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  1. 1. Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 101 − 1 A1012-1994 Analyse fonctionnelle par André WARUSFEL Professeur de Mathématiques Spéciales au Lycée Louis-le-Grand a topologie n’est pas seulement une théorie abstraite, essentiellement des- tinée à préciser les fondements de l’analyse. Elle a été construite dans un but précis : décupler la puissance de cette dernière en la fécondant par un point de vue algébrico-géométrique permettant de lui appliquer les outils de base de l’algèbre linéaire (évidemment en dimension infinie). Les précurseurs de cette révolution, connue sous le nom d’analyse fonctionnelle, sont essentiellement David Hilbert et Stefan Banach. Sans cette source d’intuition et les méthodes qui se sont développées autour d’elle, les applications performantes des mathématiques au monde scientifique d’aujourd’hui seraient restées bien moins efficaces. 1. Espaces vectoriels normés.................................................................... A 101 - 2 1.1 Rappels d’algèbre linéaire .......................................................................... — 2 1.2 Normes sur un espace vectoriel réel ......................................................... — 3 1.3 Produit de deux espaces vectoriels normés.............................................. — 4 1.4 Espaces vectoriels normés de dimension finie......................................... — 5 1.5 Applications linéaires continues entre espaces vectoriels normés......... — 5 1.6 Applications multilinéaires continues........................................................ — 6 1.7 Convergence uniforme................................................................................ — 6 1.8 Sous-espaces d’un espace vectoriel normé.............................................. — 8 2. Espaces de Banach .................................................................................. — 8 2.1 Définitions d’un espace de Banach............................................................ — 8 2.2 Constructions d’espaces de Banach .......................................................... — 9 2.3 Sous-espaces supplémentaires topologiques .......................................... — 9 2.4 Groupe des automorphismes continus d’un Banach............................... — 10 3. Dualité......................................................................................................... — 10 3.1 Norme d’une forme linéaire continue........................................................ — 10 3.2 Existence de formes linéaires discontinues .............................................. — 11 3.3 Espaces bidual et bidual topologique........................................................ — 11 4. Espaces de Hilbert ................................................................................... — 11 4.1 Définition d’un espace de Hilbert............................................................... — 11 4.2 Bases hilbertiennes ..................................................................................... — 12 4.3 Sous-espaces supplémentaires topologiques .......................................... — 12 4.4 Orthogonalité dans un Hilbert.................................................................... — 12 4.5 Projection orthogonale dans un Hilbert..................................................... — 13 4.6 Espace dual topologique d’un Hilbert........................................................ — 14 4.7 Transposition entre espaces de Hilbert ..................................................... — 15 4.8 Adjonction entre espaces de Hilbert.......................................................... — 15 5. Espaces fonctionnels fondamentaux ................................................. — 17 5.1 Espaces vectoriels normés de fonctions à variable entière (suites)........ — 17 5.2 Espaces vectoriels normés de fonctions à variable réelle ....................... — 18 6. Théorèmes de Banach et de Baire....................................................... — 19 6.1 Théorèmes de Hahn-Banach ...................................................................... — 19 6.2 Espaces de Baire.......................................................................................... — 19 6.3 Autres théorèmes de Banach ..................................................................... — 20 7. Théorie des opérateurs compacts....................................................... — 20 Références bibliographiques ......................................................................... — 21 L
  2. 2. ANALYSE FONCTIONNELLE ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. A 101 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales Une première initiation à l’analyse fonctionnelle ne peut être que modeste. Il s’agira simplement, tout au long de cet article, de placer quelques décors, renvoyant le lecteur à trois sources distinctes et à une série de présentations plus techniques de différents domaines, plus ou moins spécialisés, où la part de l’abstraction diminue pour faire une place de plus en plus grande à des démarches plus concrètes, devant cerner l’essentiel des secteurs d’application de l’analyse contemporaine. Les notions présentées ici irriguent en effet tout un secteur d’activité scienti- fique et technologique, qu’il s’agisse de tout ce qui relève des calculs basés sur des systèmes d’équations différentielles ou aux dérivées partielles – tout particulièrement en vue des applications à la mécanique et à la physique [théo- rique ou appliquée] –, du monde des économistes [aux modèles simplistes ou sophistiqués par lesquels ils entendent comprendre les mécanismes sociaux les plus subtils], des experts en simulations de toutes sortes qui tentent, en s’appuyant sur tout un arsenal qui ne dédaigne pas de recourir aux outils des statisticiens et des probabilistes, de décortiquer des phénomènes parfois rebelles aux routines classiques de quantification, etc. Dans tous ces domaines, les idées et, très souvent, les théorèmes de l’analyse fonctionnelle forment l’essentiel de la force de frappe de la mathématisation du monde contemporain. Les connaissances exigées pour aborder ce chapitre sont heureusement assez peu nombreuses. Il va de soi qu’il est plus que souhaitable d’être à l’aise avec le vocabulaire de la topologie métrique (présenté dans l’article [A 100] Topologie) pour entrevoir en quoi l’analyse fonctionnelle jette un pont entre l’analyse pro- prement dite et la géométrie. Par ailleurs, on aura naturellement besoin de posséder des rudiments sur les notions de base d’algèbre linéaire (essentiel- lement tout ce qui concerne les notions d’espaces vectoriels réels ou complexes et les homéomorphismes entre ces espaces, présentés en dehors de tout recours systématique au calcul matriciel qui reste limité au cas trop particulier de la dimension finie), ainsi que sur le calcul intégral élémentaire (au minimum, une certaine pratique de la théorie de Riemann, classiquement présentée en classes préparatoires et en premier cycle à l’Université, et si possible une initiation à celle de Lebesgue, dont quelques rudiments seront déclinés ici). Le caractère nécessairement assez aride d’un survol d’un domaine aussi stra- tégique ne doit pas rebuter un lecteur profane en la matière. Il devra plutôt considérer les informations regroupées ici comme un index, ou une table des matières, de quelques techniques fondamentales et des théorèmes-phares qui s’y rattachent. Leur puissance et leur importance ne peuvent naturellement être appréciées justement qu’au sein d’un tout, comprenant des descriptions ciblées plus orientées vers les techniques effectivement utilisées dans le monde de l’ingénieur ou du chercheur, dont elles constituent, en quelque sorte, l’une des portes d’entrée. 1. Espaces vectoriels normés La notion d’espace vectoriel normé est une extension naturelle de celle d’espace euclidien de dimension finie (2 ou 3 en géométrie euclidienne proprement dite). Bien que le cas particulier connu sous le nom d’espace de Hilbert soit le plus proche de cette origine concrète, il semble plus efficace de dégager dans un premier temps la notion la plus simple – et relativement moins riche –, où la distance est simplement définie par une norme dont on ne précisera pas la nature, mais seulement les propriétés de base. 1.1 Rappels d’algèbre linéaire Dans cet article, un espace vectoriel sera toujours supposé défini sur le corps des nombres réels, ou plus exceptionnellement sur le corps des nombres complexes. Rappelons que c’est un groupe additif E formé de vecteurs, d’élément neutre 0, dont la loi est notée additivement, sur lequel on dispose d’une loi dite externe qui, à tout couple (λ, x ) formé d’un scalaire et d’un vecteur x ∈ E, associe un vecteur noté λx, de façon à vérifier les axiomes fondamentaux : • λ(x + y ) = λx + λy • (λ + µ )x = λx + µx • (λµ )x = λ(µx ) • 1x = x ‫ޒ‬ ‫ރ‬ λ ‫ޒ‬∈
  3. 3. ______________________________________________________________________________________________________________ ANALYSE FONCTIONNELLE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 101 − 3 [Ces axiomes signifient qu’il existe un morphisme d’anneaux entre celui des endomorphismes du groupe (E, +) et celui des scalaires ; si cette liaison très contraignante n’était pas sous-jacente à cette liste de propriétés qui peuvent sembler être un petit peu choisies au hasard, il n’y aurait aucune chance pour que le développement des conséquences logiques d’un tel système présente un intérêt quelconque]. 1.1.1 Applications linéaires L’ensemble des applications u d’un ensemble E dans un espace vectoriel F peut recevoir lui-même une structure d’espace vectoriel, en définissant la somme de deux applications u et v par : (u + v )(x ) = u (x ) + v (x ) (1) et le produit λu par : (λu )(x ) = λu (x ) (2) Si de plus E est lui-même un espace vectoriel, cet ensemble est noté L (E, F ) et appelé espace des applications linéaires de E dans F, si l’on y dispose, en plus des propriétés précédentes, des égalités : u (x + y ) = u (x ) + u (y ), u (λx ) = λu (x ) (3) On parle d’endomorphismes si E = F, et L (E, E ) est alors noté L (E ) ou End(E ). Si F est le corps , les applications linéaires sont alors qualifiées de formes linéaires, et est l’espace dual algébrique, noté E*. 1.1.2 Familles de vecteurs et familles génératrices Une famille (xi )i ∈ I de vecteurs est simplement une application qui, à tout indice pris dans l’ensemble I, associe un vecteur xi ∈ E. (Pour une famille finie, on choisit généralement I de la forme [1,..., n ]). L’ensemble des vecteurs combinaisons linéaires des (xi ) est celui des vecteurs que l’on peut écrire sous la forme : (4) où les scalaires (λi )i ∈ I sont nuls, à l’exception peut-être d’un nombre fini d’entre eux (ce qui donne un sens à la somme en question, qui est en fait une somme finie non ambiguë grâce à la commutativité et l’associativité de l’addition). C’est évidemment un sous-espace vectoriel de E, c’est-à-dire une partie de E qui est elle-même un espace vectoriel. Si ce sous-espace est E tout entier, on dit que la famille (xi ) est généra- trice. 1.1.3 Indépendance linéaire La famille (xi ) est libre, ou encore les (xi ) sont indépendants si, et seulement si, la seule combinaison linéaire nulle que l’on peut former avec eux est celle où tous les λi sont nuls, donc si et seule- ment si : (5) Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits liés. Une famille libre et génératrice est appelée une base de l’espace E. Tout espace vec- toriel admet au moins une base. Entre deux bases quelconques de E, il existe au moins une bijection. Si elles sont finies, l’espace est dit de dimension finie, et la dimension est le nombre de vecteurs composant l’une de ces bases. 1.1.4 Sous-espaces supplémentaires Deux sous-espaces F et G de E sont supplémentaires si, et seu- lement si, tout vecteur x de E se décompose de manière unique en une somme x = y + z où y et z appartiennent respectivement à F et G. L’intersection F ∩ G est alors le sous-espace nul, c’est-à-dire formé du seul vecteur 0. Ce concept peut se généraliser à une famille Fi de sous-espaces de E ; ces espaces sont supplémentaires (on dit encore en somme directe ) si, et seulement si, tout vecteur x de E se décompose de manière unique en une somme où xi ∈ Fi pour tout i, ce qui se traduit par l’égalité : (6) 1.2 Normes sur un espace vectoriel réel L’outil fondamental pour introduire une distance entre deux vec- teurs consiste à partir des axiomes d’espace métrique, en leur ajoutant deux contraintes simples : il faut qu’une telle distance entre 0 et y soit correctement transformée lorsque ces vecteurs subissent une homothétie, c’est-à-dire quand ils sont multipliés par un même scalaire λ, et qu’elle satisfasse à une relation bien connue en géométrie euclidienne (la somme des longueurs de deux côtés d’un triangle est au moins égale à la longueur du troi- sième côté). C’est à ce prix que le maniement de la métrique que l’on veut définir sur E a une chance de garder quelque parfum géo- métrique classique, et d’être assez performant. 1.2.1 Axiomes des normes d’espace vectoriel Par définition, une norme est une application définie sur E qui, à tout vecteur x, associe un nombre réel noté ||x ||, satisfaisant aux trois relations ci-dessous : • ||x || = 0 ⇒ x = 0 • ||λx || = |λ| ||x || • Un espace vectoriel réel E sur lequel on a défini une norme est appelé espace vectoriel normé, en abrégé EV N. La dernière propriété est appelée inégalité triangulaire. Ces trois axiomes sont évidemment vérifiés si ||x || représente la distance séparant l’origine 0 d’un plan euclidien de l’extrémité d’un vecteur x de ce plan. Toutefois quelques particularités de la géomé- trie classique ne sont pas reprises ici : par exemple, nous n’avons aucun renseignement sur ce qui se passe lorsque l’inégalité trian- gulaire est en fait une égalité ; dans un plan, cela signifie simple- ment que les vecteurs x et y sont positivement liés, c’est-à-dire situés sur une même demi-droite d’origine 0. Il en résulte que la géométrie d’un espace vectoriel normé peut présenter, parfois, des aspects déconcertants ; l’intuition ordinaire peut conduire à certaines méprises. Mais l’essentiel est sauve- gardé, comme l’ont prouvé plus de soixante années d’utilisation intensive de ces axiomes. ‫ޒ‬ L E, ‫ޒ‬( ) x λi xi i I∈ ∑= ΄ λixi i I∈ ∑ 0= ΅ ΄λi 0 pour tout i= ΅⇔ x xi i∑= E 1i Fi= [Exemple : E F1G= ce qui se lit ֺsomme directeЉ de F et G] x y+ x y+р
  4. 4. ANALYSE FONCTIONNELLE ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. A 101 − 4 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales 1.2.2 Distance dans un espace vectoriel normé Voici une liste (non limitative) de conséquences des axiomes des normes : • ||x || = 0 ⇔ x = 0 • ||x || > 0 pour x ≠ 0 • • ||y – x || = ||x – y || • ||– x || = ||x || • On en déduit aussitôt que E est un espace métrique si on le munit de la distance définie par l’égalité fondamentale : d (x, y ) = ||y – x || (7) Les boules ouvertes B (a, r ) et fermées , ainsi que la sphère S (a, r ), respectivement définies par d (a, x ) < r, et d (a, x ) = r, ont un centre unique (a) et un rayon unique (r ). La boule fermée est notamment l’adhérence de la boule ouverte ; tou- tes deux sont connexes, ainsi que la sphère (à l’exception impor- tante d’un espace de dimension 1, c’est-à-dire d’une droite) : tout cela élimine un certain nombre de comportements paradoxaux qui peuvent parfois apparaître en topologie métrique simple. Les espa- ces vectoriels normés sont une généralisation assez fidèle de l’espace euclidien traditionnel. Pour la structure topologique définie par la distance d, la norme ||o|| est, bien entendu, une fonction continue, et même uniformé- ment continue car lipschitzienne ,comme le montre l’inégalité : (8) [Rappelons qu’une application f entre espaces métriques est lips- chitzienne si, et seulement si, il existe une constante k telle que la distance des images f (x ) et f (y ) soit inférieure ou égale au produit par k de la distance de x et y. Elle est alors automatiquement uni- formément continue, donc continue.] 1.2.3 Normes équivalentes Si deux normes N1 et N2 sont définies sur un même espace vec- toriel, elles définissent deux topologies métriques en général différentes : ce qui est une boule pour l’une ne l’est pas pour l’autre, etc. Mais, si l’on suppose les deux normes équivalentes, c’est-à-dire s’il existe deux nombres A et B strictement positifs tels que, pour tout vecteur x, on ait les inégalités : (9) il est facile de vérifier que ces deux topologies métriques ont exac- tement mêmes ouverts et mêmes fermés, donc exactement même topologie. On peut même démontrer que l’existence de A et B est une condition nécessaire et suffisante pour que deux normes engen- drent une seule topologie. Cette propriété donne au mathématicien une certaine souplesse en lui permettant de changer de norme selon ses besoins sans toucher aux ouverts de l’espace, comme nous le verrons dans la construction de produits d’espaces vecto- riels normés. 1.3 Produit de deux espaces vectoriels normés Soient deux espaces vectoriels normés E et F, respectivement munis de deux normes notées N1 et N2 . Sur la base du passage de la topologie de à celle de , on peut munir le produit cartésien E × F, c’est-à-dire l’ensemble des couples (x, y) avec x ∈ E et y ∈ F, d’une norme ||o|| qui en fasse un espace vectoriel normé. La structure d’espace vectoriel est évidemment assurée par les définitions suivantes, qui sont les plus naturelles pour les opéra- tions d’addition et de produit externe : (x, y ) + (x’, y’ ) = (x + x’, y + y’ ), λ(x, y ) = (λx, λy ) (10) Nous verrons dans la section suivante comment définir des nor- mes dans E × F compatibles avec ces opérations. Bien entendu, la notion de produit s’étend aussitôt au cas de plu- sieurs espaces vectoriels (Ei ) ; nous en étudierons un exemple particulièrement important correspondant au cas où tous ces espa- ces sont égaux au plus simple d’entre eux : le corps des nom- bres réels. C’est même là, le prototype du concept général d’espace vectoriel et, par conséquent, la pierre à partir de laquelle ont été bâties l’algèbre linéaire et l’analyse fonctionnelle. 1.3.1 Normes classiques sur un produit cartésien Il n’existe pas de choix unique pour une norme ||o|| qui fasse de E × F un espace vectoriel normé, mais plutôt trois que nous distin- guerons traditionnellement à l’aide d’indices spéciaux, à savoir : • ||(x, y )||1 = N1(x ) + N2(y ) • ||(x, y )||∞ = max (N1(x ) + N2(y )) • La dernière des trois correspond à la généralisation naturelle des règles des espaces euclidiens, car elle rappelle l’énoncé classique du théorème de Pythagore, mais elle est d’un emploi moins souple que les deux premières. La seconde est sans doute la plus maniable parmi elles. 1.3.2 Équivalences des normes d’espaces-produits Muni de ces trois normes, l’espace E × F reçoit trois structures différentes, comme on peut le vérifier en dessinant les boules de correspondant à ces trois normes (les deux premières sont des carrés). Mais l’on peut démontrer sans trop de peine les relations ci-dessous : (11) L’existence de ces inégalités, qui prouve que ces trois normes sont équivalentes entre elles, montre que les trois topologies ainsi définies sont identiques, même si leurs boules peuvent différer suivant la norme choisie. Cette unique topologie est naturellement appelée topologie produit de E × F. Dans le cas de deux espaces égaux à , on a ainsi obtenu la topologie usuelle du plan euclidien, pour laquelle la distance issue de N2 est la plus concrète qui soit. x 0у x y– x y+р B a, r( ) d a, x( ) rр x y– x y– d x, y( )=р A N1 x( ) N2 x( ) B N1 x( )р р ‫ޒ‬ ‫ޒ‬2 ‫ޒ‬ || x, y( )||2 N1 x( )2 N2 y( )2+( )= ‫ޒ‬2 N∞ N1 2 N∞р р N∞ N2 2 N∞р р N2 N1 2 N2р р ‫ޒ‬
  5. 5. ______________________________________________________________________________________________________________ ANALYSE FONCTIONNELLE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 101 − 5 1.4 Espaces vectoriels normés de dimension finie Le modèle de base d’un espace vectoriel normé de dimension n est évidemment , produit de n exemplaires du corps des nombres réels, c’est-à-dire l’ensemble des listes (x1 ,..., xn ) de n nombres réels. Mais il en existe beaucoup d’autres, qui lui sont reliés par de puis- santes relations dont la première, purement algébrique, est que la donnée d’une base B = (ei ) d’un espace E de dimension n définit mécaniquement une bijection entre E et par l’application : (12) Mais ce qui nous intéresse surtout ici est évidemment lié à la struc- ture topologique de E. Le résultat énoncé dans la section suivante est essentiel à cet égard. 1.4.1 Unicité de la topologie en dimension finie Un théorème fondamental montre que tout espace vectoriel normé de dimension finie est linéairement homéomorphe au pro- duit , muni de l’une quelconque parmi les trois normes définies par les égalités ci-dessous : • • ||(x1 , ..., xn)||∞ = max (|x1|, ..., |xn|) • Dire que E est linéairement homéomorphe à signifie qu’il existe une application linéaire f de E dans qui est continue, inversible et dont l’inverse f –1 est également continu. Cela ne signifie pas nécessairement qu’une telle bijection trans- porte la norme (c’est-à-dire que la norme de la différence f (x ) – f (y ), calculée dans , est égale à celle de x – y dans E ) ; si c’était le cas, on parlerait alors d’homéomorphisme linéaire isométrique pour signifier que les distances sont conservées. Mais les ouverts sont transformés en ouverts et les fermés en fermés : cette invariance topologique est évidemment plus importante que le respect des normes. Ici encore, l’on dispose d’inégalités prouvant que les trois normes Ni sont équivalentes et définissent la même topologie, à savoir : (13) Il en résulte en particulier qu’il n’existe qu’une seule topologie sur un espace vectoriel normé E de dimension finie n, même si E n’est pas , même si mais s’il est muni d’une autre norme que l’une des trois que nous venons de définir. Pour cette topologie, E est complet ; nous dirons que c’est un espace de Banach. 1.4.2 Propriétés complémentaires en dimension finie Ces espaces vérifient d’autres propriétés intéressantes : en premier lieu, il faut noter que toute application linéaire qui envoie l’un d’eux dans un espace vectoriel normé F est continue, même si F est de dimension infinie (que l’image soit de dimension finie n’a par contre, en général, aucune conséquence intéressante ; ainsi une application linéaire vers la droite , de dimension 1, n’est pas nécessairement continue). Les ouverts connexes d’espaces vectoriels normés de dimension finie sont connexes par arcs ; mieux encore, pour tout couple de points d’un tel espace, il existe une ligne polygonale ayant un nombre fini de sommets qui permet de les joindre continûment tout en restant à l’intérieur de l’ouvert. Enfin, l’on dispose dans ces espaces d’une très précieuse carac- térisation des parties compactes : ce sont les parties fermées et bornées. Un théorème dû à Frédéric Riesz assure même que cette propriété caractérise à son tour les espaces de dimension finie. 1.5 Applications linéaires continues entre espaces vectoriels normés L’une des plus grandes surprises qu’ont dû éprouver les fondateurs de la topologie et de l’analyse fonctionnelle a sûrement été de découvrir qu’une application linéaire, pourtant si innocente d’aspect, pouvait être discontinue. Voici un exemple irréfutable, et qui semble pourtant paradoxal à première vue. L’ensemble des polynômes à coefficients réels est un espace vectoriel normé si on le munit de la norme définie par ||p|| = max |pn|. L’application linéaire f qui, au polynôme P, associe le polynôme , est évidemment continue puisque le plus grand coefficient (en valeur absolue) de Q n’excède pas celui de P. Cette application est visiblement bijective, son inverse étant définie par . Or il suffit d’étudier le polynôme f –1(Xn) = (n + 1)Xn pour voir que f –1, bien que linéaire et inverse d’une application linéaire continue, est discontinue puisque non bornée sur la sphère S (0,1) à laquelle appartient le monôme Xn. Cet exemple, et d’autres encore plus surprenants (dans lesquels on peut voir par exemple la norme d’un vecteur tendre vers l’infini alors que toutes ses coordonnées tendent vers 0, ou la norme tendre vers 0 alors que toutes les coordonnées tendent vers l’infini), rendent indispensables des critères simples de continuité des applications linéaires entre espaces vectoriels normés. 1.5.1 Conditions nécessaires et suffisantes de continuité Les neuf conditions ci-dessous sont équivalentes : (14) ‫ޒ‬n ‫ޒ‬n x xiei Œ x1, ..., xn( ) i ∑= ‫ޒ‬n || x1, ..., xn( )||1 xii∑= || x1, ..., xn( )||2 x 2 i i∑= ‫ޒ‬n ‫ޒ‬n ‫ޒ‬n N∞ N1 n N∞р р N∞ N2 n N∞р р N2 N1 n N2р р ‫ޒ‬n E ‫ޒ‬n= ‫ޒ‬ ‫ޒ‬ X[ ] P pnX n ∑= Q qnX n ∑ , avec qn pn n 1+ ---------------= = f 1– ΂ pn X n ∑ ΃ ΂n 1+ ΃ pn X n ∑= 1( ) f est continue en 0 2( ) f est continue en un point 3( ) f est bornée sur S 0, 1( ) 4( ) f est bornée sur B 0, 1( ) 5( ) f est bornée sur B 0, 1( ) 6( ) le rapport f x( ) x ----------------- est borné 7( ) f est lipschitzienne 8( ) f est uniformément continue 9( ) f est continue
  6. 6. ANALYSE FONCTIONNELLE ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. A 101 − 6 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales Si l’une des neuf conditions nécessaires et suffisantes obtenues ci-dessus est vérifiée, la norme de f est définie par l’égalité fondamentale : (15) où x décrit, au choix, la sphère S (0, 1), la boule ouverte B (0, 1) ou la boule fermée . Il s’agit bien d’une norme, qui fait de l’ensemble des applications linéaires continues de E dans F un espace vectoriel normé que nous noterons ici , pour le distinguer de l’espace vectoriel L (E, F ) qui ne prend en compte que les structures algébriques et non une éventuelle continuité des fonctions considérées. D’ailleurs, cet espace existe, même si le corps de base K n’est ni . Cette norme peut encore être définie par l’égalité : (16) où x décrit l’ensemble des vecteurs non nuls de E. Ainsi la norme de l’application idE est égale à 1. Une condition suffisante de continuité pour f est que l’espace E soit de dimension finie ; elle n’est évidemment pas nécessaire. 1.5.2 Propriétés de la triple norme La norme prend quelquefois le nom de triple norme (à cause des trois barres verticales) pour la différencier des normes dans E et dans F, qui n’en utilisent que deux. Elle a toutes les propriétés d’une norme, notamment : (17) Dans le cas où cela a un sens, on a aussitôt : (18) Ces relations découlent facilement du fait que la norme vérifie naturellement l’inégalité : (19) pour tout x de E, et que c’est le plus petit réel à posséder cette pro- priété. Toutes ces relations sont très naturelles. Il faut noter cependant que, même si f et f –1 sont toutes deux continues, on n’a pas en général , mais tout au plus une inégalité, à savoir . 1.6 Applications multilinéaires continues Une application multilinéaire est une application f d’un produit de n espaces vectoriels Ei dans un espace vectoriel F dont chacune des restrictions fi obtenues en bloquant les valeurs de n – 1 varia- bles xi est linéaire [fi est donc un élément de L(Ei , F )]. Le cas le plus important est celui où n = 2 ; l’application est alors dite bilinéaire. Si F est le corps des réels, f est appelée forme définie sur E1 × ... × En . Un exemple fondamental de forme bilinéaire est donné par la notion de produit scalaire usuel (x |y), qui envoie , dont nous verrons une généralisation importante en théorie des espaces de Hilbert. 1.6.1 Conditions nécessaires et suffisantes de continuité Soit f : une application multilinéaire asso- ciant à tout vecteur x ∈ E1 × ... × En un vecteur y = f (x ) ∈ F. On notera respectivement S (0, 1) et la sphère et la boule fermée de centre 0 et de rayon 1 relatifs à une norme convenable définie sur le produit des Ei (c’est par exemple la norme N∞ , mais ce n’est pas indispensable). Les cinq conditions ci-dessous sont équivalentes : (20) Si l’une des cinq conditions nécessaires et suffisantes obtenues ci-dessus est vérifiée, la norme de f est définie par l’égalité fondamentale : (21) où x décrit, au choix, la sphère S (0, 1) ou la boule fermée . Il s’agit bien d’une norme, qui fait de l’ensemble des applica- tions multilinéaires continues de E1 × ... × En dans F un espace vec- toriel normé, noté par exemple . Elle vérifie naturellement l’inégalité pour tout x = (x1,..., xn ) ∈ E1 × ... × En . Une condition suffisante de continuité pour f est que chacun des espaces Ei soit de dimension finie ; elle n’est évidemment pas nécessaire. 1.6.2 Exemples d’applications bilinéaires continues Voici une liste, bien entendu non limitative, d’applications bilinéaires f : E × F → G continues d’usage constant : • E = F est un espace de Hilbert (par exemple euclidien), et f (x, y ) = (x|y ) (produit scalaire) ; • E = F = G est un espace euclidien de dimension 3 et f (x, y ) = (x ∧ y ) (produit vectoriel) ; • , F = G est un espace vectoriel normé et f (x, y ) = xy (produit extérieur d’un scalaire par un vecteur) ; • (F ) où F = G est un espace vectoriel normé et f (x, y ) = x (y) (valeur en y de l’endomorphisme continu x de F ) ; • E = F = G est une algèbre vectorielle normée et f (x, y) = x · y (produit intérieur à une algèbre) ; • où X est un espace vectoriel normé et (produit de composition de deux endomor- phismes continus de X ). Le dernier exemple est évidemment un cas particulier de l’avant-dernier. 1.7 Convergence uniforme Bien que le cadre naturel de l’étude de la convergence uniforme soit celui de familles de fonctions entre espaces métriques, nous nous placerons dans un cas particulier suffisant pour que l’on puisse se faire une idée très précise de ce concept capital : celui de suites de fonctions bornées entre espaces vectoriels normés. |||f ||| sup f x( )=|||f ||| B 0, 1( ) ᏸ E, F( ) ‫ޒ‬ ni ‫ރ‬ sup f x( ) x ------------------=|||f ||| |||q ||| |||f ||||||λf ||| |||f ||| ||| |||f g+ + |||g||||||f ||| 0> f 0≠⇔ λ= р р|||f ᭺ g||| |||f ||||||g||| f x( ) р |||f ||| x =|||f 1– ||| |||f ||| 1– 1у|||f ||| |||f 1– ||| ‫ޒ‬ ‫ޒ‬2 dans ‫ޒ‬ x x1, …, xn( )= ‫ۋ‬ y B 0, 1( ) 1( ) f est continue en 0 2( ) f est bornée sur S 0, 1( ) 3( ) f est bornée sur B 0, 1( ) 4( ) le rapport f x( ) Π xi ------------------ est borné 5( ) f est continue |||f ||| sup f x( )=|||f ||| B 0, 1( ) ᏹᏸ E1,...., En ; F( ) f x( ) р Πi xi |||f ||| G ‫ޒ‬= E ‫ޒ‬= E ᏸ= E F G ᏸ X( )= = = f x, y( ) x ᭺ y=
  7. 7. ______________________________________________________________________________________________________________ ANALYSE FONCTIONNELLE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 101 − 7 L’ensemble de ces fonctions est lui-même justement muni de ce que l’on appelle norme de la convergence uniforme : (22) [le réel sup ||f || est la borne supérieure dans de la fonction ||f ||, c’est-à-dire la borne supérieure de l’ensemble des nombres réels ||f (x )||]. Dire que fn tend vers f au sens de cette norme signifie que tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Nous commen- cerons par donner une définition traditionnelle, puis des variantes utilisant notamment la norme de la convergence uniforme. 1.7.1 Définitions de la convergence uniforme Considérons une fonction f et une suite de fonctions fn envoyant une partie A d’un espace vectoriel normé E dans un espace vecto- riel normé F. Alors f est dite limite uniforme de la suite fn si, et seu- lement si, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que, pour tout entier n, l’inégalité implique, pour tout élément x de A, l’inégalité : ||f (x ) – fn (x )|| < ε (23) Une définition équivalente peut s’énoncer ainsi : pour que la suite (fn ) converge uniformément vers f, il faut et il suffit que la suite (fn ) converge simplement vers f [c’est-à-dire que fn (x ) converge vers f (x) pour tout x ] et que, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que, pour tous les entiers n et m tels que , on ait : ||fn – fm || < ε (24) [la fonction ||fn – fm || est la fonction qui, à tout élément x de A, associe le nombre réel ||fn (x ) – fm (x )||]. De plus, si F est un espace vectoriel normé complet, c’est-à-dire un espace de Banach, on peut ne garder que la dernière partie de cette seconde définition ; cela présente l’immense avantage de faire disparaître la fonction f qu’il n’est alors nullement besoin de connaître avec précision. Cette troisième définition de la convergence uniforme utilise un critère essentiel connu sous le nom de critère de Cauchy. On peut écrire des définitions analogues en utilisant la norme de la convergence uniforme. On a déjà vu en préambule l’une de ces formulations. En voici une autre concernant le cas particulier où F est complet : la convergence uniforme de la suite (fn ) équivaut à l’existence, pour tout ε > 0, d’un N tel que, pour tous n et m supé- rieurs ou égaux à N, on ait : (25) 1.7.2 Propriétés des limites uniformes La convergence uniforme est un mode de convergence conservant de nombreuses propriétés des fonctions qu’elle concerne. Nous n’en citerons que deux : — Une limite uniforme de fonctions bornées est bornée. — Une limite uniforme de fonctions continues est continue. Nous verrons d’autres propriétés analogues dans les sections suivantes. 1.7.3 Théorème de la double limite de Weierstrass Le théorème de Weierstrass permet, dans un grand nombre de cas, d’intervertir deux symboles du type lim. Un exemple simple où l’ordre des limites est essentiel est le suivant : si n et p sont des entiers tendant vers l’infini, il est très différent de chercher la limite quand n tend vers l’infini de : (26) (ce qui donne 1), puis la limite de cette limite lorsque p tend vers l’infini (ce qui donne 1), ou d’échanger les rôles de n et de p puisque l’on trouve comme résultat, dans ce second cas, le nombre (– 1). Le théorème de Weierstrass, encore appelé théorème de la double limite, dit essentiellement que, pour que l’on puisse écrire une égalité de la forme : (27) il suffit que l’une des limites de f (n, p ) soit atteinte uniformément, que l’autre existe, ainsi que l’une des limites doubles. L’autre limite double existe alors et a même valeur que la précédente. En généralisant légèrement la définition de la convergence uni- forme donnée ci-dessus pour lui permettre de couvrir des applica- tions entre espaces métriques généraux, on peut ainsi retrouver facilement le fait qu’une limite de famille de fonctions continues est continue, ainsi qu’un certain nombre de résultats analogues. En présence d’espaces complets, le critère de Weierstrass est encore plus efficace puisque l’existence de certaines de ces limites est alors automatique. 1.7.4 Limites uniformes d’intégrales et de dérivées Le critère de Weierstrass permet, notamment, de démontrer des théorèmes très généraux, dont voici deux exemples : s Pour qu’une suite de fonctions intégrables (par exemple au sens de Riemann ou de Lebesgue), définies sur un segment [a, b] et à valeurs dans un espace de Banach, ait une limite intégrable, il suffit que la convergence soit uniforme. On dispose alors de l’égalité : (28) s Pour qu’une suite de fonctions dérivables à valeurs dans un espace vectoriel normé ait une limite dérivable, il suffit que les fonc- tions dérivées convergent uniformément vers une limite g et que les fonctions fn elles-mêmes convergent simplement vers une limite f. On dispose alors de l’égalité g = f ’, c’est-à-dire encore : (29) Dans le second cas, on aura remarqué que c’est au niveau des dérivées que la convergence se doit d’être uniforme ; le fait que fn converge éventuellement uniformément n’est pas suffisant. 1.7.5 Conditions suffisantes de convergence uniforme Dans la théorie des séries, il est classique de démontrer que la convergence uniforme découle automatiquement d’un autre type de convergence appelé convergence normale. Nous n’en parlerons pas ici, nous contenant de donner l’énoncé de deux théorèmes dus à Ulysses Dini : — Pour qu’une suite croissante de fonctions continues d’un espace compact dans converge uniformément, il suffit que fn converge simplement vers une limite continue ; — Pour qu’une suite de fonctions croissantes d’un segment [a, b] dans converge uniformément, il suffit que fn converge simplement vers une limite continue. sup f=|||f|||∞ ‫ޒ‬ ||| |||f fn– n Nу n N et m Nу у ε<||| |||fn fm– n p– n p+ --------------- f n, p( ) p lim n lim f n, p( ) n lim p lim= ͵a b lim fn lim ͵a b fn= f ′n d dx ----------- lim fn lim d dx ----------- fn= ‫ޒ‬ ‫ޒ‬
  8. 8. ANALYSE FONCTIONNELLE ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. A 101 − 8 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales Signalons enfin un dernier résultat de densité, particulièrement important, également dû à Weierstrass : toute fonction réelle continue sur un segment [a, b] y est limite uniforme d’une suite de restrictions de fonctions polynômes à ce segment. 1.8 Sous-espaces d’un espace vectoriel normé La propriété topologique essentielle d’un sous-espace vectoriel F d’un espace vectoriel normé E est que son adhérence topologique (ou clôture) est un sous-espace vectoriel de E, donc un espace vectoriel normé pour la restriction de la norme de E. Ainsi, les sous-espaces de dimension finie répondent à ce cri- tère, car ils sont fermés, donc égaux à leur adhérence. Un peu plus généralement, tout sous-espace F admettant un hyperplan H fermé pour sa propre structure induite d’espace vec- toriel normé est fermé comme H. Toutefois la somme, même directe, de deux sous-espaces fermés n’est pas nécessairement fermée ; ce point sera abordé en détail un peu plus loin. Si l’espace E est complet (on dit alors que E est un espace de Banach), ses sous-espaces fermés sont également des Banach comme fermés d’un espace complet. 1.8.1 Hyperplans d’un espace vectoriel normé D’après ce qui précède : — ou bien l’adhérence topologique d’un hyperplan H lui est égale (auquel cas l’hyperplan est fermé, et l’on peut montrer que toute forme linéaire dont il est le noyau est continue) ; — ou bien cet hyperplan est dense (c’est-à-dire que , donc que tout élément de E est limite d’au moins une suite d’élé- ments de H, et il est clair que toute forme linéaire dont H est le noyau est alors discontinue). Si un sous-espace F est le noyau d’une application linéaire f, il est nécessaire que F soit fermé pour que f soit continue ; la réci- proque est fausse sauf si, comme nous venons de le voir, F est un hyperplan ou si, plus généralement, F admet un supplémentaire algébrique de dimension finie. 1.8.2 Sous-espaces supplémentaires topologiques Un espace vectoriel normé E est égal à la somme directe F ⊕ G de deux de ses sous-espaces si, et seulement si, pour tout x ∈ E, il existe un couple unique (y, z) ∈ F × G tel que x = y + z. Cela signifie qu’il existe une application linéaire, nécessairement bijective, notée par exemple ϕ, entre E et F × G, définie par : ϕ (x ) = (y, z ) (30) L’application inverse ϕ–1 est telle que ϕ–1 (y, z ) = y + z ; elle est donc clairement continue. La somme directe E = F ⊕ G est dite topologique, et F et G sont dits supplémentaires topologiques si, et seulement si, ϕ est continue comme son inverse. 2. Espaces de Banach Les espaces de Banach portent le nom de leur inventeur, Stefan Banach, qui les introduisit en 1932 dans son livre Théorie des Opé- rations Linéaires. Généralisations des espaces de Hilbert que nous présenterons plus loin dans ce chapitre, ils ont permis d’étendre efficacement une bonne partie de la géométrie traditionnelle aux espaces dont les éléments sont des fonctions. 2.1 Définitions d’un espace de Banach Un espace vectoriel normé de Banach (en abrégé : un Banach) est un espace vectoriel normé complet pour la topologie métrique définie par sa norme (ou les normes équivalentes), c’est-à-dire que toute suite de Cauchy y converge. Notons que tout espace vectoriel normé E peut être plongé dans un espace de Banach F, en gardant sa norme, sa distance et sa topologie ; on peut même supposer que E est dense dans F, c’est-à-dire que . Cet espace F est alors unique à un homéo- morphisme linéaire près ; par un léger abus de langage, on l’appelle l’espace complété de E. Or on peut exprimer ϕ à partir du projecteur p de E dans E qui, à x, associe p (x ) = y. C’est une application linéaire, d’image F et de noyau G ; de même le projecteur q, défini en échangeant les rôles de F et G, associe z à x. On a aussitôt q = idE – p, et p et q sont en même temps continus ou non. La relation annoncée est évidemment : ϕ (x ) = (p (x ),q (x )) (31) Par suite E = F ⊕ G est une somme directe topologique si, et seu- lement si, p est continue. Cela équivaut encore au fait que la bijec- tion naturelle entre E et F × G est un homéomorphisme linéaire : E = F ⊕ G ≈ F × G (32) Une condition nécessaire pour cela est que F et G, noyaux res- pectifs de q et p, soient fermés, mais ce n’est pas suffisant en général. Pour qu’un sous-espace F d’un espace vectoriel normé E ait au moins un supplémentaire topologique, il suffit que F soit de dimension finie ou qu’il admette un supplémentaire algébrique G de dimension finie. Dans le second cas, on dit que F est de codimension finie, la codimension étant la dimension de G ou, ce qui revient au même, celle de l’espace vectoriel quotient E/F (dont nous verrons la définition et un exemple d’utilisation dans le cadre des espaces de Banach). 2.1.1 Caractérisation par les boules et sphères Les parties fermées d’un tel espace sont alors complètes. Réciproquement, il suffit que l’une des boules fermées ou que l’une des sphères de l’espace, supposées de rayon strictement positif, soient complètes pour qu’il soit de Banach. C’est notamment le cas si ou S (0, 1) sont complètes. Un espace vectoriel normé qui n’est pas complet peut donc être carac- térisé par le fait qu’il existe une suite de Cauchy divergente (xn ), que l’on peut même supposer formée de vecteurs de norme 1. 2.1.2 Cas particulier des espaces de dimension finie Cette propriété des Banach relative à une telle boule ou une telle sphère est évidemment à rapprocher de la caractérisation des espa- ces vectoriels de dimension finie, pour lesquels il faut et il suffit qu’elles soient compactes. La compacité impliquant la complétude, on retrouve ainsi que les espaces de dimension finie sont complets, ce qui provient également par ailleurs du fait que le produit d’un nombre fini d’espaces complets (par exemple ) est également complet. F H H E= E F= B 0, 1( ) ‫ޒ‬
  9. 9. ______________________________________________________________________________________________________________ ANALYSE FONCTIONNELLE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 101 − 9 2.1.3 Dimensions des sous-espaces fermés d’un Banach Tout sous-espace de dimension finie d’un espace de Banach est, comme dans tout espace vectoriel normé, fermé et donc complet, ce qui donne une famille importante de sous-espaces de Banach. Il en existe également de dimension infinie, mais on peut montrer que, s’ils admettent des bases algébriques, comme tout espace vectoriel, ces bases sont plus riches que l’ensemble , c’est-à-dire qu’il n’existe aucun espace de Banach de dimension infinie dénom- brable. 2.2 Constructions d’espaces de Banach Nous verrons plus loin les principales familles d’espaces de Banach, d’ailleurs souvent introduites par Banach lui-même, mais il peut être utile de connaître deux procédés essentiels permettant de définir des espaces de Banach, « fils » d’autres Banach « pères ». Il existe essentiellement deux mécanismes générateurs : l’un est à base de fonctions, ce qui montre bien le rôle essentiel que jouent en analyse fonctionnelle les espaces vectoriels normés complets, l’autre s’appuie sur des structures algébrico-topologiques. 2.2.1 Espaces de fonctions à valeurs dans un Banach Dans ce qui suit, A est un ensemble, E un espace de Banach. On dispose alors des théorèmes suivants : s L’ensemble B (A, E ) des fonctions bornées de A dans E est un espace de Banach pour la norme de la convergence uniforme : (33) s Si A est un espace topologique, l’ensemble BC (A, E ) des fonc- tions continues bornées de A dans E en est un sous-espace fermé, donc également un Banach pour cette même norme. s Si A est compact, l’ensemble des fonctions continues de A dans E est égal à BC (A, E ) et admet donc également une struc- ture d’espace de Banach. Ces théorèmes s’appliquent naturellement au cas particulier où E est de dimension finie. 2.2.2 Espaces d’applications linéaires continues Nous disposons ici de deux procédés puissants : — L’ensemble des applications linéaires continues d’un espace vectoriel normé F dans E est un espace de Banach. — Tout quotient E/F de E par l’un de ses sous-espaces fermés F est un espace de Banach pour la norme : ||x + F || = d (x, F ) (34) Le premier de ces théorèmes a comme corollaire le fait que l’ensemble de ses endomorphismes continus ainsi que son dual topologique , ensemble des applications linéaires continues de E dans (étudié dans la section suivante) sont des Banach ; leur emploi est constant en analyse fonctionnelle. Bien entendu la norme d’une application linéaire continue de E dans F (respectivement dans lui-même ou dans ) est calculée comme nous l’avons vu dans la section précédente. Le second processus est un peu plus abstrait. Le quotient est formé des classes d’équivalence pour la relation : x ~ y (35) si, et seulement si, x et y ont pour différence x – y un vecteur de F. La classe de x, c’est-à-dire l’ensemble des vecteurs y équivalents à x, se note x + F ; c’est bien entendu un sous-espace affine, passant par x, et admettant l’espace F comme direction. Sa norme, dans l’ensemble E/F de ces classes, n’est autre que la distance de l’origine 0 à l’ensemble x + F, ou encore la distance de x à l’espace F lui-même. La définition des opérations dans E/F est claire si l’on remarque que la somme de deux vecteurs x et y est équivalente à celle de deux vecteurs x’ et y’ respectivement équivalents à x et à y : il est par conséquent logique d’appeler « somme » des classes de x et de y celle de x + y. On agit de manière analogue pour définir le produit de x + F par un scalaire λ. La projection canonique de E dans E/F qui, à x, associe sa classe x + F, est linéaire et continue ; sa norme, calculée dans , est égale à 1. 2.3 Sous-espaces supplémentaires topologiques Le caractère complet d’un Banach simplifie un peu la théorie des sous-espaces supplémentaires topologiques. Nous savons en effet que, dans le cadre général des espaces vectoriels normés, une décomposition telle que E = F ⊕ G où F et G sont fermés (ce qui est une condition nécessaire) n’implique pas nécessairement que cette somme soit topologique, c’est-à-dire que les projecteurs sur F parallèlement à G et sur G parallèlement à F soient continus. 2.3.1 Somme directe topologique dans un Banach Ici nous disposons cependant d’un théorème très simple pour caractériser les sommes directes topologiques : s Dans un espace de Banach, pour qu’une somme directe de sous-espaces supplémentaires soit topologique, il faut et il suffit que chacun d’eux soit fermé. Il en résulte que le produit cartésien F × G de deux supplé- mentaires fermés d’un Banach est linéairement homéomorphe à leur somme directe topologique F ⊕ G = E. 2.3.2 Sous-espaces fermés paradoxaux d’un Banach Pour que la propriété précédente soit vraie, il faut absolument que la somme soit E tout entier ; il existe en effet des exemples où la somme directe de deux sous-espaces fermés d’un Banach n’est pas fermée, et n’est donc pas homéomorphe au fermé F × G, bien qu’il existe un isomorphisme linéaire algébrique entre eux. De tels exemples montrent qu’il faut être prudent quant à l’extension de propriétés triviales en dimension finie ; ils sont pour- tant assez rares, et supposent par exemple que les deux sous-espa- ces F et G sont chacun de dimension infinie, nécessairement non dénombrable. Dans le même genre de comportement plutôt déroutant, on peut citer l’existence de sous-espaces fermés d’un Banach n’admettant aucun supplémentaire fermé (et donc a fortiori sans supplémen- taire topologique). L’exemple classique est celui de l’espace F des suites complexes de limite nulle, noté généralement , qui est fermé dans le Banach des suites complexes bornées, c’est-à-dire des suites pour lesquelles on peut définir la norme : ||u || = sup |un| (36) mais dont aucun de ses supplémentaires dans n’est fermé. ‫ގ‬ sup f sup f x( ) |x A∈{ }= =|||f ||| Ꮿ0 A, E( ) ᏸ F, E( ) ᏸ E( ) E′E*top ‫ޒ‬ ‫ޒ‬ ᏸ E, E/F( ) c0 ‫ރ‬( ) ᐉ∞ ‫ރ‬( ) ᐉ∞ ‫ރ‬( )
  10. 10. ANALYSE FONCTIONNELLE ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. A 101 − 10 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales 2.4 Groupe des automorphismes continus d’un Banach L’ensemble des bijections linéaires continues f d’un espace de Banach E dans lui-même est un groupe. En principe, nous devrions demander que f et f–1 soient toutes deux continues mais, comme nous le verrons, un théorème dû à Banach lui-même prouve que, comme en algèbre, il suffit qu’une application linéaire entre deux Banach soit continue pour que son inverse ait la même propriété. On donne alors à f le nom d’automorphisme continu de E. 2.4.1 L’ouvert des automorphismes En dimension finie, nous disposons d’un critère simple pour savoir si un endomorphisme linéaire – nécessairement continu – est inversible : il suffit de vérifier que son déterminant det f est dif- férent de zéro : (37) La fonction « déterminant » étant continue, il en résulte que est, dans ce cas au moins, un ouvert pour la topologie d’espace normé. Or cette propriété est générale, comme le montre l’implication ci-dessous : si f et g sont, respectivement, un auto- morphisme et un endomorphisme continus d’un Banach E, la condition : (38) implique que l’endomorphisme continu f + g est également un automorphisme, son inverse étant donné par l’égalité : (39) Le groupe n’est pas connexe ; par exemple en dimen- sion finie il est facile de voir que les f de déterminant strictement positif et ceux de déterminant strictement négatif forment une par- tition de en deux parties ouvertes et fermées disjointes. En dimension finie, est dense dans , c’est-à-dire que la fermeture de cet ouvert est l’espace entier ; ce résul- tat ne se généralise pas à la dimension infinie. 2.4.2 Propriétés complémentaires de Si une suite (fn ) d’endomorphismes continus d’un Banach a pour limite un automorphisme f, il existe un rang N à partir duquel les fn sont eux-mêmes tous inversibles ; et f–1 est alors la limite de . L’application notée Inv qui, à l’automorphisme f, associe son inverse Inv (f ) = f–1 est une application dont la variable et l’image sont dans un ouvert d’un espace vectoriel normé. Elle est différen- tiable et même de classe . Sa différentielle en f est l’application linéaire continue qui, à un endomorphisme continu arbitraire g, associe l’endomorphisme continu : (40) Notons enfin, en liaison avec l’étude précédente des automor- phismes continus d’un Banach, deux conditions pour qu’un endo- morphisme continu f d’un Banach ait un inverse latéral continu : — Pour qu’il existe g continue telle que soit l’application identique idE de E, il faut et il suffit que le noyau de f soit réduit à 0 et que son image ait un supplémentaire topologique ; — Pour qu’il existe g continue telle que soit l’application identique idE de E, il faut et il suffit que l’image de f soit l’espace E lui-même et que son noyau ait un supplémentaire topologique. Dans le premier cas (f injective ), g est un inverse à gauche ; dans le second (f surjective ), g est un inverse à droite. Dans les deux cas les ensembles formés par les f concernés sont évidemment des ouverts. Ces résultats s’étendent aussitôt à la recherche d’inverses laté- raux d’applications linéaires continues entre deux Banach. 2.4.3 Algèbres vectorielles normées L’exemple de où E est un espace vectoriel normé est le prototype des algèbres vectorielles normées, à la fois espaces vec- toriels normés et anneaux, avec une propriété « mixte » reliant les deux sortes de produits : (41) Aux axiomes d’espace vectoriel normé et d’anneau, on doit ajou- ter une relation sur la norme, effectivement vérifiée dans le cas de , pour laquelle la norme d’un produit est inférieure ou égale au produit des normes. Nous ne traiterons pas ici de la théorie des algèbres normées, pas même de celle des algèbres de Banach qui sont complètes pour la topologie de la norme (c’est le cas pour si E est lui-même un Banach), bien qu’on ait pu y bâtir une théorie spec- trale très importante, mais assez technique. Signalons également que le cas des algèbres commutatives est aussi tout à fait intéres- sant et fécond. 3. Dualité Le dual algébrique E* d’un espace vectoriel est l’ensemble des applications linéaires de E dans le corps de base , appe- lées formes linéaires. Il contient un sous-espace remarquable formé des formes continues ; on le note . C’est le seul à posséder une réelle importance en analyse fonctionnelle, le dual algébrique étant beaucoup plus riche que lui, mais formé pour l’essentiel de formes discontinues inutilisables, même dans le cas des espaces de Banach. Seul le cas particulier de la dimension finie correspond à l’égalité de ces deux espaces ; nous n’en tiendrons guère compte dans ce qui suit, les espaces qui se présentent naturellement en analyse étant tous de dimension infinie. Si l’on se donne une base algébrique d’un tel espace, les appli- cations qui, à un vecteur x, associent telle ou telle de ses coordon- nées relatives à cette base sont, en général, discontinues. Cela explique pourquoi les bases algébriques d’espaces fonctionnels fondamentaux sont sans grand intérêt. Nous verrons que les espaces de Hilbert sont, de ce point de vue, relativement intéressants car ils possèdent des « bases » qui remplacent, dans une certaine mesure, le rôle traditionnel des bases en dimension finie. 3.1 Norme d’une forme linéaire continue Par définition, la norme d’une forme linéaire continue f est égale à la borne supérieure ||f || de la fonction |f | qui, à tout vecteur x de E, associe le nombre positif |f (x )|. Elle vérifie donc l’inégalité fondamentale : (42) C’est même le plus petit nombre réel possédant cette propriété. Ᏻᏸ E( ) Ᏻᏸ E( ) dim E +∞ Ᏻᏸ E( )⇒< det 1– ‫*ޒ‬( )= Ᏻᏸ E( ) <||| g( )||| ||| f 1–( )||| 1– f g+( ) 1– 1–( )n f 1– ᭺ g( )n ᭺ f 1– n 0= +∞ ∑= Ᏻᏸ E( ) Ᏻᏸ E( ) Ᏻᏸ E( ) ᏸ E( ) ᏸ E( ) Ᏻᏸ E( ) fn 1– Ꮿ ∞ df Inv g( ) f 1– ᭺ g ᭺ f 1––= g ᭺ f f ᭺ g ᏸ E( ) λf( ) ᭺ µg( ) λµ( ) f ᭺ g( )= ᏸ E( ) ᏸ E( ) ‫ޒ‬ (ou ‫)ރ‬ E′ E*top= f x( ) f xр
  11. 11. ______________________________________________________________________________________________________________ ANALYSE FONCTIONNELLE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 101 − 11 3.2 Existence de formes linéaires discontinues Dans tout espace vectoriel normé de dimension infinie on peut exhiber au moins une forme linéaire discontinue à l’aide de l’axiome du choix. Nous ne le ferons pas, nous contentant de donner un exemple qui peut s’étendre sans grande difficulté au cas général. Nous allons munir l’espace vectoriel des polynômes réels d’une structure d’espace vectoriel normé en posant, pour tout polynôme P de coefficients (pn ) (nuls au-delà du degré de P ) : ||P|| = max |pn | (43) Il est facile de vérifier que cela définit bien une norme. Considérons la forme linéaire f, application linéaire de , définie par (somme finie puisque les pn sont presque tous nuls). Le polynôme 1 + X + X2 + ... + Xn, somme des monômes fonda- mentaux de degré inférieur ou égal à n, est de norme 1, alors que la valeur de f (1 + X + ... + Xn ) est égal à n + 1, et n’est par conséquent pas bornée bien que l’on ne quitte pas la sphère unité S (0, 1). Bien entendu la détermination d’une forme f discontinue pour d’autres normes de et, a fortiori, pour des espaces plus compliqués que , peut exiger des définitions plus subtiles (il faut en effet définir des bases algébriques, ce qui demande, en principe, de faire intervenir des processus non élémentaires), mais la construction de formes linéaires discontinues et assez simple dans son principe. Le résultat est absolument général : même dans des espaces relativement réguliers comme les espaces de Banach ou de Hilbert, il existe toujours une différence significative entre formes linéaires continues et les autres. Un choix « au hasard » d’une forme linéaire, dans le dual algébrique E* d’un espace vectoriel normé de dimension infinie, renvoie systématiquement à une forme discon- tinue. En sens inverse, l’on peut se demander si un espace admet des formes linéaires continues non triviales. La réponse est heureuse- ment affirmative, mais non triviale ; on a besoin pour cela d’un théorème fondamental dû à Banach qui affirme que, pour tout vecteur x, on dispose d’au moins une forme linéaire f de norme ||f || = 1, donc continue et non nulle, telle que f (x ) = ||x ||. 3.3 Espaces bidual et bidual topologique Le bidual E** est l’espace dual de l’espace E*, c’est-à-dire l’ensemble des applications linéaires de E* dans . Pour tout vec- teur x ∈ E nous pouvons définir un élément θ (x ) du bidual E** en posant : θ (x ) (f ) = f (x ) (44) pour toute forme linéaire f de E dans . L’application θ ainsi définie est linéaire de E dans E**. C’est une bijection si, et seule- ment si, E est de dimension finie. Dans le cas général, θ est seulement injective. Si l’on se limite au dual topologique, il se trouve que θ (x ) est elle-même continue dans tous les cas. C’est donc un élément du bidual topologique, dual topologique E’’ du dual topologique . Les espaces pour lesquels le bidual topologique est exclusive- ment formé des formes θ (x ) sont appelés réflexifs. Dans le cas des espaces qui seront définis dans la section consacrée aux espaces fonctionnels fondamentaux, on constate qu’ils sont réflexifs si p est un réel strictement supérieur à 1 ; les espaces ne le sont pas. La géométrie des espaces de Banach réflexifs est plus simple que le cas général, car elle s’écarte relativement peu du cas trivial des espaces de dimension finie. Ces espaces sont donc susceptibles d’un recours à l’intuition géométrique traditionnelle, ce qui facilite le travail du mathématicien qui doit les appliquer à des problèmes concrets, par exemple venus des besoins de la physique ou de la mécanique. 4. Espaces de Hilbert Historiquement, la notion d’espace de Hilbert, implicitement définie par David Hilbert vers les années 1900, est la première extension à une dimension infinie des propriétés géométriques de l’espace usuel. Elle a servi de matrice aux espaces vectoriels nor- més et, surtout, aux espaces de Banach définis plus haut. 4.1 Définition d’un espace de Hilbert Un espace de Hilbert E est un espace vectoriel normé complet (donc un Banach), dont la norme est issue d’un produit scalaire, appelé ici produit hilbertien (ou même produit hermitien si E est un espace vectoriel complexe). Une telle norme porte généralement le nom de norme euclidienne. Tout espace vectoriel de dimension finie peut recevoir une struc- ture d’espace de Hilbert compatible avec sa topologie. Un tel espace s’appelle traditionnellement espace euclidien, en référence au modèle fondateur de la géométrie. 4.1.1 Espaces de Hilbert réels De manière précise, un produit scalaire est une application de E2 dans le corps de base, supposé dans un premier temps être celui des réels , notée : (45) et supposée par définition bilinéaire, symétrique et définie positive, c’est-à-dire telle que : (46) La norme hermitienne est définie par l’égalité : (47) Elle permet de définir une structure d’espace vectoriel normé (et même bien entendu de Banach) et une topologie. Pour cette der- nière, le produit scalaire est évidemment continu, comme la norme hermitienne qui en est issue. Pour vérifier cette continuité, on dispose en effet d’une inégalité célèbre, dite de Cauchy-Buniakovski-Schwarz : (48) Cette inégalité, souvent abrégée sous le sigle CBS, est d’un usage constant en analyse et participe à un très grand nombre de majo- rations d’expressions où intervient un produit scalaire ou une norme hermitienne, par exemple dans de nombreux problèmes de géométrie euclidienne. ‫ޒ‬ X[ ] ‫ޒ‬ X[ ] dans ‫ޒ‬ f P( ) P 1( ) p ∞ 0 n∑= = ‫ޒ‬ X[ ] ‫ޒ‬ X[ ] ‫ޒ‬ ‫ޒ‬ E*top ᐉp ‫ޒ‬( ) ᐉ1 et ᐉ∞ ‫ޒ‬ x, y( ) ‫ۋ‬ x|y( ) x|y z+( ) x|y( ) x|z( )+= x|λy( ) λ x|y( )= x|y( ) y|x( )= x 0≠ x|x( )⇒ 0> x x|x( )= x|y( ) x yр
  12. 12. ANALYSE FONCTIONNELLE ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. A 101 − 12 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales 4.1.2 Espaces de Hilbert complexes Les seules modifications consistent à remplacer le corps par celui des complexes , et l’égalité : (x|y ) = (y|x ) (49) qui définit la symétrie par une relation dite de symétrie hermitienne : (50) Le produit scalaire n’est plus bilinéaire, mais seulement sesquilinéaire, c’est-à-dire linéaire à droite et semi-linéaire à gauche, puisque : (51) Cela dit, le carré scalaire (x|x ) d’un vecteur non nul est toujours un nombre réel strictement positif, comme sa norme. Cette fois-ci E est, bien sûr, un espace vectoriel normé complexe : la norme de λx est égale au produit de la norme de x par le module du nombre complexe λ, d’ailleurs noté |λ| comme une valeur absolue de réel. Dans l’inégalité CBS, le symbole | q | renvoie évidemment à un module au lieu d’une valeur absolue ; mais les applications en sont pratiquement les mêmes. Les différences entre les deux types d’espace de Hilbert sont donc d’assez peu d’importance, et nous ne parlerons pratiquement ici que des Hilbert réels. 4.1.3 Espaces préhilbertiens Si l’on écarte la complétude d’un espace de Hilbert en ne gardant que les propriétés du produit scalaire, on obtient un espace vectoriel préhilbertien (réel ou complexe selon le cas). Un tel espace peut toujours être plongé dans un espace de Hilbert – qui n’est autre que son complété –, dont il forme une partie dense. 4.2 Bases hilbertiennes Tout espace de Hilbert a, comme tout Banach, des bases algé- briques qui sont, comme nous l’avons vu, finies ou infinies non dénombrables. Dans le second cas, ces bases sont de peu d’utilité ; elles sont remplacées par la notion de base hilbertienne qui rend presque les mêmes services. 4.2.1 Extension de la notion de coordonnées Dans un espace vectoriel, la décomposition algébrique d’un vecteur x sous la forme : (52) où la famille (ei )i ∈ I est une base, engendre la notion usuelle de coor- données (xi ) ; ce sont les nombres nuls, sauf peut-être pour un nombre fini d’indices, définis de manière unique par cette décomposition en combinaison linéaire. De telles combinaisons linéaires sont nécessairement finies, en ce sens que les xi sont donc presque tous nuls. Toutefois l’analyse permet, dans certains cas, de donner un sens à des sommes du même genre, mais où les termes de la forme xiei ≠ 0 ne sont pas nécessairement en nombre fini. On parle alors de sommes de séries, ou même de sommes de familles sommables. On démontre que tout espace de Hilbert possède au moins une base hilbertienne (ei )i ∈ I , c’est-à-dire une famille de vecteurs orthonormés (tels que ||ei || = 1 pour tout i ), deux à deux ortho- gonaux (tels que (ei |ej ) = 0 pour tout couple (i, j ) avec i ≠ j ) pour lesquels des décompositions du type : (53) existent pour tout vecteur x de l’espace. On en déduit l’égalité xi = (ei |x ) qui permet le calcul de ces « coordonnées » géné- ralisées. Ici, le mode de définition du symbole ∑ est évidemment assez délicat à exposer, et nous nous restreindrons volontairement au cas particulier faisant l’objet de la section suivante. 4.2.2 Espaces de Hilbert séparables Un espace de Banach E est dit séparable si, et seulement si, il est de dimension infinie et admet une partie A dense (c’est-à-dire telle que ) et infinie dénombrable (c’est-à-dire en bijection avec ). (La demande sur la dimension n’est là que pour écarter les espaces de dimension finie, dont les Banach, et surtout les Hilbert, séparables sont une extension non triviale). Le théorème fondamental sur les Hilbert séparables est qu’ils sont tous linéairement et isométriquement homéomorphes. Pour parler plus brièvement, il n’en existe essentiellement qu’un seul. On choisit souvent, pour les représenter tous, l’espace ou, ce qui revient au même grâce à la théorie de Fourier étudiée en analyse harmonique, l’espace , qui seront définis dans la section consacrée aux espaces fonctionnels fondamentaux. De plus tout espace de Hilbert séparable admet une base hilber- tienne dénombrable, c’est-à-dire que l’on n’a besoin ici que de décompositions du type : (54) qui se ramènent à de simples sommes de séries bien connues. Bien entendu la famille , bien que libre, n’engendre pas l’espace E entier, mais seulement l’un de ses sous-espaces vecto- riels F. Toutefois F est dense dans E (c’est-à-dire ). Dans F, la famille (en ) est bien une base orthonormée ; la densité de F dans E permet de dire que (en ) est une famille totale de vecteurs de E. La propriété essentielle d’une telle base hilbertienne est l’égalité de Bessel-Parseval : (55) où l’on a, pour tout indice n : xn = (en |x ) (56) 4.3 Sous-espaces supplémentaires topologiques Le cas des espaces de Hilbert est très remarquable en ce sens que, pour qu’un sous-espace vectoriel admette un supplémentaire topologique, il faut et il suffit qu’il soit fermé. Les paradoxes ren- contrés dans le cas des espaces de Banach et, a fortiori, dans celui des espaces vectoriels normés généraux disparaissent donc ici presque totalement. De manière précise, un sous-espace fermé F d’un Hilbert admet toujours au moins un supplémentaire topologique : c’est son orthogonal F⊥, étudié dans la section suivante. 4.4 Orthogonalité dans un Hilbert Toute application bilinéaire comme le produit scalaire (x|y ) engendre une notion d’orthogonalité. Deux vecteurs sont orthogo- naux si, et seulement si, ils vérifient l’égalité : (x|y ) = 0 (57) ‫ޒ‬ ‫ރ‬ x|y( ) y|x( )= λx|y( ) λ x|y( )= x xiei∑= x xiei∑= E A= ‫ގ‬ ᐉ2 ‫ޒ‬( ) L2 0, 1[ ], ‫ޒ‬( ) x xnen n 0= ∞ ∑= en( )n ‫ގ‬∈ F E= x xn 2 n 0= ∞ ∑=
  13. 13. ______________________________________________________________________________________________________________ ANALYSE FONCTIONNELLE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 101 − 13 Cette relation se note : x ⊥ y (58) Pour un produit scalaire qui est symétrique, l’orthogonalité est également symétrique : si x est orthogonal à y, alors y est ortho- gonal à x. On dispose alors du théorème de Pythagore : ||x + y ||2 = ||x ||2 + ||y ||2 (59) 4.4.1 Orthogonal d’une partie d’un Hilbert Pour une partie A d’un Hilbert E, on note A⊥ et on appelle ortho- gonal de A l’ensemble des vecteurs x de E orthogonaux à tous les vecteurs a de A. C’est évidemment un sous-espace vectoriel de E, fermé et donc complet, c’est-à-dire un sous-Hilbert de E. L’intersec- tion de A et de A⊥ est vide ou réduite au seul vecteur 0, seul vec- teur orthogonal à lui-même. A, le sous-espace vectoriel engendré par A et même l’adhérence de ce dernier ont même orthogonal. L’étude de l’orthogonalité dans un Hilbert peut donc se borner à l’ensemble de ses sous-espaces fermés, qui ont tous une structure d’espaces de Hil- bert. 4.4.2 Parties d’orthogonal nul L’orthogonal E⊥ de E est évidemment l’espace {0} formé du seul vecteur nul. Mais il n’est pas le seul. En effet il existe des parties A de E (voire des sous-espaces vectoriels stricts F de E en dimen- sion infinie), dont l’orthogonal est aussi réduit à 0. Nous n’en don- nerons qu’un seul exemple : l’espace des polynômes à coefficients réels, c’est-à-dire encore l’ensemble des suites réelles (pn ) n’ayant qu’un nombre fini de termes non nuls, est un sous-espace d’orthogonal nul de l’espace qui, comme nous le verrons plus bas, est un Hilbert pour le produit scalaire défini par : (60) En effet, une suite u orthogonale à tout vecteur de F (c’est-à-dire à tout polynôme ) est orthogonale à Xn, donc telle que 0 = (u|Xn) = un . Nous verrons que cette situation ne peut se produire lorsque F est fermé, sauf naturellement si F = E. Dans ce cas précis, et les polynômes forment une partie dense de (toute suite de est limite d’une suite de polynômes pour la topologie issue de sa norme hilbertienne ; c’est d’ailleurs évident puisqu’il suffit de définir les différents polynômes p tendant vers u par des égalités du type : (61) et de faire tendre N vers l’infini). 4.4.3 Orthogonal d’un sous-espace fermé Le théorème fondamental sur l’orthogonal d’un sous-espace fermé d’un Hilbert généralise très étroitement la situation géomé- trique classique de l’espace usuel, où orthogonal signifie formant un angle droit, mesurable avec un rapporteur... De manière pré- cise, nous disposons du théorème suivant : s L’orthogonal F⊥ d’un sous-espace fermé F d’un espace de Hilbert E est un sous-espace fermé, n’ayant que le vecteur nul en commun avec F, et supplémentaire topologique de ce dernier : E = F ⊕ F⊥ (62) En dimension finie n, la dimension de F⊥ est la codimension de F, c’est-à-dire le nombre n – dim F. Tout vecteur x de E s’écrit donc, de manière unique, sous la forme x = y + z, où y est un vecteur de F et où z est orthogonal à tous les vecteurs de F (y compris). On en déduit aussitôt une rela- tion de Pythagore : ||x ||2= ||y ||2 + ||z ||2 (63) L’orthogonal de E est {0} ; celui de {0} est E. Si F est un sous-espace de G, c’est-à-dire si F ⊂ G, on a naturellement G⊥ ⊂ F⊥. Notons que le biorthogonal d’un sous-espace, c’est-à-dire l’orthogonal (F⊥ )⊥ de son orthogonal, lui est égal. Cette propriété n’est nullement évidente (seule l’est l’inclusion F ⊂ (F⊥ )⊥ ), sauf toutefois en dimension finie, car ces deux espaces ont même dimension. Elle signifie encore que, si F⊥ est l’orthogonal de F, inversement F est l’orthogonal de F⊥, ce qui introduit une dualité intéressante entre ces deux espaces. Il est facile de montrer que l’orthogonal (F + G )⊥ de la somme de deux sous-espaces fermés est l’intersection F⊥ ∩ G⊥ de leurs orthogonaux. Inversement, la propriété F = (F⊥ )⊥ montre que l’orthogonal (F ∩ G)⊥ de l’intersection de deux sous-espaces fer- més est la somme F⊥ + G⊥ de leurs orthogonaux. Ces propriétés, qui montrent bien la dualité entre deux sous-espaces orthogonaux, s’étendent à des sommes et intersections finies de sous-espaces. Ce tableau résume les relations fondamentales sur l’orthogona- lité dans un Hilbert : (64) 4.5 Projection orthogonale dans un Hilbert Considérons une décomposition d’un Hilbert en la somme directe topologique orthogonale E = F ⊕ F⊥ d’un sous-espace F (nécessairement fermé) et de son orthogonal (également fermé). L’application p de E dans E définie, à partir de la décomposition x = y + z avec (y, z ) ∈ F × F⊥, par p (x ) = y est un projecteur linéaire (donc tel que ), continu, d’image F et de noyau F⊥. Ce projecteur possède donc une norme égale à la borne supérieure des normes des vecteurs y = p (x ) lorsque x décrit l’ensemble des vecteurs orthonormés (c’est-à-dire de norme ||x || = 1). L’égalité de Pythagore donne aussitôt , avec éga- lité lorsque x appartient à F. Donc la norme est égale à 1, sauf dans le cas tout à fait exceptionnel où F est réduit au seul vecteur 0, où . On dit que p est un projecteur orthogonal. Le projecteur associé q = idE – p est également orthogonal et de norme 1, sauf dans le cas tout à fait exceptionnel où F = E. Dans un Banach non hilbertien, la norme d’un projecteur défini par une somme directe topologique peut être strictement supé- rieure à 1. C’est même d’ailleurs le cas dans un Hilbert pour une somme E = F ⊕ G où G ne serait pas l’orthogonal de F. F ‫ޒ‬ X[ ]= ᐉ2 ‫ޒ‬( ) u|v( ) unvn n 0= ∞ ∑= P pn Xn ∑= ᐉ2 ‫ޒ‬( ) ‫ޒ‬ X[ ]= ᐉ2 ᐉ2 p un Xn 0 N ∑= E⊥ 0{ }= F l F⊥ 0{ }= 0{ }⊥ E= F 1 F⊥ E= F ⊥( )⊥ F= F G⊂ G⊥ F⊥⊂⇒ F G+( )⊥ F ⊥ l G ⊥= F l G( )⊥ F⊥ G⊥+= p ᭺ p p= |||p||| y xр |||p||| 0=|||p|||
  14. 14. ANALYSE FONCTIONNELLE ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. A 101 − 14 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales 4.5.1 Parties convexes d’un espace vectoriel réel La propriété fondamentale de décomposition d’un espace de Hil- bert en somme directe orthogonale topologique de deux sous-espaces, dont chacun est l’orthogonal de l’autre, résulte d’une théorie puissante de la projection sur un convexe complet d’un espace préhilbertien. Cette notion demande quelques défini- tions supplémentaires. Une partie A d’un espace vectoriel réel E est dite convexe si, et seulement si, tout segment [a, b ], défini comme l’ensemble des vecteurs de la forme x = ta + (1 – t ) b où t ∈ [0, 1], est inclus dans A dès que ses extrémités a et b sont elles-mêmes dans A. L’inter- section d’une famille de convexes est convexe. Une partie convexe est évidemment connexe, car connexe par arcs. Parmi les parties convexes d’un espace vectoriel E, citons les sous-espaces vectoriels et les sous-espaces affines, c’est-à-dire les transformés d’un sous-espace vectoriel par une translation de vec- teur a qui, à un vecteur x, associe x + a. Mais il y en a d’autres : c’est le cas par exemple des deux demi-espaces ouverts et des deux demi-espaces fermés définis par un hyperplan. Si l’espace est normé, ce qui définit une topologie sur lui, on peut montrer, par exemple, que l’adhérence d’une partie convexe est convexe. Ces notions ont une grande importance, y compris dans des domaines où on ne s’attendrait pas nécessairement à rencontrer des notions mathématiques trop abstraites (notamment en économie). 4.5.2 Projection sur un convexe complet d’un espace préhilbertien Soit A une partie d’un espace préhilbertien E, non vide, convexe et complète pour la topologie issue de la norme hermitienne . Pour tout élément x de E, il existe un élément et un seul a ∈ A, appelé projection orthogonale de x sur A, tel que pour tout autre élément b ∈ A on ait ||x – a|| < ||x – b ||. C’est donc le point de A situé à la plus petite distance de x ; si par exemple x est lui-même élément de A, on a évidemment a = x. Cette projection peut encore être caractérisée par l’inégalité : (65) pour tout b ∈ A. Géométriquement, cela signifie que le vecteur x – a fait un angle obtus avec tous les vecteurs b – a où b décrit A. L’application p de E dans E définie par p (x ) = a est continue ; elle est même uniformément continue puisque 1-lipschitzienne : . Son image est A. Cette propriété peut être appliquée avec fruit au cas où F est un sous-espace vectoriel d’un espace de Hilbert. Il suffit de poser , qui est un sous-espace vectoriel fermé d’un espace complet, donc lui-même complet, pour obtenir ainsi un résultat relevé dans la section précédente : p est alors le projecteur ortho- gonal sur F, et E est la somme directe orthogonale topologique de et du sous-espace F⊥, orthogonal commun à F et à . 4.6 Espace dual topologique d’un Hilbert La dualité dans un espace de Hilbert est particulièrement simple ; c’est en effet ici que le caractère géométrique d’espace vectoriel normé est le plus proche de celui des espaces usuels. 4.6.1 Isomorphisme fondamental d’un Hilbert Dans un espace de Hilbert, nous disposons d’une application linéaire fondamentale, que nous noterons δ, reliant l’espace E lui-même à son dual topologique . Cette application est à la fois linéaire, bijective, d’inverse continue et isométrique (c’est-à-dire conservant les normes). C’est donc un homéomor- phisme parfait. Elle est caractérisée par le fait que, pour toute forme linéaire continue f de E dans , il existe un vecteur unique x de E tel que, pour tout vecteur y ∈ E, on ait l’égalité : f (y ) = (x|y ) (66) Notant δ (x ) = f, on voit que la relation précédente s’écrit encore : δ (x ) (y ) = (x|y ) (67) La définition de δ est intrinsèque, c’est-à-dire qu’elle peut s’effec- tuer sans recours à une base de l’espace. Deux mathématiciens sont ainsi certains de parler exactement de la même fonction sans avoir à effectuer de choix particuliers. De telles invariances sont évidemment précieuses. L’une des propriétés essentielles de δ consiste en son caractère isométrique ; il est en effet presque immédiat de vérifier que ||f || = ||δ (x )|| = ||x ||. Les géométries d’un espace de Hilbert et de son dual topologique sont donc essentiellement identiques, comme cela se produit par exemple dans le cadre de la géométrie euclidienne classique. Cette simplicité a encouragé les mathématiciens, après Hilbert, à chercher à l’étendre à des espaces plus généraux. C’est ainsi que sont nées dans les années trente et quarante les théories des espa- ces de Banach, des espaces vectoriels normés et des espaces vec- toriels topologiques qui ont permis le développement de l’analyse fonctionnelle et son application à de très nombreux problèmes de mathématiques (pures ou non) et de physique. Dans le cas d’un espace de Hilbert complexe, l’application δ n’est plus tout à fait linéaire, puisque interviennent ici les conjugués des scalaires complexes en jeu ; mais l’essentiel de la théorie reste inchangé. 4.6.2 Caractère réflexif d’un espace de Hilbert De ce qui précède on déduit aussitôt qu’un espace de Hilbert est réflexif, c’est-à-dire quasiment confondu avec son bidual topologi- que [abusivement noté E ’’], puisque l’application θ envoyant injec- tivement un espace dans son bidual topologique est ici bijective et isométrique. L’usage veut que l’on identifie E et E ’’, ce qui revient à confondre x et θ (x ), donc f (x ) et x (f ) pour tout x ∈ E et toute forme linéaire continue . Cette propriété s’appelle théorème de représentation et est conjointement due à Frédéric Riesz et Maurice Fréchet. Elle a été démontrée pour la première fois dans le cadre de l’espace L2 des fonctions de carré intégrable au sens de Lebesgue sur le segment [0, 1]. La tentation de confondre également E et son dual topologique est trop grande pour que l’on n’y succombe pas à l’occasion ; mais cette seconde identification peut parfois se révéler dangereuse, et il vaut mieux s’en tenir exclusivement à la première. x x|x( )= x a|b– a–( ) 0р p y( ) p x( )– y x–р A F= F F E′ E*top= ‫ޒ‬ f E′∈ E*top=
  15. 15. ______________________________________________________________________________________________________________ ANALYSE FONCTIONNELLE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales A 101 − 15 4.7 Transposition entre espaces de Hilbert Soit (E, F ) une application linéaire continue entre deux espaces de Hilbert, dont nous ne distinguerons pas, par souci de simplicité, les symboles typographiques désignant classiquement les produits scalaires et l’orthogonalité [(q|q) et q ⊥], bien que E et F puissent naturellement être différents. 4.7.1 Définition de l’application transposée La transposée tf de f est encore une application linéaire continue, mais définie entre les espaces duals topologiques de E et de F. Plus précisément, tf est définie sur et à valeurs dans , [noter l’échange des lettres E et F]. À toute forme linéaire continue v de F dans , elle associe une forme linéaire continue u, envoyant E dans , telle que : (68) c’est-à-dire définie par u (x ) = v [f (x )] pour tout x ∈ E. Puisque tf est continue, la transposition peut donc être vue comme une application de . (Une telle définition peut être étendue à n’importe quelle appli- cation linéaire entre espaces vectoriels sur un corps quelconque, pour laquelle le concept de continuité n’a aucun sens particulier, mais nous ne l’utiliserons que dans le cas d’une application continue entre espaces de Hilbert, où elle a des propriétés remar- quables, d’usage constant en analyse.) 4.7.2 Propriétés de la transposition Les relations suivantes sont immédiates, pourvu que les opéra- tions qui y figurent aient un sens (par exemple lorsque nous écri- vons f –1, cela suppose implicitement que f est bijective et que son inverse envoie continûment F dans E ) : (69) (avec F = E pour la dernière formule). Enfin les deux égalités f = g et tf = tg sont équivalentes, et l’application nulle est la seule dont la transposée soit nulle. En d’autres termes, l’application T qui, à f, associe sa transposée tf = T (f ) est linéaire, injective et isométrique (c’est-à-dire conservant les distances puisque, comme nous le verrons dans le paragraphe suivant, ). En réalité, T est même un homéomorphisme linéaire isomé- trique de . Cet homéomorphisme est dit canonique, ce qui signifie qu’il peut être défini de manière natu- relle sans utiliser de base particulière dans l’un ou l’autre espace. Puisque l’on peut identifier un espace de Hilbert E et son bidual E’’, la bitransposée ttf = t (tf ) d’une application f de E dans F, théo- riquement élément de , peut être considérée comme appartenant en fait à , espace qui contient f elle-même. De plus, on dispose à cet égard d’une égalité fondamentale : ttf = f (70) qui complète heureusement l’identification d’un Hilbert à son bidual. On retrouve ainsi notamment pourquoi l’égalité de deux applications équivaut à celle de leurs transposées. 4.7.3 Invariants par transposition La transposition est donc un procédé permettant de définir, à partir d’une application f donnée, une application qui soit sa « parente », mais agissant entre les duaux topologiques des espa- ces liés par f, et héritant en quelque sorte des propriétés de f. Ainsi, la norme de la transposée de f est-elle égale à la norme de f : (71) Dans un Banach ordinaire, ce résultat est également exact ; mais s’il est très facile d’y prouver l’inégalité , prouver l’éga- lité exige le théorème de Hahn-Banach que nous étudierons plus loin ; dans un Hilbert au contraire, l’égalité ttf = f montre immédia- tement qu’en fait les deux normes sont égales. Si f est de rang fini n, c’est-à-dire si son image est de dimension finie n, il en est de même de tf, et leurs rangs (les dimensions des images) sont égaux. Sinon, les deux espaces images sont des sous-espaces de dimensions infinies, dans F et dans E’ respective- ment. Norme et rang d’une application linéaire continue entre Hilbert sont donc deux invariants par transposition. Toutefois, cet héritage subit certaines distorsions. Ainsi, la trans- posée d’une application injective n’est-elle pas, en général, injec- tive mais plutôt surjective ; de même, la transposée d’une surjection est une injection. 4.7.4 Cas particulier des endomorphismes d’un espace euclidien Dans le cas particulier où E est égal à F et de dimension finie, les déterminants et les valeurs propres de f et tf sont égaux, ainsi que leurs polynômes caractéristiques et quelques autres invariants fon- damentaux d’algèbre linéaire. Plus précisément, pour toute base B de E, il existe une base B* de E*, dite base duale de la précédente, dans laquelle la matrice de tf n’est autre que la matrice transposée de celle de f, c’est-à-dire la matrice obtenue en échangeant lignes et colonnes, transformant par exemple ai, j en aj, i : (72) ce qui explique les propriétés ci-dessus. Bien entendu, si B est orthonormée, il en est de même pour sa duale B*. 4.8 Adjonction entre espaces de Hilbert Soit toujours une application linéaire continue d’un espace de Hilbert E dans un autre Hilbert F. Ayant défini la trans- posée tf comme élément de et muni par ailleurs des iso- morphismes fondamentaux δ entre E et son dual E’ et entre F et son dual F’ (encore noté δ pour simplifier), on peut estimer que la connaissance de tf engendre mécaniquement une nouvelle appli- cation linéaire continue, envoyant cette fois-ci F dans E. C’est effec- tivement le cas, et cette nouvelle application, notée f *, est appelée adjointe de f. f ᏸ∈ F′ F*top= E′ E*top= ‫ޒ‬ ‫ޒ‬ u f t v( ) v ᭺ f= = ᏸ E, F( ) dans ᏸ F′, E′( ) f g+( ) t f t g t += λf( ) t λ t f= f ᭺ g( ) t g t ᭺ f t = f 1– ( ) t f t ( ) 1– = 0 t 0= id t E idE ′= ||| |||T g f–( ) ||| |||g f–|= || ||| =g f–( ) t ᏸ E, F( ) sur ᏸ F′, E′( ) ᏸ E″, F″( ) ᏸ E, F( ) ||| f t ||| |||f ||| = |||f |||||| f t ||| р |||f |||||| f t ||| MatB* f t ( ) ΂ t MatB f( )΃= f ᏸ E, F( )∈ ᏸ F′, E′( )
  16. 16. ANALYSE FONCTIONNELLE ______________________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. A 101 − 16 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales 4.8.1 Définitions de l’application adjointe L’adjointe f * de f est encore une application linéaire continue, mais définie entre les espaces de Hilbert F et E. Plus précisément, f * est définie sur F et à valeurs dans E [noter l’échange des lettres E et F ]. C’est l’unique fonction f * telle que, pour tout vecteur x de E et tout vecteur y de F, on ait : (f (x )|y ) = (x|f *(y )) (73) Puisque (x |y ) = δ (y )(x ), on peut donc caractériser d’une autre manière f * en recourant à l’égalité δ (y ) (f (x )) = δ (f *(y ))(x ) pour tout (x, y ) ∈ E × F, soit encore à l’égalité pour tout y ∈ F, équivalente à son tour à tf (δ (y )) = δ f *(y ), donc à l’éga- lité fonctionnelle et, enfin, à la relation fondamentale : (74) qui permet de retrouver que f * envoie bien un vecteur de F dans E en passant successivement par F ’ et par E’. La première définition semble sans doute bien plus concrète que la seconde, car elle traduit simplement un « transport » de la lettre f de la gauche du signe | vers sa droite, au simple prix de l’adjonc- tion d’un astérisque. Mais l’autre est très efficace sur le plan mathématique, car elle indique avec la plus grande netteté le mécanisme précis de l’action de f * sur E, prouvant par exemple les caractères linéaire et continu de f * sans avoir à recourir à un quel- conque calcul. Le formalisme moderne, qui semble dans certains cas bien compliquer le travail du scientifique, est parfois enrichissant par sa souplesse, et il est bon de savoir l’utiliser à bon escient quand il peut apporter de la clarté comme c’est ici visiblement le cas, fût-ce en demandant un effort raisonnable de réflexion. 4.8.2 Propriétés de l’adjonction La relation la plus importante qui concerne l’adjonction est sans doute la suivante : la biadjointe f ** = (f *)* d’une application linéaire continue f, c’est-à-dire l’adjointe de son adjointe, lui est égale. En effet, toutes deux sont dans et vérifient l’égalité : f ** = f (75) Les relations suivantes sont immédiates, pourvu que les opéra- tions qui y figurent aient un sens (par exemple lorsque nous écri- vons f –1, cela suppose implicitement que f est bijective et que son inverse envoie continûment F dans E ) : (76) (avec F = E pour la dernière formule). Enfin les deux égalités f = g et f * = g * sont équivalentes, et l’application nulle est la seule dont l’adjointe soit nulle. En d’autres termes, l’adjonction A qui, à f, associe son adjointe f * = A (f ) est linéaire, injective et isométrique (c’est-à-dire conservant les distances puisque, comme nous le ver- rons un peu plus loin, .) En réalité, A est même un homéomorphisme linéaire isométrique de . Cet homéomorphisme est dit canonique, ce qui signifie qu’il peut être défini de manière naturelle sans utiliser de base particulière dans l’un ou l’autre espace. Cela provient du résultat analogue déjà vu pour la transposition, puisque T et A sont liés par la relation fondamentale : (77) 4.8.3 Adjonction dans un Hilbert complexe Si le Hilbert E est un espace vectoriel sur le corps des nom- bres complexes, les théories de la transposition et de l’adjonction sont très voisines de celles qui ont été exposées dans le cadre des Hilbert réels. Il faut toutefois signaler ici une différence importante : l’adjointe (λf )* de l’application λf n’est plus égale à λf *, mais à l’application , où le surlignement marque la conjugaison dans . Il existe également d’autres nuances à apporter à l’exposé des propriétés des espaces de Hilbert, mais nous nous contenterons de cette remarque à propos de l’adjonction, les autres étant à peu près évidentes suivant le contexte où l’on pourrait être amené à les rencontrer. 4.8.4 Invariants par adjonction L’adjonction est donc un procédé permettant de définir, à partir d’une application f donnée, une application qui soit sa « parente », mais échangeant l’ordre des espaces liés par f, et héritant en quel- que sorte des propriétés de f. Ainsi, la norme de l’adjointe de f est-elle égale à la norme de f : (78) Si f est de rang fini n, c’est-à-dire si son image est de dimension finie n, il en est de même de f *, et leurs rangs (les dimensions des images) sont égaux. Sinon, les deux espaces images sont des sous-espaces de dimensions infinies, dans F et dans E respective- ment. Norme et rang d’une application linéaire continue entre Hilbert sont donc deux invariants par adjonction. Toutefois, cet héritage subit certaines distorsions. Ainsi, l’adjointe d’une application injective n’est-elle pas, en général, injective mais plutôt surjective ; de même, l’adjointe d’une surjec- tion est une injection. 4.8.5 Cas particulier des endomorphismes d’un espace euclidien Dans le cas particulier où E est égal à F et de dimension finie, les déterminants et les valeurs propres de f et f * sont égaux, ainsi que leurs polynômes caractéristiques et quelques autres invariants fon- damentaux d’algèbre linéaire. Si le corps de base était , il faudrait modifier légèrement ces affirmations ; ainsi, les valeurs propres de f * sont les conjuguées de celles de f et peuvent par conséquent ne pas leur être égales. Plus précisément, il existe dans E des bases B = (e1 ,..., en ) dites orthonormées parce que (ei |ej ) = 0 si i ≠ j et 1 si i = j, telles que, si A est la matrice de f relative à B, celle de f * est la transposée tA de A [sa transconjugée dans le cas d’un espace complexe]. Dans un espace euclidien, l’ensemble des f dont l’adjointe est égale à l’inverse : f *= f –1 (79) est un groupe, appelé groupe orthogonal de E et noté O (E ). L’ensemble des f égales à leur adjointe : f *= f (80) est un espace vectoriel, appelé espace des endomorphismes symé- triques ou autoadjoints. Si A est la matrice de f dans une base orthonormée E, ces deux relations sont respectivement équivalentes aux égalités matriciel- les tAA = I et tA = A. δ y( ) ᭺ f δ ᭺ f * y( )= f t ᭺ δ δ ᭺ f *= f * δ 1– ᭺ f t ᭺ δ= ᏸ E, F( ) f g+( )* f * g*+= λf( )* λf *= f ᭺ g( )* g* ᭺ f *= f 1– ( )* f *( ) 1–= 0* 0= id*E idE= ||| |||A g f–( ) ||| |||g f–|= || ||| =g f–( )* ᏸ E, F( ) sur ᏸ F, E( ) A f( ) δ 1– ᭺ T f( ) ᭺ δ= ‫ރ‬ λ f ‫ރ‬ |||f*||| |||f ||| =|||f*||| |||f ||| ‫ރ‬ At

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