O documento discute métodos estatísticos para analisar padrões espaciais em dados, incluindo distribuições de Poisson, índices de agregação, o índice de Moran, a razão c de Geary, e os índices Gi de Getis-Ord e G geral. O objetivo é identificar padrões espaciais agregados, regulares ou aleatórios e testar sua significância estatística.

1. Ecologia de Populações
Prof. Dr. Harold Gordon Fowler
popecologia@hotmail.com
Testes de Distribuição ou Dispersão
Espacial (ou Temporal)

2. Por que Estudar a
Dependência Espacial?
avaliar a quantidade de agregação ou
aleatoriedade de um padrão
– e.g., taxas de doença, taxas de acidentes, renda
per capita
aleatória: os fatores causativos operam em
escalas mais finas do que as “zonas de
registro”
agregada: os fatores causativos operam em
escalas mais grosas do que as “zonas de
registro”

3. Métodos para fazer
análise espacial
1. Fazer a pergunta,
2. Coletar os dados,
3. Escolhe o método estatístico,
4. Calcular a estatística,
5. Interpretar a estatística, e
6. Testar a significância.

4. Analise Espacial
Transforma os dados crus em informação
útil
– Ao adicionar maior conteúdo e valor de
informação
Revela padrões, tendências, e
anormalidades que não são óbvios
Proporciona um teste da intuição humana
– Ajudando em situações onde o olho pode
enganar

5. Analise Espacial
Um método de análise é espacial se os
resultados dependem das localizações dos
objetos sob estudo
– Mudar os objetos e os resultados mudam
– resultados não são invariantes quando mudado
A análise espacial requer os atributos e
localizações dos objetos
– Um SIG tem a capacidade de guardar ambos

6. O Mapa de Snow
(surtos de cólera na década de 1850)
Proporciona um exemplo clássico do uso da
localização para fazer inferências
Mas o mesmo padrão podia resultar do
contagio (a disseminação da cólera pelo ar)
– Se a fonte original viveu no centro do surto
– contagio era a hipótese que Snow tentou
falsificar. O SIG pode ser usado para
demonstrar uma sequencia de mapas durante o
desenvolvimento do surto
– Contagio produziria uma seqüência concêntrica,
e a água potável uma seqüência aleatória

7. O Mapa de Snow

8. Análise Espacial
Censo biológico onde cada ponto
representa o avistamento de uma
espécie. Se existe um padrão como
nessa figura podemos analisar o
comportamento em termos das
características ambientais
1.Quantificação de padrão
• Atração ou repulsão
• Direcionalidade
2.Infere sobre processos
a base do padrão
observado

9. Dispersão Espacial de Populações
Espaçamento
aleatório

10. Análise de Padrão de Pontos
Uniforme
(repulsão)
Agregado (atração)

11. Análise de Padrão de Pontos
Os testes estatísticos para padrões significantes nos
dados, comparada com a hipótese nula de um padrão
espacial aleatório
O padrão para comparação de padrões espaciais de pontos
é um:
Processo inteiramente aleatório espacial de pontos
Distribuição da probabilidade de Poisson (média =
variância) . Usado para gerar pontos espaciais aleatórios

12. Análise de Parcelas (Pontos)
Divide a área em parcelas iguais
Conte o número de pontos em cada parcela
Compare contagens com contagens esperados
da distribuição aleatória
Número de células
Agregado
CSR esperado = hipótese nula
Média esperada do número por célula em
Uniforme
CSR l = N/número de parcelas
Número de pontos por célula Para a distribuição de Poisson:
p(x) = (e-l lx)/x!
# Oi P(x) Ei (observado – esperado)2/esperado
0 2 0.0156 0.39
1 2 0.0649 1.62 5.39 2.42 Verifique tabela de X2
2 5 0.1350 3.38 Se Ho rejeitada:
3 1 0.1873 4.68 Média <> variância
… S C2 Média > variância (uniforme)
Média < variância (agregado)

13. Dispersão Espacial da
População
Distribuição: aleatória, regular, agregada
Para identificar padrão: testa a distribuição
observada contra a distribuição aleatória
Distribuição de Poisson - uma descrição
matemática de eventos aleatórias não
freqüentes
Px = axe-a / x!
x – número de ocorrências, a – número médio de
ocorrências

14. Distribuição Poisson
onde m is é a média e i!= 1×2×3× ... ×i, 0!=1;
1!=1.
Teorema: Na distribuição Poisson, a média =
variância:

15. Distribuição Poisson
A distribuição Poisson é simétrica em
valores baixos de média, e quase
simétrica sob valores maiores de media
Quando a media Distribuições de Poisson com
médias diferentes
aproxima a
infinidade, essa
distribuição
coincida com a
distribuição normal

16. Distribuição Poisson
Exemplo: Simulação
100 pessoas pescam ao mesmo tempo (3
horas) e têm a probabilidade igual de
pescar um peixe por unidade de tempo.
Pergunta: Quantos pescadores pescam
0, 1, 2, 3 .... peixes?

17. Distribuição Poisson
TESTE DE CHI QUADRADO
onde n(i) é a distribuição da
amostra (o número de pescadores
que capturaram i peixes), e n'(i) é a
distribuição teórica (número
esperado de pescadores que O número de graus de
pescaram i peixes pela distribuição
Poisson). =4,74 liberdade = o número
de classes (7 ) menos
o número de
Valor crítico gl = 5 e P = parâmetros usados para
0.05 é de 11.07.: ajustar a distribuição
Distribuição da amostra não teórica a da amostra (2
difere significativamente. parâmetros: m=2.3 e N
= 100. gl = 7 - 2 = 5

18. Distribuição Poisson
Númer Número de Proporção Distribuição de
o de pescadores de Poisson
peixes pescadores n'(i)=Np'(i)
0 11 0,11 10
1 25 0.25 23 Número médio de peixes
2 21 0.21 27 capturado por um
3 25 0,25 20 pescador, M = 2.30, e
4 9 0.09 12 desvio padrão, SD = 1.41.
5 7 0,07 5
6 2 0.02 2 Método de momentos (m
7 0 0,00 1 = M) = 2.3
total 100 1,00 100

19. Distribuição Poisson
TESTE DE CHI QUADRADO
Se amostramos uma
Não comprova que a distribuição população por censo numa
da amostra é a mesma que a área, cada amostra é igual
teórica! Se não há diferença a um pescador e os
significativa, implica que ou a indivíduos contados são
distribuição da amostra é próxima a iguais aos peixes
teórica, ou que falta dados para capturados. Uma
distinguir essas distribuições. "distribuição aleatória"
pode definir usando o
modelo de indivíduos..

20. Distribuição Poisson
Anãlise Poisson da distribuição hipotética de larvas de mosquito em poços
Número de larvas Número de poços (O) Número esperado de 2
(O-E) /E
no poço poços (E)
0 8 6,82 0,21
1 8 8,86 0,08
2 4 6,28 0,82
3 2 2,49 0,1
4 1 0,82 0,04
5 1 0,21 2,97
6 1 0,05 18,05
25 25 χ 2 = 22.27
χ 2 = 22.27, 6 gl, p < 0.001

21. Distribuição Poisson
Premissas: número médio de ocorrências é igual a
variância do número de ocorrências
Razão Media/ variância > 1 implica variação entre
poços é pequena (relativa a media) e sugere
uma hiper-dispersão
Razão Media/ variância < 1 implica variação entre
poços é relativamente grande e sugere uma
distribuição agregada

22. Distribuição Poisson
Estatística de teste : (n-1)s2/x (media)
Estatística de teste : χ2, d.f. = n -1
ou seja. se a media = 1.48, s2 = 2.68, n = 25
Razão media/ variância = 1.48/2.68 = 0.55
Estatística de teste = (25 -1)(2.68)/(1.48) =
43.5, significativo ao nível de 0.05
Conclusão: a distribuição é agregada

23. Índices de Agregação
Coeficiente de dispersão

24. Índices de Agregação
Testes de Padrão Espacial
Coeficiente de dispersão:
se CD << 1 [distribuição regular]
se CD » 1 [distribuição aleatória]
se CD >> 1 [distribuição agregada]

25. Distribuição Agregada
Não existe um modelo teórico universal para a
distribuição espacial agregada. Modelos empíricos
podem funcionar, como a distribuição binominal
negativa:
onde m é a média e k é a "coeficiente de
agregação"
A agregação aumenta com o decremento de k.

26. Distribuição Agregada
Na equação do binomial negativa, o termo
de zero (a proporção de amostras sem
nada)’ é igual a:o:

27. Distribuição Agregada
Na equação do binomial negativa, os outros termos
podem ser estimados por iteração:

28. Índices de Agregação
Coeficiente de dispersão
Mean crowding (Lloyd 1967) é igual ao
número médio de ”vizinhos" no mesmo
parcela:
Índice tem sentido biológico somente se o
tamanho de cada parcela corresponde a
”distancia de interação" entre os indivíduos.

29. Índices de Agregação
Coeficiente de dispersão
Para Poisson, CD=1, e = m.

30. Índices de Agregação
(N) (N-1) N(N-1)
1 5 4 20
2 3 2 6
3 0 -1 0
4 1 0 0
5 7 6 42
Total 16 - 68
O numero médio de ”vizinhos" é = 4.25.

31. Índice de Moran
positivo quando os atributos dos objetos
próximos são mais similares do que esperado
0 quando os arranjos são aleatórios
negativo quando os atributos dos objetos
próximos são menos similares do que
esperado
I = nS S wijcij / S S wij S(zi - zavg)2
n = número de objetos na amostra
i,j - qualquer 2 dos objetos
Z = valor do atributo para I
cij = similaridade de i e j atributos
wij= similaridade de i e j localidades

32. Índice de Moran
similaridade dos atributos e da localização
Negativo Extremo SA Dispersado, - SA
Independente, 0 SA
Agregação Espaciaial, + SA
Positivo extremo SA

33. PADRÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE
PONTOS: I de Moran
Dispersa
Demonstra a similaridade de atributos
vizinhos
Proporciona uma estatística única para
resumir padrão
Para dados contínuos
Covariação espacial /variação total
– Varia de –1 a 1
Positiva = auto-correlação espacial
positiva, negativa indica uma auto-
Agregada
correlação espacial negativa. 0 = sem
auto-correlação espacial (aleatório).

34. Correlação do Tempo de
Retorno: I de Moran
Centrado ao redor os valores médios de x, x
Padronizado a variação da amostra
Nh
Covariância do Lag: Ch = S (xi – xi-h )(xi – xi+h )
i=1
Nh
correlação do Lag Ph = Ch
Sx-h Sx+h

35. Razão c de Geary
Como o Índice de Moran usa um único
valor para descrever a distribuição
espacial
– como., de elevações nas células de DEM
< 1 (agregado)
1
> 1 (aleatório)
como.,o indicador da informação perdida
da auto-correlação espacial durante as
conversões entre DEMs e TINs

36. Moran e Geary
Lee and Marion, 1994, Analysis of spatial autocorrelation of USGS 1:250,000 DEMs. GIS/LIS Proceedings.

37. PADRÃO DE VALORES DE POLIGONOS
E PONTOS: Gi de Getis-Ord e G Geral
Análise de pontos quentes,
demonstrando concentração
de valores altos ou baixos
Indica se os valores altos ou
baixos são agregados
Usa uma distancia a base de
vizinhança especificada
Aplica um peso a dados dentro
da distancia com valores
similares

38. PADRÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE
PONTOS:
Operações de Vizinhança
O que fica próximo?
Métodos
– Distancia de linha reta
(distancia Euclidiana)
Diagrama de aranha
– Distancia de custo em rede
– Custo numa superfície
– Buffers
– Buffers de distancia variável
– Filtros
– Funções Locais, Focais e Zonais
– Distancia até atributos
– Polígonos de Theissen, ou
diagramas de Voronoi

39. PADRÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE PONTOS:
Índice do Vizinho Mais
Próximo
Calcula a distancia média entre
pontos
Significância testada
com a distribuição Z
Tipos
– Distancia Inter-centróide
– Distancia borda – borda

40. Distancia a Vizinho Mais Próximo
1. Calcule a distancia a vizinho mais próximo para cada ponto
2. Calcule a distancia média do vmp
3. Calcule a média esperada para a distribuição CSR E(di) = 0.5 A/N
4. Compare a média esperada a média observada com Z
Z = [ d – E(di)] / [0.0683 A/N2]
Verifique significância de z
Se Ho rejeitada,
média observada < média esperada e Z < 0 => agregada
média observada > esperada e Z > 0 => uniforme

41. Função K de Ripley
Expande um circulo de raio maior ao redor de cada ponto
Conte o número de pontos dentro de cada circulo.
Calcule L(d), uma medida do número esperado de pontos
dentro da distancia (d); L(d) = [ASkij/pN(N-1)]0.5, onde A
= área, Skij = número de pontos j dentro da distancia d de
todos os pontos i
Simulações de Monte Carlo ou teste t
Uniforme
Média esperada
de CSR
L(d)
Agregada
Raio

42. PADRÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE PONTOS:
Função K de Ripley
Contagem do número de atributos dentro de
distancias definidas h h
Mede o arranjo espacial
(agregado, uniforme, aleatório)
Usa simulações múltiplas para criar um
envelope de distribuição aleatória
Detecta a escala desses padrões, Agregada
como o tamanho do cluster? Aleatória
Premissas: Limite superior
Limite inferior
– Estacionária: Sem tendências
Lhat(h)-h
nos dados
– Isotrofia: Sem direção
(mas é possível modificar a função
K para detectar a anisotrofia.
– área regular de estudo Distancia (m)
(raramente encontrada)

43. Índices de Agregação
Invariantes com a Densidade
Os índices simples de agregação são
específicos a populações particulares em
tempo discreto. Não podem ser
extrapolados no espaço ou tempo. Por
isso, vários índices invariantes com
densidade foram propostos.

44. Índices de Agregação
Invariantes com a Densidade
A ”lei de potência" (Taylor 1961):
O coeficiente b é especifica a espécie..

45. Índices de Agregação
Invariantes com a Densidade
K da distribuição da binomial negativa.
Não um bom índice porque geralmente
varia com a densidade

46. Índices de Agregação
Invariantes com a Densidade
Regressão de Mean crowding (Iwao 1968):
.

47. Hasta luego Baby!