos vectores no dependientes u y v hallar −2 · u − 2 · v A −→ − Ejercicio 2. Expresar como combinaci´n lineal de los vectores BC = u y o d −→ − CD = v, los siguientes vectores: B s=B+mv CIENCIAS −→ − B u C a) BD −→ b) AC v MaTEX − −→ c) AB Vectores A 2u D Ejercicio 3. Siendo M, N, P los puntos medios de los lados, expresar como −→ − −→ combinaci´n lineal de los vectores AM = u y AP = v, los siguientes vectores: o −→ − − −→ C a) M B b) AB −→ − −→ − c) BC d ) AN P −→ − −→ − v e) P M f ) MC N A u M B Doc Doc Volver Cerrar
  • 10. MATEMATICAS Secci´n 1: Vectores en el plano o 10 1º Bachillerato r=A+lu 1.3. Combinaci´n lineal de vectores. Base o A En los ejercicios anteriores, b´sicamente hemos hecho dos cosas con los a d vectores. Multiplicarlos por un n´mero y sumarlos (restarlos). Esas dos op- u B s=B+mv eraciones constituyen lo que se llama una combinaci´n lineal, bien de uno o o CIENCIAS m´s vectores. a Definici´n 6 o Decimos que el vector v es combinaci´n lineal del vector u si o MaTEX existe un escalar α con v =α·u Vectores tambi´n decimos que u y v son dependientes o proporcionales. e Si u y v no son dependientes decimos que son independientes. Definici´n 7 o Decimos que el vector w es combinaci´n lineal de los vectores o u y v si existen escalares α y β con w =α·u+β·v Definici´n 8 (Base) o Decimos que los vectores u y v forman una base en el plano R2 si son linealmente independientes. Esto significa que cualquier vector w ∈ R2 se obtiene por combinaci´n lineal de u y v. o Doc Doc Volver Cerrar
  • 11. MATEMATICAS Secci´n 2: Coordenada cartesianas o 11 1º Bachillerato r=A+lu 2. Coordenada cartesianas A Tomando en el plano un punto cualquiera O como origen de referencia d vamos a introducir coordenadas para trabajar con los vectores. B s=B+mv CIENCIAS 2.1. Base can´nica o De entre todas las bases elegimos la base can´nica determinada por los o vectores i(1, 0) y j(0, 1). As´ cualquier vector u(u1 , u2 ) se pude expresar como ı MaTEX (u1 , u2 ) = u1 · (1, 0) + u2 · (0, 1) Vectores u = u1 · i + u2 · j Los n´meros u1 y u2 por este orden son u las componentes del vector. u = u1 i + u2 j u2 j La magnitud o m´dulo del vector o u(u1 , u2 ) por el teorema de Pit´goras cor- a responde a u2 |u| = u2 + u2 j u1 1 2 O i u1 i Doc Doc Volver Cerrar
  • 12. MATEMATICAS Secci´n 2: Coordenada cartesianas o 12 1º Bachillerato r=A+lu Ejemplo 2.1. Expresar los vectores del gr´fico en funci´n de la base can´nica a o o A i(1, 0) y j(0, 1) y determinar el m´dulo de de los mismos. o d Soluci´n: o B s=B+mv − → v CIENCIAS v =2·i+4·j √ |v| = 22 + 42 = 20 MaTEX w = −3 · i + 2 · j − → w √ → − (−3)2 + 22 = j Vectores |v| = 13 n = −3 · i − ·j → − √ i |v| = (−3)2 + (−1)2 = 10 − → n c=4·i−2·j → − c √ |c| = (4)2 + (−2)2 = 20 A continuaci´n vamos a repasar los conceptos de dependencia, inde- o pendencia, bases y combinaci´n lineal de vectores utilizando coorde- o Doc Doc nadas. Volver Cerrar
  • 13. MATEMATICAS Secci´n 2: Coordenada cartesianas o 13 1º Bachillerato r=A+lu Ejemplo 2.2. Comprobar que el vector w(4, 8) es combinaci´n lineal del o A vector u(1, 2) d Soluci´n: Comprobamos si existe un escalar α con o B s=B+mv (4, 8) = α · (1, 2) CIENCIAS Igualando componentes se tiene 4 = 1α MaTEX =⇒ α = 4 8 = 2α Vectores Ejemplo 2.3. Dado el vector v(8, 12) hallar: 1 1 a) 3 · v b) −2 · v c) · v d) − · v 4 3 Soluci´n: o a) 3 · v = 3 · (8, 12) = (24, 36) b) −2 · v = −2 · (8, 12) = (−16, −24) 1 1 c) · v = · (8, 12) = (2, 3) 4 4 1 1 8 d ) − · v = − · (8, 12) = (− , −4) 3 3 3 Doc Doc Volver Cerrar
  • 14. MATEMATICAS Secci´n 2: Coordenada cartesianas o 14 1º Bachillerato r=A+lu Test. A 1. Los vectores u(2, 2) y v(3, 3) son..? d (a) Independientes (b) Dependientes B s=B+mv 2. Los vectores u(2, 2) y v(3, 4) son..? CIENCIAS (a) Independientes (b) Dependientes MaTEX Ejemplo 2.4. Dados los vectores u(2, 1) y v(−1, 3) hallar: a) 3 · u + 2 v ˜ b) −2 · u + 3 · v c) −u + 2 · v Vectores Soluci´n: o a) 3 · u + v = 3 · (2, 1) + (−1, 3) = (5, 6) b) −2 · u + 3 · v = −2 · (2, 1) + 3 · (−1, 3) = (−7, 1) c) −u + 2 · v = −(2, 1) + 2 · (−1, 3) = (−4, 5) Ejemplo 2.5. Comprobar que el vector w(4, 7) es combinaci´n lineal de los o vectores u(2, 1) y v(0, 5). Soluci´n: Comprobamos si (4, 7) = α · (4, 7) + β · (0, 5) o Igualando componentes se tiene 4 = 2α + 0β =⇒ α = 2 β=1 7 = 1α + 5β Doc Doc Volver Cerrar
  • 15. MATEMATICAS Secci´n 2: Coordenada cartesianas o 15 1º Bachillerato r=A+lu Definici´n 9 (Base) o A Decimos que los vectores u(u1 , u2 ) y v(v1 , v2 ) forman una base d en el plano R2 si son linealmente independientes. Esto signifi- B ca que cualquier vector w ∈ R2 se obtiene por combinaci´n o s=B+mv CIENCIAS lineal de u(u1 , u2 ) y v(v1 , v2 ). Ejemplo 2.6. Comprobar que los vectores u(2, 1) y v(0, 5) forman una base. MaTEX Soluci´n: Los dos vectores u(2, 1) y v(0, 5) forman una base, pues son inde- o pendientes ya que no hay ning´n escalar α tal que u(2, 1) = α · v(0, 5). u Observa que las componentes no son proporcionales: Vectores 0 5 = 2 1 Ejemplo 2.7. ¿Forman una base los vectores u(2, 1) y v(4, 2)? Soluci´n: No forman una base, pues los vectores son dependientes, ya que: o v(4, 2) = 2 · u(2, 1) Otra forma es ver que las componentes son proporcionales: 2 1 = =⇒ son dependientes 4 2 Doc Doc Volver Cerrar
  • 16. MATEMATICAS Secci´n 2: Coordenada cartesianas o 16 1º Bachillerato r=A+lu Test. Responde a las cuestiones: A 1. Los vectores u(2, 2) y v(3, 3) forman una base en R2 . d (a) Verdadero (b) Falso B s=B+mv 2. Los vectores u(1, 0) y v(2, 1) forman una base en R2 . CIENCIAS (a) Verdadero (b) Falso MaTEX Ejercicio 4. Expresar el vector w(5, 2) como combinaci´n lineal de los vec- o tores u(1, 2) y w(3, −2). Efectuar una representaci´n gr´fica. o a Vectores Ejercicio 5. Dados los vectores u(1, −2) y w(2, 3), hallar v con w =2·u+3·v Ejercicio 6. Sean los vectores u(1, 1) y w(−1, 1). Comprobar que forman una base. Ejercicio 7. Sean los vectores u(2, a) y w(1, 1). Hallar los valores de a para que formen una base. Doc Doc Volver Cerrar
  • 17. MATEMATICAS Secci´n 3: Producto escalar de vectores o 17 1º Bachillerato r=A+lu 3. Producto escalar de vectores A 3.1. Vectores ortogonales d B s=B+mv Supongamos dos vectores u y v en (figu- CIENCIAS ra). Diremos que son perpendiculares u ortogonales si se satisface el teorema de Pit´goras: a v MaTEX u−v |u|2 + |v|2 = |u − v|2 Vectores u Aplicando la ecuaci´n, la condici´n se transforma en o o (u2 + u2 ) + (v1 + v2 ) = (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 1 2 2 2 Simplificando t´rminos comunes queda e (u1 v1 + u2 v2 ) = 0 As´ la igualdad es v´lida si el producto cruzado es cero. Diremos que dos ı a vectores u y v son ortogonales u ⊥ v si u ⊥ v ⇐⇒ u1 v1 + u2 v2 = 0 (1) Doc Doc Volver Cerrar
  • 18. MATEMATICAS Secci´n 3: Producto escalar de vectores o 18 1º Bachillerato r=A+lu 3.2. Producto escalar A Al producto anterior de las componentes de dos vectores le definimos como d producto escalar de dos vectores B s=B+mv CIENCIAS u(u1 , u2 ) · v(v1 , v2 ) = u1 v1 + u2 v2 (2) Cuando el producto escalar de dos vectores es cero, los vectores son ortog- onales o perpendiculares. MaTEX Para hallar un vector perpendicular a u(u1 , u2 ) basta cambiar el orden y el signo de una de las componentes. Vectores u(u1 , u2 ) · v(−u2 , u1 ) = −u1 u2 + u2 u1 = 0 As´ ı, (1, 5) ⊥ (−5, 1) (2, 3) ⊥ (−3, 2) (8, 7) ⊥ (−7, 8) 3.3. M´dulo de un vector o Observar que si multiplicamos escalarmente un vector u por si mismo se obtiene el cuadrado de su m´dulo o longitud: o u · u = u2 + u2 = |u|2 1 2 (3) o dicho de otra forma, el m´dulo de un vector es la ra´ positiva de su producto o ız escalar √ |u| = u · u (4) Doc Doc Volver Cerrar
  • 19. MATEMATICAS Secci´n 3: Producto escalar de vectores o 19 1º Bachillerato r=A+lu ´ 3.4. Angulo de dos vectores A d Del teorema del coseno en un tri´ngulo se tiene a B |v| s=B+mv CIENCIAS 2 2 2 |u − v| = |u| + |v| − 2 |u| |v| cos α (5) donde α es el ´ngulo determinado por u y v. a α |u − v| MaTEX 2 |u − v| =(u − v) · (u − v) =u · u − 2 u · v + v · v |u| Vectores =|u|2 − 2 u · v + |v|2 Por otra parte, igualando las ecuaciones anteriores se tiene u · v = |u| · |v| cos α (6) que nos da una segunda definici´n del producto escalar. Por ello se obtiene o que el ´ngulo θ de dos vectores u y v viene dado por a u·v cos(u, v) = (7) |u| · |v| Doc Doc Volver Cerrar
  • 20. MATEMATICAS Secci´n 3: Producto escalar de vectores o 20 1º Bachillerato r=A+lu Ejemplo 3.1. Determinar el ´ngulo de los vectores de R2 , u = (2, 1) y v = a A (0, 1). d Soluci´n: Tenemos: o B s=B+mv (2, 1) · (0, 1) 1 CIENCIAS cos(u, v) = =√ √ |(2, 1)| cot |(0, 1)| 6 1 y de esto bastar´ hallar ıa MaTEX 1 α = ∠(u, v) = arcos √ 6 Vectores Ejercicio 8. Dados los vectores u = (2, −3) y v = (6, −1) hallar: 1. los m´dulos de u y v. o 2. El producto escalar de u y v 3. El coseno del ´ngulo que forman. a 4. Hallar m para que el vector w(m, 2) sea ortogonal a u Ejercicio 9. Hallar todos los vectores w perpendiculares a u(u1 , u2 ) y con el mismo m´dulo. o Ejercicio 10. Dados los vectores u(−4, 6) y v(5, m). Hallar m para que: a) Sean dependientes b) Sean perpendiculares Doc Doc Volver Cerrar
  • 21. MATEMATICAS Soluciones a los Ejercicios 21 1º Bachillerato r=A+lu Soluciones a los Ejercicios A Ejercicio 1. d B s=B+mv w = −2 · u − 2 · v CIENCIAS −2v MaTEX w Vectores u v −2u Ejercicio 1 Doc Doc Volver Cerrar
  • 22. MATEMATICAS Soluciones a los Ejercicios 22 1º Bachillerato r=A+lu Ejercicio 2. A −→ −→ −→ − − − B u C d a) BD = BC + CD = u + v B −→ −→ −→ − − v s=B+mv b) AC = AD + DC = 2 u − v CIENCIAS − −→ − → −→− c) AB = AC + CB = u − v A 2u D Ejercicio 2 MaTEX Vectores Doc Doc Volver Cerrar
  • 23. MATEMATICAS Soluciones a los Ejercicios 23 1º Bachillerato r=A+lu Ejercicio 3. A − → −→ − − C d a) M B = AM = u B − −→ −→ − s=B+mv b) AB = 2 AM = 2 u CIENCIAS −→ − − − → − → P c) BC = BA + AC = −2 u + 2 v −→ − − → 1 −→ − v MaTEX d ) AN = AC + CB = u + v N 2 A −→ − − → −→ − e) P M = P A + AM = u − v Vectores u − → −→ − − − → f ) M C = M A + AC = −u + 2 v M B Ejercicio 3 Doc Doc Volver Cerrar
  • 24. MATEMATICAS Soluciones a los Ejercicios 24 1º Bachillerato r=A+lu Ejercicio 4. Buscamos escalares α y β con A w =α·u+β·v d B Igualando componentes se tiene s=B+mv CIENCIAS 5 = 1α + 3β =⇒ α = 2 β=1 2 = 2α − 2β MaTEX 2u Vectores w u v Ejercicio 4 Doc Doc Volver Cerrar
  • 25. MATEMATICAS Soluciones a los Ejercicios 25 1º Bachillerato r=A+lu Ejercicio 5. Igualando componentes se tiene A 2 = 2 (1) + 3 v1 7 d =⇒ v1 = 0 v2 = 3 = 2 (−2) + 3 v2 3 B s=B+mv CIENCIAS Ejercicio 5 MaTEX Vectores Doc Doc Volver Cerrar
  • 26. MATEMATICAS Soluciones a los Ejercicios 26 1º Bachillerato r=A+lu Ejercicio 6. Basta comprobar que los vectores u(1, 1) y w(−1, 1) son lineal- A mente independientes. Como las componentes no son proporcionales: d 1 1 B = =⇒ son independientes s=B+mv −1 1 CIENCIAS Ejercicio 6 MaTEX Vectores Doc Doc Volver Cerrar
  • 27. MATEMATICAS Soluciones a los Ejercicios 27 1º Bachillerato r=A+lu Ejercicio 7. Basta exigir que los vectores u(2, a) y w(1, 1) sean linealmente A independientes., es decir que las componentes no sean proporcionales. Como d 2 a B = =⇒ a = 2 s=B+mv 1 1 CIENCIAS Si a = 2 son dependientes y no forman base. Para cualquier valor a = 2 son independientes y forman una base. Ejercicio 7 MaTEX Vectores Doc Doc Volver Cerrar
  • 28. MATEMATICAS Soluciones a los Ejercicios 28 1º Bachillerato r=A+lu Ejercicio 8. A √ 1. |u| = 22 + (−3)2 = √ 13 d |v| = 62 + (−1)2 = 37 B s=B+mv 2. El producto escalar CIENCIAS u · v = (2, −3) (6, −1) = 2 . 6 + 3 . 1 = 15 3. Como u . v = ||u|| ||v|| cosα, tenemos, MaTEX 15 cos α = √ √ Vectores 13 37 4. w ortogonal a u si w . u = 0, luego, (m, 2) . (2, −3) = 0 ⇒ 2m − 6 = 0 ⇒ m = 3 Ejercicio 8 Doc Doc Volver Cerrar
  • 29. MATEMATICAS Soluciones a los Ejercicios 29 1º Bachillerato r=A+lu Ejercicio 9. Los vectores w perpendiculares a u(u1 , u2 ) y con el mismo A m´dulo, son o d w(−u2 , u1 ) w(u2 , −u1 ) B s=B+mv Ejercicio 9 CIENCIAS MaTEX Vectores Doc Doc Volver Cerrar
  • 30. MATEMATICAS Soluciones a los Ejercicios 30 1º Bachillerato r=A+lu Ejercicio 10. A a) los vectores u(−4, 6) y v(5, m) son dependientes si d −4 6 15 B s=B+mv = =⇒ m = − CIENCIAS 5 m 2 b) los vectores u(−4, 6) y v(5, m) son perpendiculares si MaTEX 10 (−4, 6) · (5, m) = 0 =⇒ −20 + 6m = 0 =⇒ m = 3 Vectores Ejercicio 10 Doc Doc Volver Cerrar
  • 31. MATEMATICAS Soluciones a los Tests 31 1º Bachillerato r=A+lu Soluciones a los Tests A Soluci´n al Test: En efecto los vectores u(2, 2) y v(3, 3) son linealmente o d dependientes pues B s=B+mv 3 v(3, 3) = · u(2, 2) CIENCIAS 2 Final del Test MaTEX Vectores Doc Doc Volver Cerrar
  • 32. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A ´ Indice alfab´tico e d a ´ngulo de dos vectores, 19 B s=B+mv CIENCIAS base, 10, 15 combinaci´n lineal , 10 o MaTEX norma, 18 Vectores producto escalar, 18 vectores por un n´mero, 5 u resta, 6 suma, 6 vectores ortogonales, 17 Doc Doc Volver Cerrar 32