SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  30
Télécharger pour lire hors ligne
Caro Professor,

Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da
rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de
todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir
de 2010.

As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por
leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que
postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note
também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações
mais recentes.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise
as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Na primeira parte deste documento, você encontra as orientações das atividades
propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em
2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.

Bom trabalho!

Equipe São Paulo faz escola.




                                                                                     1
Caderno do Aluno de Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 2




  SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

  ARITMÉTICA COM ÁLGEBRA: AS LETRAS COMO NÚMEROS




Páginas 3 - 5
1. Segue possível solução:




   Nesse caso, note que na primeira linha sempre teremos o número de bolinhas igual
   ao número que representa a figura, e na segunda linha o total de bolinhas será sempre
   um a menos que o número da figura. Usando a letra n para representar o número da
   figura, o total de bolinhas pode ser representado por n + (n – 1).


2. Segue possível solução:




   Agora o número de colunas é igual ao número da figura e temos duas bolinhas em
   cada coluna, exceto em uma delas (última coluna), que terá apenas uma bolinha. Se
   preenchermos a coluna que tem apenas uma bolinha com mais uma bolinha,
   podemos calcular o total de bolinhas multiplicando o número de colunas pelo de
   linhas e subtraindo a bolinha adicional ao final da conta. Usando letras, o total de
   bolinhas da figura n será 2n – 1.

                                                                                      2
3. Segue solução que leva em consideração as soluções apresentadas nas atividades 1
     e 2.
     Uma vez que as duas expressões obtidas são equivalentes, n + (n – 1) tem de ser
     idêntico a 2n – 1, o que significa dizer que ambas as expressões devem ser válidas
     para qualquer n. Decorre, portanto, que n + n tem de ser igual a 2n.


4. Segue possível solução:
     Fechando retângulos de n linhas e três colunas, devemos acrescentar ainda n – 1
     bolinhas.




     Nesse caso, a fórmula seria 3n + (n – 1).
     Completando a figura com uma bolinha, fechamos retângulos de n linhas por quatro
     colunas.




     A fórmula agora será 4n – 1.


5. Comparando 4n – 1 com 3n + (n – 1), segue que 3n + n tem de ser igual a 4n.


6.
     Resolução 1




                                                                                     3
Resolução 2




     Na resolução 1, organizamos a figura em n linhas por n + 2 colunas,
     (1: 1 linha – 3 colunas; 2: 2 linhas – 4 colunas; 3: 3 linhas – 5 colunas, etc.).
     Já na resolução 2, temos a organização em quadrados com n² bolinhas mais o dobro
     de n
     (1: 1 + 2; 2: 4 + 4; 3: 9 + 6; 4: 16 + 8, etc.). Com isso, chegamos à expressão
     n(n + 2) na resolução 1 e à expressão geral n² + 2n na resolução 2.


7. Como n(n + 2) é equivalente a n² + 2n, segue que n . n = n² e que n . 2 = 2n.




Página 6
1.




     Respostas possíveis:
     4n
     4(n+1) – 4
     4 + 4 (n – 1)
     (n + 1)2 – (n – 1)2

                                                                                         4
Desafio!

Página 7
1. Solução 1: é possível observar que a cada número n da figura corresponde um
   quadrado de n + 1 linhas e n + 1 colunas. A fórmula será (n + 1)2.




   Numericamente, é possível observar a validade dessa fórmula:
   1: (1 + 1)2; 2: (2 + 1)2; 3: (3 + 1)2; 4: (4 + 1)2; ...; n: (n + 1)2.


   Solução 2: nesse caso formamos um quadrado de n linhas por n colunas, dois
   retângulos de n por 1 e devemos acrescentar ainda uma bolinha. Temos, portanto, a
   fórmula: n2 + 2n +1.




   Com isso, estabelecemos a equivalência entre (n + 1)2 e n2 + 2n + 1.


2. Para resolver o problema, vamos reagrupar as bolinhas de forma diferente:




   Agora, completando os retângulos, teremos:




                                                                                  5
Observe que, para formar esse último quadro, necessitamos:

      • Acrescentar a diagonal, indicada em vermelho, que possui uma bolinha a mais
      que o número da figura.

      • Acrescentar uma quantidade igual à que queremos contar numa forma
      espelhada, com relação à diagonal, indicada na cor verde.

      • Portanto, temos quadrados de n + 1 linhas por n + 1 colunas, formados pelos acréscimos
      das n + 1 bolinhas (diagonal) e da imagem espelhada de bolinhas que queremos contar.

                                                              (n  1) 2  (n  1)
         Assim, o total de bolinhas da figura n será dado por                     .
                                                                       2




Páginas 8 - 10
1.




2. Uma possível solução é:
                                                                                             6
a)




  b)




3. É possível obter as seguintes soluções:




                                             7
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

  PRODUTOS NOTÁVEIS: SIGNIFICADOS GEOMÉTRICOS




Páginas 12 - 14
1. A área da figura (a) pode ser assim calculada:




   Assim, essa situação nos permite escrever que x(a + 7 + y) = ax + 7x + yx.
   Para a Figura (b), temos duas possibilidades:




                                                                                8
Figura b


2. Aqui devemos observar que, como o 3 é um fator comum em ambas as parcelas, uma
  das dimensões do retângulo deve ser 3, e a outra, a soma de a com b. Portanto, a
  figura será:




  Uma expressão equivalente à dada no exercício é 3(a+b). Com isso, observamos que
  3(a + b) = 3a + 3b, o que evidencia a propriedade distributiva da multiplicação em
  relação à adição.




                                                                                  9
3. Nesse caso, o fator comum é o x; portanto, ele será a medida do lado comum na
  construção do retângulo; a outra medida deve ser (y – 3). Essa situação pode ser
  interpretada geometricamente como:




  Pensando na área do retângulo de lados x e y, podemos observar que:




  Portanto, x(y – 3) = xy – 3x, o que evidencia a propriedade distributiva da
  multiplicação em relação à subtração.


4. Para resolver essa situação, propomos que você discuta com a turma que esse produto
  pode ser interpretado como a área de um retângulo de medidas de lados (x + a) e
  (x + b). Decompondo a figura pelas medidas x, a e b, encontramos: um quadrado de
  lado x, um retângulo de lados x e a, um retângulo de lados x e b e um retângulo de
  lados a e b.




  Dessa forma, podemos escrever: (x + a).(x + b) = x2 + xa + xb + ab.




                                                                                   10
O aparecimento, nessa expressão, da soma xa + xb pode ser interpretado como
  (a + b)x, pois, conforme o que foi discutido anteriormente, podemos realocar os
  retângulos da seguinte maneira...




...obtendo a seguinte configuração:




  Portanto, (x + a).(x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Nessa expressão, identificamos que, no
  desenvolvimento de (x + a).(x + b), a quantidade de x, isto é, o coeficiente de x, é a
  soma dos números (a + b) e o termo independente é o produto dos mesmos termos
  a.b.


5. Pensando nesse produto como a área de um retângulo, a medida de um lado será
  (x – a), e a de outro, (x – b). Isso pode ser formado a partir de um quadrado de lado
  x, como mostra a figura:




                                                                                     11
A área do quadrado inteiro corresponde a x2; para chegarmos ao valor de
(x – a).(x – b), devemos retirar os retângulos de áreas ax e bx e acrescentar uma vez a
área do retângulo de lado ab, que foi retirada duas vezes (uma na área ax e outra na
área bx). Geometricamente temos:




Chegamos, então, à expressão (x – a).(x – b) = x2 – xa – xb + ab. Vale observar que
essa expressão é equivalente a (x – a).(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, o que, mais uma
vez, nos permite concluir que o coeficiente de x, embora negativo, refere-se à soma
(a + b) e o termo independente ao produto a . b.




                                                                                    12
6.
     a) (x + 3).(x + 5) = x2 + (3 + 5)x + 3 . 5 = x2 + 8x + 15.
     b) (x – 7).(x – 10) = x2 – (7 + 10)x + 7 . 10 = x2 – 17x + 70.


7.




Páginas 15 - 16
1.
     a) (x + 1).(x + 1) = x2 + (1 + 1)x + 1 . 1 = x2 + 2x + 1
     b) (x – 3).(x – 6) = x2 – (3 + 6)x + 3 . 6 = x2 – 9x + 18


2.




                                                                      13
3.




4.
     a)




     b)




          14
Desafio!

Páginas 16 - 17
1.




     A área do quadrado interno de lado (a – b) vale (a – b)2. Ela equivale à área do
     quadrado maior (a2), subtraída das áreas dos retângulos de lados a e b (a . b).
     Contudo, é preciso adicionar a área do quadrado de lado b (b2), pois o mesmo foi
     retirado duas vezes ao subtrairmos os retângulos do quadrado maior. Essa operação
     pode ser visualizada geometricamente na figura a seguir:




2. O produto notável (x – 5)2 pode ser representado geometricamente da seguinte forma:




                                                                                    15
Páginas 17 - 20
1.
     a)




     b)




2.




          9 – x2 = (3 + x).(3 – x)

                                     16
3. 1a solução: agora o aluno pode pensar que temos a “diferença de dois quadrados”, um
  com área 16x2 e outro com área 9y2. Portanto, deve concluir que o lado do quadrado
  maior é 4x, e o do quadrado menor, 3y. Procedendo conforme o modelo, podemos
  encontrar como solução:




  Concluindo que 16x2 – 9y2 = (4x + 3y).(4x – 3y).
  2a solução: outra forma que você pode encontrar ou sugerir aos alunos é a que se
  segue. Toma-se um quadrado de lado 4x e em seu interior um quadrado de lado 3y.




  Em seguida, observe que a diferença dos quadrados (16x2 – 9y2) significa a sobra do
  retângulo com medidas 4x e (4x – 3y), 3y e (4x – 3y).




                                                                                    17
Portanto, podemos concluir que 16x2 – 9y2 = (4x + 3y).(4x – 3y).


4. A área do quadrado de lado c vale c2. Os triângulos de lado a, b e c possuem área
             a .b
  igual a         . O quadrado menor, como vemos na figura, tem lados iguais a b – a;
              2
  portanto, sua área é (b – a)2. A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos
  triângulos e do quadrado menor.




                         a .b
  Portanto: c2 = 4 . (        ) + (b – a)2
                          2
  c2 = 2ab + b2 – 2ab + a2
  c 2 = b2 + a 2 .
  A solução desse problema é uma demonstração do Teorema de Pitágoras, que tem
  como enunciado: em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à



                                                                                   18
soma dos quadrados dos catetos. Nesse momento, você não precisa enunciar esse
  teorema, uma vez que ele é objeto de estudo da 7a série do Volume 4.


5. Seguindo a abordagem de uso de tabelas para o desenvolvimento de
  a  b 1 , a  b 2 , a  b 3 ... , pode-se concluir que:

  a  b 8    a 8  8.a 7 .b  28.a 6 .b 2  56.a 5 .b 3  70.a 4 .b 4  56.a 3 .b 5  28.a 2 .b 6  8.a.b 7  b 8


  a  b 4  a 4  4a 3b  6a 2 b 2  4ab 3        b4




                                                                                                             19
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

     ÁLGEBRA: FATORAÇÃO E EQUAÇÕES




Páginas 22 - 27
1.
     a) 9 cm.
     b) 57 cm.
     c) 270 cm².
     d) 154 cm².
     e) x + 3.
     f)   m – 3.
     g) Perímetro: (I) e (VI); área: (II), (III), (IV) e (V).
     h) 70 cm².
     i)   Os polinômios (III) e (IV) são idênticos, e vale a pena chamar a atenção para o
     fato de que eles obedecem à condição de serem iguais para qualquer valor de y que
     se imaginar. Inclusive, pode-se pedir que os alunos calculem alguns valores
     numéricos positivos, negativos, fracionários ou decimais para verificação.
     j)   Os polinômios (II) e (III) não são idênticos. Apesar de terem o mesmo valor
     numérico para y = 0, eles têm valores diferentes para outros valores de y, ainda que
     ambos os polinômios possam representar a área do mesmo retângulo VASO.


2.
     a) A e C.
     b) B e D.
     c) 84 cm².
     d) 169 cm².
     e) Nesse caso, para verificar se eles são idênticos, os alunos poderão atribuir a x
     apenas valores positivos por se tratar de medida de lado de retângulo. Todavia, você
     deve pedir que não sejam atribuídos apenas valores naturais.

                                                                                      20
3.
     a) 20 e 23.
     b) 304.
     c)




     d) P = 2x + 2x + 2x + 3 + 2x + 3 = 8x + 6
     e) A área do retângulo pode ser obtida pela expressão (2x + 3) . 2x, que é idêntica a
     4x2 + 6x. Você pode pedir aos alunos que verifiquem a identidade com base em
     alguns valores atribuídos a x, a fim de atribuir significado ao conceito de valor
     numérico de um polinômio.




Páginas 27 - 30
1.
     a) 5.
     b) (a + 3)2 = 64.
     c) (I), (II), (IV) e (V).
     d) –11.
     e) (I), (II), (III) e (IV).
     f)   (I), (II) e (IV).
     g) As equações (I), (II) e (IV) são equivalentes.




Páginas 30 - 33
1. Se o número é x, temos a seguinte expressão:
     (5x + 15) ÷ (x + 3) = 5(x + 3) ÷ (x + 3) = 5.
     Observação: Professor, comente que o número pensado não poderia ser – 3.
2. Se o número é x, temos a seguinte expressão:
                                                                                       21
(2x2 + 4x) ÷ 2x = 2x(x + 2) ÷ 2x = x + 2.


3. Se os números são x e y, temos a seguinte expressão:
  (x2 – y2) ÷ (x + y) = [(x – y).(x + y)] ÷ (x + y) = x – y.
  Como x e y são consecutivos, x – y = 1


                                                               3x  6                 3
4. O que se está calculando nesse exercício é o resultado de          , que é igual a   ,
                                                               2x  4                 2
                                                   3 x  6 3( x  2) 3
  de acordo com a seguinte simplificação:                           . No entanto,
                                                   2 x  4 2( x  2) 2
  considere com os alunos que 2x – 4 deve ser diferente de 0 e, portanto, x não pode
  ser 2.


5. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a . b = 36 e a + b = 15. Embora
  a solução desse exercício possa ser resolvida por cálculo mental, é interessante
  explorar alguns aspectos dessa situação: como o produto é positivo, os dois números
  têm o mesmo sinal, ou ambos são positivos ou ambos são negativos, e nenhum deles
  será 0, pois senão o produto seria 0. Estudando os possíveis números positivos,
  podemos decompor o 36 como: 36 . 1, 18 . 2, 12 . 3 e 9 . 4. Montando uma tabela




  Observamos que os números serão 12 e 3.




                                                                                      22
Página 33
1. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a . b = –27 e a + b = – 6. Agora,
     como o produto é negativo, os números deverão ter sinais diferentes. Como a soma é
     negativa, o número negativo terá valor absoluto maior que o positivo. Estudando os
     possíveis números, podemos decompor o –27 como:




     Observamos que os números serão 3 e – 9.


2. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a . b = 0 e a + b = 8. Agora,
     como o produto é 0, um dos números será 0 e, como a soma é 8, o outro número será
     8. Portanto, os números são 0 e 8.




Páginas 33 - 35
1.
     a) 4 ou – 4.
     b) 8.
     c) – 4.
     d) 0 ou –1.


2.
     a) 8.
     b) 0 ou 5.
     c) 2 ou 5.
                                                                                      23
d) – 5.
     e) 4 ou –4.
     f)   1 ou 3.


3.
     a) (x + 0).(x + 16) = x(x + 16) = 0; soluções: 0 ou –16.
     b) (x + 5).(x – 5) = 0; soluções: 5 ou –5.
     c) (x + 3).(x – 3) = 0; soluções: 3 ou –3.
              1       1                1    1
     d)    x   .  x    0 ; soluções: ou  .
              2       2                2    2
     e) (x – 3).(x – 3) = (x – 3)2 = 0 solução: 3.
     f)   (x + 6).(x + 6) = (x + 6)2 = 0 solução: – 6.
     g) (x – 3).(x – 1) = 0, portanto, x = 3 ou x = 1.
     h) (x – 2).(x – 5) = 0, portanto, x = 2 ou x = 5.




                                                                24
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

  ARITMÉTICA E GEOMETRIA: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DE
  ALGUMAS IDEIAS FUNDAMENTAIS


Desafio!

Página 39

   Chamando de Sn a soma 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n, podemos
notar que as somas 1 + n, 2 + (n – 1), 3 + (n – 2), 4 + (n – 3), e assim por diante, dão
                                                                                  n
sempre 1 + n; poderíamos concluir que as n parcelas seriam equivalentes a           parcelas
                                                                                  2
                                                                         n
iguais a 1 + n, disso resultando que o valor de Sn seria igual a           . (1  n) , ou seja,
                                                                         2
       n . (n  1)
Sn                .
            2

   Tal raciocínio seria perfeito se soubéssemos que n é um número par, mas isso nem
sempre ocorre.

   Para chegar a uma conclusão sobre o valor de Sn que seja válida quer n seja par, quer
n seja ímpar, podemos raciocinar de outra maneira. Certamente Sn pode ser escrita das
duas formas indicadas a seguir:

   Sn = 1 + 2 +            3+      4 + ... + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n




   Sn = n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + ... + 4           +   3    + 2     + 1.

   Disso segue que, somando os primeiros membros e os segundos membros das duas
igualdades, temos: 2 Sn = (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + ... + (1 + n) + (1 + n) +
(1 + n) + (1 + n) = n . (1 + n).

                       n . n  1 
   Logo, S       n                 , e isso independe do fato de n ser par ou ímpar.
                             2
   Poderíamos imaginar uma forma triangular, como nos exemplos anteriores,
representando a soma Sn; reunindo duas formas triangulares e formando uma forma
                                                                                            25
retangular com n linhas, em que cada linha tem n + 1 bolinhas, chegando ao mesmo
resultado para Sn.




Páginas 40 - 44
1.
     a) 2 . 5 = 10.
     b) 2 . 100 = 200.
     c) 2 . 7 – 1 = 13.
     d) 2 . 30 – 1 = 59.
     e) 2n.
     f)   2n – 1.


2. 81


3. Desenvolver a fórmula até chegar à resposta, como está apresentada no Caderno do
     Professor: S n  1  3  5  ...  (2n  1)  n 2
                  i




4.
     a) A soma S np  2  4  6  ...  (2n) é igual ao dobro da soma dos n primeiros

     naturais, ou seja, S np  2  4  6  ...  (2n) = 2(1 + 2 + 3 +...+ n). Como já vimos que
                                                                         n.(n  1)
     a    soma      dos   n    primeiros     naturais    é   igual   a             ,   resulta   que
                                                                             2

              2.n.( n  1)                        .
     S np                  n.( n  1)  n 2  n
                   2
                                       2n.2n  1
     b) Para S2n, temos: S2n =                     = 2n2 + n.
                                            2
                                   i          p
     Somando os valores de S n e de S n , obtemos, então, o mesmo valor que o de S2n.


5. 540º


                                                                                                  26
Páginas 44 - 45
1. 1 080º


2. No caso do quilógono, com 1 000 lados, o número de triângulos em que é possível
     dividi-lo, traçando as diagonais a partir de um dos vértices, é igual a 998
     (excetuando-se os dois lados cuja interseção é o vértice de onde partem as diagonais,
     a cada um dos outros lados corresponde um triângulo); logo, a soma dos ângulos
     internos do quilógono é igual a 998 . 180º, ou seja, 179 640º.


3. (n – 2) . 180º. Lembramos que a fórmula da soma dos ângulos internos de um
     polígono convexo foi discutida na 6a série e está sendo retomada na 7a série.




Páginas 46 - 47
1.
     a) Um pentágono tem cinco diagonais.




     Para verificar isso, basta notar que, de cada um dos vértices do pentágono, é possível
     traçar duas diagonais, uma vez que, unindo-se o vértice considerado aos vértices
     adjacentes, não temos uma diagonal, mas sim um lado. Assim, sendo cinco vértices,
     teremos, aparentemente, um total de dez diagonais. Na verdade, esse número precisa
     ser dividido por dois, uma vez que cada diagonal é contada duas vezes: a diagonal
     AB é contada a partir do vértice A e a partir do vértice B. Logo, o número de
     diagonais do pentágono é cinco.

                                                                                        27
b) Raciocinando analogamente, o número de diagonais de um hexágono pode ser
  calculado da seguinte forma:
  •    de cada vértice partem três diagonais (descontando-se o próprio vértice e os
       dois adjacentes);
  •    o número de diagonais será igual à metade de 6 . 3, ou seja, será igual a 9.
  c) Analogamente, o número N de diagonais de um polígono de n lados será tal que:
          1
   N       .n.( n  3) .
          2


2. Aqui tratamos um problema muito comum de contagem. O entendimento do
  problema e a análise das condições necessárias à sua solução devem ser o ponto de
  partida. No caso, devemos considerar que, quando uma pessoa A aperta a mão de
  outra pessoa B, é o mesmo que quando B aperta a mão de A. Outra condição do
  problema é que A não cumprimenta a si mesmo; portanto, para n pessoas, cada
  pessoa dará n – 1, apertos de mãos.
  Uma estratégia que pode ser utilizada na resolução desse problema é partir de um
  número menor de pessoas. Por exemplo, sendo duas pessoas, só haverá um aperto de
  mãos; com três pessoas, esse número passa para três apertos; para quatro pessoas,
  serão seis apertos, e assim por diante. Desse modo, busca-se encontrar uma
  regularidade entre o número de pessoas e o número de apertos de mãos.
  Outro raciocínio é pensarmos que cada uma das sete pessoas apertará a mão de
  outras seis. Serão ao todo 7 . 6 cumprimentos, mas aqui estão sendo contadas todas
  as repetições (A – B e B – A). Portanto, o total de 7 . 6 cumprimentos deverá, então,
                                                                       7 .6
  ser dividido por 2. O total de apertos de mãos distintos é, pois,         , ou seja, é igual
                                                                        2
  a 21.


                                                        n.( n  1)
3. O número de apertos de mãos é, nesse caso, igual a              .
                                                             2



   




                                                                                           28
AJUSTES

              Caderno do Professor de Química – 7ª série/8º ano – Volume 2



  Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada
página.




                                                                                     29
Nesse caso, note que na primeira linha sem-         Fechando retângulos de n linhas e 3 colunas,
     pre teremos o número de bolinhas igual ao nú-       devemos acrescentar ainda n – 1 bolinhas.
     mero que representa a e figura e, na segunda li-
                                                            1         2          3          4           5
     nha, o total de bolinhas será sempre um a menos
     que o número da figura. Usando a letra n para                                                           ...
     representar o número da figura, o total de boli-
     nhas pode ser representado por n+(n – 1).
                                                            Nesse caso, a fórmula seria 3n + (n – 1).
        2. Identificando a regularidade por colunas
                                                            Completando a figura com uma bolinha, fe-
           1    2     3        4          5
                                                         chamos retângulos de n linhas por 4 colunas.
                                                  ...
                                                                1      2          3         4           5

        Agora, o número de colunas é igual ao nú-                                                            ...
     mero da figura e temos duas bolinhas em cada
     coluna, exceto em uma delas (última coluna)
     que terá apenas uma bolinha. Se preencher-            A fórmula, que agora seria 4n – 1, pode ser
     mos a coluna que tem apenas uma bolinha             comparada com a anterior de onde se conclui
     com mais uma bolinha, podemos calcular o            que 3n + n tem de ser igual a 4n.
     total de bolinhas multiplicando-se o número
     de colunas pelo de linhas e subtraindo a boli-        Veremos, a seguir, um exemplo em que po-
     nha adicional ao final da conta. Usando letras,     demos trabalhar a multiplicação de letras:
     o total de bolinhas da figura n será 2n – 1.           1             2                         4
                                                                                      3

        Uma vez que as duas expressões obtidas são                                                           ...
     equivalentes, n + (n – 1) tem de ser idêntico a
     2n – 1, o que significa dizer que ambas expres-         Na resolução 1, organizamos a figura em n li-
     sões devem ser válidas para qualquer n. Decorre,    nhas por n + 2 colunas, (1: 1 linha – 3 colunas;
                                                         2: 2 linhas – 4 colunas; 3: 3 linhas – 5 colunas, etc.).
     portanto, que n + n tem de ser igual a 2n.
                                                         Já na resolução 2, a organizamo-la em quadra-
                                                         dos com n² bolinhas, mais o dobro de n (1: 1 + 2;
        Veja agora outra sequência e algumas das         2: 4 + 4; 3: 9 + 6; 4: 16 + 8, etc.).
     soluções possíveis:
                                                         Resolução 1
       1        2         3        4          5             1             2           3             4

                                                   ...                                                       ...



12

Contenu connexe

Tendances

Geometria analitica-gaia
Geometria analitica-gaiaGeometria analitica-gaia
Geometria analitica-gaiaslidericardinho
 
Matemática básica coc exercícios
Matemática básica coc exercíciosMatemática básica coc exercícios
Matemática básica coc exercíciosreboferrari
 
Proposta de teste intermédio 9ano
Proposta de teste intermédio 9anoProposta de teste intermédio 9ano
Proposta de teste intermédio 9anoMartinha Alexandre
 
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol iMat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol itrigono_metrico
 
Proposta correção teste_intermédio_matemática_2013-
Proposta correção teste_intermédio_matemática_2013-Proposta correção teste_intermédio_matemática_2013-
Proposta correção teste_intermédio_matemática_2013-Luísa Silva
 
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 2 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 2 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 2 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 2 - 2012oim_matematica
 
Mat conjunto vazio resolvidos
Mat conjunto vazio resolvidosMat conjunto vazio resolvidos
Mat conjunto vazio resolvidoscomentada
 
Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0
Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0
Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0Adriana Bonato
 
Números Complexos_IME ITA
Números Complexos_IME ITANúmeros Complexos_IME ITA
Números Complexos_IME ITAJARDEL LEITE
 
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Arthur Lima
 
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAProva do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
 
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grau
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grauExercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grau
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grauAndré Luís Nogueira
 

Tendances (20)

Geometria analitica-gaia
Geometria analitica-gaiaGeometria analitica-gaia
Geometria analitica-gaia
 
Matemática básica coc exercícios
Matemática básica coc exercíciosMatemática básica coc exercícios
Matemática básica coc exercícios
 
Proposta de teste intermédio 9ano
Proposta de teste intermédio 9anoProposta de teste intermédio 9ano
Proposta de teste intermédio 9ano
 
Aritmética Elementar
Aritmética ElementarAritmética Elementar
Aritmética Elementar
 
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol iMat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
 
Matematica suple
Matematica supleMatematica suple
Matematica suple
 
Proposta correção teste_intermédio_matemática_2013-
Proposta correção teste_intermédio_matemática_2013-Proposta correção teste_intermédio_matemática_2013-
Proposta correção teste_intermédio_matemática_2013-
 
Lista resolvida 9º ano
Lista resolvida 9º anoLista resolvida 9º ano
Lista resolvida 9º ano
 
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 2 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 2 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 2 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 2 - 2012
 
Mat conjunto vazio resolvidos
Mat conjunto vazio resolvidosMat conjunto vazio resolvidos
Mat conjunto vazio resolvidos
 
Exercicios equação de 2º grau
Exercicios   equação de 2º grauExercicios   equação de 2º grau
Exercicios equação de 2º grau
 
Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0
Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0
Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0
 
Números Complexos_IME ITA
Números Complexos_IME ITANúmeros Complexos_IME ITA
Números Complexos_IME ITA
 
Função polinomial do 1º grau.
Função polinomial do 1º grau.Função polinomial do 1º grau.
Função polinomial do 1º grau.
 
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
 
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAProva do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
 
Remember 01
Remember 01Remember 01
Remember 01
 
1323093437588
13230934375881323093437588
1323093437588
 
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grau
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grauExercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grau
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grau
 

Similaire à 2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito

2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabaritoprofzwipp
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012oim_matematica
 
Sf2n3 2011
Sf2n3 2011Sf2n3 2011
Sf2n3 2011cavip
 
Gabarito
GabaritoGabarito
Gabaritoedmildo
 
Lista 02 - 2ª fase - 2008/2009
Lista 02 - 2ª fase - 2008/2009Lista 02 - 2ª fase - 2008/2009
Lista 02 - 2ª fase - 2008/2009FeefelipeeRS
 
ELETIVA DE MATEMÁTICA BÁSICA I aula 4.pdf
ELETIVA DE MATEMÁTICA BÁSICA I aula 4.pdfELETIVA DE MATEMÁTICA BÁSICA I aula 4.pdf
ELETIVA DE MATEMÁTICA BÁSICA I aula 4.pdfColgioImpactocamocim
 
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)J M
 
Sf2n1 2011
Sf2n1 2011Sf2n1 2011
Sf2n1 2011cavip
 

Similaire à 2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito (20)

2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
 
Sf1n3 2018
Sf1n3 2018Sf1n3 2018
Sf1n3 2018
 
Fatoração
FatoraçãoFatoração
Fatoração
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
 
Sf2n3 2011
Sf2n3 2011Sf2n3 2011
Sf2n3 2011
 
Gabarito
GabaritoGabarito
Gabarito
 
Demonstração da equação de Bhaskara
Demonstração da equação de BhaskaraDemonstração da equação de Bhaskara
Demonstração da equação de Bhaskara
 
1 fase nivel2_gabarito_2011
1 fase nivel2_gabarito_20111 fase nivel2_gabarito_2011
1 fase nivel2_gabarito_2011
 
Winter break 8th_grade_2016
Winter break 8th_grade_2016Winter break 8th_grade_2016
Winter break 8th_grade_2016
 
2
22
2
 
Lista 02 - 2ª fase - 2008/2009
Lista 02 - 2ª fase - 2008/2009Lista 02 - 2ª fase - 2008/2009
Lista 02 - 2ª fase - 2008/2009
 
ELETIVA DE MATEMÁTICA BÁSICA I aula 4.pdf
ELETIVA DE MATEMÁTICA BÁSICA I aula 4.pdfELETIVA DE MATEMÁTICA BÁSICA I aula 4.pdf
ELETIVA DE MATEMÁTICA BÁSICA I aula 4.pdf
 
Sf1n1 2018
Sf1n1 2018Sf1n1 2018
Sf1n1 2018
 
Matemática - Tipo C
Matemática - Tipo CMatemática - Tipo C
Matemática - Tipo C
 
94204719 teoria-dos-numeros
94204719 teoria-dos-numeros94204719 teoria-dos-numeros
94204719 teoria-dos-numeros
 
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
 
Remember 08
Remember 08Remember 08
Remember 08
 
2011matemática
2011matemática2011matemática
2011matemática
 
Sf2n1 2011
Sf2n1 2011Sf2n1 2011
Sf2n1 2011
 
Revisão para a prova
Revisão para a provaRevisão para a prova
Revisão para a prova
 

Plus de profzwipp

Cad aluno vol1_fisica_em_2_s
Cad aluno vol1_fisica_em_2_sCad aluno vol1_fisica_em_2_s
Cad aluno vol1_fisica_em_2_sprofzwipp
 
Cad aluno vol1_fisica_em_1_s
Cad aluno vol1_fisica_em_1_sCad aluno vol1_fisica_em_1_s
Cad aluno vol1_fisica_em_1_sprofzwipp
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)profzwipp
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabaritoprofzwipp
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)profzwipp
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabaritoprofzwipp
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabaritoprofzwipp
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabaritoprofzwipp
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabaritoprofzwipp
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabaritoprofzwipp
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)profzwipp
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabaritoprofzwipp
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabaritoprofzwipp
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabaritoprofzwipp
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabaritoprofzwipp
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabaritoprofzwipp
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)profzwipp
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabaritoprofzwipp
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabaritoprofzwipp
 

Plus de profzwipp (20)

Cad aluno vol1_fisica_em_2_s
Cad aluno vol1_fisica_em_2_sCad aluno vol1_fisica_em_2_s
Cad aluno vol1_fisica_em_2_s
 
Cad aluno vol1_fisica_em_1_s
Cad aluno vol1_fisica_em_1_sCad aluno vol1_fisica_em_1_s
Cad aluno vol1_fisica_em_1_s
 
Cadaluno1em
Cadaluno1emCadaluno1em
Cadaluno1em
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito (2)
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
 
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume4 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_8aserie_gabarito
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
 
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_2aserie_gabarito
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_1aserie_gabarito
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito (1)
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito
 
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_5aserie_gabarito
 

2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_7aserie_gabarito

  • 1. Caro Professor, Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010. As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes. Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas. Na primeira parte deste documento, você encontra as orientações das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento. Bom trabalho! Equipe São Paulo faz escola. 1
  • 2. Caderno do Aluno de Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 2 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 ARITMÉTICA COM ÁLGEBRA: AS LETRAS COMO NÚMEROS Páginas 3 - 5 1. Segue possível solução: Nesse caso, note que na primeira linha sempre teremos o número de bolinhas igual ao número que representa a figura, e na segunda linha o total de bolinhas será sempre um a menos que o número da figura. Usando a letra n para representar o número da figura, o total de bolinhas pode ser representado por n + (n – 1). 2. Segue possível solução: Agora o número de colunas é igual ao número da figura e temos duas bolinhas em cada coluna, exceto em uma delas (última coluna), que terá apenas uma bolinha. Se preenchermos a coluna que tem apenas uma bolinha com mais uma bolinha, podemos calcular o total de bolinhas multiplicando o número de colunas pelo de linhas e subtraindo a bolinha adicional ao final da conta. Usando letras, o total de bolinhas da figura n será 2n – 1. 2
  • 3. 3. Segue solução que leva em consideração as soluções apresentadas nas atividades 1 e 2. Uma vez que as duas expressões obtidas são equivalentes, n + (n – 1) tem de ser idêntico a 2n – 1, o que significa dizer que ambas as expressões devem ser válidas para qualquer n. Decorre, portanto, que n + n tem de ser igual a 2n. 4. Segue possível solução: Fechando retângulos de n linhas e três colunas, devemos acrescentar ainda n – 1 bolinhas. Nesse caso, a fórmula seria 3n + (n – 1). Completando a figura com uma bolinha, fechamos retângulos de n linhas por quatro colunas. A fórmula agora será 4n – 1. 5. Comparando 4n – 1 com 3n + (n – 1), segue que 3n + n tem de ser igual a 4n. 6. Resolução 1 3
  • 4. Resolução 2 Na resolução 1, organizamos a figura em n linhas por n + 2 colunas, (1: 1 linha – 3 colunas; 2: 2 linhas – 4 colunas; 3: 3 linhas – 5 colunas, etc.). Já na resolução 2, temos a organização em quadrados com n² bolinhas mais o dobro de n (1: 1 + 2; 2: 4 + 4; 3: 9 + 6; 4: 16 + 8, etc.). Com isso, chegamos à expressão n(n + 2) na resolução 1 e à expressão geral n² + 2n na resolução 2. 7. Como n(n + 2) é equivalente a n² + 2n, segue que n . n = n² e que n . 2 = 2n. Página 6 1. Respostas possíveis: 4n 4(n+1) – 4 4 + 4 (n – 1) (n + 1)2 – (n – 1)2 4
  • 5. Desafio! Página 7 1. Solução 1: é possível observar que a cada número n da figura corresponde um quadrado de n + 1 linhas e n + 1 colunas. A fórmula será (n + 1)2. Numericamente, é possível observar a validade dessa fórmula: 1: (1 + 1)2; 2: (2 + 1)2; 3: (3 + 1)2; 4: (4 + 1)2; ...; n: (n + 1)2. Solução 2: nesse caso formamos um quadrado de n linhas por n colunas, dois retângulos de n por 1 e devemos acrescentar ainda uma bolinha. Temos, portanto, a fórmula: n2 + 2n +1. Com isso, estabelecemos a equivalência entre (n + 1)2 e n2 + 2n + 1. 2. Para resolver o problema, vamos reagrupar as bolinhas de forma diferente: Agora, completando os retângulos, teremos: 5
  • 6. Observe que, para formar esse último quadro, necessitamos: • Acrescentar a diagonal, indicada em vermelho, que possui uma bolinha a mais que o número da figura. • Acrescentar uma quantidade igual à que queremos contar numa forma espelhada, com relação à diagonal, indicada na cor verde. • Portanto, temos quadrados de n + 1 linhas por n + 1 colunas, formados pelos acréscimos das n + 1 bolinhas (diagonal) e da imagem espelhada de bolinhas que queremos contar. (n  1) 2  (n  1) Assim, o total de bolinhas da figura n será dado por . 2 Páginas 8 - 10 1. 2. Uma possível solução é: 6
  • 7. a) b) 3. É possível obter as seguintes soluções: 7
  • 8. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 PRODUTOS NOTÁVEIS: SIGNIFICADOS GEOMÉTRICOS Páginas 12 - 14 1. A área da figura (a) pode ser assim calculada: Assim, essa situação nos permite escrever que x(a + 7 + y) = ax + 7x + yx. Para a Figura (b), temos duas possibilidades: 8
  • 9. Figura b 2. Aqui devemos observar que, como o 3 é um fator comum em ambas as parcelas, uma das dimensões do retângulo deve ser 3, e a outra, a soma de a com b. Portanto, a figura será: Uma expressão equivalente à dada no exercício é 3(a+b). Com isso, observamos que 3(a + b) = 3a + 3b, o que evidencia a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. 9
  • 10. 3. Nesse caso, o fator comum é o x; portanto, ele será a medida do lado comum na construção do retângulo; a outra medida deve ser (y – 3). Essa situação pode ser interpretada geometricamente como: Pensando na área do retângulo de lados x e y, podemos observar que: Portanto, x(y – 3) = xy – 3x, o que evidencia a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração. 4. Para resolver essa situação, propomos que você discuta com a turma que esse produto pode ser interpretado como a área de um retângulo de medidas de lados (x + a) e (x + b). Decompondo a figura pelas medidas x, a e b, encontramos: um quadrado de lado x, um retângulo de lados x e a, um retângulo de lados x e b e um retângulo de lados a e b. Dessa forma, podemos escrever: (x + a).(x + b) = x2 + xa + xb + ab. 10
  • 11. O aparecimento, nessa expressão, da soma xa + xb pode ser interpretado como (a + b)x, pois, conforme o que foi discutido anteriormente, podemos realocar os retângulos da seguinte maneira... ...obtendo a seguinte configuração: Portanto, (x + a).(x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Nessa expressão, identificamos que, no desenvolvimento de (x + a).(x + b), a quantidade de x, isto é, o coeficiente de x, é a soma dos números (a + b) e o termo independente é o produto dos mesmos termos a.b. 5. Pensando nesse produto como a área de um retângulo, a medida de um lado será (x – a), e a de outro, (x – b). Isso pode ser formado a partir de um quadrado de lado x, como mostra a figura: 11
  • 12. A área do quadrado inteiro corresponde a x2; para chegarmos ao valor de (x – a).(x – b), devemos retirar os retângulos de áreas ax e bx e acrescentar uma vez a área do retângulo de lado ab, que foi retirada duas vezes (uma na área ax e outra na área bx). Geometricamente temos: Chegamos, então, à expressão (x – a).(x – b) = x2 – xa – xb + ab. Vale observar que essa expressão é equivalente a (x – a).(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, o que, mais uma vez, nos permite concluir que o coeficiente de x, embora negativo, refere-se à soma (a + b) e o termo independente ao produto a . b. 12
  • 13. 6. a) (x + 3).(x + 5) = x2 + (3 + 5)x + 3 . 5 = x2 + 8x + 15. b) (x – 7).(x – 10) = x2 – (7 + 10)x + 7 . 10 = x2 – 17x + 70. 7. Páginas 15 - 16 1. a) (x + 1).(x + 1) = x2 + (1 + 1)x + 1 . 1 = x2 + 2x + 1 b) (x – 3).(x – 6) = x2 – (3 + 6)x + 3 . 6 = x2 – 9x + 18 2. 13
  • 14. 3. 4. a) b) 14
  • 15. Desafio! Páginas 16 - 17 1. A área do quadrado interno de lado (a – b) vale (a – b)2. Ela equivale à área do quadrado maior (a2), subtraída das áreas dos retângulos de lados a e b (a . b). Contudo, é preciso adicionar a área do quadrado de lado b (b2), pois o mesmo foi retirado duas vezes ao subtrairmos os retângulos do quadrado maior. Essa operação pode ser visualizada geometricamente na figura a seguir: 2. O produto notável (x – 5)2 pode ser representado geometricamente da seguinte forma: 15
  • 16. Páginas 17 - 20 1. a) b) 2. 9 – x2 = (3 + x).(3 – x) 16
  • 17. 3. 1a solução: agora o aluno pode pensar que temos a “diferença de dois quadrados”, um com área 16x2 e outro com área 9y2. Portanto, deve concluir que o lado do quadrado maior é 4x, e o do quadrado menor, 3y. Procedendo conforme o modelo, podemos encontrar como solução: Concluindo que 16x2 – 9y2 = (4x + 3y).(4x – 3y). 2a solução: outra forma que você pode encontrar ou sugerir aos alunos é a que se segue. Toma-se um quadrado de lado 4x e em seu interior um quadrado de lado 3y. Em seguida, observe que a diferença dos quadrados (16x2 – 9y2) significa a sobra do retângulo com medidas 4x e (4x – 3y), 3y e (4x – 3y). 17
  • 18. Portanto, podemos concluir que 16x2 – 9y2 = (4x + 3y).(4x – 3y). 4. A área do quadrado de lado c vale c2. Os triângulos de lado a, b e c possuem área a .b igual a . O quadrado menor, como vemos na figura, tem lados iguais a b – a; 2 portanto, sua área é (b – a)2. A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos triângulos e do quadrado menor. a .b Portanto: c2 = 4 . ( ) + (b – a)2 2 c2 = 2ab + b2 – 2ab + a2 c 2 = b2 + a 2 . A solução desse problema é uma demonstração do Teorema de Pitágoras, que tem como enunciado: em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à 18
  • 19. soma dos quadrados dos catetos. Nesse momento, você não precisa enunciar esse teorema, uma vez que ele é objeto de estudo da 7a série do Volume 4. 5. Seguindo a abordagem de uso de tabelas para o desenvolvimento de a  b 1 , a  b 2 , a  b 3 ... , pode-se concluir que: a  b 8  a 8  8.a 7 .b  28.a 6 .b 2  56.a 5 .b 3  70.a 4 .b 4  56.a 3 .b 5  28.a 2 .b 6  8.a.b 7  b 8 a  b 4  a 4  4a 3b  6a 2 b 2  4ab 3  b4 19
  • 20. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 ÁLGEBRA: FATORAÇÃO E EQUAÇÕES Páginas 22 - 27 1. a) 9 cm. b) 57 cm. c) 270 cm². d) 154 cm². e) x + 3. f) m – 3. g) Perímetro: (I) e (VI); área: (II), (III), (IV) e (V). h) 70 cm². i) Os polinômios (III) e (IV) são idênticos, e vale a pena chamar a atenção para o fato de que eles obedecem à condição de serem iguais para qualquer valor de y que se imaginar. Inclusive, pode-se pedir que os alunos calculem alguns valores numéricos positivos, negativos, fracionários ou decimais para verificação. j) Os polinômios (II) e (III) não são idênticos. Apesar de terem o mesmo valor numérico para y = 0, eles têm valores diferentes para outros valores de y, ainda que ambos os polinômios possam representar a área do mesmo retângulo VASO. 2. a) A e C. b) B e D. c) 84 cm². d) 169 cm². e) Nesse caso, para verificar se eles são idênticos, os alunos poderão atribuir a x apenas valores positivos por se tratar de medida de lado de retângulo. Todavia, você deve pedir que não sejam atribuídos apenas valores naturais. 20
  • 21. 3. a) 20 e 23. b) 304. c) d) P = 2x + 2x + 2x + 3 + 2x + 3 = 8x + 6 e) A área do retângulo pode ser obtida pela expressão (2x + 3) . 2x, que é idêntica a 4x2 + 6x. Você pode pedir aos alunos que verifiquem a identidade com base em alguns valores atribuídos a x, a fim de atribuir significado ao conceito de valor numérico de um polinômio. Páginas 27 - 30 1. a) 5. b) (a + 3)2 = 64. c) (I), (II), (IV) e (V). d) –11. e) (I), (II), (III) e (IV). f) (I), (II) e (IV). g) As equações (I), (II) e (IV) são equivalentes. Páginas 30 - 33 1. Se o número é x, temos a seguinte expressão: (5x + 15) ÷ (x + 3) = 5(x + 3) ÷ (x + 3) = 5. Observação: Professor, comente que o número pensado não poderia ser – 3. 2. Se o número é x, temos a seguinte expressão: 21
  • 22. (2x2 + 4x) ÷ 2x = 2x(x + 2) ÷ 2x = x + 2. 3. Se os números são x e y, temos a seguinte expressão: (x2 – y2) ÷ (x + y) = [(x – y).(x + y)] ÷ (x + y) = x – y. Como x e y são consecutivos, x – y = 1 3x  6 3 4. O que se está calculando nesse exercício é o resultado de , que é igual a , 2x  4 2 3 x  6 3( x  2) 3 de acordo com a seguinte simplificação:   . No entanto, 2 x  4 2( x  2) 2 considere com os alunos que 2x – 4 deve ser diferente de 0 e, portanto, x não pode ser 2. 5. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a . b = 36 e a + b = 15. Embora a solução desse exercício possa ser resolvida por cálculo mental, é interessante explorar alguns aspectos dessa situação: como o produto é positivo, os dois números têm o mesmo sinal, ou ambos são positivos ou ambos são negativos, e nenhum deles será 0, pois senão o produto seria 0. Estudando os possíveis números positivos, podemos decompor o 36 como: 36 . 1, 18 . 2, 12 . 3 e 9 . 4. Montando uma tabela Observamos que os números serão 12 e 3. 22
  • 23. Página 33 1. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a . b = –27 e a + b = – 6. Agora, como o produto é negativo, os números deverão ter sinais diferentes. Como a soma é negativa, o número negativo terá valor absoluto maior que o positivo. Estudando os possíveis números, podemos decompor o –27 como: Observamos que os números serão 3 e – 9. 2. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a . b = 0 e a + b = 8. Agora, como o produto é 0, um dos números será 0 e, como a soma é 8, o outro número será 8. Portanto, os números são 0 e 8. Páginas 33 - 35 1. a) 4 ou – 4. b) 8. c) – 4. d) 0 ou –1. 2. a) 8. b) 0 ou 5. c) 2 ou 5. 23
  • 24. d) – 5. e) 4 ou –4. f) 1 ou 3. 3. a) (x + 0).(x + 16) = x(x + 16) = 0; soluções: 0 ou –16. b) (x + 5).(x – 5) = 0; soluções: 5 ou –5. c) (x + 3).(x – 3) = 0; soluções: 3 ou –3.  1  1 1 1 d)  x   .  x    0 ; soluções: ou  .  2  2 2 2 e) (x – 3).(x – 3) = (x – 3)2 = 0 solução: 3. f) (x + 6).(x + 6) = (x + 6)2 = 0 solução: – 6. g) (x – 3).(x – 1) = 0, portanto, x = 3 ou x = 1. h) (x – 2).(x – 5) = 0, portanto, x = 2 ou x = 5. 24
  • 25. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 ARITMÉTICA E GEOMETRIA: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DE ALGUMAS IDEIAS FUNDAMENTAIS Desafio! Página 39 Chamando de Sn a soma 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n, podemos notar que as somas 1 + n, 2 + (n – 1), 3 + (n – 2), 4 + (n – 3), e assim por diante, dão n sempre 1 + n; poderíamos concluir que as n parcelas seriam equivalentes a parcelas 2 n iguais a 1 + n, disso resultando que o valor de Sn seria igual a . (1  n) , ou seja, 2 n . (n  1) Sn  . 2 Tal raciocínio seria perfeito se soubéssemos que n é um número par, mas isso nem sempre ocorre. Para chegar a uma conclusão sobre o valor de Sn que seja válida quer n seja par, quer n seja ímpar, podemos raciocinar de outra maneira. Certamente Sn pode ser escrita das duas formas indicadas a seguir: Sn = 1 + 2 + 3+ 4 + ... + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n Sn = n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + ... + 4 + 3 + 2 + 1. Disso segue que, somando os primeiros membros e os segundos membros das duas igualdades, temos: 2 Sn = (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + ... + (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) = n . (1 + n). n . n  1  Logo, S n  , e isso independe do fato de n ser par ou ímpar. 2 Poderíamos imaginar uma forma triangular, como nos exemplos anteriores, representando a soma Sn; reunindo duas formas triangulares e formando uma forma 25
  • 26. retangular com n linhas, em que cada linha tem n + 1 bolinhas, chegando ao mesmo resultado para Sn. Páginas 40 - 44 1. a) 2 . 5 = 10. b) 2 . 100 = 200. c) 2 . 7 – 1 = 13. d) 2 . 30 – 1 = 59. e) 2n. f) 2n – 1. 2. 81 3. Desenvolver a fórmula até chegar à resposta, como está apresentada no Caderno do Professor: S n  1  3  5  ...  (2n  1)  n 2 i 4. a) A soma S np  2  4  6  ...  (2n) é igual ao dobro da soma dos n primeiros naturais, ou seja, S np  2  4  6  ...  (2n) = 2(1 + 2 + 3 +...+ n). Como já vimos que n.(n  1) a soma dos n primeiros naturais é igual a , resulta que 2 2.n.( n  1) . S np   n.( n  1)  n 2  n 2 2n.2n  1 b) Para S2n, temos: S2n = = 2n2 + n. 2 i p Somando os valores de S n e de S n , obtemos, então, o mesmo valor que o de S2n. 5. 540º 26
  • 27. Páginas 44 - 45 1. 1 080º 2. No caso do quilógono, com 1 000 lados, o número de triângulos em que é possível dividi-lo, traçando as diagonais a partir de um dos vértices, é igual a 998 (excetuando-se os dois lados cuja interseção é o vértice de onde partem as diagonais, a cada um dos outros lados corresponde um triângulo); logo, a soma dos ângulos internos do quilógono é igual a 998 . 180º, ou seja, 179 640º. 3. (n – 2) . 180º. Lembramos que a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo foi discutida na 6a série e está sendo retomada na 7a série. Páginas 46 - 47 1. a) Um pentágono tem cinco diagonais. Para verificar isso, basta notar que, de cada um dos vértices do pentágono, é possível traçar duas diagonais, uma vez que, unindo-se o vértice considerado aos vértices adjacentes, não temos uma diagonal, mas sim um lado. Assim, sendo cinco vértices, teremos, aparentemente, um total de dez diagonais. Na verdade, esse número precisa ser dividido por dois, uma vez que cada diagonal é contada duas vezes: a diagonal AB é contada a partir do vértice A e a partir do vértice B. Logo, o número de diagonais do pentágono é cinco. 27
  • 28. b) Raciocinando analogamente, o número de diagonais de um hexágono pode ser calculado da seguinte forma: • de cada vértice partem três diagonais (descontando-se o próprio vértice e os dois adjacentes); • o número de diagonais será igual à metade de 6 . 3, ou seja, será igual a 9. c) Analogamente, o número N de diagonais de um polígono de n lados será tal que: 1 N .n.( n  3) . 2 2. Aqui tratamos um problema muito comum de contagem. O entendimento do problema e a análise das condições necessárias à sua solução devem ser o ponto de partida. No caso, devemos considerar que, quando uma pessoa A aperta a mão de outra pessoa B, é o mesmo que quando B aperta a mão de A. Outra condição do problema é que A não cumprimenta a si mesmo; portanto, para n pessoas, cada pessoa dará n – 1, apertos de mãos. Uma estratégia que pode ser utilizada na resolução desse problema é partir de um número menor de pessoas. Por exemplo, sendo duas pessoas, só haverá um aperto de mãos; com três pessoas, esse número passa para três apertos; para quatro pessoas, serão seis apertos, e assim por diante. Desse modo, busca-se encontrar uma regularidade entre o número de pessoas e o número de apertos de mãos. Outro raciocínio é pensarmos que cada uma das sete pessoas apertará a mão de outras seis. Serão ao todo 7 . 6 cumprimentos, mas aqui estão sendo contadas todas as repetições (A – B e B – A). Portanto, o total de 7 . 6 cumprimentos deverá, então, 7 .6 ser dividido por 2. O total de apertos de mãos distintos é, pois, , ou seja, é igual 2 a 21. n.( n  1) 3. O número de apertos de mãos é, nesse caso, igual a . 2   28
  • 29. AJUSTES Caderno do Professor de Química – 7ª série/8º ano – Volume 2 Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada página. 29
  • 30. Nesse caso, note que na primeira linha sem- Fechando retângulos de n linhas e 3 colunas, pre teremos o número de bolinhas igual ao nú- devemos acrescentar ainda n – 1 bolinhas. mero que representa a e figura e, na segunda li- 1 2 3 4 5 nha, o total de bolinhas será sempre um a menos que o número da figura. Usando a letra n para ... representar o número da figura, o total de boli- nhas pode ser representado por n+(n – 1). Nesse caso, a fórmula seria 3n + (n – 1). 2. Identificando a regularidade por colunas Completando a figura com uma bolinha, fe- 1 2 3 4 5 chamos retângulos de n linhas por 4 colunas. ... 1 2 3 4 5 Agora, o número de colunas é igual ao nú- ... mero da figura e temos duas bolinhas em cada coluna, exceto em uma delas (última coluna) que terá apenas uma bolinha. Se preencher- A fórmula, que agora seria 4n – 1, pode ser mos a coluna que tem apenas uma bolinha comparada com a anterior de onde se conclui com mais uma bolinha, podemos calcular o que 3n + n tem de ser igual a 4n. total de bolinhas multiplicando-se o número de colunas pelo de linhas e subtraindo a boli- Veremos, a seguir, um exemplo em que po- nha adicional ao final da conta. Usando letras, demos trabalhar a multiplicação de letras: o total de bolinhas da figura n será 2n – 1. 1 2 4 3 Uma vez que as duas expressões obtidas são ... equivalentes, n + (n – 1) tem de ser idêntico a 2n – 1, o que significa dizer que ambas expres- Na resolução 1, organizamos a figura em n li- sões devem ser válidas para qualquer n. Decorre, nhas por n + 2 colunas, (1: 1 linha – 3 colunas; 2: 2 linhas – 4 colunas; 3: 3 linhas – 5 colunas, etc.). portanto, que n + n tem de ser igual a 2n. Já na resolução 2, a organizamo-la em quadra- dos com n² bolinhas, mais o dobro de n (1: 1 + 2; Veja agora outra sequência e algumas das 2: 4 + 4; 3: 9 + 6; 4: 16 + 8, etc.). soluções possíveis: Resolução 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 ... ... 12