ushtrime matlab

Ing. dip.Ramiz Kastrati

Detyra të Zgjidhura me Programin
MATLAB® (Versioni 7.0.0)

Prishtinë
Janar 2010

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB

Përmbajtja:

1. Llojet e fajllave në programin Matlab
2. Operatorët: Logjikë, Relacionet dhe aritmtikë
3. Numrat komplekës
4. Vektorët dhe Matricat
5. Ekuacionet algjebrike dhe transandente
6. Paraqitjet grafike, funksionet me një të panohur
7. Kushtëzimet dhe unazat
8. Llogaritja e shumës
9. Llogaritja e limitit
10. Ekuacionet Diferenciale
11. Llogaritja e |Integralit
12. Ekuacionet e Laplasit
13. Inversi i Laplasit, Funksionet Transmetuese
14. Ekuacionet e gjendjes
15. Diagrami i Bodeu dhe Nikvistit
16. Simulink
17. S- Function
18. Rrjetat Fuzzy Neurale

2/224



Llojet e fajllave në programin Matlab
Gjatë përdorimit të programit Matlab, kemi mundësi ti përdorim dy mënyra të shkrimit të
kodit:
 Përmes linjës komanduese Command window dhe
 M – fajllave.

Përdorimi i linjës komanduese ka përparësi e veta por edhe mangësitë sepse me
përdorimin e kësaj forme kodet e shkruara dhe rezultatet humben pas përfundimit dhe
mbylljes së programit Matlab. Për këtë arsye paraqitet nevoja e formimit të fajllave në të
cilët mundemi ti fusim kodet programore , rezultatet numerike , grafikën dhe strukturat
etj.të cilat mbesin të ruajtura në këto fajlla dhe mundë të thirren sa herë që na nevojiten.
Varësisht se çka dëshirojm të ruajmë programi Matlab gjeneron dhe shfrytëzon këto
fajlla me këto ekstensione: M, MAT dhe MEX.

Ekzistojnë dy lloje të M fajllave :
Komandues (script) dhe funksione (function).
Ne për shkuarjen e kodit programor po përdorim formën linjore pra comman windows,
por të gjithë shembujt janë të realizuar edhe duke përdor M fajllat.

Operatorët Logjikë, Relacionit dhe aritmtikë

Në vazhdim po paraqesim tabelat për operacione Logjike, Relacionale dhe aritmetike.

& DHE
| OSE
~ JO

Tabelat me vlerat e operacioneve logjike

A B ~A A&V A|B
1 1 0 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 0

3/224



Vërejtje:
MATLAB e trajton çdo vlerë jo zero si vlerë të sakët, kurse vlerën zero si vlerë te pa sakët

Operatoret e relacionit janë operator binar dhe shfrytëzohen për krahasimin e shprehjeve.
Krahasimi i shprehjeve është i sakët ( true ) me shenjë 1 ose jo i sakët ( false ) me
shenjen 0.

< Më e vogël
<= bartë ose më e vogël se
> Më e madhe
<= Më e madhe ose e barabartë
== E barabartë
~= Jobarabartë
Tabelat me vlerat e operacioneve relacionit

Shprehjet aritmetike shfrytëzojnë operacionet e zakonshme aritmetike

+ mbledhja
- zbritja
* shumëzimi
/ pjesëtimi
^ fuqizimi
Pjesëtim nga ana e djathët

Tabelat me vlerat e operacioneve aritmetike

Shembull 1:
Llogarit vlerën e shprehjes:

>> 2+4-6
ans =
0

Vërejtje :
Nga ky Shembull shohim se MATLAB- i vet e krijon shprehjen me emër ans (answer-
përgjigjeje )

4/224



Shembulli 2:

 1
x  2  24  
Te llogaritet   .

>> x=2+(2*4-pi)

x=

27.1327
Vërejtje:
Numri  je si madhësi konstante në MATLAB. Mjafton ta shtypim simbolin pi ( e jo
3.14)

Shembulli 3:

Të llogaritet vlera e shprehjes y=3x për x=32 :

>> x=3^2;
>> y=3*x
y=
27

Vërejtje :
Nëse nuk duam menjëherë të paraqitet në ekran, atëherë në fund të komandës vendosim ;
(pikëpresje).

Shembulli 4:

Të llogariten shprehjet :
1. 2 + 4 + 6
2. 4*25+6*22+2*99
3. D=A+B+C për A=2 , B=4 , C=6
4. E=B*25+C*22+A*99 për A=2 , B=4 , C=6
5. D=A+B+C për A=2 , B=4 , C=6

% llogaritja e shprehjes a
>> 2 + 4 + 6
Ans =
12
% llogaritja e shprehjes b
>> 4*25+6*22+2*99
ans = 430

5/224



% llogaritja e shprehjes c
>> A=2

A=
2
>> B=4;

>>C=6

C=
6
>> D=A+B+C

D=
12

% Vlerat për A,B,C i marrim nga shembulli nën c:
% llogaritja e shprehjes d
>> E=B*25+C*22+A*99

E=
430

% llogaritja e shprehjes e
% Vrejtje : Vlerat për A,B,C i marrim nga shembulli nën c:

>>A=2;
>>B=4;
>>C=6;
>>D=A+B+C
D=
12

Shembull 5:

>> %shembulli 5.a

6/224



>> ~4
ans =
0

>> %shembulli 5.b

>>5 <=9
ans=
1

>> %shembulli 5.c

>>9<=5
ans=
0

>> %shembulli 5.d
>> 2*5
ans =
10

>> %shembulli 5.e
>> 3*8 ; % për shkak‘;’ rezultati nuk do të paraqitet.

ans =
24

shembull 6:

>> a=1; b=3; % vlerat për variabla
>> if a==b % shprehja logjike për vlerat a dhe b
disp ('a më e madhe se b')
else disp ('b më e madhe se a')
end

Rezultati nga kompjuteri

b me e madhe se a

Shembulli 7:
Llogarit vlerën e shprehjes:
5<3

7/224



>> 5<3
ans =
0

Numrat komplekës

Pjesa Imagjinare është e definuar si vlerë e përhershme. Shfrytëzohet zakonisht shprehja
i   1 ose j   1 .

>> i=sqrt(-1)
i=
0 + 1.0000i

Numrat kompleksë munden sikurse në matematikë të definohen në dy mënyra.

z  x  iy Forma algjebrike
ku x pjesa reale , kurse pjesa imagjinare e numrit kompleks.

w  re i Forma eksponenciale.
Ku r moduli, kurse b  argumenti i numrit kompleks.

Shembulli 8:
Të shkruhet numri z  2  3i .

>> z=2+3*i
z=
2.0000 + 3.0000i

Shembulli 9:
i
6
Të shkruhet numri w  2e .

>> w=2*exp(i*pi/6)
w=
1.7321 + 1.0000i

Sqarim:

8/224



Moduli, argumenti, pjesa reale dhe imagjinare e numrit kompleks fitohet duke shfrytëzuar
urdhërat abs, angle, real, imag, conj.

Shembull 10:
c=a+b
për :
a  2  3i dhe b 1- i

>> % shprehja për mbledhjen e dy numrave kompleks.

>> format short
>> a = 2 + 3i;
>> b = 1 - i;
>> c = a + b
c=
3.0000 + 2.0000i

Shembull 12:

>> c1=1-2i
c1 =
1.0000 - 2.0000i

Shembull 13:

Të llogaritet shprehja

c1  3(2  (1) * 3
a.

c 2  (  2)
b.

c. c3  6  i sin( 0.5)

d. c4  6  j sin( 0.5)

%ekuacioni duke përdor numrat kompleks shprehja a.
>> c1= 3*( 2-sqrt ( -1 ) *3 )

c1=
6.0000 - 9.0000i

%llogaritja e shprehjës b

9/224



» c2=sqrt ( -2 )
c2 =
0 + 1.4142i

%llogaritja e shprehjes c

>> c4=6+sin( .5 )*i
c4 =
6.0000 + 0.4794i

%llogaritja e shprehjes d

>> c5=6+sin( .5 )*j
c5 =
6.0000 + 0.4794i

Sqarim:
Për caktimin e moduli dhe argumentit të numrave kompleks shfrytëzojmë shprehjen:
a  ib  Me j
ku M-moduli , kurse  - argumenti

për shprehjen e më poshtme vlen :
M  a 2  b2
b
  arctg ( )
a
a  M cos 
b  M sin 

Kalimi nga koordinatat e dekartit në polare dhe anasjelltas i realizojmë duke përdor
urdhrat :
abs, angle, real i imag :

Shembull 14:

>>c1=1-2i; % shprehja
>>mag_c1=abs(c1) % moduli i numrit kompleks

mag_c1 =
2.2361
>>angle_c1=angle(c1) % argumenti i numrit kompleks

angle_c1 =
-1.1071
>>deg_c1=angle_c1*180/pi % këndi në grad

10/224



deg_c1 =
-63.4349
>>real_c1=real(c1) % pjesa reale

real_c1 =
1

>>imag_c1=imag(c1) % pjesa imagjinare

imag_c1 =
-2

Shembull 15:

>> z = 3 + 4 * i % pjesa reale 3, pjesa imagjinare 4

z=
3.0000 + 4.0000i
>> z = 3 + 4 * j

z=
3.0000 + 4.0000i
>> z = 3 + 4 * sqrt(-1)

z=
3.0000 + 4.0000i

Forma polare
>> z=5*exp(i*0.927295218) % kendi i dhene ne radiana

z=
3.0000 + 4.0000i

Shembull 16:

>> E=[1 2; 3 4] + i*[5 6; 7 8];
>> E=[1+5*i 2+6*i; 3+7*i 4+8*i]

11/224



E=
1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i
3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

Funksionet kuadratike

ax 2  bx  c  0
Forma m,matematikore e zgjidhjes
 b  b 2  4ac
x1,2 
2a

Shembull 17:

Për a=1, b=5 dhe c=6, zgjidhja do të jepet në formën e më poshtme .

% detyra për funksionin kuadrarik
>>a=1; b=5; c=6;
>>x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)

x1 =
-2

>>x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)

x2 =
-3

>>a*x1^2+b*x1+c % vërtetimi i rezultatit

ans =
0

>>a*x2^2+b*x2+c % vërtetimi i rezultatit

ans =
0

Shembull 18:

12/224



2
Po i zgjedhim vlerën e koeficientet të ekuacionit të detyrës ax  bx  c  0
a=1, b=4 i c=13. atëherë zgjidhjet e ekuacionit do të jenë.

%detyra për funksionin kuadrarik për a=1, b=4 i c=13

>>a=1; b=4; c=13;
>>x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)

x1 =
-2.0000+3.0000i

>>x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)

x2 =
-2.0000-3.0000i

Vrejtje : Rrënjët janë komplekse të konjuguara me rezultat x1 =-2.0000+3.0000i
Dhe x2 =-2.0000-3.0000i

13/224



Vektorët dhe Matricat

Shembull 19:
Shkruani vektorin x=(1, 2, ... , 10).

>> x=1:10

x=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Urdhri length llogaritë gjatësinë e vektorit.

Shembull 20.a:

>> x=1:10

x=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

>> length(x)

ans =
10

Shembull 20.b:

Shkruani vektorin x=(1, 3, 5,7).

>> x=1:2:8
x=
1 3 5 7
Shembull 21:

>>A=[1; 4; 5 ];
>>B=[2; 3; 3 ];
>>D=[A; B]

D=1
4
5
2
3
3

14/224



Shembulli 22:

Të gjinden vlerat max dhe min të vektorëve

>> A = [8 4 4 1 7 11 2 0];
>> max(A)

ans =
11

>> min(A)

ans =
0

Shembull 23:

Produkti i vektorit me vetveten

>>J=[0; 3; 4 ];

>>J.*J

a= 25

>>a=sum(J.*J)

ans= 0
9
16

Shembulli 24:

Të paraqitet matrica A

>> A = [-2 2; 4 1 ]

A=
-2 2
4 1

Shembulli 25:

15/224



Të llogaritet prodhimi i matricës (A )me skalar (2).

>> A = [-2 2; 4 1 ]
>>C=2*A

C=
-4 4
8 2

Shembull 26:

Matrica e transformuar e matricës A

>> A = [-1 2 0; 6 4 1 ]

A=
-1 2 0
6 4 1

>> B=A’

B=

-1 6
2 4
0 1

Shembull 27:

Numri i ai antarëve të matricës

>> A = [2;3;3;4;5];
>> length(A)

ans =
5

>> B = [1;1];
>> length(B)

ans =
2

Shembull 28:

16/224



Numri max i vektorit të dhënë

>> A = [8 4 4 1 7 11 2 0];
>> max(A)

ans =
11
>> min(A)

ans =
0

Shembull 29.a:

>> u = [i; 1 + 2i; 4];
>> sum(u.*u)

ans =
12.
Shembull 29.b:

Matrica e transformuar e matricës u

>> u = [i; 1 + 2i; 4];
>> v = u'

v=
0 – 1.0000i 1.0000 – 2.0000i 4.0000

Shembull 29.c:

>> v = conj(u)

v=
0 – 1.0000i
1.0000 – 2.0000i
4.0000

Shembull 29.d:

>> b = sum(v.*u)

b=
22

17/224



>> magu = sqrt(b)

magu =
4.6904

Shembull 30:
Gjetja e antarit ai të vektorit të dhënë A

>> A = [12; 17; –2; 0; 4; 4; 11; 19; 27];
>> A(2)

ans =
17
>> A(8)

ans =
19

Matrica është fushë e numrave e cila definohet me dy indekse mxn, ku indeksi i parë m
nënkupton numrin e rreshtit , kurse i dyti n numrin e kolonës. Elementet zakonisht
vendosen në rreshta, kurse në kllapa [ , ] vendosen lista e elementeve. Lista e elementeve
ndahet me presje apo me pikëpresje. Tasteri Enter ose pikëpresje ( ; ) shfrytëzohet për
ndarjen rreshtave të matricës.

Shembull 31:
shkruaje matricën :
 1  2 4
A   6 8 5
 
 7  4 2
 

>> A=[1 -2 4; -6 8 5; 7 -4 2]

A=
1 -2 4
-6 8 5
7 -4 2

Forma e dytë për shkrimin e matricës është :

>> A=[1, -2, 4; -6, 8, 5; 7, -4, 2]

18/224



A=
1 -2 4
-6 8 5
7 -4 2

Matricat me strukturë speciale

Urdhri eye na jep matricën njësi (tabela 1).

Urdhri Përshkrimi
eye(n) Matrica njësi me dimensione nxn
eye(m,n) Matrica njësi me dimensione mxn
eye(size(A)) Matrica njësi me dimensione të matricës A

Shembull 35:

Të Formohet matricën me dy rreshta dhe tri kolona elementet e së cilës në diagonalen
kryesore janë 1, kurse elementet tjera janë 0 .

>> X=eye(2,3)

X=
1 0 0
0 1 0

Shembull 32:

Të formohet matricën njësi, dimensionet e matricës janë dhënë nga shembulli i latë
shënuar.
>> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] ;
>>X=eye(size(A))
X=
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Urdhëri ones i jep matricës elementet e së cilës janë të gjithë zero (tabela 2).

Urdhëri Përshkrimi
Matrica me dimensione nxn ku të gjithë elementet
ones(n)
janë një 1

19/224



Matrica me dimensione mxn nxn ku të gjithë
ones(m,n)
elementet janë një 1
Matrica me dimensione të matricës së dhënë A nxn
ones(size(A))
ku të gjithë elementet janë një 1

Shembull 33:

Të formohet matricën kuadratike të rendit 2 ku të gjithë elementet janë një.

>> X=ones(2)

X=
1 1
1 1

Urdhëri zeros i jepet matricës ku elementet e së cilës janë zero (tabela 3).

Urdhëri Përshkrimi
Matrica me dimensione nxn ku të gjithë elementet
zeros(n)
janë zero
Matrica me dimensione mxn ku të gjithë elementet
zeros(m,n)
janë zero
Matrica me dimensione të matricës së dhënë A nxn
zeros(size(A))
ku të gjithë elementet janë zero

Shembull 34:

Të formohet matricën me dy rreshta dhe dy kolona ku të gjithë elementet janë të njëjtë
pra .

>> X=zeros(2,3)
X=
0 0 0
0 0 0

Shembull 35:

Të formohet matrica e rendit të tretë duke shfrytëzuar urdhrin magic

Urdhri magic(n) i jepen matricës me elemente të plotë në mesë 1 dhe n2, dimensioni
nxn, duke marrë parasysh që mbledhja e elementeve në rreshta dhe kolona është
konstante

20/224



>> X3=magic(3)

X3=
8 1 6
3 5 7
4 9 2

Shembull 46:

Urdhri diag(A) fiton matricën diagonale të matricës së dhënë A.

Të formohet matrica duke shfrytëzuar urdhrin diag.

>> A , X1=diag(A) , X2=diag(diag(A))
A=
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6

X1 =
1
-3
-6

X2 =
1 0 0
0 -3 0
0 0 -6

Në operacionet bazike me matricat hyjnë:

 mbledhja

21/224



 zbritja
 shumëzimi
 pjesëtimi

Mbledhja dhe zbritja e matricave

Mbledhja dhe zbritja e matricave realizohet duke u mbledhur respektivisht duke u zbritur
elementet e caktua të matricës. Në këto raste duhet të kihet parasysh që matricat të jenë të
njëjtit dimension.

Shembull 37:
Të mblidhen matricat A dhe B, ku matrica C është matrica e fituar.

>> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] ;
>>B=[2, 3,-4; 1, -1, 1; 3, 2, -1] , C=A+B

B=

2 3 -4
1 -1 1
3 2 -1

C=

3 5 -1
3 -4 2
-1 -3 -7

Shembull 38:

Nga matrica A të zbritet skalari 1 për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]

>> D=A-1

D=
0 1 2
1 -4 0
-5 -6 -7

Vërejtje : Në Shembullin paraprak, skalarin 1 MATLAB-i automatikisht e kupton si
matricë me dimensione të njëjta sikurse matrica A me të gjithë elementet e barabartë me
1

22/224



Shumëzimi i matricave
Shumëzimi i matricave me skalar realizohet ashtu që secili element i matricës e
shumëzojmë me vlerën e skalarit të dhënë. Duhet të kihet parasysh që vlen ligji. kA=Ak.

Shembull 39.

Nëse k=5, cakto F=5A. Për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]

>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>> A , F=5*A

A=
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6

F=
5 10 15
10 -15 5
-20 -25 -30

a b
Shumimi i dy matricave : Prodhimi i matricës A={ i , j } (dimensione mxr) dhe B={ i , j }
(dimensione rxn) është matrica e re C (dimensione mxn) elementet e së cilës janë :
r
cij   ai ,k bk , j
k 1 .

Shembull 40:

Shumëzo matricën A dhe A1, për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]

>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>> A1=[1, 2 ; 2, -3 ; 1, 6] , P=A*A1

A=
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6

A1 =
1 2

23/224



2 -3
1 6
P=
8 14
-3 19
-20 -29

Shembull 41:

Nëse kishim dëshiruar që të shumëzojmë matricën me rend jo të njëjtë A1*A, atëherë do
të fitojmë mesazhin

>> A1*A
??? Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree.

Matrica e transponuar

Transponimi i matricave me koeficient real është ndërrimi i rreshtave me shtyllat e
matricës . Realizohet me përdorimin e operatorit ' .

Shembull 42:
Është dhënë matrica e transponuar A, ku E është matrica e fituar për

%vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]

>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>> E=A'

A=
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6

E=
1 2 -4
2 -3 -5
3 1 -6

Shembull 43:

24/224



Tek matricat e transponuar ku si elemente të matricës janë numrat kompleksë,
MATLAB-i kryen të ashtu quajturën transponimin kompleksë, ku njëherësh e transponon
matricën dhe njëkohësisht e konjugon çdo element të tij.

>> Z=[1+2*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i] , W=Z'

Z=
1.0000 + 2.0000i 2.0000 - 6.0000i
3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

W=
1.0000 - 2.0000i 3.0000 - 7.0000i
2.0000 + 6.0000i 4.0000 - 8.0000i

Determinanta

Determinanta e matricës kuadratike është numri i cili llogaritet duke përdor operatorin
det.

Shembull 44:

Të llogaritet determinanta A.

% vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>> D=det(A)

A=
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6

D=
-27

Nëse është në pyetje matrica me elemente komplekse mundemi njëkohësisht të
shfrytëzojmë dy format e shkrimit të matricës .

Shembull 45:

Shkruani matricën .

25/224



 1  5i 2  6i 
Z 
 3  7i 4  8i 

Matricën e shënojmë ashtu që në formë të veçanta pjesën reale dhe në formë tjetër pjesën
, pra i ndajmë pjesën reale nga ajo imagjinare.

>> a=[-1, 2; 3, 4] ; b=[5, -6; 7, 8] ; Z=a+b*i

Z=
-1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i

3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

Shembull 46:

Shkruaje matricën Z nga shembulli paraprak ashtu që elementet i vendosim menjëherë
edhe pjesën reale edhe atë imagjinare.

>> Z=[-1+5*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i]

Z=
-1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i

3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

Në shembujt e më sipërm pamë se si bëhet shkruarja e matricave në programin Matlab.
Tani do të njihemi me matrica speciale, operacionet me matrica dhe veprimet tjera me
matrica
Elementet e matricës A të cilat ndodhen në rreshtin e i-së dhe kolonës j-mundë të fitohen
me përdorimin e urdhrit A(i,j).

Shembull 47:

1 2 3
 2 3 1 
A 
  4  5  6
 

Nga matrica ndaj elementin në rreshtin e dytë dhe kolonën e tretë.

>> A=[1 2 3 ; 2 -3 1 ; -4 -5 -6] ;

26/224



>> A(2 , 3)

ans =
1

Nëse dëshirojmë të ndajmë të gjithë rreshtin apo kolonën shfrytëzojmë komandën A(k,:),
A(:,k), ku k paraqet rreshtin e kërkuar, ose kolonën.

Shembull 48:

Të caktohet dimensionet e matricës së dhënë A nga shembulli i më sipërm, duke
shfrytëzuar urdhrin size.
>> size(A)

ans =
3 3

Shembull 49:

Të caktohet dimensionet e matricës së dhënë A nga shembulli i më sipërm , duke
shfrytëzuar urdhrin [m,n]=size(A).

>> [m, n]=size(A)
m=
3
n=
3

Shembull 50:

>> A = [-1,6; 7, 11];
>>B = [2,0,1;-1,7,4; 3,0,1]
>>A = [-2 2; 4 1]

B=

2 0 1
-1 7 4
3 0 1

27/224



A=

-2 2
4 1

>> C = 2*A

C=

-4 4
8 2

Shembull 51.:

>> A = [5 1; 0 9];
>> B = [2 –2; 1 1];
>> A + B

ans =
7 –1
1 10
>> A – B
ans =
3 3
–1 8

Shembull 52.a:

>> A = [-1 2 0; 6 4 1]

A=
–1 2 0
6 4 1
>> B = A'

B=
–1 6
2 4
0 1

Shembull 52.b:

>> C = [1 + i, 4 -i; 5 + 2*i, 3 -3*i]

28/224



C=
1.0000 + 1.0000i 4.0000 – 1.0000i
5.0000 + 2.0000i 3.0000 – 3.0000i

>> D = C'

D=
1.0000 – 1.0000i 5.0000 – 2.0000i
4.0000 + 1.0000i 3.0000 + 3.0000i

Shembull 52.c:

>> A = [12 3; –1 6]; B = [4 2; 9 1];
>> C = A.*B

C=
48 6
–9 6

Shembull 52.d:

>> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6];
>> A.*B
ans =
6 4
5 12

>> A*B
ans =
11 14
13 16

Shembull 52.f:

>> A = [1 4; 8 0; –1 3]; B = [–1 7 4; 2 1 –2];
>> C = A*B
C=
7 11 –4
–8 56 32
7 –4 –10

29/224



Shembull 52.g:

>> A = [1 2 3 4];
>> b = 2;
>> C = b + A

C=
3 4 5 6

Shembull 52.h:

>>A = [2 4 6 8]; B = [2 2 3 1];
>> C = A./B

C=
1 2 2 8

>> C = A.B

C=
1.0000 0.5000 0.5000 0.1250

Shembull 52.i:

>> B = [2 4; -1 6]

B=
2 4
–1 6
>> B.^2
ans =
4 16
1 36

Shembull 53:

30/224



Caktimi i anëtarit te matricës

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9

>> A(2,3)

ans =
6

>> A(:,2)

ans =
2
5
8

>> A(:,2:3)

ans =
2 3
5 6
8 9

>> A(2:3,1:2)

ans =
4 5
7 8

Matrica inverse

31/224



1
A 1  adjA
Nga definim matematikë det( A) .
1
Matrica inverse A , matrica e dhënë A në MATLAB caktohet me ndihmën e
operatorit inv(A).

Shembull 54:

Gjeni matricën inverse, të matricës së dhënë A.

>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>> A ; Ai=inv(A)

Ai =
-0.8519 0.1111 -0.4074
-0.2963 -0.2222 -0.1852
0.8148 0.1111 0.2593

Fuqizimi i matricës

Nëse A matricë kuadratike , kurse p numër i plotë pozitiv, fuqizimin e matricës mundë
A p  1 4 4 2 4 43
AAAAL AAAA
p
ta definojmë në formën vijuese: .
p
Për matrica rregullare (determinanta e ndryshueshme prej zeros) A, vlen A  A
1
.  p

Fuqizimi i matricave kuadratike realizohet me ndihmën e operatorit ^ , ashtu që
^ ^
shprehja A p dhe A ( p) jep p -në dhe  p -në shkallën e matricës A .

Shembull 55:
2 2
Për matricën rregullare A të caktohet A , A dhe të vërtetohet a vlen A  A  I , ku
2 2

I matrica njësi me dimensione të njëjta sikurse matrica A.

>> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>> J=A^2 , M=A^(-2) , I=J*M

J=
-7 -19 -13
-8 8 -3
10 37 19

32/224



M=
0.3608 -0.1646 0.2209
0.1674 -0.0041 0.1139
-0.5158 0.0947 -0.2853

I=
1.0000 0.0000 -0.0000
-0.0000 1.0000 0.0000
-0.0000 -0.0000 1.0000

Pjesëtimi i matricave

Në llogaritjet për matrica operacioni i pjesëtimit nuk është i definuar kurse në MATLAB
ekzistojnë dy operator për pjesëtim:
nënkupton “pjesëtim ” nga e majta
/ nënkupton “pjesëtim ” nga e djathta

Le të jetë A matricë rregullare kuadratike

A B  A1 * B A / B  B * A1
Rezultati fitohet direkt, pa llogaritjen e matricës inverse.

Shembull 56:

Në shembullin e ardhshëm mundë të shohim ndryshimin në mesë operatorit “pjesëtimi”
nga e majta dhe nga e djathta /.

% vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6], B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1]

>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6], B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1]
>> A , B , K=AB , K1=A/B

A=
1 2 3
2 -3 1
-4 -5 -6

B=
2 3 -4
1 -1 1

33/224



3 2 -1

K=
-2.8148 -3.4815 3.9259
-1.3704 -1.0370 1.1481
2.5185 2.8519 -3.4074

K1 =
-2.2000 -3.0000 2.8000
0.9000 3.5000 -1.1000
4.6000 6.0000 -6.4000

1
Po theksojmë se X=AB (X= A B) paraqet zgjedhjen e ekuacionit AX=B, kurse
1
X=A/B (X=B A ), paraqet zgjedhjen e ekuacionit XA=B.

Shembull 57:
Të zgjidhet ekuacioni i matricës AX=B.
1 2 3 1 
A  2 3 1  B 2 
  
  4  5  6
  dhe   2
 .
Ku matricat e dhëna janë:
1
(vërejtje : AX  B  X  A B )
>>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6]
>>B=[1; 2; -2]

>> A ; B ; X=inv(A)*B

X=
0.1852
-0.3704
0.5185

%Ose forma tjetër
>> X=AB

X=
0.1852
-0.3704
0.5185

Shembull 58:

34/224



Të pjesëtohet matrica A me skalarin 2, nga ana e majta dhe e djathta .

% pjesëtimi nga ana e majtë
>> A2
??? Error using ==>
Matrix dimensions must agree.

% pjesëtimi nga ana e djathtë

>> A/2

ans =
0.5000 1.0000 1.5000
1.0000 -1.5000 0.5000
-2.0000 -2.5000 -3.0000

Shembull 59.a:

Shumëzimi i matricës A dhe matricës B

>> A = [12 3; -1 6]; B = [4 2; 9 1];
>> C = A.*B

C=

48 6
-9 6

Shembull 59.b:


>> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6];
>> A.*B

ans =
6 4
5 12

Shembull 59.c:

35/224




>> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6];
>> A*B
ans =
11 14
13 16

Shembull 60:

>> A = [1 4; 8 0; -1 3]; B = [-1 7 4; 2 1 -2];
>> C = A*B

C=
7 11 –4
–8 56 32
7 –4 –10

Ekuacionet algjebrike dhe transandente

Shembull 61.a:

Të zgjidhet ekuacioni x+5=0 duke përdor urdhrin (solove).

% zgjidhet ekuacioni x+5=0
>> eq1='x+5=0';
>> solve(eq1)

ans =
-5

Shembull 61.b:

% zgjidhet ekuacioni x+5=0

>> solve('x+5=0')

36/224



>> syms x

ans =
-5

Shembull 61.c:

>> % zgjidhet ekuacioni x+5=0
>> solve(x+5)

ans =
-5

Shembull 61.d:

>> % zgjidhet ekuacioni x+5=0
>> syms x
>> x=solve(x+5)

x=
-5

Shembull 62:

Të zgjidhet ekuacioni
e 2 x  3e x  54

>> solve('exp(2*x)+3*exp(x)=54')

ans =

log(6)
log(9)+i*pi

Shembull 64:

Të zgjidhet ekuacioni y2  3y  2  0

>> eq2='y^2+3*y+2=0';

37/224



>> solve(eq2)

ans =
[-2]
[-1]
Zgjidhja do të jetë për y1=-2 dhe y2=-1

Shembull 65:

>> eq3='x^2+9*y^4=0‘;
>> solve(eq3) % Note that x is presumed to ve the unknown variable

ans =
[3*i*y^2]
[-3*i*y^2]

38/224



Paraqitjet grafike funksionet me një të panohur
Njëra ndër përparësitë ndoshta më të mëdha të programit Matlab është mundësia
shumë e madhe e paraqitjeve grafike.
Në Programin Matlab ekzistojnë shumë komanda përmes së cilave paraqiten format
grafike e të dhënave 2D ose 3D. Forma grafike e fituara mundë të ruhen në formate të
tilla ashtu që mundë të ruhen dhe të përdoren ne programet tjera.
MATLABI posedon mundësi të mëdha të paraqitjeve grafike. Urdhri bazikë për
vizatimin është plot.
Mënyra më e lehtë e paraqitjes grafike në boshtin kordinativ është shfrytëzimi i i urdhrit
plot(x).
Me rastin e vizatimit bëhet hapja e dritarja për grafikë në të cilën vlejnë të gjitha rregullat
sikurse edhe në dritaret e sistemit operativ Windows.

Lista e urdhrave dhe funksioneve të shfrytëzuar

plot vizatimi linear
zplot grafiku i funksionit
fplot grafiku i funksionit
subplot ndarja në pjesë e dritares grafike
figure dritarja për vizatim
title emërtimi i grafikut
xlabel teksti nën boshtin x
ylabel teksti nën boshtin y
zlabel teksti nën boshtin z
text përshkrimi tekstual
gtext vendosja e tekstit me prekjen me mi
grid rrjeta
hold on mbajtja e grafikut (figurës) në dritare
hold off heqja e grafikut (figurës ) nga dritarja
syms definohet ndryshorja simbolike
meshgrid Shfrytëzohet për vizatim tre dimensional

39/224



Shembull 66:

Të vizatohet vektori me koordinatat e dhëna .

>> x=[1,2,4,8,16];
>> plot(x)

16

14

12

10

8

6

4

2

0
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Nga ky shembull mundemi të shohim se MATLABI për vlera të ndryshores x ka fituar
shumë vlera, kurse grafiku ka vlerat e x-it njashtu pikat e grafikut të vizatuar kanë
koordinatat     
1, x 1 , 2, x  2   ....

Në rastin e përgjithshëm urdhri plot(x) vizaton grafikë duke i lidhë pikat (i, x(i)), i=1, 2,
3,…, N, ku N gjatësia e vektorit.

Vlerat e ndryshores mundë të jepen në formë të pa mvarura. Në këtë rast shfrytëzohet
urdhri plot(x,y).

40/224



Shembull 67:

Të vizatohet vekori me koordinatat e dhëna. x=[1,2,4,8,16];

>> x=[1,2,4,8,16];
>> plot(x)
>> x=[1 2 3 4 5];
>> y=[-2,3,4,-5,6];
>> plot(x,y)

Figura 7. 1

Shembull 68:
2
Të paraqitet grafikisht funksioni y  x sin xx  në kufijtë e dhënë. -

>> x=-4:.1:4;
>> y=x.*sin(pi*x).^2;
>> plot(x,y)

41/224



Vrejtje: Në sistemin e njëjtë kordinativ mundë të vizatohen më shumë funksione.

Shembull 69:
x
Të paraqitet grafikisht funksioni y  2 x dhe y  xe në sistemin e njëjtë kordinativ

>> x1=-1:1:1;y1=2*x1;
>> x2=-1:.1:1;y2=x2.*exp(x2);
>> plot(x1,y1,x2,y2)
3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

42/224



Forma e paraqitjes dhe vijave mundë të përdorin urdhrin plot.

Për caktimin e llojit të vijave dhe formën mundë të shfrytëzojmë urdhrin plot(x,y,'lloji i
vijave'). Tabela 7. 1 Mundëson zgjedhjen e llojit të vijave.

Simboli I vijave
pershkrimi
. Pika
o rrethi
h h-shenja
+ plusi
* ylli
- Vija e plotë
-. pikë – vijë
: dypika
-- Vija me ndërprerje

Tabela 7. 1

Tabela 7. 2 Mundëson zgjedhjen e llojit të ngjyrës së vijës.
Tabela me anën e e së cilës mundemi të caktojm ngjyrat e lakoreve në Matlab.

Ngjyra Simboli
Bardhe w
E zeze k
E kalter b
E kuqe r
E verdhe y
vjollce c
E gjelber g

Tabela 7. 2

Shembull 70:

Nëse shfrytëzojmë shembullin 69 dhe vendosim për llojin e vijave dhe ngjyrën e tyre.

>> x1=-1:1:1;y1=2*x1;
>> x2=-1:.1:1;y2=x2.*exp(x2);
>> plot(x1,y1,'g',x2,y2,'r+')

43/224



3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Për paraqitje grafike të funksioneve mundemi ta shfrytëzojmë edhe urdhrin
fplot(f,xmin,xmax).

f  x
Funksionin që e vizatojmë ka formën , ku x është vektor ku elementi i parë xmin,
kurse elementi i fundit xmax.

Në urdhrin fplot funksioni jepet me shkurtesën ' f '.

Shembull 71:
2
Të paraqiten grafikisht funksioni y  x  9 në domenin [-3 , 3].

>> f='x^2-9';
>> fplot(f,[-3,3])

44/224



0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9
-3 -2 -1 0 1 2 3

Urdhri ezplot mundëson vizatatimin e funksioneve në domenin e definuar:

2  x  2 .
f  f  x , y
Për vizatimin e funksioneve të dhëna implicite përdorim urdhrin ezplot(f).
Me këtë urdhër vizatohet grafiku i funksionit 
f x, y  0
në domenin fikës
2  x  2 dhe 2  y  2 .

Nëse është e nevojshme të ndërrohet domeni i funksionit atëherë mundë të nderohet dhe
urdhri ka formën ezplot(f,[a,b]). Me këtë urdhër vizatohet grafiku i funksionit   në
f x
intervalin a  x  b .
Urdhri ezplot(f,[a,b]) bën vizatimin e grafikut të funksionit 
f x, y  0
në domenin
a  x  b dhe a  y  b.

Shembull 72:
x
Të vizatohet grafiku i funksionit y  xe .

>> y='x*exp(x)';ezplot(y)

45/224



x exp(x)
1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0

-6 -4 -2 0 2 4 6
x

Vrejtje:
Mënyra tjetër që simbolikisht ta paraqesim funksionin është që së pari definojmë
ndryshoret e pa varura x si ndryshore simbolike duke shfrytëzuar urdhrin syms.

Shfrytëzimin e këtij urdhri mundë ta shohim në shembullin e më poshtëm.

Shembull 73:

Të vizatohet grafiku i funksionit nga shembulli i më sipërm duke përdor urdhrin sym.
>> syms x
>> y=x*exp(x);ezplot(y)

46/224



x exp(x)
1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0

-6 -4 -2 0 2 4 6
x

Shembull 74:
Të vizatohet grafiku i funksionit implicit .
x2 y2
 1
2 4 .

>> ezplot('x^2/2+y^2/4-1')

x 2/2+y 2/4-1 = 0
6

4

2

0
y

-2

-4

-6
-6 -4 -2 0 2 4 6
x

47/224



Shënimet në boshtet e grafikut
Programi Matlab mundëson vendosjen e shënimeve në boshte si tekste të ndryshme dhe
forma të ndryshme të paraqitjes plotësuese me qëllim të sqarimeve më të mira. Disa nga
ato janë paraqitur në tabelën 7. 3.

shënjimi përshkrimi
title Emri i grafikut
xlabel Emri i boshtit x
ylabel Emri i boshtit y
text Emetimi i tekstit në grafikë
Teksti në pozicionin e vendosjes së
gtext
miut
grid Vizatimi i vijave të rrjetës

Tabela 7. 3

Teksti në urdhëratë e lartshënuara (tabelë) futet në kllapa dhe mbyllet në shojza . Urdhri
hold on e mbanë foton në ekran. E kundërta me atë është urdhri hold off .

Shembull 75:
Të vizatohet grafiku i funksionit y  sin x dhe të shfrytëzohen urdhëratë nga tabela 3

>> syms x
>> y=sin(x);
>> ezplot(y)
>> hold on
>> title('sinus')
>> xlabel('boshti x')
>> ylabel('boshti y')
>> text(0,0,'zero')
>> gtext('max')
>> grid

48/224



sinus

1

0.5
boshti y

0 zero

-0.5

-1

-6 -4 -2 0 2 4 6
boshti x

Shembull 76:
2 2
Të vizatohet grafiku i funksionit y  a  x .

>> x=-5 : .5 : 5;
>> a=1 : 5;
>> [xx , aa]=meshgrid(x .^ 2 , a .^ 2);
>> plot(x , xx-aa , 'k')

25

20

15

10

5

0

-5

-10

-15

-20

-25
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

49/224



Me shfrytëzimin e urdhrit meshgrid i cili transformon vektorin x dhe y në fusha dy
dimensionale të cilat mundë të shfrytëzohen për vizatimin edhe në fusha tre
dimensionale

Urdhri subplot(m,n,p) nderon dimensionin e grafikut e cila mundëson në formimin e më
shumë grafikeve në dritare. Dritarja ndahet në m  n pjesë, kurse grafiku vizatohet në
përpjesën p të ndarjes së dritares.

Shembull 77:

Me shfrytëzimin e urdhrit subplot të vizatohet grafiku i katër funksioneve:

y1=x1
y2=x2*exp(x2)
y3=cos(x3)
z=exp(x4*i)
Zgjidhje

>> x1=-1:1:1;y1=x1;
>> x2=0:0.5:1;y2=x2.*exp(x2);
>> x3=-pi:pi;y3=cos(x3);
>> x4=0:pi/8:2*pi;z=exp(x4*i);

>> subplot(221), plot(x1,y1)
>> subplot(224), plot(z)

1 3

0.5
2
0
1
-0.5

-1 0
-1 -0.5 0 0.5 1 0 0.5 1

1 1

0.5 0.5

0 0

-0.5 -0.5

-1 -1
-4 -2 0 2 4 -1 -0.5 0 0.5 1

50/224



Paraqitjet grafike e funksioneve të ndryshme.

Shembull 78:

Të paraqesim funksionin y=sin(x) për x prej 0 deri 2  . Së pari duhet të definohet numri
i pikave në intervalin 0 dhe 2  .

>> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 );
>> y=sin ( x );
>> plot ( x, y )

Pas së cilës paraqitet grafiku i më poshtëm.
1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 1 2 3 4 5 6 7

Shembull 79:
2
y=x në intervalin prej -2 deri 2.

>> x = -2 : 0.01 : 2 ;
>> y=x.^2 ;
>> plot ( x , y )

51/224



4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Shembull 80:

Me shfrytëzimin e komandës plot mundë ti paraqesim funksionet për më shumë
funksione.

y=sin ( x );
z=cos ( x );

>> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 );
>> y=sin ( x );
>> z=cos ( x );
>>plot ( x, y, x, z )

52/224



1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 1 2 3 4 5 6 7

Shënimi i grafikës dhe boshteve duke përdor urdhrat :
title, xlabel dhe ylabel

Shembull 81:

>> x=-4*pi : pi/100 : 4*pi ;
>> y=sin ( x );
>> plot ( x , y )
>> title ( ' Grafiku i funksionit y=sin ( x ) ' )
>> xlabel ( ' vlera e ndryshores x ' )

53/224



Grafiku i funksionit y=sin ( x )
1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
-15 -10 -5 0 5 10 15
vlera e ndryshores x

Shembull 82:

Të vizatohet grafiku me pika në vendet e prerjes

>> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 );
>> y=sin ( x );
>> plot ( x , y , x , y , '+' )

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 1 2 3 4 5 6 7

Në shembujt e deritanishëm grafiku është paraqitur në një ekran të plotë, por ka
mundësi që të paraqiten më shumë forma grafike të ndryshme në më shumë ekrane
(maksimalisht 4) për çka përdoret komanda subPLOT.
Forma e përgjithshme e kësaj komande është subplot(mnp).

54/224



Forma tre dimensionale e grafikut

Siç thamë më lartë funksionet grafike në Matlab mundë të paraqiten edhe në formë 3D

Shembull 83:

Të paraqitet grafikisht funksioni Z=cos(x)sin(x)

>> [x,y] = meshgrid(-2*pi:0.1:2*pi);
>> z = cos(x).*sin(y);
>> mesh(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

1

0.5

0
z

-0.5

-1
10
5 10
0 5
0
-5 -5
y -10 -10
x

Shembull 84:

Të paraqitet grafikisht funksioni

Z  ye  x2  y2
>> [x,y] = meshgrid(-2:0.1:2);
>> z = y.*exp(-x.^2-y.^2);
>> mesh(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')
>> surf(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

55/224



0.5

0
z

-0.5
2
1 2
0 1
0
-1 -1
y -2 -2
x

Shembull 85:

Të paraqesim funksionin y=sin(x) për x prej 0 deri 2  . Së pari duhet të definohet numri
i pikave në intervalin 0 dhe 2  .

>> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 );
>>y=sin ( x );
>>plot ( x, y )

Pas së cilës paraqitet grafiku i më poshtëm.

Shembull 86:
2
Ose për shembull funksioni y=x në interval prej -2 deri 2.

>>x =-2 : 0.01 : 2 ;
>> y=x.^2 ;
>> plot ( x , y )

56/224



Shembull 87:

Me shfrytëyimin e komandes plot mundë ti paraqesim funksionet për më shumë
funksione.

>> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 );
>> y=sin ( x );
>> z=cos ( x );
>> plot ( x, y, x, z )

57/224



Shembull 88:
f (t )  e  t sin( t )
Per kufijt 0 deri në 4 me hap 0,01

Zgjidhje

>> t = [0:0.01:4];
>> f = exp(-2*t).*sin(t);
>> plot(t, f)
0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

-0.02
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Shembull 89:

Të vizatohen dy funksione
f (t )  e  t
g (t )  e 2t
për intervalin 0 ≤t≤5:
Zgjidhje

% se pari definohet intervali i perkufizimit
>> t = [0:0.01:5];
% pastaj definohen te dy funksionet :
>> f=exp(-t);
>> g = exp(-2*t);
%paraqitja grafike
>> plot(t,f,t,g,'--')

58/224



1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Shembull 90:

Të definohen funksionet trigonometrike dhe hiperbollike
y = sinh(x);
z = cosh(x);
per kufijte 0<x<2 për hapin 0,01

Zgjidhje

% se pari e definojm vlerat per x:
>> x = [0:0.01:2];
>> y = sinh(x);
>> z = cosh(x);
% po paraqesim formen e paraqitjes grafike
>> plot(x,y,x,z,'-.'),xlabel('x'),ylabel('Potenciali'),legend('sinh(x)','cosh(x)')
4
sinh(x)
3.5 cosh(x)

3

2.5
Potenciali

2

1.5

1

0.5

0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x

59/224



Shembull 91:

y = sinh(x);
z = cosh(x);
Për vlera -5<x<5.

Zgjidhje

>> x = [-5:0.01:5];
>> y = sinh(x);
>> z = cosh(x);
%forma e paraqitjes se grafikut permes ngjyrave te kuqe
>> plot(x,y,'r',x,z,'b')
%forma e paraqitjes se grafikut me nderprerje permes ngjyrave te kalter
>> plot(x,y,'r',x,z,'b--')

80

60

40

20

0

-20

-40

-60

-80
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

60/224



Shembull 92:

Të paraqitet grafiku për funksionin
y = sin(2x + 3) për 0 <x <5.

Zgjidhje

>> x = [0:0.01:5];
>> y = sin(2*x + 3);
>> plot(x,y), axis([0 5 -1 1])

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Shembull 93:

x(t) = t
y(t) = t2
z(t) = t3 0 ≤ t ≤ 2.0

Zgjidhje

>> t = linspace(0, 2,100) ;
>> x = t ; y = t.^2 ; z = t.^3;
>> plot3(x, y, z), grid

61/224



8

6

4

2

0
4
3 2
2 1.5
1
1 0.5
0 0

Shembull 94:

Të vizatohet grafiku i funksionit y ( x)  e 0.7 x sin x
Nëse w = 15 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. me hap rritje prej 0.1.

Zgjidhje
>> x = [0 : 0.1 : 15];
>> w = 15;
>> y = exp(- 0.7*x).*sin(w*x);
>> plot(x, y)
>> title('y(x) = e^-^0^.^7^x sinomega x')
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')

62/224



y(x) = e-0.7x sin x
1

0.8

0.6

0.4

0.2
y

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8
0 5 10 15
x

Shembull 95:

Të vizatohet grafiku i funksionit y ( x)  e 0.6 x cos x
Nëse ω =10 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. me hapë të rritjes prej 0.05.

Zgjidhje
>> x = [0 : 0.1 : 15];
>> w = 10;
>> y = exp(- 0.6*x).*cos(w*x);
>> plot(x, y)
>> title('y(x) = e^-^0^.^6^x cosomega x')
>> xlabel('x')
>> ylabel('y')

63/224



y(x) = e-0.6x cos x
1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
y

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 5 10 15
x

Shembull 96:

Te vizatohet grafiku i funksionit

y(x) = e–0.7x sin x
nese w = 15 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. x rritet per 0,1

Zgjidhje .

>> x = [0 : 0.1 : 15];
>> w = 15;
>> y = exp(– 0.7*x).*sin(w*x);
>> plot(x, y)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8
0 5 10 15

64/224



Shembull 97:

Te vizatohet grafiku i funksionit y(x) = e–0.6x cos x
Nëse  = 10 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. x rritet për 0.05.

Zgjidhje .

x = [0 : 0.1 : 15];
w = 10;
y = exp(- 0.6*x).*cos(w*x);
plot(x, y)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 5 10 15

Shembull 98:

Të vizatohet grafiku i funksionit polar.

r 2  5 cos 3t për 0≤t≤2π

Zgjidhje

>> t = linspace(0, 2*pi, 200);
>> r = sqrt(abs(5*cos(3*t)));
>> % forma polare e grafikut
>> polar(t, r)

65/224


ushtrime matlab

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Plus de Burim Guri

Plus de Burim Guri (10)

ushtrime matlab