Este documento describe la teoría de los niveles de Van Hiele sobre el desarrollo del pensamiento geométrico. Explica que consiste en 5 niveles evolutivos que van de lo más simple a lo más complejo, y analiza cómo aborda un libro de texto el tema de los polígonos en relación con estos niveles. Finalmente, propone una secuencia didáctica alternativa que cumpla mejor con la progresión de los niveles de Van Hiele.

1. TRABAJO ESPECÍFICO: LOS NIVELES DE VAN-
HIELE
Rafael López Azuaga
2º de Psicopedagogía semipresencial
Comenzaré este apartado con una introducción sobre esta teoría y seguidamente aplicaré uno de
los puntos del trabajo común. Me he decantado por analizar el tema de los polígonos de un libro
de texto de 4º de Educación Primaria, su secuencia, y reflexionar sobre cómo la enfocaría a raiz
de esta teoría, incluyendo las situaciones fundamentales que plantearía.
En esta dirección se encuentra una presentación en Google Docs que recoge todo esto, a la espera
de actualizarse tras revisión del profesor:
http://docs.google.com/present/view?id=dgspgsbx_134898sffn
>Introducción: ¿En qué consiste la teoría de los niveles de Van-Hiele?
Se trata de un modelo evolutivo del pensamiento, enfocado hacia la geometría, es decir, no es
aplicable para todas las ramas de las matemáticas. Es un modelo que permite enfrentarse a un
nuevo tema paso por paso, yendo de menos a más, de manera que se aprenda lo más simple al
comienzo y, en el siguiente paso, se aplique lo más simple a un aspecto más complejo que tenga
relación con el anterior punto. Podemos decir que se trata de una secuencia de aprendizaje que va
de menos a más, relacionando todo lo anterior con lo nuevo, para que así los alumnos se vayan
formando un esquema sobre la temática en donde relacionen todos los puntos, dando lugar a que
pueda provocarse un aprendizaje significativo. Si empezamos a darle todo, sin darle un orden
secuencial, y sin darles oportunidad a que establezcan relaciones y lo entiendan, se producirá un
aprendizaje memorístico, el cual sólo les servirá, si es posible (puede que no), para aprobar un
examen y luego, a los dos días, olvidárseles completamente.
A continuación, paso a enunciar las fases que sigue este modelo, de manera detallada y con
ejemplos prácticos:
1. Fase de visualización: Lo primero que tenemos que hacer es visualizar las formas
geométricas, que se queden con una imagen mental de lo que representan y les den una
etiqueta verbal, pudiéndolas representar en un material de soporte plástico sin problemas.
Por ejemplo, les estamos enseñando los cuadriláteros a los niños, pues consiste en que
visualicen la forma que tiene un cuadrado, un rectánculo, un rombo y un romboide,
denominándolos por su nombre y dibujándolos, sin entrar en sus propiedades, solamente

2. reconociéndolas como un todo, por su apariencia física. Como mucho, podemos
proponerles a que piensen si dentro de un rectángulo hay cuadrados.
2. Fase de análisis: Aquí van apareciendo las características de las figuras y empiezan a
hacer clasificaciones entre ellas, estableciendo relaciones entre sus propiedades. Ya aquí
las figuras no son vistas como un todo como en el caso anterior, sino como un conjunto de
partes. Por ejemplo, en relación con el anterior ejemplo, podemos pedirles a los niños que
coloreen los lados que son iguales con un color determinado según su longitud, y los
ángulos que sean iguales con un color determinado según su grado de amplitud. Podrían
sacar conclusiones, como decir que los los rectángulos tienen lados iguales dos a dos, es
decir, tienen los lados paralelos, y como un cuadrado tiene todos sus lados iguales, pues
también pueden decir que tienen sus lados paralelos.
3. Fase de deducción informal: Aquí ya avanzamos un paso más, y se trata de relacionar
las propiedades de las figuras, las que hemos marcado en el paso anterior, y dar una
definición, sacar una teoría matemática a modo informal, establecer clases, y este tipo de
relaciones, si se las demostramos, son capaces de verlas, pero no tienen el nivel necesario
como para construirlas, no han llegado a ese nivel de profundización de las propiedades
entre las características. Por ejemplo, siguiendo con el ejemplo anterior, establecer
relaciones entre los lados y los ángulos de los cuadriláteros. Para que se forme un
rectángulo, tenemos que tener a la fuerza los cuatro ángulos rectos, porque sino, la figura
nos saldría más tumbada, con un vértice dirigido hacia otro lado, quedándonos un
romboide, y así establecer diferencias entre el rectángulo y el romboide y entiendiendo por
qué tienen una etiqueta verbal diferente.
4. Fase de deducción formal: Aquí el alumno va más allá, estableciéndo relaciones entre
propiedades en el sentido de que una propiedad puede llevar a otra, estableciendo
teoremas, axiomas, razonar dentro de un sistema, construir demostraciones, ...Es una fase
que prácticamente se consigue en niveles superiores, yo al menos lo marco dentro de la
enseñanza secundaria, al menos en el segundo ciclo.
5. Fase de rigor: Aquí el alumno ya razona en abstracto, dentro de lo espacial, y no está al
alcance de la escolaridad obligatoria. Es algo propio que realiza aquel que estudie, a nivel
universitario, algo relacionado con las matemáticas, pudiendo trabajar con varios sistemas
axiomáticos.
Como podemos ver, es un proceso secuencial, por el cual tenemos que pasar por cada uno de los
niveles y en este orden para poder entender el tema, y es la experiencia y la práctica la que nos
permite pasar de un nivel a otro.
>Actividad: Análisis de la secuencia del libro de texto.
Como ya he dicho en la introducción, a continuación voy a escribir la secuencia que sigue el libro
de texto que poseo de 4º de Educación Primaria, concretamente el tema de los polígonos:
1. Análisis de los elementos de los polígonos. Distinción entre lo que es un polígono y lo que
no es un polígono. Actividades para dibujar polígonos y representar sus elementos,
contando cuántos posee de cada uno de ellos.

3. 2. Estudio de los ejes de simetría de algunos polígonos, tomando objetos cotidianos como
ejemplo y ver que algunos pueden tener más, otros menos y algunos ningún eje de
simetría. Actividades en donde tienen que representar los ejes de simetría y contarlos.
3. Descomposición de los polígonos en triángulos. Descomponer en trozos elementos
cotidianos, concretamente en triángulos, y ver diferentes posibilidades de dividir un
polígono en triángulos. Actividades de descomposición de polígonos en triángulos, sea en el
propio libro o dibujándolos en hojas cuadriculadas (por ejemplo, en los cuadernos).
4. Cálculo del perímetro de un polígono. Realización de actividades en donde tienen que
calcular el perímetro de una serie de polígonos o de elementos cotidianos con forma de
polígonos.
5. Clasificación de los triángulos, según sus lados y según sus lados. Actividades en donde
tienen que representar triángulos, calcular lados sabiendo los ángulos, distinguir tipos de
triángulos sacados tras descomponer un polígono en triángulos, ...
6. Clasificación de los cuadriláteros, según sus lados sean o no paralelos. Actividades de
representación de cualidráteros, anáisis y divisi´n en triángulos.
7. Ejercicios de repaso en donde aparecen mezclados todos los conceptos vistos a lo largo del
tema, relacionando algunos conceptos (por ejemplo, relación entre cuadrado y rombo).
Antes que nada, cabe señalar que en este análisis no vamos a incluir todas las fases. Son
solamente niños de 4º de Educación Primaria, no han alcanzado la profundización necesaria como
para alcanzar los dos últimos niveles, así que nos centraremos en los tres primeros: visualización,
análisis y deducción informal.
En relación con los niveles de Van-Hiele, cumple al principio el nivel de visualización en el sentido
de que se les va presentando diferentes formas, máscaras con forma de polígonos junto con otras
que no son polígonos, y van estableciendo diferencias en cuanto a forma física, poniéndolas la
etiqueta de verbal de “polígono” y “no polígono”, respectivamente. Una vez que las formas ya se
han aprendido y ya saben reconocerlas, el libro pasa a explicar las características de estos
polígonos y a establecer relaciones entre ellas. Aún no establece clases, pero va profundizando en
las características de los polígonos. Van pasando a la fase de análisis de los polígonos poco a
poco, pero aún no establecen relaciones entre figuras (comparaciones de ángulos iguales, de
lados iguales, etc). Aún no han llegado a ese nivel. En relación con éstas, partiendo de lo que ya
sabe, pasan a comentar los ejes de simetría. Comienzan con la visualización, partiendo de objetos
similares a los ya analizados, y se les pide que los doblen de manera que coincidan todas las
puntas (vértices). Van visualizando el efecto que se produce y luego lo aplican a las figuras vistas,
las analizan y sacan conclusiones sobre los ejes de simetría de las figuras, cómo deben de ser
para tenerlos, ...Van analizando, pero no sacan teorías formales sobre la simetría. Se queda en la
comprensión de lo que es la simetría, aún siguen sin hacer clasificaciones. Pueden representar
ellos mismos los ejes de simetría, pero no han llegado a una teoría sobre ella, así que, pueden
verla si se las demostramos, pero no saben construirla aún por sí solos.
El siguiente paso, como ya han analizado características, diferentes formas de polígonos y han
tomado una iniciación a la descomposición de los polígonos, comienzan a trabajar la
descomposición de polígonos en triángulos. Antes dividían las figuras por ejes de simetría y ahora
utilizan la técnica para crear triángulos. De todas formas, no veo que se relacione con todo lo
anterior, queda como un concepto casi “anecdótico” que surge de casualidad, casi metido con
calzador. Lo mismo con la simetría. Van avanzando en conceptos, pero apenas se relacionan los
unos con otros, con lo que la secuencia queda un poco plana. Eso sí, primero, en cada apartado,

4. parten de la visualización de las formas y luego del análisis de los conceptos y puesta en práctica,
llegando al final a una pequeña teoría, pero sin profundizar, muy informal (por ejemplo: “si
doblamos la figura y coincidimos las partes, quiere decir que son simétricas”, pero no aclara el por
qué de este concepto, su finalidad y su definición formal de manera que relacione las
características antes aprendidas en relación con el desarrollo de dichos ejes de simetría.
No digo lo mismo del perímetro. Aquí parten de la visualización de los lados. Han visualizado las
figuras, etiquetado sus formas, y luego las analizaron y sacaron sus características, entre ellas el
concepto de lado y su importancia para formar diferentes polígonos. Luego, se utiliza un referente
real para aplicarlo a la suma de los lados, de manera que se necesita un cordón lo suficiente largo
como para cubrir todos los lados de dicho polígono, pero directamente se les introduce el
concepto, sin dejarles que ellos lo descubran, vean que en la sociedad se aplica ese sistema,
sobretodo en construcción, y entiendan su relación. La deducción informal no se cumple, se lo dan
todo hecho y se forman su teoría.
En relación con las clasificaciones de figuras, se comienza con una actividad en donde tienen que
visualizar las formas. Aquí comienza bien, ven que hay diferentes triángulos, que no tienen todos
la misma estructura como la que nos enseñaron durante la etapa de Educación Infantil. El
problema es que directamente del etiquetaje verbal se pasa a la deducción informal. No les dejan
a los niños analizar los diferentes tipos de triángulos, sino que directamente se les dan sus
características para que las memoricen y las clasificaciones ya hechas con las relaciones entre
ángulos y lados. Si se les dejase analizar las características que han aprendido en los puntos
anteriores, las señalasen y luego les dejamos que expliquen su relación y las clasifiquen y
justifiquen dicha clasificación, les ayudaría a comprender mejor los tipos de triángulos, porque
ellos mismos lo han descubierto y de manera secuencial. De la manera en que lo ha ofrecido,
solamente se las aprenderán de memoria, sin llegar a establecer relaciones, teorías sólidas para
ellos, y terminan olvidándoseles todo o confundiendo triángulos con otros. Y de los cuadriláteros
digo exactamente lo mismo que con los triángulos.
Mi propuesta para organizar este tema de manera que cumpla los niveles de Van-Hiele, al menos
desde mi punto de vista, y pudiendo ser modificada, es la siguiente:
1. Una fase de visualización, en donde vean diferentes tipos de polígonos y vean sus
formas, y si establecen diferencias, que sean a raíz de su forma física, y con un lenguaje
espontáneo. Podemos plantearles una situación fundamental en donde los niños recorren el
centro educativo y van recogiendo diferentes tipos de polígonos, de objetos con forma de
polígonos (al menos las caras, sino estaríamos entrando en los poliedros, y ese es otro
tema) y luego los compartan con sus compañeros, expliquen por qué es un polígono,
describan su forma (así poco a poco van descubriendo los conceptos de lado, vértice, etc)
y discutan los compañeros si se trata de un polígono o no, y el docente en todo momento
es guía y moderador del debate. Aquí pueden recoger diferentes tipos de cuadriláteros y de
triángulos, y sino, el docente puede aportar una serie de objetos, simulando que él
también ha participado en la actividad como uno más, y enseñarlos y explicarlos.
2. Una fase de análisis, en donde se comiencen a analizar las figuras, señalasen las
características estudiadas en cada uno de ellos y las comparasen, viesen qué tenían en
común y de diferente cada una de ellas, clasificasen las figuras de alguna manera (por

5. ejemplo, según número de lados, estableciendo una etiqueta para ellas, habiendo antes ya
diferenciado entre un triángulo y un cuadrado, que son las figuras planas más básicas que
han visto a lo largo de su escolaridad y experiencia) y, dentro de las clasificaciones,
diferencias los tipos de cuadriláteros y vistos y que ellos mismos establezcan las
relaciones. Luego, una vez que ya tengan zanjadas las diagonales y su relación con la
figura, están listos para ir mas allá y pedirles que dividan las figuras en partes iguales y,
mediante ensayo y error, llegar a establecer los ejes de simetría, y lo mismo con la
descomposición de las figuras en triángulos, planteándoles que tienen que descomponer
las figuras en un mismo tipo de polígono, probando a ver cuál se adecúa, visualizando
primero las figuras y experimentando con ellas, y con la finalidad de que para poder
acceder a una cierta sala, tienen que ser de un mismo tipo de figura, y no puede haber
más variedad, así que si descomponemos las figuras en dicho tipo de figura, podemos
pasar y luego ya las volvemos a componer. Es una manera de contextualizar la actividad
para que sea más divertida. Hallaran ellos sólos que se trata de los triángulos, ya que es la
única forma de descomponer un polígono en varios polígonos del mismo tipo. Una situación
similar podemos plantear para trabajar el perímetro, en donde tengamos que repartir una
serie de objetos en una habitación, de manera que cubran todas las paredes de la
habitación, de manera que ni sobre ni falte, y que luego se les ocurra una manera de
medir la longitud cubrida mediante la suma de todos los lados. Son situaciones en donde
los alumnos trabajan sólos y luego exponen sus resultados a sus compañeros,
debatiéndolos, y fomentando el razonamiento y el aprendizaje por descubrimiento, aparte
de que parten de sus concepciones.
3. En una fase de deducción informal, vamos entre todos sacando conclusiones sobre todo
lo que hemos trabajado y anotando en la pizarra los conceptos y sus relaciones, incluyendo
las clasificaciones realizadas y sus relaciones entre ellas (por ejemplo, clasificaciones según
número de lados, ángulos, etc). Es una manera de hacer una puesta en común de todo el
proceso que hemos llevado a cabo, el punto final de lo que hemos trabajado, pero que en
un futuro puede volver a retomarse.
Como ya he comentado, los dos últimos niveles requieren un nivel de pensamiento lógico-
matemático demasiado elevado para unos alumnos de Educación Primaria.
SEGUNDA PARTE DEL TRABAJO (PARTE DEL BLOQUE II)
Este apartado del trabajo corresponde al trabajo específico que realicé, concretamente los niveles
de Van-Hiele. En el anterior trabajo, realicé una introducción sobre en qué consistían los niveles
de Van-Hiele y apliqué algunos apartados que apliqué en el trabajo común que hicimos en su día,
incluyendo una remodelación del tema que analicé de geometría para aplicar los niveles de Van-
Hiele estudios, y que se siguieran secuencialmente. Iré realizando las nuevas actividades que se
me han enviado:
¿QUÉ ENFOQUE PRESENTA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEL TEMA ANALIZADO?
A modo recordatorio, debo señalar que el tema trabajaba los polígonos, en un libro de texto de 4º
de Educación Primaria, según la resolución de problemas, presenta el enfoque de “enseñanza para
la resolución de problemas” ya que, tras enseñar los conocimientos matemáticos (elementos de

6. un polígono, la simetría, la triangulación de polígonos, el perímetro, etc), se realizan ejercicios
para fomentar ese aprendizaje y que sepan utilizarlo, gracias a la aplicación en casos reales, con
ejercicios de dibujar y señalar partes, de realizar medidas, de clasificar, de reconocimiento, etc, y
no se ve en ningún momento un fomento de la heurística de Polya, porque son ejercicios
diferentes, no sirve aplicar el esquema para resolver problemas, sino haber entendido las teorías
matemáticas y saber utilizarlas. Si no sabes qué es el perímetro, pues poco vas a hacer, por
mucho que sepas la dinámica de resolver problemas y manejar las cuatro operaciones aritméticas
básicas.
ALTERNATIVAS AL PLANTEAMIENTO DEL LIBRO DE TEXTO
En el anterior trabajo ya realicé un adelanto de esto, pero aquí voy a realizar algunas pinceladas.
Voy a profundizar más en el tipo de material a utilizar y concretar las tareas a realizar. Vamos a
realizar una dinámica grupal, en donde se realice un enfoque constructivista, que parta de las
concepciones y que pueda ayudar a adaptarse al ritmo del alumnado. Como ya comenté en el
anterior trabajo, solamente nos centraremos en los tres primeros niveles, ya que los dos últimos
pertenecían a un nivel de abstracción al que los niños de 4º de Educación Primaria, el grupo con el
que estamos trabajando, no pueden llegar. Vamos a clarificar estas alternativas, divididas por
cada fase para evitar confusiones, pero antes que nada, convendría realizar una exploración de
concepciones. Para ello, el docente lanzará una serie de preguntas para debatir entre todos:
- ¿Qué es una figura? ¿A qué nos estamos refiriendo cuando decimos que algo presenta
una forma determinada? ¿Qué características podemos tener en cuenta para discriminar
entre una figura u otra?
- ¿Algunos recordáis algunas características? ¿podríais explicarlo a vuestros
compañeros, a modo de aprendizaje?
A continuación, tras haber hablado y activado las concepciones, el docente pasará a sus alumnos
un cuestionario, en el cual tendrán que discriminar entre figuras geométricas, reconocerlas en el
entorno, ...Y luego, en las posteriores actividades, cada uno tendrá una misión partiendo de
dichas concepciones, y luego ya poco a poco, gracias al trabajo grupal, irá avanzando.
1-Fase de visualización:
En una primera fase de visualización, pienso que es mejor que los alumnos analicen la realidad
con la que se encuentran. Necesitamos un punto de partida y, ¿qué mejor punto de partida que
analizando su propio entorno y sacando de allí los polígonos, las figuras geométricas
representadas en los objetos cotidianos? Lo ideal sería salir a la calle, pero como puede que los
padres nos pongan pegas por temor a que sus hijos se pierdan (aunque tengan un plano callejero)
o que simplemente les pase algo, pues nos quedamos dentro del centro educativo. Les pedimos

7. que, en un cuaderno, recojan objetos con diferentes formas, diferentes figuras planas que
aparezcan en ellos, y luego tienen que exponerlos. Para evitar que todos se dirijan al mismo sitio,
programaremos a cada alumno una ruta diferente (tú te vas al gimnasio, tú te vas a la sala de
profesores, tú te quedas en la clase, tú te vas al patio, tú te vas a los aseos, etc). Tienen que
decir de dónde lo han sacado, cómo es la figura y si conocen el nombre. Aquí pueden recogerse
diferentes tipos de cuadriláteros y de triángulos, y sino, el docente puede aportar una serie de
objetos, simulando que él también ha participado en la actividad como uno más, y enseñarlos y
explicarlos. A cada uno puede que se le pida algo diferente, según las concepciones que
presentaron, por ejemplo, una tarea más simple o más compleja, en relación con la búsqueda de
figuras o incluso de ciertas partes determinadas. Por ejemplo, si tienen un nivel avanzado en
cuanto a las partes de la figura, como actividad complementaria, podemos pedirles que calculan
los ángulos de los caminos que se forman en el centro educativo o que presenten diversos
objetos, explicando cómo son y realizando estimaciones sobre su medida. Lo mismo con cada
característica (vértices, lados, etc). Pero solamente nos dedicamos a nombrar y a etiquetar para
que por su forma física reconozcan todo, aún no nos vamos a parar para analizar.
Como actividad final de esta fases, podemos ir nombrando cada figura que ha salido, incluyendo
las propuestas por el docente, e incluso entender un poco de dónde viene cada uno (por ejemplo,
triángulos, pues “tri-“ es de “trío”, es decir, “tres”; “cuadrado”, pues “cua-“ de “cuatro”, es decir,
cuatro lados; etc). Evidentemente, cada figura tiene otras características para diferenciarlas, pero
centrémonos en lo básico, como ya hemos dicho. Luego haremos un esquema en la pizarra con
todas ellas, las fundamentales, para que los alumnos las anoten en sus cuadernos.
2 y 3-Fase de análisis y de deducción informal:
Son dos fases distintas pero, ¿por qué las he juntado? Porque prácticamente estamos analizando
y realizando deducciones formales, es decir, actividades individuales y cooperativas que conllevan
una serie de análisis, con una posterior puesta en común, debate y luego llegando a una
conclusión, paso por paso, relacionando todas las características. La deducción formal
prácticamente es dejar que los alumnos expongan sus descubrimientos, los alumnos opinen sobre
él, comenten otras formas de desarrollarlos y el docente aporte orientaciones o incluso
informaciones al final de todo el proceso, una vez que esas concepciones estén evolucionadas,
que se vea que ha habido un razonamiento por su parte.
Vamos a partir de lo que hicimos en la fase anterior. Esta actividad tendrá una parte individual,
una parte en pequeño grupo y una parte en gran grupo. La parte individual consiste en analizar
las figuras, señalando las características estudiadas y partiendo de lo que estuvimos analizando y
sacando como conclusión en la fase anterior. Les pediremos que intenten hacer comparaciones,
las que puedan, y que establezcan diferencias entre ellas. Luego se forman pequeños grupos de
hasta cuatro miembros, y tienen que enseñar sus figuras a los demás y establecer comparaciones.
Para ir dando pistas de lo que nos interesa analizar, les decimos “decidme cuánto está abierto
desde este lado hasta este otro lado (ángulo)”, “decidme cuántas puntitas o esquinas tiene
(vértice)”, etc. Es decir, en cierta medida, parto un poco de lo que dijo Schoenfeld de expresar los
problemas con otras palabras, acercándonos a las concepciones que tienen, un vocabulario
aceptado para empezar. Ya luego, cuando se vaya avanzando, podemos ir estableciéndo
terminología y saber nombrar cada una de estas características. Entre todos, lo realizarán con

8. cada figura y luego saldrá un portavoz de cada grupo a exponer los resultados, y el resto tendrá
que analizar la validez de su análisis, ver si ha cometido despistes o si no ha entendido la meta de
la actividad, etc, y el docente les orientará.
Tras este momento en el que tenemos nuestras concepciones más evolucionadas, llega el
momento de darles un nombre. Primero dejaremos a los compañeros que hablen, que digan los
nombres de dichas características y expliquen qué quiere decir, poniendo el docente algunos
ejemplos para que entre todos los hagan (¿podríais decirme qué son los lados exactamente de esa
figura y contármelos? ¿qué ángulo es mayor, y cuál menor?). Aquí podemos ir ya clasificando las
figuras de alguna manera (por ejemplo, según número de lados, estableciendo una etiqueta para
ellas, habiendo antes ya diferenciado entre un triángulo y un cuadrado, que son las figuras planas
más básicas que han visto a lo largo de su escolaridad y experiencia) y, dentro de las
clasificaciones, diferencias los tipos de cuadriláteros y vistos y que ellos mismos establezcan las
relaciones. Para ello, partiremos de las figuras que han salido, las iremos anotando en la pizarra a
modo de repaso y les preguntaremos si piensan que existe alguna posibilidad más, sea porque las
conozcan o porque, por lógica, tendría sentido su existencia. Sino, la señalará el docente y pondrá
un ejemplo de ella dentro del entorno cotidiano (por ejemplo, un rombo, pues tiene por ejemplo
unos pendientes, unas losas, etc). Podemos ya aquí introducir los tipos de cada característica
(ángulo recto, ángulo agudo, ángulo obtuso, ...) y explicarlo con palabras adecuadas (por
ejemplo, si es agudo, es porque es tan tímido que se encoge, se cierra, no quiere que nadie entre
porque no se atrevería a hablar con él; si es recto, es que acepta las visitas pero que tampoco es
una persona demasiado abierta y campechana, sino solamente una persona muy educada y
formal; cuando es obtuso, todo lo contrario, muy campechano, abierto, que trata bien a todo el
mundo y ayuda al que sea, ...).
Para analizar las diagonales y las simetrías, vamos a pedirles que se traigan a clase una pastilla
de jabón, como ejemplo de un material manipulativo, incluyendo un cuchillo de cubierto para
realizar los cortes. A nivel individual, ya que siempre viene bien incluir una parte individual para
fomentar la autonomía del alumnado, les pediremos que representen las figuras que estudiamos
la vez anterior (si es necesario, el docente las copiará en la pizarra, a modo de repaso) y que las
representen en la pastilla, cortando las figuras con el cuchillo, y les pedimos que analicen su
simetría y su diagonal (en el supuesto de que no hubiesen salido hasta el momento, el docente
tendrá que partir de las concepciones que exploró al principio y, para el tema de la simetría,
separar las mesas y jugar todos al juego del espejo, para a partir de ahí hablar de lo que es un
espejo y su relación con la detección de la simetría de una figura; para el tema de las diagonales,
podemos realizarles un mapa con forma de cada figura y que cada vértice sea un poblado, y se
establezcan los caminos que hay entre un poblado y otro, y que los representen en otras figuras
de manera que solamente puedan crear caminos si se encuentran en lados distintos, y ya luego lo
aplicamos en figuras geométricas y señalamos el por qué de su existencia). Para el primer caso,
traeremos un espejo a clase para que lo comprueben, teniendo que salir la figura totalmente
simétrica, su original, cuando cortemos las figuras por sus respectivos ejes de simetría.
Con ello, ahora pasaremos a representar en la pizarra todas las figuras que hemos estado
analizando y señalando sus características, entre todos. Si hay algún alumno que no hable, le
pedimos su opinión, y pensamos en diferentes maneras de clasificar las figuras, a raíz de sus
características. Por ejemplo, podemos proponer clasificarlas según número de lados,
estableciendo una etiqueta para ellas, diferenciando entre triángulo y cuadrilátero y luego, en

9. cada una, según el resto de características y otras diferencias, diciendo los tipos: rombo,
rectángulo, etc.
Ahora aquí podríamos pasar a la triangulación de polígonos. Se trata de que un polígono puede
dividirse en diferentes triángulos, y una manera de que los alumnos experimenten es con la
plastilina. Se le da a cada alumno un puñadito de plastilina, y cada uno debe ocuparse de una
figura plana de las que hemos visto. Ahora no tienen que ponerse a señalar lados, vértices,
ángulos, ...No. Les vamos a pedir que dividan una figura en partes, en diferentes figuritas y que
sean del mismo tipo, pero no que sean iguales al 100%, sino que, dentro de las clasificaciones y
tipos de figuras según determinados criterios (ej: lados) que hemos establecido, pues que
seleccionen una de ellas para dividir la figura en piezas iguales de ese tipo. Si hay una sola que no
cumple los requisitos o que falten o sobre, esa no sirve. Por ejemplo, si nos ponemos a dividirlo
en rectángulos y éstos acaben deformándose o quedando incluso un huequecito y que se
correspondería con un triangulito, pues no vale.
Van probando mediante ensayo y error, razonando, hasta que por fin dan con ella. Cuando los
alumnos expongan su procedimiento, y veamos que todos hayan llegado en común que la mejor
división de sus figuras, para cumplir con los requisitos de la tarea, ha sido con triángulos, pues el
docente está preparado para aportarles información sobre el tema y su utilidad (por ejemplo, para
la medida de áreas, conectándolo con un próximo tema que pueda darse). Todo esto a través del
análisis y de la profundización.
Para una fase final de deducción informal, podemos pedirles que, por pequeños grupos, realicen
un esquema con las conclusiones de todo lo que se ha trabajado, sus concepciones actuales, y se
aclaren entre ellos las dudas mediante aprendizaje cooperativo y si alguien anotó algo, preferimos
que no lo utilicen. No se trata de copiar, sino de deducir, de analizar lo que han aprendido
verdaderamente, lo que han comprendido. Luego un portavoz de cada grupo expone las
conclusiones, y el resto de grupos comentan si no lo han entendido bien, si tiene lagunas, si hay
características que están mal relacionadas, ...El docente guiará todo el proceso, y ayudará a estos
alumnos. Entre todos, vamos elaborando un esquema que incluiremos en el portafolios de clase, y
cada uno anotará en sus cuadernos. Es como una especie de punto final pero entre comillas,
porque volverá a retomarse para seguir profundizando más en niveles posteriores, pero que aquí,
al menos en el curso de 4º de Educación Primaria, no entra.
¿QUÉ RELACIÓN TIENE TODO ESTO CON LAS TEORÍAS QUE HEMOS ESTUDIADO?
Durante todas estas actividades que he ido creando, me he ido basando en el constructivismo,
desarrollado por Piaget y que casualmente estuvo muy centrado en el desarrollo del pensamiento
lógico-matemático. Durante todo el tiempo estamos manipulando objetos, reflexionando,
razonando, contrastando concepciones. En ningún momento el docente se ocupa de transmitir los
conocimientos como un mero exponedor, siendo el alumnado un receptor pasivo, un “banco de
conocimientos”. El alumno es el protagonista del aprendizaje, siendo un sujeto activo. Analiza el
entorno, no recibe la información directamente de él para memorizarla. De ahí tenemos la primera
premisa del constructivismo de Piaget: “El conocimiento es activamente construido por el sujeto

10. congnoscente, no pasivamente recibido del entorno”. Las experiencias previas son fundamentales
a la hora de manipular un objeto. Por ejemplo, si un niño no tiene ni idea de lo que es una figura
plana, o al menos saber lo que es un círculo, un triángulo, ...que se suele aprender desde la etapa
de Educación Infantil. El razonamiento que emplean en el constructivismo es fundamental para
favorecer la comprensión, evolución de las concepciones y, definitivamente, el desarrollo del
pensamiento lógico-matemático.
En relación con el R.M.E, los alumnos no tienen aquí el material ya hecho, ni siquiera el
procedimiento para realizar las actividades. Ellos tienen que deducirlo con su esfuerzo y
razonamiento, dejarles que se equivoquen, porque será un punto de partida para seguir
trabajando y no volver a cometer los mismos errores, que ellos mismos elaboren sus
procedimientos para resolver los problemas, ya que así favorece la comprensión de éstos, como
por ejemplo hemos vistos en las experiencias del texto de Kamii, y adjunto una cita del primer
bloque para concretar esto: “El principio de actividad significa que los estudiantes son
confrontados con situaciones problema en las cuales, por ejemplo, pueden producir fracciones y
desarrollar gradualmente una forma algorítmica de multiplicación y división, basadas en una
manera informal de trabajar. De acuerdo con este principio, las “producciones propias” juegan un
papel importante en el R.M.E”.
En relación con el principio de realidad, todo está contextualizado en situaciones de su vida
cotidiana, como la misión de reconocer las figuras en uno de sus contextos más cercanos, el de la
escuela, para que así logren relacionar las matemáticas con la vida real, y así comprender su
utilidad. Y como hemos trabajado en contextos de problemas, ya que era la principal finalidad de
este trabajo, pues favorece más el desarrollo de herramientas y la comprensión matemática, el
poner en juego todo lo que saben y saber aplicar las matemáticas. Y también se da el principio de
nivel, por ejemplo, partiendo de maneras informales de resolver problemas, mediante
manipulación de materiales, nombramiento de las partes de manera personal e informal,
representaciones gráficas personales, ...hasta que, definitivamente, van madurando a una
representación informal, llegando al algoritmo, en su caso, pero tras haber pasado por un proceso
de razonamiento, profundización y reflexión, favoreciendo la comprensión de las matemáticas, su
aprendizaje significativo y relevante.
Se da también un principio de interacción, ya que permitimos que los alumnos compartan sus
descubrimientos, sus opiniones, ...provocando la reflexión entre todos, o incluso aclarándose
dudas entre ellos. Puede decirse que “toda la clase enseña”. Cada uno va a su ritmo y luego
puede, en pequeño grupo, contrastar e ir avanzando. Y se intenta en todo momento adaptarse al
ritmo de cada uno, a sus concepciones, para qe vaya progresando a su nivel y luego aporte sus
conocimientos. Por ejemplo, en el trabajo específico de los niveles de Van-Hiele, tras analizar las
concepciones del alumnado, a algunos alumnos que estaban muy avanzados, se les puso una
actividad complementaria, a modo de refuerzo. El docente, a raíz del principio de guía, es un
orientador, guía lo que tiene que aprender, en lo que debe de fijarse, pero jamás dice las
respuestas, como mucho, al final de todo el proceso, cuando se hace una puesta en común,
aporta una nueva información pero al igual que ellos mismos han aportado información para sus
compañeros. Prácticamente, entre todos se “construye” el conocimiento. Como bien dice el texto:
“Para alcanzar esto, el profesor debe facilitar a los alumnos un entorno rico en el cual los procesos
de construcción puedan emerger. Un requisito es que los profesores deben ser capaces de prever
dónde y cómo anticipar la habilidad y la comprensión de los alumnos que empiezan a aparecer.
Los programas educativos deberían contener escenarios educativos que tengan la potencia para

11. trabajar en un nivel y cambiar el conocimiento de los estudiantes.” Y aquí se encuentra el
escenario de analizar el centro educativo, o la propia agrupación de clase y el manipular nuevos
materiales como el jabón ya resulta muy motivador para ellos, y puede ayudarles a cambiar el
conocimiento de los estudiantes.
En relación con la teoría de las situaciones didácticas, todo el proceso en sí es un enfrentamiento
a un contexto lleno de dificultades, de contradicciones, ...y se cumplen los tipos de situaciones
que hemos estudiado (la situación de acción cuando tienen que ponerse manos a la tarea en las
que les hemos enviado y ponerse a razonar y a activar sus concepciones; la situación de
formulación cuando tienen que trabajar en pequeños grupos cooperativos y saber transmitir sus
progresos a sus compañeros y contrastar diferentes puntos de vista, opinando sobre ellos e
intentando justificar la suya a menos que vea que le convenzan los argumentos de otros
compañeros; la situación de validación, cuando el docente les pide que expongan sus
argumentaciones y las defiendan ante sus compañeros, explicándoles cómo han llegado hasta ahí
y todos opinamos sobre ellas, aportamos sugerencias, surgen discrepancias, el docente realiza
comentarios, ...; y por último, la situación de institucionalización, en donde, tras la deducción
informal, realizan ya las formulaciones teóricas que anotaran en sus mentes, la “conclusión” de lo
que han estado aprendiendo en ese momento. Y bueno, al final del tema se habla casualmente de
los niveles de Van-Hiele, en donde lo he estructurado de manera que primero explore sus
concepciones (las preguntas en el estado inicial), la realización de tareas en donde estudian las
características que se suelen estudiar en cada nivel y los materiales a manipular (en el texto se
mencionan geoplanos, doblar papeles, construcción de figuras, ...yo he hecho algo parecido pero
con otros materiales como jabones, plastilina o el propio entorno), siendo algunas más abiertas
(por ejemplo, la de invetigar en el entorno) que otras (por ejemplo, la del jabón).
En relación con el tema dos, hemos estado aquí trabajando la resolución de problemas, en todo
momento he creado problemas que les marcasen, que fuesen para ellos un reto, porque sino sería
un mero ejercicio, no un problema, y evitando que directamente se les dé el algoritmo, sino que
cada uno saque su propio procedimiento y evitando repetir el mismo tipo de ejercicio, porque
prácticamente acabarían haciéndolo como mecánica y no enterándose de lo que se les pide el
problema y luego, cuando se les pide algo “extraño”, lo rechazan, y además hasta voy cambiando
los materiales. Esta cita del tema 2 lo justifica bastante bien: “Hay estudios que muestran el
efecto negativo de estas repeticiones, el problema se va alejando del alumno, ya que lo que tiene
que hacer es algo parecido al procedimiento anterior. Está más pendiente del procedimiento que
tiene que aplicar que del problema en si. Esto se produce porque todos los problemas del tema se
suelen referir al mismo procedimiento de resolución. El problema radica en que le han dado un
procedimiento que le soluciona el problema y esto no le deja pensar.”
En todo el tiempo evito los truquitos, solamente se les dan orientaciones para ayudarles a seguir
el proceso, y mucho menos decirles las respuestas. Los trucos no los veo adecuado porque serían
lo mismo que un algoritmo en el sentido de que sería algo mecánico, con lo que no favorece la
comprensión del problema.
A continuación, adjunto, a modo de anexo, el cuestionario de exploración de concepciones que
comenté que realizaba al principio:

12. CUESTIONARIO INICIAL DEL DISEÑO DIDÁCTICO (VAN-HIELE)
Nombre: ................................................................. Fecha: ................ Curso: ......
1-Une con flechas:
Triángulo
Rectángulo
Romboide

13. Cuadrado
2-¿Qué es un rombo? ¿Piensas que un cuadrado podría ser un rombo?
3-Dibuja un rombo y señala sus partes.
4-Divíde estas figuras por la mitad siempre y cuando al juntarlas, las puntas coincidan. Puedes ayudarte de
papel y tijeras si lo deseas.

14. 5-¿Qué es un triángulo equilátero? ¿Un triángulo equilátero puede ser a la vez un triángulo isósceles?
Justifica tu respuesta.
TRABAJO ESPECÍFICO: LOS NIVELES DE VAN-HIELE (PARTE 3)
En esta ocasión, voy a realizar los mismos apartados que he realizado para el trabajo común,
aplicados a mi trabajo específico, el de los niveles de Van-Hiele.
OBSTÁCULOS DE ORIGEN DIDÁCTICO EN EL LIBRO DE TEXTO
En general, son similares los obstáculos didácticos en el libro de texto que he analizado. En
relación con los elementos de un polígono, no les dejan analizar a los niños las figuras y
directamente les dicen sus partes y a qué se refiere. Los cuerpos geométricos aparecen
directamente, sin permitirles que los construyan con papel o cartulina y por su propia cuenta (es
decir, que no se trata de que les entreguemos los desarrollos plano de los polígonos para que
luego las construyan haciendo las dolbeces que le indica el desarrollo). No les deja investigar
cómo poder calcular el área de un polígono complejo, que reflexionen y establezcan relaciones con
todo lo que saben hasta el momento. Directamente les dicen cómo tienen que hacerlo, y no les
permite reflexionar si existen otros métodos, en donde combinen diversos polígonos (cuadrados,
rombos, etc) a la hora de calcular las áreas para luego sumar el total de todas ellas. El no
establecer diferencias entre área y perímetro puede llevar a confusiones, sobretodo cuando se les
habla de medir. ¿Qué quieren que midamos? Lo mismo digo con las clasificaciones de polígonos:
¿cómo entiende el alumno esa clasificación? ¿sabe de dónde viene o simplemente se la cree

15. porque viene en el libro de texto, el mayor sabio de todos? Directamente les da la clasificación
hecha, tanto la de los triángulos como la de los cuadriláteros.
¿CÓMO HE SUPERADO LOS OBSTÁCULOS DE ORIGEN DIDÁCTICO EN MI DISEÑO?
Antes que nada, parto de sus concepciones, activándolas y explorándolas, para ver su punto de
partida. Cada uno tiene una misión diferente según sus concepciones, y no se les dice nada desde
el principio, sino que ellos lo descubren mediante sus análisis, incluso partiendo de su propio
entorno (es decir, visualizar en la calle) para poder establecer mejor las relaciones (partimos de
sus experiencias) y manipulando materiales (jabón, plastilina, ...), que vean que no es nada
imaginario y que ellos, mediante sus análisis, pueden acabar descubriendo las propiedades (la
triangulación de polígonos, la simetría, las clasificaciones, etc), y antes de analizar tendrán una
visualización general, que les ayude a reconocer las figuras. Todo el conocimiento de va
construyendo de menos a más, de manera secuenciada, cuando en el libro de texto, el obstáculo
principal de origen didáctico era que daba toda la información directamente, sin permitirles que
analicen, que establezcan relaciones o al menos que recuerden lo que saben, y aunque aprueben
el examen que se haga, se les olvida enseguida. Tal vez tenía que haber profundizado más sobre
el perímetro para así establecer más diferencias con el área, que las vean, pero me centré
sobretodo en el resto de propiedades.
DISEÑO DE FICHAS PARA MI SITUACIÓN FUNDAMENTAL
He diseñado cuatro fichas, similares a las que he diseñado para el trabajo común, con los mismos
personajes. En la primera ficha, está conectada con la actividad en la cual tienen que investigar el
entorno, y aquí se les da una ficha en donde aparecen una serie de objetos, comunes, y tienen
que señalar polígonos por los que esté formados, en algunos casos puede que solamente aparezca
un tipo y en otros más de uno. Así, refuerzan más su capacidad de visualización. En la segunda
ficha, realizan ejercicios en donde tienen que dibujar, dentro de una cuadrícula, las mitades de
unas figuras, de manera que éstas sean simétricas. No solamente se trata de reconocer los ejes o
de representarlos, sino de intentar reconstruir figuras simétricas. En la tercera y última ficha,
presentan una figura peculiar con lados rectos, que representa una cara (aunque de casualidad) y
tienen que calcular el perímetro. Es un polígono peculiar, con muchas irregularidades, para así
aumentar la dificultad. Tienen que coger sus respectivas reglas y medirlas, y detallar el proceso
que han seguido. Pueden realizarse en el momento en el que se haya trabajado esa parte de la
situación fundamental, como algo complementario, y también para acostumbrarlos a que sigan
resolviendo fichas, tareas propias de libros de texto, que también trabajan ciertas habilidades. En
la cuarta ficha, recoge contenidos diferentes, como la triangulación y la clasificación de polígonos.
En línea general, se recoge prácticamente todos los contenidos clave que se han visto.

16. POSIBLES OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS EN ALGUNAS DE LAS ACTIVIDADES DE MI
SECUENCIA Y DE MIS FICHAS
Al igual que en el trabajo común, siempre realizo un cuestionario para explocar las concepciones
que presenta el alumnado, y si nos encontramos con alguna respuesta “peculiar”, realizamos una
entrevista al alumno para que nos explique su respuesta, de dónde procede, y proponerle algunas
experiencias para provocarle un replanteamiento de concepciones. Intentaremos con nuestras
actividades chocar sus concepciones, sobretodo con aquellos momentos en los que tiene que
trabajar en pequeño grupo y en gran grupo.
En relación con los posibles obstáculos, puede que, al trabajar con polígonos, como son figuras
comunes, puede que introduzcan el círculo, una figura muy común, como uno más de la familia,
pero esto tenemos que trabajarlo en la parte de visualización, cuando estemos visualizando
polígonos y dándoles nombres. Otro posible obstáculo es la relación que muchos realizan entre
área y perímetro, y que al calcular el perímetro, alguien, debido a lo que hemos visto sobre la
triangulación, divida la figura en triángulos y calcule su área, cuando no es eso lo que le estamos
pidiendo. Otro puede ser que las diagonales, al pensarse que es una línea recta que unes dos
vértices de diferentes lados, como hay vértices compartidos, pues se piensen que es otra
diagonal. Otro obstáculo puede ser que, con estos ejercicios, dé a entender que, cuando haya un
mosaico, también se trata de poner un eje para decir que son simétricas, cuando en realidad es
una simetría traslacional.
No se me ocurren otros posibles obstáculos epistemológicos. De todas formas, necesito una
mayor formación, ya que hasta ahora he visto posibles obstáculos epistemológicos en relación con
la aritmética, pero no con geometría.
¿CÓMO INCLUIRÍA EN LA SECUENCIA UN ALUMNO CON DIFICULTADES VISUALES Y
OTRO CON DIFICULTADES AUDITIVAS?
En relación con el alumno con dificultades visuales, la geometría puede ser de las más sencillas
para trabajar con él, ya que las personas con dificultades visuales pueden ayudarse a través del
tacto. Por ello, cuando realicemos las visualizaciones en el entorno, alguien irá con él, un alumno-
tutor, de los que estén más avanzados. Irá con él y le pedirá que vaya tocando los objetos,
sintiendo su forma, y le explicará cómo es cada figura. Antes de salir, sería conveniente que
tuviésemos una sesión con ellos, en donde les enseñásemos cada forma y que ellos la sintiensen,
y les pusiésemos una etiqueta: “Mira, X, esta cosa tan redonda, que tiene esta forma, es un
círculo”. Luego él saldrá a exponerlos como todo el mundo, comentando lo que ha visto, lo que
recuerda, y si tiene objetos, exponerlos, los cuales reconocerá por sus formas. El cuestionario de
explorar concepciones, a menos que lo imprimamos en relieve o que esté escrito en Braille, pues
se lo haremos oral. A la hora de contar sus partes, ese alumno-tutor puede guiarle. Por ejemplo,
para orientarle sobre las partes, el alumno puede presentarle un par de polígonos de papel,
recortados, y moverle los dedos para que vaya tocando cada parte del polígono: “mira, cada una
de estas puntitas que unen cada lado se llama vértice”, “el grosor que hay entre este lado y este

17. otro se llama ángulo”, ...y así con todo. Pueden realizarse varios ejercicios de práctica para que
vaya asimilándolo.
Para manipular plastilina y jabón, es de lo mejor que puede hacer, ya que gracias a unas
orientaciones previas, guiados por el docente y el alumno-tutor, puede ir asimilándolo y poco a
poco pudiéndo hacerlo sólo, y en los trabajos cooperativos, se vigilará que participe, y se les
pedirá a los alumnos que les pregunte su opinión, y para que pueda visualizar sus propuestas, les
dejaremos hojas de papel positivo para que lo representen todo en ellas y permitan a este alumno
tocarlo. En cuanto a las fichas, todas en papel positivo para que pueda participar en el análisis de
las figuras y así poder participar en las tareas, y las que no pueda, se les hará oralmente. En las
situaciones de formulación y validación nos preocuparemos de que participe, de que está
prestando atención y de que no está perdido, y de que pregunte las dudas necesarias. No estaría
mal poder contar con algún especialista, pero eso no siempre depende de nosotros, así que al
menos damos una serie de orientaciones de manera que no sea difícil para nuestros docentes
intervenir de manera inclusiva con este alumno.
En relación con el alumno con dificultades auditivas, las mayores dificultades las tendrá cuando
tengan sus compañeros que exponer sus descubrimientos o en las interacciones con los
compañeros en las situaciones de formulación y de validación, respectivamente. Por ello, aparte
de intentar esquematizar las ideas claves en la pizarra para que pueda leerlas, y con un
vocabulario sencillo que no lleve a malas interpretaciones (es decir, nada de ambigüedades). En el
caso de que tuviésemos pizarra digital, podríamos presentar las figuras geométricas en ella,
buscándolas en Internet, de las que han visualizado en el entorno (por ejemplo, una farola, o una
placa de una calle), y escribir en un word lo básico que se diga. El resto, al ser manipulación de
materiales, no tiene que tener problemas. Lo que haga falta, se le presentará por escrito, por
ejemplo, guías orientativas (por ejemplo: ¿para qué vamos a usar esta pastilla de jabón?), y
también tendrá un alumno-tutor para lo que haga falta. Sería recomendable, al igual que señalé
en el trabajo común, que se enseñase a los alumnos la lengua de signos, al menos el vocabulario
básico y, en este caso, el vocabulario específico de los polígonos: cuadrado, vértice, diagonal,
perímetro, etc. Lo primero se haría a principios de curso y lo segundo pues antes de comenzar la
situación fundamental. En el caso de que no hubiese pizarra digital pero sí ordenadores, puede
presentársele alguna presentación en Powerpoint con lo que se haya visualizado, y con los
análisis, con los contenidos que se estén trabajando una vez finalizadas las investigaciones,
porque hay que intentar que él mismo lo vaya descubriendo, a pesar de sus dificultades auditivas.
Queremos que desarrolle las mismas habilidades que sus compañeros, la misma capacidad
metacognitiva, así que sería injusto no poder intentar desarrollar esas habilidades, al menos lo
que pueda conseguir. Tenemos que intentar aprovechar todo lo que tenemos para lograr la
inclusión de este alumno, al igual que con el anterior caso.
¿CÓMO SE HARÍA AQUÍ LA EVALUACIÓN?
En relación con la evaluación, tenemos que tener en cuenta que no sólo vamos a evaluar al
alumnado, también la propia situación en sí. Si ha habido dificultades, o no se han conseguido los
objetivos, tal vez ha sido porque la actividad ha estado mal planteada, o ha sido muy complicada,
o la organización de los recursos se ha llevado mal, o que nosotros, al intervenir, no hemos sabido
orientarles bien ni atender a los casos de NEAE (por ejemplo, al alumno con déficit visual y al

18. alumno con déficit auditivo). Aquí podemos aplicar las técnicas de observación, discusión y
entrevista que aquí se plantean, pero ahora centrémonos en el alumnado. Es lo mismo que
planteé en el trabajo común.
En relación con el alumnado, antes que nada, veo adecuado que, antes que solamente basarnos
en la resolución de los problemas que se van planteando a lo largo de la situación fundamental,
valorarle más cómo se esfuerzan, ver su proceso evolutivo, el interés que mantienen y los
diálogos con nosotros y con otros compañeros, ver cómo discuten entre ellos, ver cómo
reflexionan sobre la resolución y sus justificaciones, argumentaciones en relación con la resolución
que plantean, las estrategias, etc. Son cosas que no podríamos ver si solamente nos fijásemos en
los materiales que elaboran a mano. Podríamos hacer una discusión al final del proceso para
analizar el aprendizaje cosechado, y entrevistar a aquellos alumnos que hayan dado unas
respuestas o un proceso peculiar, para analizar de dónde han venido sus respuestas y analizar
cómo, partiendo de ellas (evidentemente, tendremos en cuenta la exploración de concepciones
como punto de partida), han llegado hasta donde han llegado.
En la situación de institucionalización, puede consensuarse una serie de ideas que nos permita
analizar la evolución y el punto de partida para la siguiente vez, a raíz de la discusión y también
veremos cómo participan en los debates que se realizan tanto en la situación de formulación (es
decir, cuando trabajan en pequeños grupos cooperativos) como en la de validación (cuando todos
exponen sus procedimientos y se producen discrepancias) y el desarrollo de la actividad, tanto en
la del huerto como en la compra. Tendremos un diario de campo para anotar todo esto y una lista
de control de conductas. Aunque claro, evidentemente también tendremos en cuenta los
materiales elaborados, ya que aportan una información más, aparte de todo lo que hemos dicho,
para así acaparar la máxima información posible para realizar la evaluación.
En relación a qué voy a evaluar, evaluamos el proceso evolutivo (partiendo de sus concepciones),
la capacidad metacognitiva, las argumentaciones que den, el esfuerzo e interés, ...y nosotros
tenemos que intentar mantener un ambiente así, de trabajo e ir motivando al alumnado cuando
haya momentos de bajón, tanto cuando trabajen sólos como cuando trabajan en grupo. Como
sabemos, los niveles de Van-Hiele presentan un proceso de aprendizaje de la geometría, en donde
todo va secuenciado, de menos a más, así que iremos viendo cómo va ese proceso, viendo cómo
se desenvuelve en las tareas y cómo va manipulando los materiales y las justificaciones que da a
sus respuestas. Ya dentro de esto, evaluaríamos lo siguiente:
v Comprensión de los conocimientos que se están abordando, relacionados con los
polígonos y sus propiedades y características más fundamentales, incluyendo las relaciones
establecidas entre los triángulos y los cuadriláteros.
v La capacidad y formar de expresar los resultados, las concepciones, los conceptos que
se han trabajado, ...por parte del alumnado.
v La capacidad para aplicar las concepciones e interpretar, plantear y resolver los
problemas.
v Las estrategias y procedimientos utilizados para plantear y resolver los problemas.

19. v La participación, implicación e interés del alumnado por los contenidos que se debatan
y por la realización de las actividades en sí, tanto la parte individual como la parte grupal.
v Capacidad de reflexión sobre lo que hemos aprendido.
Y en cuanto a la evaluación, siempre que evaluamos algo, debemos partir de objetivos y no de
contenidos, y en este caso, los objetivos de aprendizaje que me marco son los siguientes:
v Reconocer los polígonos en el entorno, en partes de diferentes elementos propios del
entorno.
v Comprender las propiedades de los polígonos y las relaciones existentes entre ellos y
su función para clasificar polígonos.
v Reconocer la simetría de una figura y saber dividirla en una o varios ejes, en el caso de
que sea simétrica.
v Valorar la triangulación como técnica para descomponer los polígonos en triángulos y
su utilidad en la vida cotidiana y, en general, en el mundo matemático.
v Comprender el concepto y uso del perímetro dentro de la geometría y su utilidad.
Ahora vamos a pasar a profundizar sobre las características de la evaluación de los alumnos:
1-La situación:
v Antes que nada, tiene que haber una exploración de concepciones.
v Presentación de una serie de actividades que van de menos a más, desde la
visualización hasta la deducción formal, en donde los alumnos van investigando,
manipulando materiales, debatiendo entre ellos y sacando conclusiones, evolucionando sus
concepciones y relaciones entre las propiedades de los polígonos y su existencia dentro de
su entorno cotidiano.
v Trabajo individual, discusión en pequeño grupo y en gran grupo.
2-La respuesta:

20. v Dibujo, representaciones.
v Explicación escrita y oral del pensamiento que hay detrás de una solución, es decir, del
proceso que ha llevado a cabo y su justificación, para así comprobar el grado de
comprensión y rigurosidad.
v Mediante la observación, entrevista y discusión, se ve el proceso de pensamiento que
sigue el alumno y su evolución.
v Materiales elaborados por los alumnos, resolución de las fichas.
3-La interpretación del docente o del alumno:
v Estructura del alumno sobre el conocimiento matemático, su capacidad de analizar y
procesar dicho conocimiento y su grado de consecución de los objetivos planteados con
nuestras situaciones fundamentales.
v Los compañeros pueden reflexionar sobre las respuestas de sus compañeros en las
situaciones de formulación y validación, al compararlo con su planteamiento y producirse
discrepancias, sugerencias, etc, ampliando a la vez su conocimiento.
4-Asignarle un significado a la interpretación de la respuesta del alumno:
v Entrevista con el alumnado, tanto individual como en grupo, para analizar el significado
de sus planteamientos.
5-Valoración y recogida de datos:
v Valoración cualitativa de sus progresos, destacando tanto lo positivo como lo negativo
o que necesita mejorar, para trabajarlo más a fondo.
v Se debe de tener en cuenta el grado de implicación que ha tenido.
v Las dificultades que han tenido se tendrán en cuenta para trabajarlas más a fondo y
diseñar las situaciones fundamentales a partir de ellas, teniendo en cuenta también sus
potencialidades.
v Valorar si las actividades realizadas en la situación fundamental han dado sus frutos o
han sido inadecuadas para la consecución de los objetivos, especificando la razón:
demasiado compleja, demasiado simple, mal organizada, alumnos desorientados, etc.

21. v Valoración por parte de los alumnos de las dificultades que encuentran en la actividad,
complementando la información recogida por el docente.
En relación a quién corresponde evaluar, evaluarían todos, tanto alumnado como docente, y el
alumno, en relación con momentos clave de su proceso evaluativo, se destaca el proceso de
validación, en donde podemos comprobar el proceso metacognitivo del alumnado y su grado de
comprensión de lo trabajado y de las estrategias empleadas, aparte de cómo ha utilizado sus
concepciones. Si el alumno no es capaz de defender públicamente su solución al problema es que
no ha obtenido ninguna solución de la que muestre seguridad. Podemos ver ahí las dificultades
que han tenido para enfrentarse a la situación fundamental, y también los métodos utilizados y
compararlo con otras estrategias más o menos primitivas, y ver de dónde ha partido.
Bien, hasta aquí llega lo que llevo hecho del trabajo específico. En general, me ha gustado
realizarlo, ya que ha sido aplicar todo lo que hemos aprendido hasta el momento en la asignatura
(bueno, de los tres primeros temas) a un caso práctico, y además hacia un tema del que hasta la
fecha no había hecho nada: los niveles de Van-Hiele. Una de las razones por las que escogí este
tema es por la novedad, por querer aprender nuevas cosas para cuando ejerza en un futuro
(aunque bueno, tiro más para otra vía, pero también puede aplicarse) y así darle más emoción,
más “acción” a mi carrera estudiantil, ya que no me gusta mucho caer en la monotonía.