Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire

Chapitre I
Les propriétés optiques et...
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Figure. I.2 : Aspect général des molé...
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(a) Mésophase ...
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Le nombre des mé...
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VIII.2 Orientation planaire
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Chapitre 1 (20 06-2013-3)

  1. 1. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire Chapitre I Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire I. Introduction La physique de base nous enseigne que les états de la matière sont l’état gazeux, liquide et solide. Mais de nombreuses substances organiques ne présentent pas une transition unique entre l’état liquide et solide mais plusieurs transitions faisant apparaître des états intermédiaires. Les mésophases ou plus communément cristaux liquides, qui présentent un état de la matière qui combine des propriétés d’un liquide conventionnel et celles d’un solide cristatallisé. Il ce caractérise par un empilement régulier de molécule atomes ou ions sur un réseau périodique dans les trois directions de l’espace. Il y a deux grandes classes de cristaux liquides : thermotrope et lyotrope, les thermotropes changent de phase en fonction de la température. Tandis que les lyotropes sont sensibles à la concentration et à la température [8,22]. Les différentes phases des cristaux liquides se distinguent optiques par leurs propriétés différentes comme la biréfringence, qu’on peut observer facilement entre polariseurs croisés par les textures qui se forment et par les défauts caractéristiques de ces matériaux. Lorsque l’architecture des entités moléculaires considérées est plane, on observe des phases colonnaires ou les molécules plates sont schématisées par des disques. II. Les cristaux liquides colonnaires II.1.a. Structure d’une mésophase discotique Notre intérêt l’intérêt porte sur les recherches dans le domaine des mésophases colonnaires, découverte en 1977 par Chandrasekhar [1,23], de cristaux liquides obtenus à partir de molécules organiques en forme de disque. Ces molécules discotiques s’empilent les unes sur les autres pour former des colonnes de longueur indéfinie, ces colonnes s’organisent 2
  2. 2. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire selon divers réseaux cristallins bidimensionnels, et le désordre positionnel dans chaque colonne est plus ou moins prononcé. Les colonnes sont donc en général formées par l’association d’un grand nombre de molécule avec des types variés de leur arrangement géométrique; la dimension latérale des colonnes est de l’ordre de quelque nanomètre et elle est comparable aux dimensions moléculaires. La diffraction des rayons X aux petits et aux grands angles (de Bragg) permet de décrire précisément l’arrangement moléculaire au sein des édifices lamellaires ou colonnaires de ces phases fluides [2]. Les mésophases colonnaires sont stables thermodynamiquement sur un très grand intervalle de température. Elles adoptent une structure correspondant à l’empilement des cœurs aromatiques en colonnes latéralement arrangées selon un réseau hexagonal. Leur cœur aromatique est plat et rigide. Il est entouré par plusieurs chaînes flexibles aliphatiques de longueurs variables et des groupes dipolaires qui lient les chaînes au cœur et qui renforcent les interactions attractives entre les molécules voisines (figure I.1). Dans cette mésophase, les disques s’empilent les uns sur les autres en colonnes formant un réseau régulier (Figure .I.2). A l’intérieur de la colonne, les disques gardent une certaine liberté de mouvement qui varie selon le type de phase et perdent cette liberté pendant la cristallisation. Les distances entre les molécules présentent des variations importantes avec la température et les colonnes peuvent se déplacer les unes par rapport aux autres.  n Noyau rigide Chaînes flexibles aliphatiques Figure .I.1 : La molécule mésogène discotique 3
  3. 3. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire Figure. I.2 : Aspect général des molécules discotiques formant un réseau hexagonal II.1.b Nomenclature Toute molécule discotique qui donne un empilement de disques moléculaires dans sa phase colonnaire sera notée D. Le réseau des colonnes sera décrit par un indice en bas et à droite. On note par exemple : h = hexagonal r = rectangulaire (Figure.I.3) Un deuxième indice indique, pour une même colonne, l’ordre (o = ordonné) ou le désordre (d = désordonné) des molécules dans leur empilement (Figure.I.4) [16, 18,17]. (b) (a) Figure. I.3 : (a) Réseau hexagonal (b) Réseau rectangulaire 4
  4. 4. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire (a) (b) Figure. I.4 : (a) Mésophase colonnaire ordonnée (b) Mésophase colonnaire désordonnée La connaissance de la structure des matériaux dans leurs différentes phases est une étape essentielle pour l’analyse de leurs propriétés. Sous microscope polarisant, l’état cristal liquide colonnaire se laisse identifier par ses textures caractéristiques et ses défauts typiques. II.2.a Structure d’une mésophase phasmidique La corrélation entre la forme des molécules et la symétrie des mésophases n’a pas été démentie jusqu’à la découverte de Malthête et al. en 1985, d’une nouvelle classe de mésogènes thermotropes, les phasmides [3,18,24] (nom donné à l’époque pour la ressemblance existant entre ces molécules et les phasmes, insectes sans ailes dont le corps allongé ressemble à des brindilles) qui correspondent à des mésogènes hybrides, entre discotiques et calamitiques (Figure I.5). En effet, ces molécules comportent une partie allongée et trois chaînes paraffiniques sur chaque cycle terminal rigide. 5
  5. 5. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire II.2.b. Nomenclature Le nombre des mésogènes po1ycaténaires synthétisés est tellement important, que le problème de leurs nomenclatures a été posé. On a résolu ce problème en se basant sur le nombre (six, cinq, quatre, trois ou deux) et sur les positions possibles des branchements (ortho "o", méta "m "ou para "p") des chaînes paraffiniques. Ces mésogènes ont été appelées respectivement hexa-, penta-, tétra-, tri- et bicaténaires. En particulier, les bicaténaires sont les mésogènes classiques qu'on appelle nématiques. Pour distinguer les différents isomères, on marque à chaque extrémité le numéro et les positions des chaînes paraffiniques [4]. II.3 Défauts dans une mésophase colonnaire a. Domaines développables Un des types de défauts, observés dans les cristaux liquides colonnaires hexagonaux discotiques au phasmidiques, sont les domaines développables. Dans ces configurations, M. Kléman considère que le réseau hexagonal est localement conservé [20,21]. Ces domaines sont obtenus en considérant une surface Σ et la famille des demi-plans tangents à cette surface, les colonnes décrivent des lignes perpendiculaires à cette famille. a. Exemples de domaines développables Le plus simple est celui que l’on obtient en prenant pour surface développable Σ un cylindre de révolution de rayon ro, les colonnes moléculaires décrivent alors les développantes d’un cercle de rayon ro. Une telle configuration équivaut à une ligne dièdre de rang S=1/2. Nous appellerons les lignes S1d celles pour lesquelles r0 # 0. Si r0 =o (c.à.d si la surface développable est dégénérée en une droite) nous les appellerons des lignes S 1c. Dans ces 6
  6. 6. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire conditions les colonnes moléculaires ont la forme de cercles concentriques. Lorsque la surface développables est un demi-cylindre de rayon r0, on obtient une ligne de rang S=1/2. Nous appellerons lignes S1/2d celles pour lesquelles r0 # 0 et S1/2c celles avec r0 = 0 (Figure. I.6) [19]. r0 rc rc c (b) (a) r0 rc rc (c) (d) Figure .I.6 : Schéma de quelques types de domaines développables (a) ligne S1d ; (b) ligne S1c ; (c) ligne S1/2d ; (d) ligne S1/2 c III. Milieux optiquement anisotropes III.1. Définition Dans un milieu anisotrope, les propriétés optiques et l’indice de réfraction, vus par  l’onde électromagnétique, dépendent de la direction de propagation du vecteur d’onde K . A partir des équations de Maxwell, on peut montrer que pour une direction de propagation 7
  7. 7. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire  donnée K , il existe dans ce cas deux indices de réfraction possible. Ces indices de réfraction sont associés à deux ondes électromagnétiques ayant des états de polarisation. III.2. Propagation d’une onde électromagnétique polarisée rectilignement dan un milieu anisotrope. a. Rappels sur les propriétés de la lumière La lumière est une forme d’énergie, tout comme l’électricité ou la chaleur. Elle est composée de minuscules particules que l’on appelle photons et se déplace sous forme d’onde. La lumière est en fait générée par les vibrations des électrons dans les atomes. Il s’agit d’un mélange d’ondes électriques et magnétiques : on dit que la lumière est une onde électromagnétique [9].  Ses ondes électromagnétiques sont définies par son vecteur d’onde K , par son champ   électrique E qui génère son vecteur déplacement électrique D et par son champ magnétique   B qui génère son vecteur déplacement H qui correspond à l’excitation magnétique. Les      vecteurs D , H et K sont associés à la propagation de l’onde avec ( D , H ) est le plan d’onde   et ( D , K ) est le plan de polarisation. Ils forment ensembles un trièdre directe intrinsèque à     l’onde. Par contre, les vecteurs E , H et R sont associés au rayon lumineux, où R est le    vecteur de Poyting défini par la relation R E H , il nous renseigne sur la propagation de l’énergie et son module mesure, à une constante près, l’énergie du flux électromagnétique par unité de surface (Figure.I.7). 8
  8. 8. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire D E  K  H R B    D et H = plan d’onde       - E et B = plan de vibration - D et K = plan de polarisation Plan de polarisation (O, x, z) E (t = 0, z) D x yO B H z E direction de la vitesse de phase normale R rayon lumineux direction de la vitesse radiale Plan d’onde (O, x, y) Figure. I.7 9 P
  9. 9. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire α. Polarisation de la lumière La lumière naturelle est un mélange aléatoire et très rapidement variable d’onde linéairement polarisée dans toutes les directions. Polariser une onde électromagnétique  correspond à donner une trajectoire bien définie du champ électrique E . Cette trajectoire est elliptique dans le cas de la lumière naturelle. Une onde électromagnétique est dite polarisée rectilignement si son vecteur champ électrique  E est constamment parallèle à une même direction de polarisation Dp. β. Méthodes de production d’une lumière polarisée Il y a plusieurs façons d’obtenir une source de lumière polarisée, le plus simple consiste à utiliser une feuille polarisante. Cette feuille polarisante constituée de longues molécules toutes orientées dans la même direction et figées dans une matrice plastique. Ces molécules absorbent efficacement une onde lumineuse dont le champ électrique oscille parallèlement à la direction des molécules et ainsi la lumière est polarisée rectilignement. Nous allons nous intéresser à la propagation de la lumière polarisée à travers la matière. a. Interaction entre la lumière et la matière Quand un champ électromagnétique oscillant traverse un milieu matériel et excite de façon non uniforme le milieu, il crée une polarisation P non uniforme oscillant qui fait apparaître une densité de charge et une densité de courant de polarisation qui traduisent la    réponse du milieu. Cette polarisation P1 s’ajoute à la polarisation du vide Po = o E pour  donner le champ D au matériau tel que :    D = P1 + Po Dans un milieu linéaire et anisotrope, la relation entre D et E est tensorielle. On écrit : Di = ijEj 10 avec i,j = x,y,z
  10. 10. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire Avec ij est la tenseur permittivité diélectrique On définit également le tenseur des susceptibilités tel que la densité de polarisation s’écrive : Pi = Tel que : ij = 1+ ij Ej ij α. Symétrie des propriétés optique : Tenseur des indices L’optique des milieux matériels continus repose sur les équations de Maxwell macroscopiques pour décrire la propagation d’une onde électromagnétique :   rotE  B t   rotH  D t ;  divB 0  divD ; 0  A l’interieur de tel matérériau, la relation constitutive entre le vecteur induction électrique D  et le vecteur champ électrique E s’écrit :  Comme D = Avec r: o(  1 + )E alors  D =  o  E = rE permittivité diélectrique relative du matériau et o : permittivité de vide Parmi ces équations, l’anisotropie du milieu supposé linéaire se traduit uniquement par la relation suivante :  D = Où  E est le tenseur de permittivité diélectrique ; c’est un tenseur de rang 2, matrice 3*3.   Dans une base quelconque, E et D ne sont pas colinéaires on aura alors :  D 12 13 21 22 23 31 11 11 32 33  E
  11. 11. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire   Comme le travail élémentaire dW = E d D est une différentielle totale, le tenseur symétrique ce qui donne ij = ji,  la relation D = est  E fait intervenir en fait 6 constantes. Par des considérations mathématiques, il est possible de choisir un système d’axes particulier dans lequel, on peut exprimer sous la forme : 0 0 0 = 0 0 0 y x z Et par suite : x 0 0 0 y 0 0  D = 0 z  E Dans ce système les axes x, y, et z sont appelés les axes principaux ou axes de symétrie électrique du milieu et les constantes x, y et z sont les constants diélectriques principales. Comme l’indice de réfraction est donné par la relation suivante : n = r = o On peut définir également les indices principaux du milieu par : nx = x ; ny = y ; nz = o o o Et par suite, on peut réécrire : 2 nx  D = 0 0 12 0 2 ny 0 0 0 n z2 z o  E
  12. 12. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire 2 nx 0 0 0 0 Avec : 0 2 ny 0 n z2 = n 2 : Tenseur des indices β. Equation aux indices et directions privilégiées L’équation aux indices dérive des équations de Maxwell, elle permet de calculer l’indice n dans une direction repérée par les cosinus directeurs Nx, Ny, Nz de la normale au   plan d’onde. En posant k = k N , connaissant les indices n1, n2, n3 qui caractérisent le milieu anisotrope, L’équation aux indices est donné par : n12 n 2 2 1 n N x2 + 2 n2 n 2 n 2 2 2 Ny + 2 n3 n 2 2 3 n N z2 = 0 C’est une équation bicarrée en n ; elle peut donc avoir quatre racines réelles, dont seules les deux racines positives possibles nous intéressent ; ces deux racines sont en général distinctes, l’une n ' est comprise entre n1 et n2 et l’autre n '' est comprise entre n2 et n3. Pour une orientation donnée du plan d’onde, il existe deux vibrations rectilignes D’, D’’de directions rectangulaires qui peuvent se propager sans altération dans le milieu anisotrope. A ces deux vibrations correspondent deux indices n ' et n '' différents et par conséquent deux vitesse de propagation v ' = c c et v '' = '' différentes. ' n n Les deux vibrations D ' , D '' se propagent suivant des plans d’onde parallèles et elles présentent une certaine différence de phase. La vibration résultante de la composition des vibrations rectilignes D ' et D '' est en général une vibration elliptique (Figure. I.8). 13
  13. 13. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire D1 D1' D1 P1 D D D' P Figure I.8 III.3 Représentation du tenseur des indices a. Surface des indices et axes optiques Pour représenter géométriquement les variations de l’indice en fonction de l’orientation du plan d’onde, nous porterons à partir d’une origine O et dans une direction parallèle à celle de la normale à l’onde, deux longueurs ON ' et ON " égales aux deux indices n ' et n " . En répétant cette opération pour toutes les directions du plan d’onde, l’ensemble des points N ' et N " décrit une surface à deux nappes appelée surface des indices. L’intersection de la surface des indices avec un des plans de symétrie optique se compose d’un cercle dont le rayon est égal à l’indice principal de l’axe normal au plan principal considéré et d’une ellipse dont chaque demi-axe est égal à l’indice principal correspondant à l’autre demi axe. Comme la surface des indices possède deux nappes, il en résulte que leur intersection se produit en des points I, I’, J et J’ isolés de telle sorte que les directions OI et OI’ définissent les axes optiques du milieu anisotrope (Figure. I.9). 14
  14. 14. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire Z n1 n2 I’ O I n3 J’ X J Figure. I.9 Lorsque la normale N au plan d’onde coïncide avec un axe optique, les indices n ' et n " sont égaux ; les deux vibrations privilégiées D ' et D " se propagent alors à la même vitesse. Il en résulte que l’onde se conserve au cours de sa propagation. Si l’un des indices principaux est dégénéré (c.à.d. deux valeurs identiques dans le tenseur des indices), le milieu a un seul axe optique, est dit un milieu uniaxe. b. Ellipsoïde des indices et milieux uniaxes α. Ellipsoïdes des indices On peut représenter géométriquement les variations de l’indice du milieu en fonction de la direction de vibration. Pour cela on introduit l’ellipsoïde des indices : C’est la surface obtenue en partant d’une origine donnée o, dans la direction correspondant à la direction de vibration. L’équation d’ellipsoïde d’indice s’écrit sous cette forme : x2 n12 15 + y2 2 n2 + z2 =1 2 n3
  15. 15. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire Où n1, n2, n3 sont les indices principaux.  ex n1 O n3  ez n2  ey Figure. I.10: Ellipsoïde des indices β. Milieux uniaxes Dans les milieux uniaxes, deux des trois indices principaux sont égaux. Les cristaux trigonaux, tétragonaux, et hexagonaux (qui ont un axe de symétrie d’ordre Dans le cas où l’axe oz est l’axe optique, on note alors : no = nx=ny et ne = nz no : est appelé l’indice ordinaire ne : est appelé l’indice extraordinaire Le tenseur diélectrique s’écrit alors : = 16 3) sont uniaxes.
  16. 16. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire Suivant les valeurs relatives de l’indice ordinaire no et extraordinaire ne, on distingue deux cas :  Le milieu uniaxe est dit positif si ne no (exemple : le quartez)  Le milieu uniaxe est dit négatif si no ne (exemple : la calcite) La différence est appelé la biréfringence. IV. Ellipsoïde des indices dans un milieu uniaxe Dans les milieux uniaxes, deux des indices principaux sont égaux. L’équation de l’ellipsoïde des indices s’écrit : x2 y2 2 n0 + z2 n e2 = 1 Où l’axe oz est l’axe optique : no= nx= ny et ne= nz On désigne par l’indice ordinaire no la valeur commune de deux premiers indices et par l’indice extraordinaire ne la valeur du troisième indice. a. Ellipsoïde des indices, onde ordinaire et extraordinaire Une onde incidente se propageant dans un milieu anisotrope, dans une direction définie    par le vecteur d’onde K , donne lieu à deux ondes de vecteurs d’onde K et K . Ces deux ondes planes polarisées rectilignement, qui se propagent dans le milieu, se comportent différemment. On obtient une onde dite ordinaire pour laquelle l’indice de réfraction est no et les vecteurs    Do et E sont colinéaires ( Do est perpendiculaire au plan formé par la direction de propagation et l’axe optique du cristal) [5]. 17
  17. 17. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire On obtient également une autre onde dite extraordinaire pour laquelle l’indice de réfraction ne(θ) dépend de la direction de propagation, θ étant l’angle entre K et l’axe optique. Pour cet    angle, les vecteurs E et De ne sont pas colinéaire ( De est perpendiculaire au plan formée par  Do et la direction de propagation) [5]. Les directions de vibration qui peuvent se propager sans altération (pour une direction du plan d’onde) sont les directions qui correspondent aux axes de l’ellipse d’intersection du plan d’onde avec l’ellipsoïde des indices (figure. I.11). Les indices correspondants sont égaux aux demi-longueurs des axes de l’ellipse Figure .I.11 : Ellipse d’intersection entre l’ellipsoïde et le plan d’onde   Les vecteurs Do et De , sont orthogonaux, les deux vibrations se propagent à des vitesses différentes vo et ve et mettent des temps différents pour passer d’un plan d’onde à l’autre. Si ces plans sont distants de d, la différence de chemin optique est : = (ne – no) d. 18
  18. 18. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire Pour une lumière incidente de longueur d’onde o , on peut conclure que la lumière émergente d’un milieu anisotrope est polarisée elliptiquement, elle se compose de deux vibrations orthogonales Do et De déphasées, entre deux plans d’onde de : = ko = ko (ne – no) d ; où ko = 2 o a. Surface des indices dans un milieu uniaxe Tandis que la surface d’indice d’un milieu isotrope est constitue d’une sphère dont le rayon est donné par l’indice de réfraction du matériau, la surface des indices d’un milieu uniaxe se compose de deux nappes : une sphère et un ellipsoïde de révolution autour de l’axe optique. V. Construction des vecteurs d’onde et des rayons lumineux V.1. Construction relative aux vecteurs d’onde La surface des indices permet la construction des vecteurs d’ondes associés aux ondes qui se propagent dans le milieu uniaxe de la manière suivante: On trace tout d’abord au point d’incidence I le cercle de rayon n o et l’ellipse de demi- axes no et ne, puis on prolonge le vecteur d’onde incident jusqu’à l’intersection avec la surface d’air d’indice n = 1. A partir de ce point on trace une droite perpendiculaire au dioptre de séparation entre les deux milieux. Les intersections de cette perpendiculaire avec les nappes ordinaire et extraordinaire de la surface des indices donnent les deux vecteurs d’onde [5] (figure .I.12). 19
  19. 19. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire Z no ne n1 I X H H N1 Ne a.o  Ke No Figure .I.12  Ko V.2. Construction relative aux rayons lumineux La surface d’onde permet la construction des rayons lumineux comme suit : On trace tout d’abord, le cercle de rayon 1 correspondant au rayon incident provenant d’un milieu isotrope (l’air d’indice n = 1), puis on trace le cercle ordinaire de rayon d’axe 1 et l’ellipse no 1 1 et . Ensuite, on prolonge le rayon incident jusqu’à l’intersection avec le cercle no ne de rayon 1. A partir de ce point, on trace la droite perpendiculaire à ce rayon qui représente le plan d’onde incident, l’intersection de ce plan d’onde avec le dioptre de séparation détermine un point A. A partir de ce point, on trace une droite tangente à la surface des vitesses en deux points A et A ; les deux rayons ordinaire et extraordinaire issus du point A passent par ces deux points A et A [5] (figure. I.13). 20
  20. 20. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire i1 ne-1 air n1 = 1 I n1- A 1 n0- A ’ i1 1 a.0 A’ i’ e i0 Re R0 milieu uniaxe Figure.I.13 VI. Phénomène d’interférences lumineuses VI.1 Principe des interférences Le phénomène d’interférence est un phénomène ondulatoire dû à la composition de vibrations cohérentes (c'est-à-dire présentant une différence de phase constante) et de même longueur d'onde. Les interférences s'expliquent en terme de déphasage ou de différence de marche entre deux rayons cohérents arrivant au même point ; les interférences destructives (les amplitudes des deux ondes qui s’interférent se retranchent) se produisent lorsque la différence de marche est égale à une demi-longueur d'onde (à un nombre entier de longueur d'onde près) ; les interférences sont constructives(les amplitudes des deux ondes qui s’interférent s’ajoutent au point considéré) lorsque la différence de marche est égale à la longueur d'onde (à un nombre entier de longueur d’onde près) [10]. La lumière est composée de plusieurs radiations de fréquences différentes, chacune de ces radiations donne un système de franges. Pour observer ces franges avec un bon contraste sur une surface de localisation déterminée, nous utilisons en général une lumière cohérente laser. 21
  21. 21. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire VI.2 Les lames cristallines Pour produire une lumière de polarisation bien déterminée, nous utiliserons des lames découpées dans des feuilles plastiques transparentes qui tout en étant moins fragiles et moins coûteuses se comportent comme des lames cristallines à faces parallèles taillées parallèlement à l'axe optique d'un cristal uniaxe. a. Les lignes neutres d’une lame cristalline Le faisceau incident se propage dans l’air donne naissance, en pénétrant dans la lame, à deux faisceaux qui se propagent aux vitesses de phase vo et ve. Ces faisceaux sont polarisés linéairement selon des directions de vibration Do et De orthogonales.Ces deux directions des vibrations sont appelées lignes neutres de la lame b. Repérage des lignes neutres de la lame Pour déterminer les lignes neutres de la lame, on introduit entre polariseur et analyseur croisés d’axes connus la lame et on la fait tourner dans son plan jusqu’à l’extinction. On déduit que les directions du polariseur et de l’analyseur sont précisément les directions des lignes neutres. c. Axe rapide et axe lent Un matériau biréfringent présente un axe privilégié appelé axe optique (c'est un matériau anisotrope). Or la polarisation de la lumière peut être décomposée en deux composantes : chaque composante ne se propage pas à la même vitesse selon qu'elle est parallèle ou perpendiculaire à l'axe optique. Ceci permet de définir deux axes particuliers de la lame : l'axe lent et l'axe rapide. Pour un milieu uniaxe positif l’onde ordinaire se propage plus rapidement que l’onde extraordinaire puisque ne no ce qui donne vo ve. On en déduit alors que l’axe rapide correspond à l’axe de la vibration ordinaire et l’axe lent correspond à l’axe de la vibration extraordinaire. Au contraire, pour un milieu uniaxe négatif les axes sont inversés. VII.2. Lame taillée parallèlement à son axe optique Le plus souvent, la lumière incidente tombe sous incidence normale et l’axe optique de la lame est perpendiculaire à la direction incidente. Considérons une onde polarisée rectilignement qui tombe sous incidence normale sur une lame cristalline taillée parallèlement à son axe optique (figure .I.14). 22
  22. 22. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire P Axe optique De Eo Ee Ro Ro Re Do EO P A e Milieu uniaxe négatif Figure .I.14: Lame taillée parallèlement à son axe optique Pour caractériser la polarisation des vibrations qui émergent de la lame, on utilise comme système d’axes les deux lignes neutres.   Notons par OX la direction extraordinaire pour laquelle l’indice est ne et OY la direction ordinaire pour laquelle l’indice est no (figure. I.15). 23
  23. 23. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire Y (no) P P X(ne) Figure. I.15 l’angle entre la direction de la vibration rectiligne incidente avec l’une de lignes Soit neutres.  A l’entrée de la lame, le vecteur D de la vibration a pour composantes : X = Dm cos cos t Y = Dm sin cos t A la sortie de la lame, on a : X = Dm cos cos ( t Y = Dm sin cos ( t La différence de phase e) o) entre les deux vibrations est: = o - e = 2 e(no ne ) Si on change l’origine du temps, on obtient : X = Dm cos cos t Y = Dm sin cos ( t - ) 24
  24. 24. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire  L’extrémité du vecteur D décrit une ellipse d’équation : X2 cos2 2 Dm Y2 sin 2 2 Dm 2 XY cos 2 Dm cos sin 1 Caractéristique de la polarisation elliptique de l’onde émergente. VII.3. Interférences des vibrations issues d’une lame cristalline Dans cette étude, nous considérons le cas d’une lame biréfringente à faces parallèles taillée parallèlement à l’axe optique de la lame. Pour mettre en évidence le phénomène d’interférence entre les deux vibrations qui émergent, on place à la sortie de la lame un analyseur qui permet la projection de deux composantes parallèles.   On définit par OX et OY les directions de polarisation des vibrations transmises et par et les angles formés par la vibration polarisée rectilignement avec l’une des lignes neutres de la lame (figure .I.16). Y A P X Figure .I.16 L’étude de la composition des vibrations orthogonales permet de décomposer la vibration incidente en deux vibrations de composantes : X = Dm cos t Y = Dm cos ( t - (t)) Où (t) n’est définie que pendant le temps de cohérence . 25
  25. 25. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire Après la traversée de lame : X = Dm cos t Y = Dm cos ( t - (t) - ) L’intensité observée est donc : I= OR2 = X2 + Y2 = 1 2 ( Dm 2 2 Dm ) 2 Dm indépendant de Deux vibrations perpendiculaires ne peuvent donc pas interférer. Pour observer des interférences, il est nécessaire de les recombiner avec un analyseur A (figure II.6). Après l’analyseur l’amplitude devient : A = Dm cos cos t + Dmsin cos ( t - (t) - ) Et l’intensité : I= 1 2 Dm cos2 2 1 2 Dm sin 2 2 2 Dm sin cos  cos( (t ) (t ) varie de façon aléatoire pendant la durée d’une observation : < cos( (t )  ) > = 0, il n’y a pas donc interférence. Il est nécessaire de placer devant la lame un polariseur P. Après ce polariseur on obtient une vibration rectiligne d’amplitude : ' Ap = Dm cos t (t ) où (t ) n’est définie que pendant le temps de cohérence . En décomposant la vibration P suivant X et Y on obtient après la lame une vibration de composantes X et Y égales respectivement à : ' X = Dm cos cos( t (t )) ' Y = Dm sin cos( t (t ) ) Après l’analyseur l’amplitude de la vibration est : ' A = Dm cos cos cos( t 26 (t )) sin sin cos( t (t ) )
  26. 26. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire Et l’intensité observée I est donnée par : I = <A2> Dm2 cos 2 2 cos 2 sin 2 sin 2 2 sin sin cos cos cos Comme l’intensité I dépend de , on peut la mettre sous la forme : I= Dm2 (cos2 2 cos2 sin 2 = I0 1 + C cos sin 2 ) 1 2 sin cos sin cos sin 2 sin 2 cos2 cos2 cos Dm2 2 avec I0 = On définit le contraste C par l’expression suivante: 2 sin cos sin cos sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 C = VII.4 Interprétation On peut distinguer deux cas extrêmes suivant la valeur du contraste C. a. Contraste C= 1 Si cos( 0 , soit ) 2 et l’on a alors : I = I est maximum si sin 2 2 1, soit 2 Dm2 sin 2 2 (1 cos ) 2 2 donc 4 et 4 Le contraste est égal à 1 si le polariseur et l’analyseur sont parallèles et à 45o des vibrations transmises. b. Contraste C= -1 Si cos ( ) 0 , soit 2 et on a alors : I = 27 Dm2 sin 2 2 (1 cos ) 2
  27. 27. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire I est maximum si sin 2 2 1 , soit 2 2 donc 4 et 4 Le contraste est égal à -1 si le polariseur et l’analyseur sont perpendiculaires et à 45o des vibrations transmises qui donnent des intensités complémentaires I1 et I2 dont la somme permet de restituer l’intensité incidente I = I1+I2 c. Conclusion Quelque soit la position des nicols, croisés ou parallèles, on a toujours un phénomène d’interférence. VIII. Orientation de l’échantillon VIII.1 Orientation hométropes a. Définition Orienter un cristal liquide colonnaire hexagonale revient à imposer une direction donnée à son axe cristallographique principale [25,26]. On désigne par orientation homéotrope, le cas ou l’axe des colonnes est perpendiculaire au plan des lames (figure I.17). En faisant tourner l’échantillon dans son plan entre analyseur et polariseur croisés. L’observation de la lumière transmise donne toujours extinction. Figure I.17: Orientation homéotrope b. Etude optique Considérons une onde plane de polarisation rectiligne qui tombe normalement aux faces d’une lame cristalline anisotropes dont l’axe optique est perpendiculaire à ses faces. La 28
  28. 28. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire construction utilisent les vecteurs d’onde (appelée aussi construction d’Huygens), appliquée aux deux nappes de la surface d’onde, permet de trouver un seul rayon réfracté (figure I.17). a.o 1 P 1 ne Eo 1 no Ro Eo Eo Ro Ro P Figure I.18 A : Construction du rayon réfracté dans le cas d’une orientation homéotrope Ce rayon est qualifié d’ordinaire et sa polarisation est celle de l’onde incidente. D’après la construction, on a toujours extinction total lorsqu’on interpose un nicol analyseur croisé avec un nicol polariseur, quelle que soit l’orientation de la lame autour de son axe optique, la lame se comporte comme un milieu isotrope. c.Réalisation expérimentale L’orientation homéotrope est réalisée par une technique basée sur la descente lente de la température à partir de la phase isotrope. On diminue la température à raison de 0.01°C/min jusqu'à l’apparition du premier germe. On continue à abaisser la température très lentement jusqu'à l’orientation homéotrope complète. Lorsque l’abaissement de la température se fait de manière rapide on remarque l’apparition de plusieurs grains désorientés pour les fortes épaisseurs . Si l’épaisseur est faible on remarque que l’orientation est systématique même si la transition liquide isotrope C.L se fait d’une à un fort gradient thermique. 29
  29. 29. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire VIII.2 Orientation planaire a. Définition L’orientation est dite planaire dans Le cas ou l’axe des colonnes est parallèle aux plans des lames. Le cristal liquide donne une extinction pour 4 positions de l’échantillon, obtenues par rotations successives de 90° à partir d’une première position d’extinction (figure .I.19) [27]. Figure. I.19 : Orientation planaire b. Etude optique Considérons une lame cristalline anisotrope dont l’axe optique est parallèle à ces faces, soit une onde plane polarisée rectilignement qui tombe normalement aux faces de la lame. D’après la construction d’Huygens, l’onde transmise est formée par deux rayons confondus, l’un ordinaire et l’autre extraordinaire. Chacun des deux rayons transporte une vibration de polarisation rectiligne (figure. I.20). 30
  30. 30. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire P a.o De Eo Ee Ro Re Ro Do E o P A Figure. I.20 : Construction des rayons réfractés dans le cas d’une orientation planaire c. Réalisation expérimentale L’orientation planaire d’un cristal liquide colonnaire hexagonale est obtenue par cisaillement d’un échantillon orienté homéotrope. Pour cela on utilise une cellule adaptée. L’amplitude des cisaillements successifs séparés par des périodes de recuit d’une dizaine de minutes, en moyenne, montre que l’axe des colonnes est parallèle à l’axe de cisaillement. 31
  31. 31. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide colonnaire 32

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