1. Instituto Comercial Osorno Depto. De Matemática Unidad: Función Lineal y Afín

2. Objetivos de la Unidad: Conocer e interpretar el concepto de función. Conocer, identificar e interpretar las funciones lineal y afín. Utilizar las funciones lineal y afín para modelar situaciones. Manipular algebraicamente su forma analítica.

3. Introducción: Hasta el año 2008 las empresas de telefonía de red fija cobraban a sus usuarios un cargo fijo mensual, a lo que se les sumaba el valor de los minutos hablados durante el mes. Desde el año 2009 el cargo fijo fue eliminado. Ahora, las empresas de telefonía ofrecen planes de minutos, los cuales consisten, en su mayoría, en una cantidad de minutos limitados por un precio fijo.

4. 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 120 160 40 80 200 240 Actividad inicial: 1. Observen y analicen el grafico inicial. ¿ Qué tipo de grafico es?, descríbanlo Cobros de una compañía de Telefonía Precio a Pagar Minutos Hablados

5. 2.Completen la siguiente tabla y determinen una fórmula que permita calcular el precio por minutos hablados.

6. Concepto de Función: Una función es una relación entre dos variables x e y, de modo que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Luego, y esta en función de x y se define por la expresión algebraica:

7. Como pudiste ver en la tabla anterior existían dos variables, el precio y los minutos hablados. Además una variable dependía de la otra, es decir, en este caso el precio dependía del número de minutos que se hablen.

10. y Eje de ordenadas b x a Eje de abscisas Otra forma de representar una función mediante una gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas

11. Eje de Abscisas En el eje horizontal se representa a la variable independiente y recibe el nombre de eje de abscisas o eje x. Eje x

12. Eje de Ordenadas En el eje vertical se ubica la variable dependiente y recibe el nombre de eje de ordenadas o eje y. Eje de ordenadas

13. Ejemplo: Ubica los siguientes puntos en el sistema de coordenadas cartesianas: (1,2); (2,3); (3,2); (2,1). y 5 4 3 (1,2) 2 1 x 2 4 3 5 1

14. Evaluar funciones Evaluar una función y = f(x) es obtener el valor que la función le asocia a un valor determinado de x.

15. Ejemplos: Evalúa la función F(x)=2x+2 en los valores que se indican. F(0)= 2*0 + 2 = 0 + 2= 2 F(1) = 2*1 + 2 =2+ 2= 4 F(2) = 2* 2 + 2 = 4 + 2= 6

16. Concepto de Imagen y Preimagen En una función, la imagen de un número equivale al resultado de evaluar el número en la función. La preimagen de un número es el valor que se evaluó en la función para obtener dicho número.

17. Ejemplos: Evalúa la función F(x)=2x+2 en los valores que se indican. X=0; X=1; X=2 F(0)= 2*0 + 2 = 0 + 2= 2 0: preimagen 2: imagen F(1) = 2*1 + 2 = 2 + 2= 4 1: preimagen 4:imagen

18. Actividad: 1. Dadas las funciones f(x)= -2x, y g(x)=2x+4, calcula: f(1)= g(0)= f(1/2)= g(-1)=

19. 2. Dada la función que relaciona cada número con su tercera parte, más cuatro. ¿Cuál es la función f(x)? b) Indica cual es la variable independiente y dependiente. c) Calcula f(9), f(-3) y f(-9) d) Si el valor de f(x) es seis, ¿ Cual es el valor del número?

20. Ejemplo: Imagen de f: Preimagen de f: y 5 f 3 x 5 1

21. Definición: Se llama dominio de una función al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente

22. Ejemplo: Daniel elaboró 160 alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma cantidad de unidades. En este momento dispone de 12 cajas ¿Puede distribuir todos los alfajores en ellas? Para responder esta preguntas se construye la siguiente tabla:

23. Donde x es la cantidad de cajas e y es la cantidad de alfajores por caja. Observa que los valores de x y los valores de y deben ser números enteros, ya que dividir los alfajores o las cajas no tiene sentido en este caso, ni tampoco pueden ser números enteros negativos.

24. Entonces, x = 12 y x = 30no son valores posibles para esta función. Por lo tanto, los valores de x, para los cuales los correspondientes valores de y son números naturales, son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160.

25. Definición: Se llama Recorrido de una función, y se expresa por Rec f(x), al conjunto de valores que toma la Variable Dependiente y, es decir, todos los valores que son imagen de algún valor del dominio.

26. Ejemplo: La abuelita Josefina quiere repartir 120 caramelos entre los nietos que vayan a verla el día sábado a su casa. ¿Cuántos caramelos le corresponderían a un solo nieto?

27. b. ¿Si la visitan tres de sus nietos, cuántos caramelos recibe cada uno? c. Determina la expresión algebraica que modela esta situación. d. Determina el recorrido de la función.

28. Proporcionalidad Directa y función Lineal En el centro de una ciudad, el arriendo de un estacionamiento cuesta $ 500 por hora. Observa el gráfico que representa la relación que existe entre tiempo y precio. Luego, completa la tabla.

29. Completa la tabla:

30. Responde: • ¿Qué pasa con el total a pagar cuando aumenta la cantidad de horas de arriendo? • ¿Cuánto gastarías por 3 horas de estacionamiento?, ¿y por 5? • ¿Cuál es la razón entre el total a pagar y el tiempo? • La razón entre los tiempos de arriendo del estacionamiento y la razón entre los precios, ¿forman una proporción?

32. Dos variables son directamente proporcionales si la razón entre las cantidades correspondientes se mantiene constante. Cuando dos variables x e y son directamente proporcionales, la función que las relaciona se escribey=kx, donde kes la constante de proporcionalidad. Esta función se conoce como Función Lineal

33. El gráfico de una función Lineal corresponde a una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0). Además en una función lineal f(x)=kx, el coeficiente k recibe el nombre de coeficiente de dirección o pendiente. Ejemplo:

34. Ejemplo: 1. En los días de calor, el dueño de un quiosco vende muchos helados, por eso diseña una tabla con los posibles pedidos. Complétala. 2. Con los datos de la tabla, contruye el gráfico en tu cuaderno.

36. Pendiente de una Recta La pendiente de una recta indica la inclinación de esta respecto al eje X, y su valor equivale a la razón entre el incremento de los valores de las ordenadas y de las abscisas, medidos entre dos puntos cualesquiera de la recta. Su signo indica si se trata de una recta que asciende o desciende( de izquierda a derecha)

37. Se asocia el valor de la pendiente de una recta con la razón entre los aumentos de las ordenadas y abscisas . Para determinar esta razón, se calcula la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas. Para los puntos A(1,3) y B(3, 6) se tiene: Eje y 6 5 3 4 3 2 2 1 Eje x 1 2 4 5 3 6

38. Si se realiza el mismo calculo para los puntos B(3,6) y C (7,12). Calcula la pendiente, grafica los puntos el plano cartesiano y dibuja la pendiente..

39. Función Afín Una función afín se expresa algebraicamente como f(x)= mx +n (m  0, n  0). Su intersección es una recta que intersecta al eje Y en el punto (0,n ) y no pasa por el origen de coordenadas. El coeficiente m corresponde a la pendiente de la recta y n se llama coeficiente de posición. Eje Y Eje X 0

40. Ejemplo: Representa gráficamente las funciones afines f(x)=2x+n ; para n = 1; n =-1; n = 0; n = 2. Para n=1 f(x)=2x+1 Eje Y 3 2 1 Eje X 1 2 3 4

41. Aplicaciones de la función Afín Una empresa de agua potable cobra $1.200 mensuales por cargo fijo y alcantarillados . Además cada metro cúbico de agua tiene un costo de $200. Si en una casa se consumieron 6 metros cúbicos, deberán pagarse en total: Total a Pagar = 200  6 + 1200 = 1200 + 1200 = 2400

42. La función que relaciona el costo del agua potable con los metros cúbicos consumidos (X), es una Función Afíncuya expresión algebraica es: F(x)= 200x+1200 Por lo que basta con saber la cantidad de metros cúbicos consumidos, reemplazarlos en la función y se obtendrá el total a pagar.

43. Responde(utilizando la función anterior): Si una familia gasta 28 metros cúbicos de agua, ¿cuánto es el gasto total?. Si la familia dispone de $ 9.000 para el gasto de agua potable. ¿ Cuántos metros cúbicos puede consumir como máximo?. Es decir, ¿cuál es el valor de x si f(x)=9.000?

44. Ejercicios: Un container vacio pesa 100 kg. Y se utilizará para transportar cajas de 20 kg. cada una. ¿Cuál es la masa total del container si contiene 25 cajas? b) la función que relaciona el peso total del Container con la cantidad de cajas. c) Si la masa total del container es 1.100 kg. ¿Cuántas cajas contiene?

45. 2. El costo fijo en la factura del gas es de $ 1.100 mensuales, más $2.400 por metro cúbico de consumo. Con la información anterior: a)Completa la siguiente tabla b) Determina la expresión algebraica de la función que relaciona las variables consumo (C) y valor a pagar (V). c) Si una persona pagó por el consumo del mes $55.000, ¿ Puede haber consumido menos de 20 metros cúbicos de gas? Justifica.