Tipe final

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Tipe final

  1. 1. Doublet Pierre Renard Pierre PCSI 1 TIPE (Reconstitution de trébuchet médiéval au château des Baux-de-Provence.)TIPE trébuchet Page 1
  2. 2. PLAN  Problématique : Comment prévoir le comportement d’une arme de jet à contrepoids de type trébuchet ?Introduction……………………………………………………………………………………………………………………………………p.3. I. Etude théorique d’un modèle physique de trébuchet.………………………………………………..p.4. 1. Etablissement d’un système d’équation. 2. Résolution avec l’outil Maple. 3. Etude de la phase de vol. II. Modélisation sous Solidworks……………………………………………………………………………………p.12. 1. Conception de la maquette numérique. 2. Exploitation avec Meca3D.Conclusion……………………………………………………………………………………………………………………………………p.15.Bibliographie……………………………………………………………………………………..…………………………………………p.16.TIPE trébuchet Page 2
  3. 3. INTRODUCTION Les ingénieurs du monde entier s’efforcent depuis des siècles à mettre leurs compétences auservice du génie militaire dans le but de concevoir des mécanismes toujours plus élaborés destinés à faire la guerre. Les Romains furent parmi les premiers avec leurs onagres (par analogie avec l’âne sauvage, equus onager, qui rue lance des pierres loin derrière lui en cas de danger) et autres balistes, à présenter de telles machines au combat. Toutefois, la période la plus prolifique en laTrébuchet sarrasin, issu du Traité d’armurerie matière reste sans nul doute le Moyen-Age, qui a été le composé pour Saladin, de l’ingénieur arabe Murdâ al-Tarsûsî. théâtre de la mise au point d’un nombre conséquent de machinesde guerre, comme la pierrière, la bricole, le mangonneau, le couillard ouencore le trébuchet. Le trébuchet était une arme terrifiante ; si terrifiante qu’elle étaitcapable de provoquer la reddition immédiate du plus puissant desseigneurs avant même d’avoir été utilisée si celui-ci en apercevait lasilhouette aux alentours de son château. Elle causait en effet des dégâtsconsidérables et aucune muraille n’était capable de réchapper à ses boulets.Son nom vient de l’occitan « trebucca », qui signifie « qui apporte des Un couillard, dont la simpleennuis ». Il ne faut pas moins d’une centaine de servants, artisans compris, vue suffit à en comprendre l’étymologie selonpour la manœuvrer, au rythme de un à deux tirs par heure, pour une portée Napoléon III.d’environ 200 mètres avec des boulets d’une centaine de kilogrammes etdes contrepoids d’environ 6 tonnes. C’est sur le trébuchet que portera notre étude, et nous nous demanderons dans quelle mesure ilest possible d’améliorer son comportement. Nous nous attacherons tout d’abord à établir les différentes équations qui régissent sonmouvement, puis nous les résoudrons avec Maple pour étudier la phase de vol du projectile, et par lasuite nous modéliserons numériquement un trébuchet sous Solidworks.TIPE trébuchet Page 3
  4. 4. I. Etude théorique d’un modèle physique de trébuchet. 1. Etablissement d’un système d’équations.Découpage de l’évolution en deux phases : Phase 1 : début du lancer → le boulet se désolidarise de la fronde . Phase 2 : le boulet se désolidarise de la fronde → le boulet entre en contact avec le sol .Hypothèses simplificatrices : Le contrepoids { } est considéré fixe par rapport à la verge { }. Le CDG de l’ensemble { } se situe en car . La verge est un solide supposé indéformable. Le fil l est supposé idéal. Toutes les liaisons sont supposées parfaites. Le boulet { } est supposé sphérique, à répartition de masse sphérique. Le champ de pesanteur est uniforme.TIPE trébuchet Page 4
  5. 5.  Conditions initiales pour la phase 1: ̇ ̈ ̇ ̈ ̇ Et on sait que : Théorème du moment cinétique en O’ sur le système { }: Seul le poids ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ s’applique sur le système, on néglige la tension ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ du boulet en A devant ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗On a :⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗et ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗d’où, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗de plus, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗Finalement, ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D’après le TMC, ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗et ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗d’où ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ )Et : ⃗⃗⃗⃗ ( ) ̇ ( )Ou encore : ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )Finalement, ( ) (ED1)TIPE trébuchet Page 5
  6. 6.  PFD sur B pendant la phase 1 : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗On prend un modèle de Van Der Waals pour la réaction du sol :⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (avec ,déterminé)De plus, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ telle que ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ (avec le coefficientde frottement dynamique qui vaut ici 0,33 si on suppose que le boulet repose dans une fronde encuir guidée sur une travée de chêne).Par conséquent, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ seront très rapidement quasiment nuls dès que la valeur deaugmentera légèrement. ⃗⃗⃗⃗Et ⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )(avec ⃗ vecteur unitaire de B à A).Or, on a : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗et on a vu que : ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗D’où, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗De plus, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗D’où ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗Finalement, etTIPE trébuchet Page 6
  7. 7. Or, doncet : ⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )On ne prendra en compte les frottements de l’air sur le boulet ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ que lors de la deuxième phase.On a donc :en projection sur : ( )d’où : ( ) ( ) (ED2)Et en projection sur : ( )D’où : ( ) ( ) (ED3)(On ne réalise pas la projection sur car le problème est plan). Condition sur la longueur de la corde :On a: ( ) ( )On a donc : ( ) ( ) (ED4)On obtient le système suivant :( ) (ED1)( ) ( ( ) ) (ED2)( ) ( ( )) (ED3)( ) ( ) (ED4) 2. Resolution avec l’outil Maple.On obtient les courbes suivantes:(avec )TIPE trébuchet Page 7
  8. 8. Le temps de rupture est déterminé à partir des résultats de Maple : il est choisi en faisantun compromis entre le moment où la tension T est maximale, ce qui signifie que la corde cède devantla force développée par le boulet, et le moment où la vitesse selon ⃗⃗⃗⃗ du boulet est maximale pourassurer une portée et une vitesse d’impact sur l’objectif les plus grandes possibles. Ici on aTIPE trébuchet Page 8
  9. 9. Trajectoire du boulet pendant la phase 1. 3. Etude de la phase de vol.Conditions initiales pour la phase 2 (obtenues avec Maple par optimisation) :TIPE trébuchet Page 9
  10. 10.  PFD sur B pendant la phase 2 :⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗On prend un modèle de Stokes pour les frottements de l’air sur le boulet :⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗avec la viscosité dynamique pour l’air à et le rayon du boulet enmètres.On a donc :en projection sur : ( )Et en projection sur : ( )(On ne réalise pas la projection sur car le problème est plan).On poseDonc ( ) (ED5)et ( ) (ED6)On obtient :et Détermination de et :à , car est pris comme nouvelle origine des temps.etAinsi, on obtient :Par conséquent, en intégrant :TIPE trébuchet Page 10
  11. 11. et Détermination de :A , le boulet touche le sol, on a donc :On trace à l’aide de Maple : Finalement,Le point d’impact du boulet a donc pour abscisse : Equation de la trajectoire :A partir de l’équation de , on a : ( )On injecte cette expression de t dans l’expression de : ( ) ( ) ( )TIPE trébuchet Page 11
  12. 12. II. Modélisation sous Solidworks. 1. Conception de la maquette numérique. Le point de départ pour la réalisation du modèle numérique a été l’image pourvue d’uneéchelle ci-dessous : (Source : www.wikipedia.org) L’assemblage Solidworks a donc été réalisé à cette échelle, ce qui permettra d’obtenir desrésultats relativement proches de la réalité lors de la simulation. Il comporte cinq pièces dont deux sous- assemblages que constituent le bâti en chêne formé des deux poteaux de 7 mètres de haut et du socle, et la fronde qui joint la corde longue de 5 mètres au boulet de rayon 20 centimètres. Les matériaux de la corde et de la liaison ont été choisi de telle sorte que leur masse soit négligeable devant celle du contrepoids et du boulet, et les matériaux du contrepoids et du boulet ont été configurés pour que leur masse volumique soitconforme aux exigences de la réalité (en conséquence ici, le contrepoids fait environ 6 tonnes et leboulet environ 100 kilogrammes). La flèche quant à elle est longue d’une dizaine de mètres et touten chêne.TIPE trébuchet Page 12
  13. 13. Sur l’image de gauche, on remarque les différents composants et les contraintes qui y ont été apportées, principalement des coaxialités et des coïncidences. Lors de la conception des pièces, beaucoup de symétries ont été employées pour une modification plus aisée des paramètres géométriques. 2. Exploitation avec Meca3D. Le principal obstacle dans cette simulation a été le fait que l’extension de Solidworks utilisée pour mener l’étude, Meca3D, n’était pas assez puissante pour prendre en compte le détachement du boulet, ce qui a contraint l’encastrement de celui-ci en bout de la corde. (De plus, Solidworks ne prend pas en compte les énergies potentielles de déformations qui siègent au sein de la verge). L’ensemble met en jeu quatre liaisons pivots qui lui accordent 4degrés de liberté, et a été soumis à une accélération de pesanteur de . Lors du choix des paramètres decalculs pour l’étude dynamique, les 4 pivotsont été laissés libres et leur vitesse initialerendue nulle ce qui signifie que seul le poidssera à l’origine du mouvement, comme lemontre l’onglet Meca3D. Une fois l’étude effectuée, l’accèsaux normes des composantes verticales ethorizontales des vitesses et desaccélérations de n’importe quel point del’assemblage a été rendue possible mais l’on se restreindra bien entendu au boulet seul, ce quicorrespond à l’assemblage « fronde », dont les courbes sont visibles ci-après.TIPE trébuchet Page 13
  14. 14. TIPE trébuchet Page 14
  15. 15. Conclusion Par une étude théorique, il est donc possible de déterminer à l’avance nombre de paramètresrégissant le fonctionnement du trébuchet, et d’optimiser ceux-ci en vue d’obtenir les meilleuresperformances possibles lors de l’utilisation. De plus, le recours à des outils informatiques permet dechoisir les matériaux les plus adéquats et de conforter les résultats obtenus précédement à denouveaux issus de simulation. Cependant, les conditions extérieures comme le vent ou l’humidité peuvent influer dans leprocessus sans qu’il soit possible de les controller ou de prevoir leurs effets, et les simplificationsréalisées à l’occasion de l’établissement du modèle physique proposé peuvent également altérer lesrésultats vis-à-vis de la réalité.TIPE trébuchet Page 15
  16. 16. Bibliographie  L’art de la guerre au Moyen Age, Renaud Beffeyte, préface de Philippe Contamine, éditions Histoire Ouest France, 2005.  Mécanique Appliquée, (résistance des matériaux, mécanique des fluides, thermodynamique), P. Agati, N. Mattera, éditions Dunod, 1990.  www.wikipedia.org  www.paperblog.frTIPE trébuchet Page 16

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