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•    Juan Marcos Femat Guerrero
    • Fernanda Michelle Guerra Espinosa

       • María Del Rocío Gómez Ramos

         • Melissa Berenice Mojarro

      • Rocío Viridiana Ortiz De Loera

•    Cynthia Guadalupe R. Esparza Vázquez
          • Mónica Triana Rodríguez

     • Claudia Verónica Vázquez Vivero
 Históricamente la idea de la integral se halla
  unida al calculo de áreas a través del teorema
  fundamental del calculo, del que nos
  ocuparemos posteriormente. Puede decirse que
  la integral contiene información de tipo general
  mientras que la derivada la contiene de tipo
  local.
 El concepto operativo integral aquí desarrollado
  se basa en la idea de << operación contraria a la
  derivada>>, es decir, la antiderivada. Planteadas
  así las cosas, se establece el calculo de la
  integrales a través de la tabla de derivadas, de
  forma que todo lo que no sea una derivada al
  revés, no podrá ser hallado.
   Una superficie de revolución se forma cuando una curva se
    hace girar alrededor de una línea.
   Queremos definir el área de una superficie de revolución
    de tal manera que corresponde a nuestra intuición. Si la
    superficie es, podemos imaginar que la pintura de la
    superficie se requieren la misma cantidad de pintura como
    lo hace una región plana con área.
   ¿Qué pasa con las superficies más complicadas de la
    revolución? Si seguimos la estrategia que utiliza con la
    longitud de arco, podemos aproximar la curva original de
    un polígono. Cuando este polígono se hace girar alrededor
    de un eje, se crea una superficie más sencilla cuya
    superficie se aproxima a la área superficial real. Al
    adoptar un límite, podemos determinar la superficie
    exacta.
Algunos tipos de superficies generadas:
      • Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la
rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor
del mismo; esta superficie determina un volumen denominado
cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el
eje y la recta se denomina radio.
    • Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación
de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto,
llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la
generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al
volumen denominado cono.
      • Una superficie de revolución esférica está generada por la
rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra
al sólido de revolución llamado esfera.
      • Una superficie de revolución toroidal está generada por la
rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la
interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.

Área de una superficie de revolución

El área de una superficie de revolución es aquella superficie
obtenida mediante la rotación de una curva definida C alrededor de
un eje.
Si tenemos una función f : [a, b] −→ R derivable con
continuidad en (a, b), el área de la superficie que genera
cuando gira 360° alrededor del eje horizontal, viene
dado por la integral:

               2π ∫ba|f(x)|√1+[f [ (x)]2dx


El trabajo con Máxima se reduce a calcular la integral
que aparece. Pero aquí hay quehacer un estudio del signo
de f, pues aparece un valor absoluto en la integral.

NOTA:
Si lo que gira es una región limitada por dos curvas, tanto
en el volumen como en el área, debemos considerar la
diferencia de los volúmenes o la suma áreas que genera
cada función.
 Ejemplo  1
Dada la funcion  en los puntos (1,1) y (2,4) que
 rota alrededor del eje y. Calcule el area de
 la superficie generada.

                           tenemos:
 Cambio a y b por la funcion dentro de la
 longitud de arco,              y 
 Ejemplo   2
 El arco de la parabola:  se hace girar en torno
   del eje de (1,1) a (2,4). Calcule el area de la
   superficie resultante.

 Solución: Empleamos: 
                   &




 Debido a que gira entorno del eje   el area de superficie esta dada por:

         En este caso:

Proponemos:                    &


sustituimos:
EJEMPLO 3

     La curva            ,            , es un arco del círculo 
. 
Calcular el área de la superficie al girar el arco alrededor del eje "X". 

entonces, sabemos que y' sería; 

 
entonces nos queda que; 




                  
EJEMPLO 4
Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en
el eje X.



            =>

Entonces:

Hacemos las respectivas sustituciones:     Simplificamos;

                 y



            Y, finalmente, nuestro resultado aproximado sería:
 Los  sólidos de revolución son sólidos que se
  generan al girar una región plana alrededor
  de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido
  que resulta al girar un triángulo recto
  alrededor de uno de sus catetos, el cilindro
  surge al girar un rectángulo alrededor de uno
  de sus lados.
 Sea f una función continua y positiva en el
  intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la
  figura rota alrededor del eje X, está genera
  un sólido de revolución cuyo volumen
  tratamos de determinar.
 El volumen de los sólidos generados por
  revolución alrededor de los ejes cartesianos
  se pueden obtener mediante las siguientes
  ecuaciones.
 Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)
 El volumen de un sólido generado por el giro
  de un área comprendida entre dos gráficas,
  f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b]
  alrededor de un eje horizontal, es decir, un
  recta paralela al eje OX de expresión y=K
  siendo K constante, viene dado por la
  siguiente fórmula .
 Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)
 Suponga que se tiene una región plana y que
  se la hace girar 360º con respecto a un
  determinado eje, esta situación provoca que
  se genere lo que se llama SÖLIDO DE
  REVOLUCIÓN.
 En primera instancia generalicemos 3
  situaciones que se presentan.
 CASO  I. Suponga que se tiene una región
 plana simple-x, como la que se muestra en
 la figura. Al girar la región con respecto al
 eje "x" se formará un sólido de revolución:
 El volumen de este sólido de revolución se lo
  puede calcular de la
 siguiente manera:
 Primero: se determina el volumen del sólido
  diferencial que se forma
 al girar el elemento diferencial
  representativo en torno al eje indicado.
 Observe que lo anterior también se lo puede
  ver como que se
 rebana el sólido y se determina el volumen
  de una partición. En este
 caso el sólido diferencial tiene la forma un
  DISCO, por tanto su
 volumen está dado por:


 Segundo:  El volumen de todo el sólido es una
  suma infinita de los
 volúmenes de las particiones, es decir:
 CASO  II. Suponga ahora que la región plana
  fuese como la que
 se sombrea en la figura. Al girar la región
  alrededor del eje "x" se genera
 un sólido de revolución de la siguiente
  forma:
 Primero: El sólido diferencial que se genera
 al rotar el elemento diferencial alrededor del
 eje "x", para cada partición tiene la forma
 de un ANILLO
 El
   volumen del sólido diferencial estaría dado
 por:




 Segundo:  EL volumen total del sólido que se
 genera al girar la región plana alrededor del
 eje "x", estaría dado por:
  Ejemplo 1:La base de cierto sólido es la
   parábola
Las secciones transversales perpendiculares al
   eje son triángulos equiláteros; encontrar
   el volumen del sólido.

   La base del triángulo será    Por ser el
    triángulo equilátero
 El
   área de un triángulo es
   y la sección transversal tiene un volumen
                  para lo cual va de 0 a 4 ,
 con lo cual
   Ejemplo 2: Calcular el volumen de una pirámide de
    base rectangular de dimensiones 2a y a y de altura h.




   Se podría tomar el origen del sistema en el centro del
    rectángulo, la altura se mide sobre el eje y con lo
    cual las secciones tranversales perpendiculares esta
    vez al eje y son rectángulos de lados 2x y x el volumen
    de una tajada tomada así es                       Para
    poder expresar x en términos de y se usa semejanza
    de triangulos donde:
 quecorresponde a la fórmula geométrica
            Area de la base)(altura)
También se pude tomar el vértice de la
 pirámide en el origen , la altura medida
 sobre el eje x , el centro de los rectángulos
 queda sobre el eje x y las secciones
 perpendiculares al eje x son
 rectángulos de lados 2y y y el volumen de una
 sección transversal es
 Paraexpresar en términos de y , x se usan
 triángulos semejantes con         lo cual




 Ejemplo  3: Las secciones transversales de
 cierto sólido por planos perpendiculares al
 eje y son semicírculos con diámetros que van
 desde la curva            hasta la curva
       el sólido está entre los puntos de
 intersección de las dos curvas; encontrar el
 volumen.
 Puntosde intersección :
los puntos son (4,2)y (4,-2) Como las secciones
 transversales son perpendiculares al eje y un
 elemento de volumen estará dado por

El diámetro de cada semicírculo será
el radio entonces
Con lo cual

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  • 1. Juan Marcos Femat Guerrero • Fernanda Michelle Guerra Espinosa • María Del Rocío Gómez Ramos • Melissa Berenice Mojarro • Rocío Viridiana Ortiz De Loera • Cynthia Guadalupe R. Esparza Vázquez • Mónica Triana Rodríguez • Claudia Verónica Vázquez Vivero
  • 2.  Históricamente la idea de la integral se halla unida al calculo de áreas a través del teorema fundamental del calculo, del que nos ocuparemos posteriormente. Puede decirse que la integral contiene información de tipo general mientras que la derivada la contiene de tipo local.  El concepto operativo integral aquí desarrollado se basa en la idea de << operación contraria a la derivada>>, es decir, la antiderivada. Planteadas así las cosas, se establece el calculo de la integrales a través de la tabla de derivadas, de forma que todo lo que no sea una derivada al revés, no podrá ser hallado.
  • 3. Una superficie de revolución se forma cuando una curva se hace girar alrededor de una línea.  Queremos definir el área de una superficie de revolución de tal manera que corresponde a nuestra intuición. Si la superficie es, podemos imaginar que la pintura de la superficie se requieren la misma cantidad de pintura como lo hace una región plana con área.  ¿Qué pasa con las superficies más complicadas de la revolución? Si seguimos la estrategia que utiliza con la longitud de arco, podemos aproximar la curva original de un polígono. Cuando este polígono se hace girar alrededor de un eje, se crea una superficie más sencilla cuya superficie se aproxima a la área superficial real. Al adoptar un límite, podemos determinar la superficie exacta.
  • 4. Algunos tipos de superficies generadas: • Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio. • Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono. • Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera. • Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro. Área de una superficie de revolución El área de una superficie de revolución es aquella superficie obtenida mediante la rotación de una curva definida C alrededor de un eje.
  • 5. Si tenemos una función f : [a, b] −→ R derivable con continuidad en (a, b), el área de la superficie que genera cuando gira 360° alrededor del eje horizontal, viene dado por la integral: 2π ∫ba|f(x)|√1+[f [ (x)]2dx El trabajo con Máxima se reduce a calcular la integral que aparece. Pero aquí hay quehacer un estudio del signo de f, pues aparece un valor absoluto en la integral. NOTA: Si lo que gira es una región limitada por dos curvas, tanto en el volumen como en el área, debemos considerar la diferencia de los volúmenes o la suma áreas que genera cada función.
  • 6.  Ejemplo 1 Dada la funcion  en los puntos (1,1) y (2,4) que rota alrededor del eje y. Calcule el area de la superficie generada. tenemos:
  • 7.  Cambio a y b por la funcion dentro de la longitud de arco,  y 
  • 8.  Ejemplo 2 El arco de la parabola:  se hace girar en torno del eje de (1,1) a (2,4). Calcule el area de la superficie resultante. Solución: Empleamos:  & Debido a que gira entorno del eje el area de superficie esta dada por: En este caso: Proponemos: & sustituimos:
  • 9. EJEMPLO 3 La curva   ,  , es un arco del círculo  .  Calcular el área de la superficie al girar el arco alrededor del eje "X".  entonces, sabemos que y' sería;    entonces nos queda que;   
  • 10. EJEMPLO 4 Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X. => Entonces: Hacemos las respectivas sustituciones: Simplificamos; y Y, finalmente, nuestro resultado aproximado sería:
  • 11.  Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.  Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.
  • 12.  El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones.  Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)  El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula .
  • 13.  Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)  Suponga que se tiene una región plana y que se la hace girar 360º con respecto a un determinado eje, esta situación provoca que se genere lo que se llama SÖLIDO DE REVOLUCIÓN.  En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan.
  • 14.  CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la que se muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje "x" se formará un sólido de revolución:
  • 15.  El volumen de este sólido de revolución se lo puede calcular de la  siguiente manera:  Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que se forma  al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado.
  • 16.  Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se  rebana el sólido y se determina el volumen de una partición. En este  caso el sólido diferencial tiene la forma un DISCO, por tanto su  volumen está dado por:  Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los  volúmenes de las particiones, es decir:
  • 17.  CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que  se sombrea en la figura. Al girar la región alrededor del eje "x" se genera  un sólido de revolución de la siguiente forma:
  • 18.  Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento diferencial alrededor del eje "x", para cada partición tiene la forma de un ANILLO
  • 19.  El volumen del sólido diferencial estaría dado por:  Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al girar la región plana alrededor del eje "x", estaría dado por:
  • 20.  Ejemplo 1:La base de cierto sólido es la parábola Las secciones transversales perpendiculares al eje son triángulos equiláteros; encontrar el volumen del sólido.  La base del triángulo será Por ser el triángulo equilátero
  • 21.  El área de un triángulo es y la sección transversal tiene un volumen para lo cual va de 0 a 4 , con lo cual
  • 22. Ejemplo 2: Calcular el volumen de una pirámide de base rectangular de dimensiones 2a y a y de altura h.  Se podría tomar el origen del sistema en el centro del rectángulo, la altura se mide sobre el eje y con lo cual las secciones tranversales perpendiculares esta vez al eje y son rectángulos de lados 2x y x el volumen de una tajada tomada así es Para poder expresar x en términos de y se usa semejanza de triangulos donde:
  • 23.  quecorresponde a la fórmula geométrica Area de la base)(altura) También se pude tomar el vértice de la pirámide en el origen , la altura medida sobre el eje x , el centro de los rectángulos queda sobre el eje x y las secciones perpendiculares al eje x son rectángulos de lados 2y y y el volumen de una sección transversal es
  • 24.  Paraexpresar en términos de y , x se usan triángulos semejantes con lo cual  Ejemplo 3: Las secciones transversales de cierto sólido por planos perpendiculares al eje y son semicírculos con diámetros que van desde la curva hasta la curva el sólido está entre los puntos de intersección de las dos curvas; encontrar el volumen.
  • 25.  Puntosde intersección : los puntos son (4,2)y (4,-2) Como las secciones transversales son perpendiculares al eje y un elemento de volumen estará dado por El diámetro de cada semicírculo será el radio entonces Con lo cual