Unidad 1 del curso de Electrícidad y Magnetismo I (FS321) servido por el profesor Rafael Barahona Paz en la Universidad Nacional Autónoma de Honduras

1. FS-321
Notas del curso
Profesor: Rafael Barahona Paz

2. Campos Electromagnéticos
Libro de texto:
Roald K. Wangsness
Introduction to Electrodynamics
Libro de texto auxiliar:
David Griffiths
Otros materiales utilizados: Notebooks de Mathematica:
Gradient
John B. Schneider
Tomado de www.wolfram.com
Divergence
John B. Schneider
Tomado de www.wolfram.com
Modelos en 3D y gráficos se hicieron utilizando
“3D Studio Max”

3. Capítulo I. Vectores
z

A
y
x
Un vector puede representarse de la forma:

A = Ax x + Ay y + Az z
ˆ ˆ ˆ
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4. Donde x, y , z son los vectores unitarios en las direcciones de los
ˆˆˆ
ejes “x”, “y” y “z” respectivamente.
Ax , Ay y Az son las componentes escalares del vector
y

Ay A
Ax x
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5. 
El módulo de A lo encontramos usando:

A= Ax2 + A 2 + A 2
y z
Vector unitario:

Un vector unitario en la dirección de A se define como:
 
A A
a = =
ˆ
A Ax2 + A 2 + A z2
y
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6. Angulos directores:
Son los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes
z

A
γ
β
α y
x
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7. z

A
y
α
Ax
x
De la figura se observa que:
Ax = A cos α
De igual forma:
Ay = A cos β
Az = A cos γ
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8. Los cosenos directores se definen como:
 x = cos α
 y = cos β
 z = cos γ
Ax
Ax = A cos α →  x =
A

Ay
Ax A
A
a= = x+ y+ zz
ˆ ˆ ˆ ˆ
A A A A
a = x x + y y + z z
ˆ ˆ ˆ ˆ
 2 +  2y +  2 = 1
x z
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9. Vector de posición:
y
P

r
x

r = xx + y y + z z
ˆ ˆ ˆ
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10. Vector de posición relativa:
y

R
P’
 P
r'

r
x

r = xx + y y + z z
ˆ ˆ ˆ

r ' = x' x + y ' y + z ' z
ˆ ˆ ˆ

R = ( x − x' ) x + ( y − y ' ) y + ( z − z ' ) z
ˆ ˆ ˆ
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11. Producto escalar:
Sean dos vectores A y B:

A = Ax x + Ay y + Az z
ˆ ˆ ˆ

B = Bx x + B y y + Bz z
ˆ ˆ ˆ
Entonces:

A ⋅ B = Ax B x + Ay B y + Az B z
 
A ⋅ B = A B cos θ
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12. Graficamente:

A

θ B
A cos θ
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13. Producto escalar de vectores unitarios:
x ⋅x= 1
ˆˆ
x ⋅y= 0
ˆˆ
x ⋅z= 0 y ⋅y= 1
ˆˆ ˆˆ
y ⋅z= 0
ˆˆ z ⋅z= 1
ˆˆ
Si e es un vector unitario en una dirección determinada, entonces la
ˆ 
componente de A en esa direccion es:

Ae = A ⋅ e
ˆ
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14. Algunas propiedades del producto escalar:
 
A ⋅B= B ⋅ A
 2
A ⋅ A= A
  
A ⋅ B = 0 , si A ⊥ B
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15. Producto vectorial:
Sean dos vectores A y B:

A = Ax x + Ay y + Az z
ˆ ˆ ˆ

B = Bx x + B y y + Bz z
ˆ ˆ ˆ
Entonces:
x y z
ˆ ˆ ˆ

A × B = Ax Ay Az
Bx By Bz
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16. Producto vectorial:
x y z
ˆ ˆ ˆ

A × B = Ax Ay Az
Bx By Bz

A × B = ( Ay B z − Az B y ) x ...
ˆ
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17. Producto vectorial:
x y z
ˆ ˆ ˆ

A × B = Ax Ay Az
Bx By Bz

A × B = ( Ay B z − Az B y ) x − ( Ax B z − Az B x ) y + ...
ˆ ˆ
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18. Producto vectorial:
x y z
ˆ ˆ ˆ

A × B = Ax Ay Az
Bx By Bz

A × B = ( Ay B z − Az B y ) x − ( Ax B z − Az B x ) y + ( Ax B y − Ay B x ) z
ˆ ˆ ˆ
Ademas:
 
A × B = A B sen θ
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19. Producto vectorial de vectores unitarios:
x ×x= 0
ˆˆ
x ×y= z
ˆˆˆ
y ×z= x y ×y= 0
ˆˆˆ ˆˆ
z ×x= y
ˆˆˆ z ×z= 0
ˆˆ
z
ˆ
y
ˆ
x
ˆ
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20. Algunas propiedades del producto vectorial:
 
A ×B= − B× A

A × A= 0
 
A × B = 0 , si A B
   
A × (B ×C ) = B ( A⋅C ) − C ( A⋅ B ) → Atrás del taxi
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21. Campo vectorial.
Velocidad del viento en un huracán

v = v x ( x, y , z ) x + v y ( x, y , z ) y + v z ( x , y , z ) z
ˆ ˆ ˆ
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22. Campo escalar
Valor de la presión atmosférica en un huracán
p = p ( x, y , z )
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23. Derivada de una función
f
1
0.8
0.6
0.4
0.2
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3
- 0.2
- 0.4
 df 
df =   dx
 dx 
derivada
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24. Gradiente
u = f ( x, y , z )
Potencial
4 de un dipolo
z 2
0
-2
-4

0.2
du = ∇u ⋅ ds
0.1
V
0
∇u → Gradiente de u
-0.1
∂u ∂u ∂u
-0.2
∇u = x+ y+ z
ˆ ˆ ˆ
-4
∂x ∂y ∂z
-2
0
y 2
4
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25. Gradiente de una función escalar

du = ∇u ⋅ ds
∂u ∂u ∂u
∇u = x+ y+ z
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂y ∂z

ds = dx x + dy y + dz z
ˆ ˆ ˆ
 ∂u ∂u 
∂u
 ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z )
du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

 
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26. Gradiente de una función escalar

du = ∇u ⋅ ds
∂u ∂u ∂u
∇u = x+ y+ z
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂y ∂z

ds = dx x + dy y + dz z
ˆ ˆ ˆ
 ∂u ∂u 
∂u
 ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z )
du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

 
∂u ∂u ∂u
du = dx + dy + dz
∂x ∂y ∂z
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27. Gradiente de una función escalar

du = ∇u ⋅ ds
∂u ∂u ∂u
∇u = x+ y+ z
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂y ∂z

ds = dx x + dy y + dz z
ˆ ˆ ˆ
 ∂u ∂u 
∂u
 ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z )
du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

 
∂u ∂u ∂u
du = dx + dy + dz
∂x ∂y ∂z
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28. Gradiente de una función escalar

du = ∇u ⋅ ds
∂u ∂u ∂u
∇u = x+ y+ z
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂y ∂z

ds = dx x + dy y + dz z
ˆ ˆ ˆ
 ∂u ∂u 
∂u
 ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z )
du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

 
∂u ∂u ∂u
du = dx + dy + dz
∂x ∂y ∂z
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29. Gradiente de una función escalar

du = ∇u ⋅ ds
∂u ∂u ∂u
∇u = x+ y+ z
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂y ∂z

ds = dx x + dy y + dz z
ˆ ˆ ˆ
 ∂u ∂u 
∂u
 ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z )
du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

 
∂u ∂u ∂u
du = dx + dy + dz
∂x ∂y ∂z
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30. Propiedades importantes del Gradiente
• Se aplica a funciones escalares
• El gradiente de una función es un vector
• El gradiente apunta en la dirección de máximo cambio de la función

du = ∇u ⋅ ds = ∇u ds cos θ
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31. ¿ Qué información tendremos al calcular el gradiente de la presión en
este caso?
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 31

32. Ejemplo no. 1
Calcular el gradiente de la función:
−( x2 + y 2 )
f ( x, y ) = e
∂f ∂f
∇f = x+ y
ˆ ˆ
∂x ∂y
( ) xˆ + ∂(e ) yˆ
2 2
−( x2 + y 2 )
∂ e −( x + y )
∇f =
∂x ∂y
2
+ y2 ) 2
+ y2 )
∇f = − 2 x e − ( x x − 2 y e −( x y
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 32

33. Fig . 1
1
0.75
2
0.5
1
0.25
0
-2 0
-1
-1
0
1
-2
2
−( x2 + y 2 )
f ( x, y ) = e
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 33

34. 2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
2
+ y2 ) 2
+ y2 )
∇f ( x , y ) = − 2 x e − ( x x − 2 y e −( x y
ˆ ˆ
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35. Fig . 1 2
1.5
1
0.5
1
0.75 2 0
0.5
1
0.25 -0.5
0
-2 0 -1
-1
-1
0 -1.5
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
2
∇f ( x , y )
f ( x, y )
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 35

36. Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
( )
f ( x, y ) = sen x2 + y2
∂f ∂f
∇f = x+ y
ˆ ˆ
∂x ∂y
( ) ( )
∂ 2  ∂ 2 
( ) ( )
1 1
∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y
2 2 2 2
y
ˆ ˆ
2 2

∂x ∂y
 
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 36

37. Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
( )
f ( x, y ) = sen x2 + y2
∂f ∂f
∇f = x+ y
ˆ ˆ
∂x ∂y
( ) ( )
∂ 2  ∂ 2 
( ) ( )
1 1
∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y
2 2 2 2
y
ˆ ˆ
2 2

∂x ∂y
 
( )
1
∇f = cos x 2 + y 2  
2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 37

38. Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
( )
f ( x, y ) = sen x2 + y2
∂f ∂f
∇f = x+ y
ˆ ˆ
∂x ∂y
( ) ( )
∂ 2  ∂ 2 
( ) ( )
1 1
∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y
2 2 2 2
y
ˆ ˆ
2 2

∂x ∂y
 
( ) ( )
1 1
−
∇f = cos x + y   x 2 + y 2
2 2 2
2
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39. Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
( )
f ( x, y ) = sen x2 + y2
∂f ∂f
∇f = x+ y
ˆ ˆ
∂x ∂y
( ) ( )
∂ 2  ∂ 2 
( ) ( )
1 1
∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y
2 2 2 2
y
ˆ ˆ
2 2

∂x ∂y
 
( ) ( ) ( 2 x) x
1 1
−
∇f = cos x + y   x 2 + y 2
2 2
ˆ
2
2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 39

40. Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
( )
f ( x, y ) = sen x2 + y2
∂f ∂f
∇f = x+ y
ˆ ˆ
∂x ∂y
( ) ( )
∂ 2  ∂ 2 
( ) ( )
1 1
∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y
2 2 2 2
y
ˆ ˆ
2 2

∂x ∂y
 
( ) ( )
( ) ( ) ( 2 y) y
1
( 2 x ) x + cos x + y  1  x 2 + y 2
1 1
− −
∇f = cos x + y   x 2 + y 2
2 2 2 2

ˆ ˆ
2 2
2 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 40

41. Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
( )
f ( x, y ) = sen x2 + y2
∂f ∂f
∇f = x+ y
ˆ ˆ
∂x ∂y
( ) ( )
∂ 2  ∂ 2 
( ) ( )
1 1
∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y
2 2 2 2
y
ˆ ˆ
2 2

∂x ∂y
 
( ) ( )
( ) ( ) ( 2 y) y
1
( 2 x ) x + cos x + y  1  x 2 + y 2
1 1
− −
∇f = cos x + y   x 2 + y 2
2 2 2 2

ˆ ˆ
2 2
2 2
x cos x 2 + y 2 y cos x 2 + y 2
∇f = x+ y
ˆ ˆ
x +y x +y
2 2 2 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 41

42. 1
0.5
0 2
-0.5
0
-2
0
-2
2
( )
f ( x, y ) = sen x2 + y2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 42

43. 2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x cos x 2 + y 2 y cos x 2 + y 2
∇f = x+ y
ˆ ˆ
x +y x +y
2 2 2 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 43

44. 2
1.5
1
0.5
1
0.5 0
0 2
-0.5
-0.5
0 -1
-2
-1.5
0
-2
2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
( ) x cos x 2 + y 2 y cos x 2 + y 2
f ( x, y ) = sen x +y2 2 ∇f = x+ y
ˆ ˆ
x +y x +y
2 2 2 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 44

45. Divergencia.
Campo vectorial sin divergencia
Campo vectorial con divergencia
pronunciada
Campo vectorial divergente
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 45

46. La divergencia calculada sobre un
volumen, es diferente de cero si el
Campo vectorial con divergencia
número de líneas de campo que
pronunciada
entran al volumen no es igual al
número de líneas que salen.
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 46

47. Conteo de líneas: una línea que entra al volumen la vamos a considerar negativa, si
sale la consideraremos positiva
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 47

48. Lineas que entran: 1
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 48

49. Lineas que entran: 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 49

50. Lineas que entran: 3
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 50

51. Lineas que entran: 4
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 51

52. Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 1
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 52

53. Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 53

54. Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 3
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 54

55. Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 4
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 55

56. La divergencia sobre el volumen es cero.
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 56

57. La divergencia es diferente de cero, solamente si las lineas de
campo nacen o mueren en el interior del volumen considerado.
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 57

58. La divergencia sobre el volumen es diferente de cero.
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 58

59. Divergencia.
Consideremos una función vectorial de la forma:

A = Ax ( x, y, z ) x + Ay ( x, y, z ) y + Az ( x, y, z ) z
ˆ ˆ ˆ

La divergencia de A se calcula de la siguiente manera:
∂Ay
 ∂Ax ∂Az
∇⋅ A = + +
∂x ∂y ∂z
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 59

60. Propiedades importantes de la divergencia
• Se aplica a funciones vectoriales
• La divergencia de una función vectorial es un escalar
• Cuando la divergencia calculada sobre un volumen es diferente
de cero, significa que en el interior de ese volumen las líneas de
campo nacen o mueren.
−
+
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 60

61. Ejemplo no. 1
Calcular la divergencia de la función:

F ( x, y ) = sen x x + cos y y
ˆ ˆ
∂Fy
 ∂Fx
∇⋅F = +
∂x ∂y

∇ ⋅ F = cos x − sen y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 61

62. X Component Y Component
1 1
0.5 0.5
4 4
0 0
-0.5 -0.5
2 2
-1 -1
0Y 0Y
-4 -4
-2 -2
-2 -2
0 0
X X
2 2
4 -4 4 -4
Y
4
3
2
1
X
0
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4

F ( x, y ) = sen x x + cos y y
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 62

63. Y
4
3
2
1
0 X
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4

F ( x, y ) = sen x x + cos y y
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 63

64. Y
4
3
2
1
0 X
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4

F ( x, y ) = sen x x + cos y y
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 64

65. 2
1
4
0
-1 2
-2
0
-4
-2 -2
0
2 -4
4

∇ ⋅ F = cos x − sen y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 65

66. Ejemplo no. 2
Calcular la divergencia de la función:

F ( x, y ) = x cos y x − sen y y
ˆ ˆ
∂Fy
 ∂Fx
∇⋅F = +
∂x ∂y

∇ ⋅ F = cos y − cos y

∇⋅F = 0
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 66

67. X Component Y Component
4 1
2 0.5
4 4
0 0
-2 -0.5
2 2
-4 -1
0Y 0Y
-4 -4
-2 -2
-2 -2
0 0
X X
2 2
4 -4 4 -4
Y
4
3
2
1
0 X
-1
-2
-3
-3-2-1 0 1 2 3 4

F ( x, y ) = x cos y x − sen y y
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 67

68. Y
4
3
2
1
0 X
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4

F ( x, y ) = x cos y x − sen y y
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 68

69. Y
4
3
2
1
0 X
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4

F ( x, y ) = x cos y x − sen y y
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 69

70. Y
4
3
2
1
0 X
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4

F ( x, y ) = x cos y x − sen y y
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 70

71. Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:
2
 
x 2
 0.5 −  y   y
 − 
F ( x, y ) = e x+
4
ˆ 4  ˆ


FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 71

72. Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:
2
 
x 2
 0.5 −  y   y
 − 
F ( x, y ) = e x+
4
ˆ 4  ˆ


∂Fy
 ∂Fx
∇⋅F = +
∂x ∂y
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 72

73. Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:
2
 
x 2
 0.5 −  y   y
 − 
F ( x, y ) = e x+
4
ˆ 4  ˆ


∂Fy
 ∂Fx
∇⋅F = +
∂x ∂y
 x2 
− 
  16 
∇⋅F = e  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 73

74. Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:
2
 
x 2
 0.5 −  y   y
 − 
F ( x, y ) = e x+
4
ˆ 4  ˆ


∂Fy
 ∂Fx
∇⋅F = +
∂x ∂y
 x2 
− 
 2x
  16 
∇⋅F = e −
 

 16 
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 74

75. Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:
2
 
x 2
 0.5 −  y   y
 − 
F ( x, y ) = e x+
4
ˆ 4  ˆ


∂Fy
 ∂Fx
∇⋅F = +
∂x ∂y
 x2 
− 
 2 x  2y
  16 
∇⋅F = e − −

16  16

FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 75

76. Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:
2
 
x 2
 0.5 −  y   y
 − 
F ( x, y ) = e x+
4
ˆ 4  ˆ


∂Fy
 ∂Fx
∇⋅F = +
∂x ∂y
 x2 
− 
 2 x  2y
  16 
∇⋅F = e − −

16  16

 x2 
− 
 x y
 16 
∇⋅F = − e −

8 8
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 76

77. X Component Y Component
1 0.5
0.25
0.8 4 4
0
0.6 -0.25
2 2
0.4 -0.5
0Y 0Y
-4 -4
-2
-2 -2
-2 0
0 X
X 2
2
4 -4
4 -4
Y
4
3
2
1
0 X
-1
-2
-3
-3-2-1 0 1 2 3 4
2
  y 
x 2
 − 
x +  0. 5 −    y
F ( x, y ) = e 4
ˆ ˆ
4 

FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 77

78. Y
4
2
X
0
-2
-4
-4 -2 0 2 4
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 78

79. 0.5
4
0
2
-0.5
-4 0
-2
-2
0
2
-4
4
 x2 
− 
 x y
 16 
∇⋅F = − e −

8 8
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 79

80. Rotacional.
El rotacional de un campo vectorial mide la circulación del campo
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 80

81. Campos vectoriales con rotacional pronunciado
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 81

82. Campos vectoriales con rotacional pronunciado
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 82

83. Campos vectoriales con rotacional igual a cero
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 83

84. Rotacional.
Consideremos una función vectorial de la forma:

A = Ax ( x, y, z ) x + Ay ( x, y, z ) y + Az ( x, y, z ) z
ˆ ˆ ˆ

El rotacional de A se define como:
x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
 ∂x ∂z   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 84

85. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 85

86. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 86

87. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 87

88. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 88

89. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 89

90. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 90

91. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 91

92. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 92

93. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 93

94. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 94

95. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 95

96. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 96

97. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 97

98. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 98

99. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 99

100. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 100

101. x y z
ˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂

∇× A =
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Az ∂ Ax 
∇× A =  x−  y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂z  ∂x ∂y

   
x
z y
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 101

102. Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) = − y x + x y
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 102

103. Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) = − y x + x y
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 103

104. Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) = − y x + x y
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 104

105. Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) = − y x + x y
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 105

106. Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) = − y x + x y
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 106

107. Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) = − y x + x y
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  

∇ × F = (1 ) z
ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 107

108. Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) = − y x + x y
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  

∇ × F = (1 − (−1) ) z
ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 108

109. Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) = − y x + x y
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  

∇ × F = (1 − (−1) ) z
ˆ

∇× F = 2 z
ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 109

110. Ejemplo no. 1
X Component Y Component
4 4
2 2
4 4
0 0
-2 -2
2 2
-4 -4
0Y 0Y
-4 -4
-2 -2
-2 -2
0 0
X X
2 2
4 -4 4 -4
Y
4
3
2
1
0 X
-1
-2
-3
-3-2-1 0 1 2 3 4

F ( x, y ) = − y x + x y
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 110

111. Ejemplo no. 1
Y
4
3
2
1
X
0
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4

F ( x, y ) = − y x + x y
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 111

112. Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 112

113. Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 113

114. Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 114

115. Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 115

116. Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 116

117. Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 117

118. Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 118

119. Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  

∇ × F = (1) z
ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 119

120. Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  

∇ × F = (1 − (−1) ) z
ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 120

121. Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
  ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx 
∂F ∂ Fz 
 x+ x−  y+ z
∇× F =  − −
ˆ ˆ ˆ
∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y

  

∇ × F = (1 − (−1) ) z
ˆ

∇× F = 2 z
ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 121

122. X Component Y Component
20 20
10 4 10 4
0 0
2 2
0Y 0Y
-4 -4
-2 -2
-2 -2
0 0
X X
2 2
4 -4 4 -4
Y
4
3
2
1
0 X
-1
-2
-3
-3-2-1 0 1 2 3 4
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 122

123. Y
4
3
2
1
X
0
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 123

124. Y
4
3
2
1
X
0
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 124

125. Y
1
0.75
0.5
0.25
X
0
-0.25
-0.5
-0.75
-0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
(x ) ( )

F ( x, y ) = − y x + x + y2 y
2
ˆ ˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 125

126. Operador Nabla
∂ ∂ ∂
∇= x+ y+ z
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂y ∂z
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 126

127. Operador Nabla
∂ ∂ ∂
∇= x+ y+ z
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂y ∂z
Gradiente:
∂ ∂
∂
 ∂x x + ∂y y + ∂z z  ( u )
 ˆ ˆ ˆ
 
∂u ∂u ∂u
∇u = x+ y+ z
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂y ∂z
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 127

128. Operador Nabla
∂ ∂ ∂
∇= x+ y+ z
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂y ∂z
Divergencia:
∂ ∂
∂
 ∂x x + ∂y y + ∂z z  • ( Ax x + Ay y + Az z )
 ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
 
∂Ay
 ∂Ax ∂Az
∇⋅ A = + +
∂x ∂y ∂z
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 128

129. Operador Nabla
∂ ∂ ∂
∇= x+ y+ z
ˆ ˆ ˆ
∂x ∂y ∂z
Rotacional:
∂ ∂
∂
 ∂x x + ∂y y + ∂z z  × ( Ax x + Ay y + Az z )
 ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
 
  ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax
 
 ∂ Ax ∂ Az 
∇× A =  x+ y+ z
 ∂y − ∂z − −
ˆ 
ˆ ˆ
 ∂z ∂x   ∂x ∂y
  
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 129

130. Laplaciano
∂2 ∂2 ∂2
∇ 2 = ∇ ⋅∇ = 2 + 2 +
∂x ∂y ∂z 2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 130

131. Laplaciano
∂2 ∂2 ∂2
∇ 2 = ∇ ⋅∇ = 2 + 2 +
∂x ∂y ∂z 2
Cuando actúa sobre una función escalar:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
∇ 2u = +2 +
∂x ∂y ∂z 2
2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 131

132. Cuando actúa sobre una función vectorial:
∇ A = ∇ 2 ( Ax x + Ay y + Az z )
2
ˆ ˆ ˆ
= ∇ 2 Ax x + ∇ 2 Ay y + ∇ 2 Az z
ˆ ˆ ˆ
 ∂ 2 Ax 
∂ 2 Ax ∂ 2 Ax
 x
 ∂x 2 + ∂y 2 + ˆ
∂z 2
 
 2
∂ 2 Ay 
 ∂ Ay ∂ 2 Ay

y
∇ A=
2
+ +
 2 ˆ
∂x ∂y 2 ∂z 
2

2
 ∂ Az ∂ 2 Az 
∂ 2 Az
 z
+ + 2ˆ
 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 

FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 132

133. Propiedades importantes

∇ ⋅∇× A = 0
∇ × ∇u = 0
  
∇ × ( ∇ × A) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ A
2
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 133