1. Resolução de Sistemas
Lineares- Parte 1

2. • Exemplo 1: Problema da treliça
• Treliça: estrutura composta de barras (metálicas
ou de madeira) unidas por rótulas (nós) nas
suas extremidades.
• Determinar as componentes horizontal e vertical
das forças que atuam nas junções da treliça.
2 4 4 8 6 12 8
1 5 9 13 16
7 11
3 15
1 2 6 10 14 17 10
Fh 3 5 7 9 Fh
F1 F2 F3

3. • Forças que atuam na treliça: 17
• O número de junções (j) está relacionado com o
número de componentes da treliça (m):
2j-3 = m
Neste caso: 2 (10) – 3 = 17
• Logo, as componentes das forças são
determinadas pelas condições de equilíbrio nas
junções.

4. • Condições de equilíbrio:
• Junção 2:
∑ Fx = −f1 cos 45° + f 4 + f5 cos 45° = 0

  
 
 a a

∑ Fx = −a f1 + f 4 + a f5 = 0

∑ Fy = − a f1 − f3 − a f5 = 0

• Junção 3:
∑ Fx = − f 2 + f 6 = 0


∑ Fy = f 3 − F1 = 0


5. • Junção 4:
∑ Fx = − f 4 + f 8 = 0


∑ Fy = − F7 = 0

• Junção 5:
∑ Fx = −a f 5 − f 6 + a f 9 + f 10 = 0


∑ Fy = −a f 5 + f 7 + af 9 − F2 = 0

• Junção 6:
∑ Fx = − f 8 − a f 9 + f 12 + a f 13 = 0


∑ Fy = −a f 9 − f 11 − a f 13 = 0


6. • Junção 7:
∑ Fx = − f 10 + f 14 = 0


∑ Fy =F11 = 0

• Junção 8:
∑ Fx = − f 12 + a f 16 = 0


∑ Fy = −a f 15 − af 16 = 0

• Junção 9:
∑ Fx = −a f 13 − f 14 + f 17 = 0


∑ Fy =a f 13 + f 15 − f 10 = 0

• Junção 10:
{∑ Fx = −a f16 − f17 =0

7. Junção 10: {∑ F x = −a f 16 − f 17 = Fh
Junção 1: {∑ F x = −a f 1 − f 2 = −Fh
Sistema linear com 17 variáveis
( f1 , f 2 , f 3 ,..., f 17 )
e 17 equações

8. Um sistema linear com m equações e
n incógnitas pode ser escrito na forma:
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
a x + a x + ... + a x = b
 21 1 22 2 2n 2 2

    
a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bn

coeficientes constantes variáveis
a mn bn xn

9. Resolver o sistema linear
Calcular os valores de x j ( j = 1, 2, ..., n) , caso
existam, que satisfaçam as m equações.

10. • Notação matricial: AX = B
onde
 a11 a12  a1n 
 
 a 21 a 22  a 2 n 
A=
   
 
a a m 2  a mn 
 m1 
é a matriz dos coeficientes.

11.  x1 
 
 x2 
X = 

 
x 
 n
é o vetor das variáveis
 b1 
 
 b2 
B= 

 
b 
 n
é o vetor dos termos independentes

12. • Consideremos a situação de duas equações e de duas
variáveis
2 x1 + x 2 = 3 1
solução única ∗
x = 
1
x1 − 3 x 2 = −2 retas concorrentes  
2 x1 + x 2 = 3 infinitas soluções x ∗ =  α  ∀α ∈ ℜ

 3 − 2α 

4 x1 + 2 x 2 = 6 retas coincidentes  
2 x1 + x 2 = 3 nenhuma solução
4 x1 + 2 x 2 = 2 retas paralelas

13. Comentário 1: no caso geral de m equações
e n variáveis também temos estas três situa-
ções: solução única, infinitas soluções e ne-
nhuma solução.
Notação: x ∗ solução exata
x solução aproximada

14. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS
LINEARES nxn
Métodos Diretos: fornecem solução exata, a
menos de arredondamentos e caso exista,
após um número finito de operações.]
Métodos Iterativos: geram uma seqüência de
vetores { x k } , dada aproximação inicial { x 0 } ,
que converge para solução { x} , caso exista.

15. MÉTODOS DIRETOS
Método de Cramer pertence a esta classe.
Ax = b ⇒ A −1 Ax = A −1b ⇒ x = A −1b onde A −1 é a inversa de A
• Para calcular o determinante de um sistema
20x20 temos 21x20!x19 multiplicações, mais
este número de adições.
• Um computador de 1GHz (109 operações por
segundo) levaria 3X104 anos para calcular a
solução deste sistema
• Necessitamos de métodos mais eficientes!!!

16. MÉTODOS DIRETOS
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
• O Método da Eliminação de Gauss consiste
em transformar o sistema linear original num
sistema linear equivalente com matriz dos
coeficientes triangular superior.
Sistemas equivalentes têm a mesma solução.
Sistema linear triangular tem solução imediata.

17. MÉTODOS DIRETOS
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Teorema 1: Seja Ax = b um sistema linear. Aplicando
sobre as equações deste uma seqüência de operações
elementares escolhidas entre:
a) trocar a ordem das equações,
b) multiplicar uma equação por constante,
c) adicionar um multiplo de uma equação a outra;
~ ~
obtemos um novo sistema A x = b equivalente.

18. MÉTODOS DIRETOS
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
• Suponha Det A ≠ 0 . A eliminação e efetuada por
colunas.
• O elemento a11 é denominado pivô na primeira etapa.
O elemento a 22 é o pivô da segunda etapa. O proces-
so repete-se até termos um sistema linear triangular.
• Os elementos mi1 = a1i a11 são os multiplicadores da
primeira etapa. Para gerar os zeros da coluna 1 linha i,
faça Li → Li − mi1 L1 na linha i. Repita o procso para a
coluna 2.

19. MÉTODOS DIRETOS
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Exemplo: seja o sistema linear
1 4
m 21 = , m31 =
3x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1 3 3 3x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1
x1 + x 2 + 2 x3 = 2 (1 / 3) x 2 + ( 2 / 3) x3 = ( 5 / 3)
4 x1 + 3x 2 − 2 x3 = 3
L2 → L2 − m 21 L1
L3 → L3 − m31 L1
(1 / 3) x 2 − ( 22 / 3) x3 = ( 5 / 3)
3x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1  − 3
 
( 1 / 3) x 2 + ( 2 / 3) x 3 = ( 5 / 3) x∗ =  5 
1/ 3  0
m32 =
1/ 3
=1
− ( 24 / 3) x3 = 0  

20. MÉTODOS DIRETOS
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Problema: Pivô nulo ou próximo de zero!!!!
Estratégia de pivoteamento parcial
• No início de cada eliminação de Gauss,
trocando as linhas, escolher para o pivô o
maior a ij da coluna j.

21. MÉTODOS DIRETOS
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Estratégia de pivoteamento total
• No início de cada eliminação de Gauss,
escolher para o pivô o maior a ij entre todos
elementos que atuam no processo de
eliminação.
• Problema: Muitas operações de comparação!!

22. MÉTODOS DIRETOS
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Pivoteamento Parcial X Pivoteamento total
3x1 + 2 x 2 + 1x3 − x 4 = 5
3x1 + 2 x 2 + 1x3 − x 4 = 5
0 x1 + 1x 2 + 0 x3 + 3x 4 = 6
parcial 0 x1 − 3x 2 − 5 x3 + 7 x 4 = 7 continuar
0 x1 − 3x 2 − 5 x3 + 7 x 4 = 7
0 x1 + 1x 2 + 0 x3 + 3x 4 = 6
0 x1 + 2 x 2 + 4 x3 + 0 x 4 = 15
0 x1 + 2 x 2 + 4 x3 + 0 x 4 = 15
3x1 + 2 x 2 + 1x3 − x 4 = 5 3x1 + − x 4 + 1x3 + 2 x 2 = 5
0 x1 + 1x 2 + 0 x3 + 3x 4 = 6 total continuar
0 x1 + 7 x 4 + 5 x3 − 3x 2 = 7
0 x1 − 3x 2 − 5 x3 + 7 x 4 = 7 0 x1 + 3x 4 + 0 x3 + 1x 2 = 6
0 x1 + 2 x 2 + 4 x3 + 0 x 4 = 15 0 x1 + 0 x 4 + 4 x3 + 2 x 2 = 15

23. MÉTODOS DIRETOS
FATORAÇÃO LU
Seja o sistema linear A x = b . Este processo de
fatoração consiste em decompor a matriz A em
Um produto de dois ou mais fatores.
Exemplo: Seja A = C D , então resolver A x = b
É equivalente a resolver C y = b e depois
Dx= y .

24. MÉTODOS DIRETOS
FATORAÇÃO LU
Na fatoração A = L U a matriz L é
triangular inferior com diagonal unitária
e a matriz U é triangular superior.

25. MÉTODOS DIRETOS
FATORAÇÃO LU
Teorema da fatoração LU
Dada uma matriz quadrada nxn. Se Det A ≠ 0
então existe uma única matriz triangular inferior
L = mij , com diagonal principal unitária, e uma
única matriz triangular superior U = u ij , tais
que L U = A n
, e det A = ∏
i =0
u ii

26. MÉTODOS DIRETOS
FATORAÇÃO LU
Exemplo de fatoração LU. Considere
3x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1  3 2 4
 
x1 + x 2 + 2 x3 = 2 onde A =  1 1 2
4 x1 + 3x 2 − 2 x3 = 3  4 3 2
 
Do método de Gauss sem pivoteamento:

27. FATORAÇÃO LU
 3 2 4 3 2 4   3 2 4 
     
A =  1 1 2  0 1/ 3 2 / 3   1/ 3 1/ 3 2 / 3 
 4 3 2  0 1 / 3 − 10 / 3   4 / 3 1 / 3 − 10 / 3 
     
No último passo foi acrescentados os multiplicadores mij
Os multiplicadores são definidos como segue: da
equação (linha) j subtraímos a equação (linha) i
multiplicada por mij , de modo a escalonar a matriz A
Continuando o processo:

28. FATORAÇÃO LU
 3 2 4  3 2 4   3 2 4 
     
A =  1 1 2  1/ 3 1/ 3 2 / 3   1 / 3 1 / 3 2 / 3
 4 3 2  4 / 3 1 / 3 − 10 / 3  4/3 1 − 4 
     
Assim, as matrizes L e U são
 1 0 0 3 2 4 
   
L =  1/ 3 1 0 U =  0 1 / 3 2 / 3 LU = A
 4 / 3 1 1 0 0 − 4 
   

29. FATORAÇÃO LU
Resolvendo o sistema A x = b por fatoração LU:
3x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1 y1 = 1  1 
L y =b  
x1 + x 2 + 2 x3 = 2 1 / 3 y1 + y 2 = 2 y =  5 / 3
4 x1 + 3x 2 − 2 x3 = 3 4 / 3 y1 + y 2 + y 3 = 3  0 
 
Continuando
3x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 1  − 3
 
U x= y 1 / 3 x 2 + 2 / 3 x3 = 5 / 3 x= 5 
 0
− 4 x3 = 0  

30. FATORAÇÃO LU + PIVOTEAMENTO
Fatoração LU com pivoteamento parcial.
Fatoração LU com pivoteamento total.
O pivoteamento pode ser implementado por
meio da matriz de permutação.
Definição: Uma matriz quadrada de ordem n é uma
matriz de permutação se pode ser obtida da matriz
identidade de ordem n permutando-se suas linhas (ou
colunas).

31. FATORAÇÃO LU + PIVOTEAMENTO
 0 1 0
 
Exemplo de matriz permutação P =  0 0 1 
 1 0 0
 
 3 1 4
 
Seja A =  1 5 9 
 2 6 5
 
 0 1 0  3 1 4  1 5 9
     
Note: P A =  0 0 1  •  1 5 9  =  2 6 5 
 1 0 0  2 6 5  3 1 4
     

32. FATORAÇÃO DE CHOLESKY
Definição: Uma matriz quadrada A de ordem n é
definida positiva se x T A x > 0 ∀ x ∈ ℜ.n
Definição: A fatoração de Cholesky de uma matriz A ,
simétrica positiva, é dada por
A = G GT onde G : n × n ,
com G uma matriz triangular inferior com elementos da
diagonal estritamente positivos.

33. FATORAÇÃO DE CHOLESKY
Do teorema LU, temos A = L D U , onde D é uma
matriz diagonal de ordem n. Ainda, se A for simétrica,
então U = LT e a fatoração escreve-se como:
A = L D LT = L D D LT onde d ii = d ii
Portanto, G = L D

34. FATORAÇÃO DE CHOLESKY
 16 − 4 12 − 4 
 
− 4 2 −1 1 
Considere a matriz A=
12 − 1 14 − 2 
 
 − 4 1 − 2 83 
 
Calculando os fatores L U
 16 − 4 12 − 4   1 −0 0 0  16 − 4 12 − 4 
     
 − 4 2 − 1 1   − 1/ 4 1 0 0  0 1 2 0 
A= = •
12 − 1 14 − 2   3 / 4 2 1 0  0 0 1 1 
     
 − 4 1 − 2 83   − 1 / 4 0  0
1 1  0 0 81 
   

35. FATORAÇÃO DE CHOLESKY
Calculando os fatores LD e L DU
 16 − 4 12 − 4   1 −0 0 0  16 − 4 12 − 4 
     
 − 4 2 − 1 1   − 1/ 4 1 0 0  0 1 2 0 
A= = • = LU
12 − 1 14 − 2   3 / 4 2 1 0  0 0 1 1 
     
 − 4 1 − 2 83   − 1 / 4 0  0
1 1  0 0 81 
   
 1 −0 0 0  16 0 0 0  1 − 1/ 4 3 / 4 − 1/ 4
     
 − 1/ 4 1 0 0  0 1 0 0  0 1 2 0 
A= • • = L D LT
3/ 4 2 1 0  0 0 1 0 0 0 1 1 
     
 − 1/ 4 0 1 1  0  0
0 0 81  0 0 1 
   

36. FATORAÇÃO DE CHOLESKY
Enfim,
 1 −0 0 0  4 0 0 0  4 0 0 0 1 − 1/ 4 3 / 4 − 1/ 4
       
 − 1/ 4 1 0 0  0 1 0 0  0 1 0 0  0 1 2 0  T
A= • • •  = L D DL
3/ 4 2 1 0  0 0 1 0  0 0 1 0  0 0 1 1
       
 − 1/ 4 0 1 1 0 0 0 9  0  0
0 0 9  0 0 1 
     
Ou ainda,
 4 0 0 0  4 − 1 3 − 1
   
−1 1 0 0  0 1 2 0 T
A=  • 0 0 =GG
3 2 1 0 1 1
   
−1 0 1 9  0 0 0 9
   

37. FATORAÇÃO DE CHOLESKY
Teorema da Fatoração de Cholesky
Se A é uma matriz simétrica positiva definida,
então existe uma única matriz triangular inferior
G com diagonal estritamente positiva, tal que
T
A=GG

38. FATORAÇÃO DE CHOLESKY
Resolução de sistemas lineares é semelhante
ao método LU. Seja A = G G T, então resolver
A x = b é equivalente a resolver G y = b e
depois G T x = y .

39. COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
Fatoração de Cholesky: Primeiro verificar se
uma matriz simétrica é definida positiva. Em
caso positivo, continuar com o método de
Cholesky.
O método de Cholesky requer
aproximadamente a metade das operações
necessárias para a fatoração LU, da ordem
de n3/6 operações.