Este documento resume el cuadro tradicional de oposición de Boecio, el cual establece las relaciones entre las cuatro formas típicas de proposiciones categóricas. Explica las equivalencias y las implicaciones entre las proposiciones, incluyendo las relaciones entre contradictorias, contrarias, subcontrarias y subalternas. El cuadro de Boecio sirve como herramienta mnemotécnica para determinar la validez de inferencias establecidas por relación de oposición entre proposiciones.

1. CUADRO TRADICIONAL DE OPOSICIÓN DE BOECIO
1. Definición
Es un procedimiento de ayuda-memoria (mnemotécnico), completado por
Boecio en la época feudal. Se aplica para determinar la validez de
inferencias que se establecen por relación de oposición. El cuadro de Boecio
muestra las relaciones entre las cuatro formas típicas de las proposiciones
categóricas.
A
E
3. Implicaciones
Son aquéllas en las cuales de una premisa se sigue una conclusión. Por
ejemplo: “Ningún libro es aburrido. Por lo tanto, algunos libros no son
aburridos”. El asunto está en determinar si esta deducción es válida o no, y
qué conclusión podría deducirse en caso que no fuera correcta. Para ello,
vamos a estudiar las relaciones restantes del cuadro de Boecio.
3.1. Entre subalternas.
Se establecen entre proposiciones de igual calidad pero diferente cantidad.
Estas, al igual que las siguientes, son sólo implicaciones y no equivalencias.
A → I. Ejemplo: Todos los peruanos son sudamericanos. Por lo tanto,
algunos peruanos son sudamericanos.
E → O. Ejemplo: Ningún perro es vegetariano. Luego, algunos perros no
son vegetarianos.
3.2. Entre contrarias.
Se establecen entre proposiciones universales. En el esquema anterior de
subalternas reemplacemos las letras I y O por sus equivalentes ~E y ~A.
Para que estas inferencias sean válidas, debe negarse la conclusión.
I
O
2. Equivalencias
Son aquéllas fórmulas que establecen una relación de identidad entre una
proposición y otra. Debido a que la equivalencia es una doble implicación,
se puede asumir que el equivalente de una proposición es también su
conclusión. Por ejemplo: “Ningún libro es aburrido” equivale a “Es falso
que algunos libros sean aburridos”, pero también la segunda proposición es
consecuencia lógica de la primera. Las equivalencias se establecen…
2. 1. Entre contradictorias.
Es decir, entre proposiciones de diferente cantidad y calidad. Como son
equivalencias, son proposiciones que se implican mutuamente.
A ↔ ~ O. Ejemplo: Todos los universitarios son estudiantes si y sólo si es
falso que algún universitario no es estudiante.
E ↔ ~ I. Ejemplo: Ningún hombre es madre si y solamente si jamás ocurre
que algunos hombres sean madres.
I ↔ ~ E. Ejemplo: Algunos payasos son graciosos siempre y cuando nunca
ningún payaso sea gracioso.
O ↔ ~ A. Ejemplo: Algunos perros no son mansos cuando y sólo cuando es
imposible que todos los perros sean mansos.
A → ~ E. Ejemplo: Todos los peruanos son sudamericanos. Por lo tanto,
nunca ningún peruano es sudamericano.
E → ~ A. Ejemplo: Ningún perro es vegetariano. Luego, jamás ocurre que
todos perros sean vegetarianos.
3.3. Entre subcontrarias.
Se establecen entre proposiciones particulares. En el esquema de
subalternas, reemplacemos las letras A y E por sus equivalentes ~O y ~I.
Para que estas inferencias sean válidas, debe negarse la premisa.
~ O → I. Ejemplo: Es falso que algunos peruanos no sean sudamericanos.
Por lo tanto, algunos peruanos son sudamericanos.
~ I → O. Ejemplo: No es cierto que algún perro sea vegetariano. Luego,
algunos perros no son vegetarianos.
3.4. Entre subalternantes.
Se establecen entre proposiciones de igual calidad pero diferente cantidad.
En el esquema de subalternas reemplacemos todas las letras por sus
equivalentes. Para que estas inferencias sean válidas deben negarse tanto la
premisa como la conclusión.
~ O → ~ E. Ejemplo: Es imposible que algunos peruanos no sean
sudamericanos. Por lo tanto, es falso que ningún peruano sea sudamericano.
~ I → ~ A. Ejemplo: Jamás algún perro es vegetariano. Luego, nunca ocurre
que todos los perros sean vegetarianos.