Matemática 9no Básica

MÓDULO DE MATEMÁTICA
9no
DE BÁSICA
Nombre: …………………………………………………………
Curso: …………………………………………………………..
Especialidad: …………………………………………………

Colegio Particular a Distancia
“Continental”
Acuerdo Ministerial Número Nº 0002185
MATEMÁTICA – NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 2
CONTENIDOS
LECCIÓN Nº1. NÚMEROS RACIONALES “Q” E IRRACIONALES “I” (PAG. 7)
Definición de Números Racionales “Q”
Orden y comparación de los Números Racionales
Representación decimal de los Números Racionales
Definición de Números Racionales “I”
Representación de los Números Irracionales en la recta
LECCIÓN Nº2. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES (PAG. 15)
Adición y Sustracción de Números Racionales
Multiplicación de Números Racionales
División de Números Racionales
Potenciación de Números Racionales
Radicación de Números Racionales
LECCIÓN Nº3. NÚMEROS REALES “R” (PAG. 24)
Definición
Representación en la recta numérica
Orden y Comparación de Números Reales
Adición y Sustracción de Números Reales
División de los Números Reales
Operaciones Combinadas
LECCIÓN Nº4. POTECIACIÓN Y RACIONALIZACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES (PAG. 34)
Potencias de base real y exponente entero
Propiedades de la potenciación
Potencias de base real con exponente racional
Raíz enésima
Propiedades de la radicación
Simplificación de radicales
Racionalización del denominador de una fracción

“Continental”
LECCIÓN Nº5. POLINOMIOS (PAG. 45)
Términos de un Polinomios
Características de los Polinomios
LECCIÓN Nº6. OPERACIONES CON POLINOMIOS (PAG. 53)
Adición de Polinomios
Sustracción de Polinomios
Signos de Agrupación
Combinación de Suma y Resta de Polinomios
LECCIÓN Nº7. OPERACIONES CON NÚMEROS POLINOMIOS (PAG. 64)
Multiplicación de Monomios
Multiplicación de un Monomio por un Polinomio
Multiplicación de Polinomios
Simplificación de expresiones que incluyen productos
LECCIÓN Nº8. PRODUCTOS NOTABLES (PAG. 76)
Definición
Cuadrado de la suma de dos términos
Cuadrado de la diferencia de dos términos
Cuadrado de un Trinomio
Producto de la suma por la diferencia de dos expresiones
Producto de expresiones de la forma (x+a)(x+b)
Cubo de la suma de dos términos
Cubo de la diferencia de dos términos
LECCIÓN Nº9. DIVISIÓN Y PRODUCTOS NOTABLES (PAG. 87)
División de expresiones algebraicas
División de Monomios
División de un Polinomio para un Monomio
División de un Polinomio para otro Polinomio
División Sintética o Regla de Ruffini
Cocientes Notables
LECCIÓN Nº10. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES (PAG. 99)

“Continental”
Factores
Factor Común
Factor Común por Agrupamiento.
Relaciones Binarias
Trinomios Cuadrados Perfectos
Diferencia de dos Cuadrados
Combinación de Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados
Cuadrados Perfectos Incompletos
Trinomios de la forma x2
+ px + q
Trinomios de la forma mx2
+ px + q
Suma de Potencias de Exponente Impar
Diferencia de Potencias de exponente Impar
Suma o Diferencia de Potencia de Exponente Par
Polinomios que contienen factores de la forma x + a
LECCIÓN Nº14. ECUACIONES (PAG. 133)
Ecuaciones
Solución de una Ecuación
Resolución de Ecuaciones
Clases de Ecuaciones
Fórmulas
El Lenguaje Algebraico.
LECCIÓN Nº15. ECUACIONES (PAG. 145)
Planteamiento y Resolución de Problemas
Problemas que se refieren a números
Problemas que se refieren a Edades
Problemas que se refieren cuerpos en movimiento
Problemas que se refieren a porcentajes

“Continental”
LECCIÓN Nº16. DESIGUALDADES E INECUACIONES (PAG. 153)
Desigualdades
Inecuaciones
Inecuaciones de Primer Grado
Mediatriz
LECCIÓN Nº17. GEOMETRÍA (PAG. 162)
Teorema de Pitágoras
Polígonos Regulares
Área de Polígonos Regulares
Segmentos Notables en Pirámides y Conos
Ángulos Notables
Cálculo del Área del Prisma y Cilindro
LECCIÓN Nº20. ESTADÍSTICA (PAG. 187)
Medidas de Tendencia Central
Diagramas de Tallo y Hoja

“Continental”
OBJETIVOS
 Aplicar las operaciones básicas, la radicación y la potenciación en la
resolución de problemas con números enteros, racionales e irracionales
para desarrollar un pensamiento crítico y lógico.

“Continental”
LECCIÓN Nº1
NÚMEROS RACIONALES “Q” E IRRACIONALES “I”
Destrezas con criterio de desempeño
- Comprender el concepto de los de los números racionales e irracionales.
- Conocer la forma de ordenar y de comparar los números racionales e irracionales.
DEFINICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES “Q”
El conjunto de números racionales es , 0 .
a
Q a b Z y b
b
 
   
 
Donde a y b son números enteros y b ≠ 0. El número a se llama numerador y el número b se llama
denominador. Los números racionales, pueden denotarse mediante una fracción o mediante expresión
decimal. Así pues el conjunto de los números racionales surge al añadir al de los enteros las llamadas
fracciones. Es inmediato que cualquier número entero a Z , es también racional, ya que
1
a
a Q 
Debemos tomar en cuenta que un número racional puede ser representado por diferentes fracciones, las
cuales son equivalentes entre sí. Esto se deduce de la propiedad que dice que si el numerador y el
denominador de una fracción se multiplican o dividen por el mismo número entero no nulo, la fracción
obtenida es equivalente a la primera. Normalmente, para representar un número racional se utiliza una
fracción irreducible, que es aquella cuyo numerador y denominador no son divisibles entre sí, es decir
son números primos entre sí.
Representación en la recta numérica. A cada número racional le corresponde un único punto en la recta
numérica. Ejemplo: Representar
9 3
4 4
y  en la recta numérica:
ORDEN Y COMPARACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES

“Continental”
En la recta numérica es mayor aquel número ubicado más hacia la derecha. Ejemplo: Tomando en
cuenta el ejemplo anterior podemos decir entonces que:
9 3
4 4
 
Ya que
9
4
está más a la derecha que
3
4
 .
Cuando se tiene dos números fraccionarios, puede ocurrir que sean iguales o desiguales. Al ser
desiguales pueden presentarse los siguientes casos:
1. Que los dos números dados sean positivos, en cuyo caso es mayor el que tiene mayor valor
absoluto. Ejemplo:
4 2 4 2
4 3 5 2
5 3 5 3
porque dado que    
2. Que los dos números dados sean negativo, en cuyo es mayor el que tiene menor valor absoluto.
Ejemplo:
2 1 2 1
2 4 13 1
13 4 13 4
porque dado que       
REPRESENTACIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Cualquier número racional se puede expresar como un número entero o decimal sin más que hacer la
división entre el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan.
Según el tipo de expresión decimal obtenida los números racionales se clasifican como sigue:
Número entero: no tiene ninguna cifra decimal, es decir, la división entera (sin sacar cifras
decimales) entre el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones que lo
representan es exacta. Ejemplo:
8 25 88
2 ; 5 ; 11
4 5 8
  
Número decimal: tiene alguna cifra decimal, es decir, la división entera entre el numerador y el
denominador de cualquiera de las fracciones que lo representan no es exacta. Según el número
de cifras decimales se distinguen:

“Continental”
 Número decimal finito o exacto: tiene un número finito de cifras decimales, es decir, al
realizar la división entre el numerador y el denominador se obtiene residuo cero. Ejemplo:
16 3 93
3,2 ; 0,6 ; 9,3
5 5 10
  
 Número decimal periódico: tiene un número infinito de cifras decimales, pero hay un bloque
de ellas llamado periodo que se repite indefinidamente y que se representa bajo el símbolo
“⌒”. Ejemplo:
1,213 ; 67,601 ; 0,923
Los números decimales periódicos pueden ser también:
Número decimal periódico puro: el periodo aparece inmediatamente después de la coma
decimal. Ejemplo: 3,67
Número decimal periódico mixto: el periodo no aparece inmediatamente después de la coma
decimal. Ejemplo: 21,56
DEFINICIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES “I”
Además de las expresiones decimales exactos y periódicos, existen otras con infinitas cifra decimales las
cuales no se repiten periódicamente.
Ejemplo:
La expresion0, 101001000100001000001000000… no tiene un bloque de cifras decimales que se repita
indefinidamente, de modo que no existe un numero racional que tenga dicha expresión decimal.
Los números √2 y π son ejemplos de números irracionales, pues tienen una expresión decimales infinita
no periódica.
El numero π se lo utiliza generalmente para calcular la longitud de la circunferencia y se expresa en
forma decimal no periódica como π=3,141592654…
Aunque estos números no se pueden expresar de la forma
𝑎
𝑏
, con b≠0,
En la práctica se utiliza una aproximación que corresponde a un número decimal exacto con un valor
muy cercano al de ellos.
Ejemplo:

“Continental”
Para√2 se utiliza 1,41 y para π se utiliza 3,14 o 22/7
REPRESENTACION DE LOS NUMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA
A los puntos de la recta numérica que no les corresponde un número racional, les corresponde un
número irracional. Esto significa que los números racionales y los números irracionales ocupan la recta
numérica en toda su extensión.
Ejemplo:
Representa √2 en la recta numérica.
Puesto que √2 = 1,414213…, se puede verificar que √2 esta comprendido entre los números 1,41 y
1,42.

“Continental”
LECCION Nº 1
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. Investigar si todo número decimal periódico se pueden expresar como una fracción:
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Racional: ……………………………………………………………………………………………………………………………………..
Irracional:………………………………..…………………………………………………………………………………………………
Decimal periódico:………………………………………..……………………………………………………………………………
Equivalente: …………………………………………………………………………………………………………………………
Recta Numérica:…………………………………………………………………………………………………………………………

“Continental”
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
COMPARACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Entre 2 números enteros iguales
Si los dos son positivos
Es Es
MAYOR
El que el que
Valor absoluto tenga

“Continental”
CUESTIONARIO
1. Escribe la lectura de las siguientes fracciones:
2
8
9
23

33
42
7
25
49
11

3
210
2. Indicar que fracción representan los siguientes gráficos:
3. Determina si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes o no, si lo son explique por
qué:
12 4
9 3
y
5 10
6 8
y
14 2
47 7
y
4. Escribe los signos <, > o =, según corresponda. Escriba su desarrollo:
2 4 6 3
.... ....
7 28 4 2
1 3 1 7
.... ....
4 12 5 3
2 1 8 4
.... ......
9 3 3 5
   



“Continental”
5. Determina cuales de los siguientes números son irracionales:
a. √6
b. 2,555555555
c. √100
d. 3,14159254….
e. π
f. √8
6. Con la ayuda del compás y una regla, dibuja en la recta numérica la aproximación del número
irracional √2.
Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante Fecha

“Continental”
LECCIÓN Nº2
OPERACIÓNES CON NÚMEROS RACIONALES
- Comprender los conceptos de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y
radicación de los de los números racionales.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la adición, sustracción,
multiplicación, división, potenciación y radicación de los números racionales.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
La adición de números racionales con igual denominador es un número racional con el mismo
denominador y cuyo numerador es igual a la suma de los numeradores. Ejemplo:
1 3 6 2 3 ( 6) 5
7 7 7 7 7
        
 
Para sumar números racionales con distintos denominadores, se expresan los mismos en un mismo
denominador y luego se suman sus denominadores.
Para realizar la sustracción de dos números racionales se suman el primero con el opuesto del segundo,
es decir, es decir se realiza una suma entre estos dos números.
Siempre que se realizan operaciones entre números racionales se debe simplificar el resultado. Ejemplo:
4 7 3 (4)(4) (7)(3) (6)(3) 16 21 18 13
3 4 2 12 12 12
   
    
Operaciones combinadas: Ejemplo:

“Continental”
6 3 1 1 5
1 2
14 10 3 6 9
30 21 1 6 1 5
1
70 3 6 9
51 5 1 5
1
70 3 6 9
51 5 1 5
1
70 3 6 9
51 18 30 3 10 51 41 51 41 459 1435 976
70 18 70 18 70 18 630 630
              
    
              
    
         
  
      
 
                 
   
488
315
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
El producto de dos números racionales es otro número racional cuyo numerador es el producto de los
numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los
denominadores.
4 1 5 4 1 5 20
3 8 7 3 8 7 168
 
   
 
En la multiplicación de fracciones, por conveniencia se acostumbra a simplificar los factores del
numerador con otros del denominador. Ejemplo:
1 2
33
3 10 3 10 1 2 2
15 9 15 9 3 3 9
  
   
  
DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

“Continental”
Si a es un numerador racional diferente de cero, el inverso multiplicativo o recíproco de a es
1
a
, de tal
manera que
1
1a
a
 
Para obtener el inverso de un número, basta intercambiar el numerador por el denominador. Ejemplo:
2 3 2 3
1
3 2 3 2
es el inverso multiplicativo de porque         
  
El cociente de dos números racionales es el producto del primero por el inverso multiplicativo del
segundo. Ejemplo:
5 1 5 3
5
3 3 3 1
              
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.
La potencia enésima de un número racional
a
b
, es el producto de n factores iguales a
a
b
.
...
...
...
n n
n
a a a a a a a a
b b b b b b b b
              
Ejemplo:
3
2 2 2 2 8
3 3 3 3 27
                     
       
Regla de los signos. La potencia de exponente par lleva signo positivo y la potencia de exponente impar
lleva el mismo signo de la base.
Ejemplo:

“Continental”
2
3
2 2 2 4
5 5 5 25
1 1 1 1 1
4 4 4 4 64
               
     
                     
       
Potencias con exponente negativo. Un número racional elevado a un exponente negativo, es igual al
inverso del número racional elevado al exponente dado pero con signo positivo.
n n
a b
b a

      
   
RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.
Raíz enésima de un número racional llamado radicando, es otro número racional llamado raíz que,
elevado a la potencia enésima es igual al mismo radicando. Ejemplo:
33
3
3
27 27 3 3 27
135 5 5 135135
porque     
 
Al igual que en los números enteros para la radicación de los números racionales se debe tomar en
cuenta lo siguiente:
1. Si el índice es impar, la raíz tiene el mismo signo del radicando.
2. Si el índice es par, y el radicando es positivo, la raíz es un número positivo.
3. Si el índice es par y el radicando es negativo, la raíz no es posible en ese conjunto de números
racionales.
Ejemplos:
3 4
1 1 1 1
; 2 ;
8 2 16 9
no es posible   

“Continental”
LECCION Nº 2
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. Averiguar acerca de las propiedades asociativa, conmutativa, y modulativa en la adición de
números racionales, escriba un ejemplo.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Adición:…………………………………………………………………………………………………………………………….……………….
Sustracción: …………………………………………………………………………………………………………………………………
Homogéneo:……………………………………………………………………………………………………………..………………………..
Heterogéneo:….……………………………………………………………………………………………………………..……………………
Racional: …………………………………………………………………………………………………………………..………………….

“Continental”
ADICION Y SUSTRACCION
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
De 2 números racionales
Homogéneos es otra función cuyo: Heterogéneos es necesario
Es
En un
y el
RESUMO

“Continental”
CUESTIONARIO
1. Adiciona los siguientes número racionales:
8 7 6 3
5 5 5 5
4 12 8 5
7 7 7 7
2 3
8 12
5 3 7
4 6 5
2 5 3
7 8 4
1 2
3 ( 0,2)
8 5
1 2 1
2 ( 1,2)
3 3 2
1 1 1
1 2 ( 1,5) 2 3
4 2 3
               
     
               
     
 
     
 
     
 
   
       
 
         
 

“Continental”
2. Efectúa la sustracción, según se indica:
3 1
5 4
12 13
e
5 15
7 9
4 7
7 1
Re
9 4
De resta
R sta de
De resta
sta de



 
3. Calcula el valor de la expresión:
1
7
4
3
5
7
3 1 5
1
5 2 4
1 5
4 3 0,8
2 3
3 9
10 5 2
5 4
 
  
    
   
           
   

“Continental”
4. Comprueba que el valor de la expresión es :
11
2
4 1 8 5
2 4 6
3 2 3 3
           
  
5. Grafica (pinta) la sustracción:
1 1 1
2 3 6
 
6. En una fiesta de aniversario, María se ha comido la tercera parte de la torta, Laura la cuarta
parte y Diana la sexta parte, y sobró 1/7 de la torta. ¿Es cierto? ¿Por qué?
7. En cierto instituto ecuatoriano, 5/12 de los alumnos estudian químico y el 30% estudian
matemáticas. ¿Qué asignatura tiene más acogida?

“Continental”
LECCIÓN Nº3
NÚMEROS REALES “R”
- Comprender el concepto de los de los números reales.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la adición sustracción,
multiplicación y división de los números reales.
DEFINICIÓN
El conjunto formado por los números racionales y los números irracionales recibe el nombre de conjunto
de los números reales R. Esto es, R = Q ᴜ I.
Los números reales llenan la recta por completo. A cada número real le corresponde un punto en la
recta y a cada punto en la recta le corresponde un número real.
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
Los números reales se representan en una recta donde se ubica primero el cero; luego los números
enteros y posteriormente los demás números.
Los números positivos van hacia la derecha del cero y los números negativos a la izquierda. Ejemplo:
Esta recta numérica tiene representados varios números reales y toma el nombre de recta real.

“Continental”
ORDEN Y COMPARACION DE NUMEROS REALES
En la siguiente recta numérica:
El número m está localizado a la izquierda de p; por lo tanto; m es menor que p: m<p ó p es mayor que
m: p>m. Ejemplo: – 3 está a la izquierda de – 1 entonces:
3 1 1 3ó   
Para ordenar números reales, se debe tomar en cuenta que:
Todo número positivo es mayor que todo número negativo. Ejemplo: 4 8  
Entre dos números reales positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Ejemplo: entre
5 2 5 2 5 2y y  
Entre dos números reales negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. Ejemplo: entre
6 3 6 3 3 6 6 3y y ó        
Al comparar dos números reales a y b se puede presentar una y solo una de las posibilidades:
a ˃b a = b a < b
Ejemplo:
5 ˃ - 3 8 + 2 = 2 x 5 - 8 < - 2
OPERACIÓNES CON NÚMEROS REALES
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES
Si a, b, c, d є R su suma está dada por:
( )a b c a b d    
Para sumar números reales, se deben recordar los siguientes procesos:

“Continental”
4 3 7 5 ( 2) 5 2 3        
1 4 5 2 1 8 3 5
2 2 2 3 4 12 12
 
     
0,5 1,26 1,76 0,75 ( 0,2) 0,55    
1 3
1 0,75 0,75 1,5 0,75 2,25
2 2
     
Sustraer dos números reales significa adicionar el inverso aditivo del sustraendo, es decir:
2 7 2 ( 7) 5    
PROPIEDAD OPERACIÓN ADICION MULTIPLICACION
Clausurativa Si a y b son números
reales, entonces
a + b es un numero real
Si a y b son números reales,
entonces a x b es un número
real
Conmutativa Si a y b son números reales
entonces,
a + b = b + a.
Si a y b son números reales,
entonces
a x b = b x a
Asociativa Si a, b y c son números
reales,
entonces
(a + b ) + c = a + ( b + c).
Si a, b y c son números reales
entonces,
(a x b ) c = a ( b x c ).
Modulativa Existe el número real 0,
modulo de la adición, tal que
para todo número real se
cumple:
a + 0 = 0 + a = a
Existe el número real 1,
modulo de la multiplicación
tal que para todo número real
se cumple:
a x 1 = 1 x a = a.
Del inverso Si a es un numero real, existe
–a que pertenece a los reales,
llamado el inverso aditivo u
opuesto de a, tal que
a + (- a) = (- a) + a = o
S i es un numero real, existe
1
𝑎⁄
llamado el inverso
multiplicativo
o reciproco de a, tal que
a ˙ (1
𝑎
) = (1
𝑎
) ˙ a = 1
Distributiva de la
multiplicación del producto
con respecto a la adición.
Si a, b y c son números reales,
Entonces a ˙ ( b + c ) = a ˙ b + a ˙ c.

“Continental”
DIVISION EN LOS NUMEROS REALES
La división entre números reales se cumple de la misma manera que en los números racionales
∀ a, b, c ∈ R y b ≠ 0 ⇒ ( 𝑎
𝑏
) = c
Ejemplo:
Resuelve las siguientes operaciones con aproximación a centésimas:
0,97 ÷ (1
2
) ≈ 0,98 ∙ 2 ≈ 1,96 45,4545 ÷ (2
3
) ≈ 45,46 ∙ (3
2
) ≈ 68,19
↑ ↑ ↑ ↑
inverso inverso
PROPIEDADES DE LA DIVISION EN LOS NUMEROS REALES.
PROPIEDADES EJEMPLO SIMBOLICAMENTE
CLAUSURATIVA (√8 ÷ √3 ) є R y b ≠ 0 ⇒
𝑎
𝑏
= c Para todo a, b ∈ R y b ≠0⇒(a÷b) ∈ R
MODULATIVA √7 ÷ 1 = √7 Para todo a ∈ R, existe 1 ∈ R /a÷ 1= 1
ELEMENTO ABSORVENTE 0 ÷ √10 = 0 Para todo a ∈ R, 0 ÷ a = 0
ELEMENTO INVERSO 4
7
÷
4
7
=
4
7
∙
7
4
= 1 Para todo a ∈ R con a ≠ 0 existe el
numero real
1
𝑎
tal que a÷a = a ∙
1
𝑎
= 1
DISTRIBUTIVA (√6 + √3 ) ÷ √2 =
( √6 ÷ √2 ) + ( √3 ÷ √2 )
Para todo a, b, c ∈ R, si c ≠ 0
( a + b ) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c.
OPERACIONES COMBINADAS.
Para resolver operaciones combinadas con numerus reales se realizara lo siguiente:
 Se expresaran los números reales como números decimales finitos aproximándolos, según
indiquen al decimo, centésimo, etc.
 Se calcularan primero los productos y cocientes, y luego las sumas y restas en el orden que
aparezcan.
 Si existen operaciones dentro de paréntesis, corchetes y llaves, estos se eliminaran realizando las
operaciones que están dentro de ellos: primero, el paréntesis; luego, los corchetes; y, al final las
llaves.
Resuelve aproximando a las centésimas.
1. Expresa los números 2∙ 𝜋 + 0,54 ÷ 1 /11 - (2,03 + 0,20)
en forma decimal: 2∙ 3,14 + 0,54÷ 0,09 - (2,03 + 0,20) =

“Continental”
2. Calcula los productos 2 ∙ 3,14 + 0,54 ÷ 0,09 – 2,23 =
Y cocientes:
3. Resuelve la operación del paréntesis: 6,28 + 6 – 2,23 =
4. Calculas las sumas y diferencias: 12,28 – 2,23 = 10,05

“Continental”
LECCION Nº 3
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Sumar el inverso aditivo es sumar el número opuesto?, explique por qué y escriba un ejemplo.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Adición:………………………………………………………………………………………………………………….………………………….
Sustracción: …………………………………………………………………………………………………………………………………
Inverso aditivo:…………………………………………………………………………………………………………….……………………..
Clausurativa:….……………………………………………………………………………………………..……………………………………
Modulativa: ……………………………………………………………………………………………………………….……………….

“Continental”
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Números Reales
Conjunto formado por
Operaciones con números reales
Adición Multiplicación
P. Asociativa

“Continental”
CUESTIONARIO
1. Efectúa las siguientes operaciones:
4 5,26 36 2,16
1 3
8 5,25
3 4
8 12 1
25
4 7 9
1
4,26 100 4
16
    
      
 
    
    
2. Escribe el signo >, < o = entre cada par de operación es:
1
( 5) 3 3 3 3 3 6
3
2 2 2 5 5 2 2
  
 
3. Representa en la recta numérica los siguientes números, utilizando el procedimiento
estudiado.
1 2
8 2
2 2




“Continental”
4. Nombra la propiedad aplicada en cada uno de los siguientes ejercicios:
1 1
1
2 2
0 7 0
1 1 1 7
6 7 2
3 3 9 3
( ) 5
5 5 5
a b c
a b c
 
 
       
 
     
5. Resuelve los siguientes ejercicios:
6 3
6
5 4
1
2 ( 0.75)
4
3 5
2 4 5 0,75
4 5
4 0,5
2 1 2
5 3 3
    
   
         

 
 

“Continental”
  
3 2 3 2
7 14
11 4 5 1 1 1 1 5 1
40 3 8 4 0,4 10 5 34 4
8 2 8 8 5
    
       
   
            
    
        

“Continental”
LECCIÓN Nº4
POTENCIACIÓN Y RACIONALIZACIÓN DE NÚMEROS REALES
- Comprender el concepto de la potenciación y racionalización de los números reales.
- Conocer la forma de resolver los problemas relacionados con la potenciación y racionalización de
los números reales.
POTENCIAS DE BASE REAL Y EXPONENTE ENTERO
 Caso 1. Potencias con exponente entero positivo 𝑎 𝑛
= a ∙ 𝑎 ∙ … 𝑎 ∙
n factores
 Caso 2. Potencias con exponente entero negativo: 𝑎−𝑛
=
1
𝑎𝑛
; a ≠ 0
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION EN R
Producto de potencias de igual base
Si a є R; m, n ∈ Z, entonces: m n m n
a a a 
 
Cociente de potencias de igual base
Si a є R; m, n ∈ Z, entonces:
m
m n
n
a
a
a


Potencia de potencia
Si a є R; m, n ∈ Z, entonces:  nm mn
a a 

Potencia de un producto
Si a, b є R; m, n ∈ Z, entonces: ( )n n n
a b a b  
Potencia de un cociente
Si a, b є R; m, n ∈ Z, entonces:
n n
n
a a
b b
   
 
Potencia de exponente cero

“Continental”
Si a є R; a ≠ 0, entonces: 0
1a 
Potencia de exponente 1
Si a є R; entonces: 1
a a
POTENCIAS DE BASE REAL CON EXPONENETE RACIONAL
Cuando el exponente de una potencia es un número racional, la potencia se convierte en una raíz.
Ejemplo:
La expresión
1/2
4 equivale a la expresión
2 1
4 4
La expresión 2/3
5 equivale a la expresión 3 2
5
Es importante anotar que los exponentes racionales satisfacen todas las propiedades de los exponentes
enteros. Únicamente se aplican las restricciones conocidas sobre la existencia de radicales.
Ejemplo: 3 2 3
8 64 4 
RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES
RAÍZ ENÉSIMA
La raíz cúbica de 8 es 2, porque el cubo de 2 es 8. En general la raíz enésima de un número a es un
número b, sí y solo si, la enésima potencia de b es a. Así
n
a b porque n
b a
Ejemplo:
9 3 pues 2
3 9 ;
Todo número real no negativo tiene una única raíz cuadrada.
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN.

“Continental”
Para simplificar expresiones en las cuales hay raíces, se utilizan las propiedades de la radicación.
Raíz enésima de un número elevado a la n
Si a є R; n ∈ Z+, se cumple que: n n
a a
Ejemplo:
7 7
5 5
Raíz de un producto
Si a, b є R+; n ∈ Z+, se cumple que:
n n n
a b a b  
Ejemplo:
3 36 6 23
27 27 3x x x  
Raíz de un cociente
Si a, b є R+; n ∈ Z+, se cumple que:
n
n
n
a a
b b

Ejemplo:
3
3
6 18 2 66 183
216 216 6
x y x yx y
 
Raíz de una raíz
Si a є R+; m, n ∈ Z+, se cumple que: m n m n
a a

Esto significa dejar el mismo radicando y multiplicar los índices de los radicales.
Ejemplo: 3 12 12 12 124 12 12
4096 4096 2 2x x x x  
Raíz de una potencia
Si a, є R+; m, n ∈ Z+, se cumple que:  m
n mn
a a
Esto significa que la potencia de una raíz es igual a la raíz de la potencia.
Ejemplo:  
4
4 4 16 2 8 8
2 2 2 4x x x x  

“Continental”
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Simplificar un radical es expresarlo en su forma más simple .Un radical está simplificado si:
El radicando no tiene ningún factor cuyo exponente sea mayor o igual al índice del radical.
El exponente del radicando y el índice del radical no tienen entre si ningún factor común distinto
de 1.
Para simplificar un radical se aplican las propiedades de la radicación. Por ejemplo, para simplificar el
radical
8 3 103 8x y z se realiza el siguiente proceso:
338 3 10 8 3 1033 3
3 333 6 2 3 93
3 33 33 6 2 3 9 33
32 2 3 3
32 3 2 3
32 3 2
8 8
2
2
2
2
2
x y z x y z
x x y z z
x x y z z
x x y z z
x yz x z
x yz x z
   
     
     
     


RACIONALIZACIÓN DEL DENOMIONADOR DE UNA FRACCIÓN
Racionalizar una expresión fraccionaria en la que el denominador contiene uno o varios radicales,
consiste en expresarla como una fracción equivalente sin radicales en el denominador.
En la racionalización de una fracción se distinguen dos casos:
Caso 1. Racionalización de monomios.
Para racionalizar el denominador, se busca que en él quede una raíz exacta. Para ello, se multiplica el
numerador y el denominador por un radical seleccionado previamente.
Por ejemplo, al racionalizar
3
5x
se elige 5x como factor racionalizante, pues 5 5 5x x x  y se
multiplica el numerador y el denominador por este factos. Así
3 5 3 5
55 5
x x
xx x
  .

“Continental”
Caso 2. Racionalización de binomios.
Expresión conjugada. Dos expresiones con dos términos cada una, se dice que son conjugadas, sí y solo
si, difieren en el signo del segundo término.
Ejemplo: a b y a b  y son expresiones conjugadas.
Para racionalizar una expresión fraccionaria en la cual el denominador es un binomio con radicales, se
multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador.
Al multiplicar una expresión con radicales por su expresión conjugada, los radicales desaparecen.
Ejemplo:
 
 2
2
4 4 3 2
3 2 3 2 3 2
4 3 2
3 2
12 4 2
9 2
12 4 2
7

 
  









“Continental”
LECCIÓN Nº 4
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Quién fue Aristoff Rudolff? ¿Qué aporte realizó al estudio de la radicación?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Potencia:…………………………………………………………………………………………………………………………………….
Raíz:… …………………………………………………………………………………………………………………………………
Simplificación:..…………………………………………………………………………………………………………………………..
Exponente:…….……………………………………………………………………………………………………………………………
Base: ……………………………………..…………………………………………………………………………………………….

“Continental”
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Números Reales
Potenciación Radicación
Caso 1 Raíz de una raíz Raíz de potencia
Con exponente negativo

“Continental”
CUESTIONARIO
1. Reduce las expresiones usando las propiedades de la potenciación, presentar las respuestas en
forma de fracción en los casos que sea posible:
 
2 3
4
4 3 0
3
5 4
2 5
4
5
2
2 2
3 3
2
3
3 (3 3 )
2
(0,1) (0,2)
(0,01) (0,02)
6 2
10 7
3
( 4)
30
( 3) 4 2


   
   
    
 
 
 



    
 
    
 
   
2. Simplifica los radicales:
 
 
1
225
82 33 4
18 2 243 66 2
6
(12) 50
( 14) ( )
x a b
n a b
a y
    
 
   
   

“Continental”
3. Realiza las siguientes operaciones:
5 53 8 17 23 54 4
3 3 33 33
52 4 3 6 1032
1 3 2 2 3
2 4 3 9 16
3 2 1 8 6
2
4 27 2 3 81
2 3 2
250 3 5 2 3 3
25 27 32
a a a a a
x y xy x y y x
x y x y x
  
  
   
   
   
4. Resuelve las divisiones:
3 33
32 24
3 3 4 5
3 4 2 2 34
8 9
4 4
2
2
184
16 3
x y xy
x x
a b c
a a b c
 
 

“Continental”
5. Racionaliza los denominadores:
3 2
3
34
2 5
5 4
4 1
3 2
3 5
5 2 9
x
a
x
x
 
 
 
6. Encuentra la expresión conjugada:
5 2 3 9 3 3 2
7 2 6 3 2 2
5 7 4 11 1
x
x x
   
    
    
7. Racionaliza las siguientes operaciones
3 3 2 5
5
1 3 2 3 5
3 5 1
3 5 1
6 2 3 3 3
6 3 3 3
x x
x x
a
a

  
 
  
 
  
  
 
  

“Continental”
OBJETIVOS:
 Reconocer y aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva,
las cuatro operaciones básicas y la potenciación para la simplificación de
polinomios a través de la resolución de problemas.
 Aplicar y demostrar procesos algebraicos por medio de la resolución de
ecuaciones de primer grado para desarrollar un razonamiento lógico
matemático.

“Continental”
LECCIÓN Nº5
POLINOMIOS
- Comprender el concepto y cuáles son los términos de lo que es un polinomio.
- Conocer las características y la forma de resolver los problemas relacionados con polinomios.
TÉRMINOS DE UN POLINOMIO
Un polinomio es una expresión algebraica que tiene sumas y restas entre monomios. Los monomios que
forman un polinomio se denominan términos de un polinomio.
Se dice que un polinomio está reducido cuando no tiene monomios semejantes, los cuales también se
llaman términos semejantes. Es conveniente trabajar con polinomios reducidos.
Así, el polinomio 3 3 2 2
2 3 3 5 1x x x x    se reduce sumando sus términos semejantes, con lo cual se
tiene:
3 2 3 2
(2 3) ( 3 5) 1 5 2 1x x x x       
Un polinomio reducido que tiene exactamente dos términos se llama binomio y un polinomio que tiene
exactamente tres términos se llama trinomio.
Ejemplos:
1. Determina si cada polinomio es un binomio o un trinomio. Identifica los términos e indica el
coeficiente y la parte literal de cada término.
a. El polinomio 8 6 6 8
3 7m n m n  es un binomio y sus términos son 8 6
3m n y 6 8
7m n
La parte literal de 8 6
3m n es 8 6
m n y el coeficiente es 3 .
b. El polinomio 4 5a b c  es un trinomio y sus términos son 4 ; 5a b y c
La parte literal de 4a es a y el coeficiente es 4, la parte literal de 5b es b y el coeficiente es 5 y
la parte literal de –c es c y el coeficiente es -1.
2. Reduce los términos semejantes en los siguientes polinomios.

“Continental”
a.
3 2 2 3 2 2 3 3 2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
5 4 3 2 8 9
(5 1) (4 2 9) (3 8)
6 3 5
m n m n mn m n m n mn m n
m n m n mn
m n m n mn
      
      
 
b.
3 2 3 2
3
3 2
3 2 2
1 1 3 1
2 4 4 2
1 1
2 2
1 1 1 3
1
2 2 4 4
5 3 5 3
0
4 4 4 4
a a a a a
a
a a a
a a a a a
    
   
 
          
   
   
CARACTERÍSTICAS DE LOS POLINOMIOS
Grado de un polinomio. El grado de un polinomio reducido es el grado de término de mayor
grado. Por ejemplo el grado del polinomio:
4 3 2
3 7 8 9 3, 4x x x x es   
Término independiente de un polinomio. El término independiente de un polinomio es el
término de grado 0, es decir, la constante. Por ejemplo, el término independiente del polinomio:
4 3 2 0
3 7 8 9 3, 3, 3 3 .x x x x es pues x    
Polinomios ordenados.
Un polinomio se expresa de forma ordenada de acuerdo con el exponente de una de las
variables que contiene. El orden puede ser descendiente o ascendente.
 Orden Descendente. Un polinomio se expresa en orden descendente con respecto de
una de las variables si los exponentes de dicha variable aparecen de mayor a menor.
Por ejemplo, el polinomio
3 2 2
4 4 3 2x y x y xy   está en orden descendente con
respecto a la variable x, pues los exponentes de x en los términos son: 3 para 4x3
y; 2
para 4x2
y2
; 1 para 3xy y 0 para el término independiente 2.
 Orden Ascendente. Un polinomio se expresa en orden ascendente con respecto de una
de las variables si los exponentes de dicha variable aparecen de menor a mayor.
Por ejemplo, el polinomio 3 2 2 3 3
5 4 3m n m n m n  está en orden ascendente con
respecto a la variable n, pues los exponentes de n en los términos son: 1 para 5m3
n; 2
para 4m2
n2
; y 3 para -3m3
n3
.
Polinomios Completos.

“Continental”
Un polinomio en la variable x es completo si incluye términos para los exponentes de x
consecutivos entre 0 y el mayor exponente de x, con la condición de que todos los coeficientes
sean diferentes de cero.
Valor numérico de un polinomio.
La altura h de un objeto que se lanza hacia arriba con velocidad de 5m/s se relaciona con el
tiempo mediante la expresión:
2
5 4,9h t t 
Para hallar la altura del objeto luego de 0,5 segundos, se calcula reemplazándola variable t por
este valor:
2
5(0,5) 4,9(0,5)
1,275
h
h
 

La altura a los 0,5 segundos es 1,275m

“Continental”
LECCIÓN Nº 5
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Quién fue Fermat? ¿de qué se trato su teorema llamado “El último teorema de Fermat”?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Grado de polinomio:…………………………………………………………………………………………………………………..
Término:… …………………………………………………………………………………………………………………………………
Monomio:..………………………………………………………………………………………………………………………………….
Binomio:…….………………………………………………………………………………………………………………………………..
Trinomio: ……………………………………..……………………………………………………………………………………………

“Continental”
RESUMO:
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
POLINOMIOS
Definición
Características
Grado Termino independiente Orden Completo

“Continental”
CUESTIONARIO
1. Determina el grado y el número de términos de las siguientes expresiones:
2 3 3 2 2
3 3 2
6 7 3
5 6 7 4
x y x y mn mn m n
a b ab ab x y
  
 
2. Reduce los términos semejantes en cada polinomio:
4 3 4 3 3
2 2 2
4 3 5 2 3 4 5
12 15 2 16 11
2 4 4 9
3
7 5 3 5
4 5 1 1
2
3 6 2 6
a b c a a b c
x x y x x y xy
p q z q z
a ab b ab a
       
    
    
   
3. Suprime los signos de agrupación y reduce los polinomios.
3 ( 2) ( 4)
2 ( 3) ( 2) ( 5)
x x x
a a a a
     
       

“Continental”
 
  
 2 2
3 ( 2) ( 4)
2 3 ( 7) 2 5
( 7) 2 ( 6) (4 3
3 2 1 1 3
4 4 3 2 4 2 4 2
5 (2 ) (6 2 )
x x x
a a a a a
m m m m
x x x x x
a c m m a a c
     
       
       
                
        
4. Ordena cada polinomio en forma ascendente.
3 4 5 6
3 5 4
4 3 5
4 2 5
9 2 5 6 2 6
16 8 4 7 1
15 3 2 4 6
3 4 1 5
2
7 5 9 6
x x x x x
a a a a
m m m m
b b b b
     
    
    
    
5. Ordena cada polinomio en forma descendente:

“Continental”
2 4 4 2 8 5
2 2 3
5 2 8 3 6 5
" "
6 6 5 " "
5 3 8 " "
a b a b a b ab ab con respecto a b
xy xy x y y con respecto a y
m n m n m n conrespecto a n
    
   
  
6. Escribe en cada cuadro, un término que complete el polinomio dado.
4 6 2
3
6 5 3 4 2
5 3 2
3 5 2 8
6 2 5
5
3 2 3
7
1 1
4 5
4 8
m m m
n n
z z z z z z
w w w w
    
   
     
     

“Continental”
LECCIÓN Nº6
OPERACIONES CON POLINOMIOS
- Comprender los conceptos de la adición y sustracción de polinomios.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la adición y sustracción de
polinomios.
ADICIÓN DE POLINOMIOS
El resultado de la suma de dos polinomios es otro polinomio. Para obtener la suma de dos polinomios se
reducen los términos semejantes. En general, es aconsejable ordenar cada polinomio. Ejemplo:
Resuelve las siguientes sumas de polinomios
a.    4 3 2 3 2
7 5 2 4 6 3 2 10x x x x x x x        
Los dos polinomios están ordenados en forma descendente, por lo tanto:
   4 3 2 3 2
4 3 2 3 2
4 3 2
4 3 2
7 5 2 4 6 3 2 10
7 5 2 4 6 3 2 10
7 ( 5 6) (2 3) ( 1 2) (4 10)
7 5 14
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x x
         
         
           
    
b.
2 4 2 2 4 2 3
(4 4 2) ( 3 4 3 4)x y x y x y x y x y      
Se ordenan los polinomios en forma descendente con respecto de la variable x.
2 4 2 2 4 2 3
2 4 2 2 4 2 3
4 2 4 2 3 2 2
4 2 3 2
3 2
(4 4 2) ( 3 4 3 4)
4 4 2 3 4 3 4
4 4 3 4 3 2 4
( 4 4) 3 (4 3) (2 4)
3 6
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y
x y x y
       
      
       
       
  
Para sumar polinomios, también es usual escribir los polinomios ordenados y los términos en columnas
de tal manera que en cada columna se ubiquen términos semejantes. A veces esto permite realizar la
suma con mayor facilidad. Ejemplo: Resuelve la siguiente resta de polinomios.
a.    4 3 2 3 2
6 4 7 2 6 4 8 10x x x x x x x        

“Continental”
Los dos polinomios están ordenados, por lo tanto la suma se podrá escribir así:
4 3 2
3 2
4 3 2
6 4 7 2
6 4 8 10
6 10 11 10 10
x x x x
x x x
x x x x
   
   
    
b.
3 3 2 2 4 3 2 2 3 3 4
(5 4 3 ) (2 3 2 ) ( 3 )mn mn m n m mn m n mn mn n       
Al ordenar los polinomios en forma descendente con respecto a la variable m en cada grupo de
términos, la suma se expresa como:
3 2 2 3 4 2 2 3 3 3 4
3 2 2 3
4 2 2 3
3 3 4
4 3 2 2 3 4
(5 3 4 ) (2 2 3 ) ( 3 )
5 3 4
2 2 3
3
2 6 5 6 3
m n m n mn m m n mn m n mn n
m n m n mn
m m n mn
m n mn n
m m n m n mn n
       
 
 
 
  
SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
El resultado de restar dos polinomios es un polinomio. Para restar dos polinomios se suman el primer
polinomio con el polinomio opuesto del segundo; es decir cambiamos de signo a todos los términos del
segundo polinomio aplicando la ley de los signos. Ejemplo:
Resuelve las siguientes sumas de polinomios
a.    4 3 2 3 2
7 5 2 3 1 6 5 8 10x x x x x x x         
4 3 2 3 2
4 3 2
4 3 2
7 5 2 3 1 6 5 8 10
7 ( 5 6) (2 5) ( 3 8) (1 10)
7 11 3 5 9
x x x x x x x
x x x x
x x x x
         
           
    
Al igual que en la suma, en la resta de polinomios es usual escribir los polinomios ordenados y los
términos en columnas, de tal manera que en cada columna se ubican los términos semejantes.
Ejemplo:
Resuelva lo siguiente:
b.
3 2 2 3 4 2 2 3
( 5 3 4 ) (6 2 3 )De mn m n mn resta m m n mn    

“Continental”
Para resolver el ejercicio, se debe plantear la resta:
3 2 2 3 4 2 2 3
( 5 3 4 ) (6 2 3 )mn m n mn m m n mn     
3 2 2 3
4 2 2 3
4 3 2 2 3
5 3 4
6 2 3
6 5 5
m n m n mn
m m n mn
m m n m n mn
  
  
   
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación se utilizan para escribir expresiones algebraicas en las que aparecen en forma
simultánea, las distintas operaciones aritméticas.
Al igual que en los conjuntos numéricos, los signos de agrupación permiten reducir las expresiones
algebraicas siguiendo un orden en el desarrollo de las operaciones. Una estrategia para eliminar los
signos de agrupación es partir desde los interiores hacia los exteriores.
Cuando se elimina un signo de agrupación precedido del signo más las cantidades se escriben con el
mismo signo, pues se trata de una suma.
Cuando se elimina un signo de agrupación precedido de un signo menos, se debe cambiar el signo a
todos los términos de la expresión contenidos en el signo de agrupación, pues se trata de una resta y, en
consecuencia, se debe sumar el opuesto de la expresión.
COMBINACIÓN DE SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.
A veces, se presentan expresiones en las cuales están combinadas la suma y la resta de polinomios. Para
resolver este tipo de expresiones se tiene en cuanta la simplificación de signos de agrupación.
Ejemplo:

“Continental”
Resuelva lo siguiente:
a.
3 2 3 2 3 2
( 5 4 4 1) (5 4 3 1) (2 3 5 4)x x x x x x x x x           
Para resolver la operación se escriben los polinomios en columnas, teniendo en cuenta que se
debe sumar el opuesto del polinomio.
3 2
3 2
3 2
3 2
5 4 4 1
5 4 3 1
2 4 5 4
2 5 2 4
x x x
x x x
x x x
x x x
   
   
   
   
b.
3 3 2 2
(2 4 ) (2 2 ), (4 3 )De la suma x x con x x resta x x  
Escribiendo la operación utilizando signos de agrupación, tenemos:
3 3 2 2
(2 4 ) (2 2 ) (4 3 )x x x x x x      
Al ordenarlo en columnas se obtiene lo siguiente:
3
3 2
2
3 2
2 4
2 2
4 3
4 6 7
x x
x x
x x
x x x


 
 
c. Indica el polinomio que, sumando con el polinomio:
3 2 2 3
4 2m n m n mn   da como resultado
3 2 2 3
3 6m n m n mn 
3 2 2 3 3 2 2 3
(3 6 ) ( 4 2 )mn m n mn mn m n mn     
Al ordenar en columnas se obtiene lo siguiente:
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 6
4 2
7 5
m n m n mn
m n m n mn
m n m n mn
 
 
 
d. ¿Cuál es el polinomio opuesto de la suma de 2
4 4 1x x  con
2
1x x  ?

“Continental”
La resolución sería:
2 2
2 2
2
(4 4 1 ( 1)
4 4 1 1
5 5 2
x x x x
x x x x
x x
     
     
 
El polinomio opuesto de 2
5 5 2x x  es 2
5 5 2x x  
LECCIÓN Nº 6

“Continental”
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. Averiguar acerca de las propiedades Clausurativa, Conmutativa y Asociativa, y verifica si estas
propiedades se cumplen en la adición de polinomios.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Ascendente:……………….………………………………………………………………………………….………………………………..
Descendente:………………………………………………………………………………………………………………………………
Expresión:..……………………………………………………………………………………………………………..……………………….
Simultánea: ……………………………………………………………………………………………………………….…………………..
Opuesto: ……………………………………..……………………………………………………………………………………………

“Continental”
RESUMO:
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
POLINOMIOS
Operaciones con polinomios
Adición Sustracción
Para obtener la suma de polinomios Para restar dos polinomios
CUESTIONARIO

“Continental”
1. Encuentra la suma de los polinomios dados:
2 3 2 3 3 2
2 2
3 2 3 2 2 3 2
4 3 2 2 5 3
4 3 3 2 2 4 3
1 7 3 8
3 ; 6 4 10 ; 4
5 2 5 5
7 5 ; 6 7 ; 4
5 3 7 ; 5 10 13 ; 8 4
3 5 8
5 1 ; 12 2 3 ; 2 6 ; 3 7
5 7 5
1 5 2 3
9 2 4 ; 3 ; 4 6
7 7 7 7
1
4 3 2 ;
2
x xy xyz x xy xyz x xy xyz
x x y x x y x y x
m n mn n m mn n mn
a a a a a a a a a
m m m m m m m m
x y x y x y x y
      
   
    
       
      
  2 4 3 3 2 2
5 ; 3 2x y x y x y x y   
2. Plantea y resuelva las siguientes operaciones:

“Continental”
2
3 2 2
4 3 2 2 3 2
5 3
7 6 8
Re 5 5 4 1 5 2
Re 10 3 5 4 5 6
Re 4 5 12 6
1 4
Re 3 5
2 7
De a b resta b
De mn resta mn
sta x x x de x
sta a b a b a b de a a b
sta a b c de b c
sta y xy z de z y
 
 
    
     
  
   
3. Elimina los signos de agrupación y resuelve.
5 [4 7 ( 6 5)]
{8 [5 (9 4)]}
7 (4 3 ) (6 5 ) ( 14 )
n m n m
a a a
a b c b c a a
     
    
      

“Continental”
2 2 2
10 (15 3 ) ( 4 5 )
(10 4 ) ( 9 )
(3 2 1) (5 4 )
( 11 4 ) ( 3 4)
12 ( 5 4 ) (2 )
x x b b x
w p w p
s t s t
y y
a a x a x
       
    
     
      
      
2 2
2 2 2 2
5 2 1 7
3 7 4 3
3 1 2 1 2 8
4 5 3 4 5 3
12 3 1 1
2
9 4 5 2
xy x x y
a b c b c
x y xy xy x y
           
               
          

“Continental”
2 2 2
2 2 2 2
3 1 3 2
6
2 5 7 3
3 1 1 1
5 2 3 2
x yz xyz x y
xyz
a xy a xy a xy a xy
          
                     

“Continental”
LECCIÓN Nº7
OPERACIONES CON POLINOMIOS
- Comprender los conceptos de la multiplicación de polinomios.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la multiplicación de
polinomios.
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
Puesto que los monomios, en su parte literal, incluyen potencias variables, es necesario revisar las
propiedades básicas de la potenciación.
La expresión an
significa que la variable a se multiplica n veces por sí misma, es decir,
an
= a ∙ a ∙ a ∙ … ∙ a n factores
Ejemplo: (-3)5
=(-3) (-3) (-3) (-3) (-3)= -243
El siguiente ejemplo muestra un producto de potencias de igual base:
x4
∙ x3
= (x ∙ x ∙ x ∙ x)(x ∙ x ∙ x) = x7
El resultado es x elevado a la 7, es decir, x elevado a la suma de los exponentes 4 y 3.
Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, el resultado es una potencia de igual base cuyo
exponente es la suma de los exponentes.
m n m n
x x x 
 
Ejemplo: Determina el resultado de las siguientes expresiones:
4 7 11
5 5 5 
Puesto que 1
x x , entonces,
1m m
x x x 
 
Ya que la multiplicación de dos números reales es conmutativa y asociativa, se tiene que:

“Continental”
       4 6 3 5 4 3 6 5 7 11
a b a b a a b b a b      
A partir de la siguiente situación se puede plantear la multiplicación de monomios:
Si la base de un rectángulo =se representa por 3x y la altura por 2x ¿cuál es su área?
2x
3x
Para multiplicar los monomios 3x y 2x, se multiplican los coeficientes entre sí y a las variables x se les
aplica la propiedad del producto de potencias de igual base.
Ejemplo: El largo de una caja de caras rectangulares es el triple del ancho y su altura es el doble del
ancho.
2x
X
3x
Encuentra una expresión algebraica para el volumen de la caja.
3
3 2 (3 1 2)( ) 6V x x x x x x x        
2
3 2 (3 2)( ) 6A x x x x x     

“Continental”
MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO.
En la figura se muestra un rectángulo cuya base mide x y cuya altura mide x+y. El área A del rectángulo
se obtiene como el producto de la base por la altura, es decir:
 ( )A x x y 
La anterior expresión es el producto del monomio x por el binomio x+y. Para resolver dicho producto, se
aplica la propiedad distributiva del producto con respecto a ;a suma y se obtiene:
2
( )x x y x x x y x xy      
Luego, el área se representa mediante la expresión:
2
x xy
Para multiplicar un polinomio por un monomio se aplica la propiedad distributiva.
Ejemplo:
Resuelva los siguientes productos:
a.
2 5 2
8 (3 8 1)x x x  
2 5 2 2 2
7 4 2
(8 )(3 ) (8 )( 8 ) (8 )( 1)
24 64 8
x x x x x
x x x
    
 
b.
8 6 6 8 2
( 2 7 )7mn m n m n 
8 6 2 6 8 2
10 7 8 9
( 2 )(7 ) (7 )(7 )
14 49
m n m n m n m n
m n m n
  
 

“Continental”
MULTIPLICACIÓN DE DOS POLINOMIOS
En la figura se muestra un rectángulo cuyos lados miden x+z y y+w, respectivamente. Para determinar el
área A del rectángulo, se multiplica la base por la altura y se obtiene:
( )( )A x z y w  
El área está representada por el producto de dos binomios. Para resolver dicho producto, se aplica varias
veces la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:
( )( ) ( ) ( )x z y w x y w z y w
xy xw zy zw
     
   
El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene al multiplicar todos los términos de uno
de ellos por todos los términos del otro y, luego, reducir los términos semejantes.
Ejemplo:
Resuelve el siguiente producto de polinomios:
a.
2 3 2
( 8 3 )(7 3 1)x x x x    
Se multiplica primero
2
( 8 )x por
3 2
(7 3 1)x x  y luego (3 )x por
3 2
(7 3 1)x x  así:

“Continental”
2 3 2
2 3 2 3 2
5 4 2 4 3
5 4 3 2
( 8 3 )(7 3 1)
( 8 )(7 3 1) (3 )(7 3 1)
56 24 8 21 9 3
56 3 9 8 3
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
    
      
      
    
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES QUE INCLUYEN PRODUCTOS
En esta lección se aplicará la propiedad distributiva del producto para simplificar expresiones algebraicas
en las cuales se hallan multiplicaciones y signos de agrupación.
Es importante recordar que al igual que en las operaciones combinadas de suma y resta, en las
operaciones que incluyen multiplicación se eliminan los signos de agrupación, desde los más interiores
hasta los más exteriores.
Ejemplo:
Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:
a. ( ) ( ) ( )a a b c b a b c c a b c         
2 2 2
2 2 2
2 2 2
**( ) ( ) ( )**
2 2
a ab ac ab b bc ac bc c
a ab ac ab b bc ac bc c
a ab b bc c
         
        
   
b. ( )(2 3 ) (5 4 )(3 2 )x y x y x y x y     
2 2 2 2
2 2
** (2 3 ) (2 3 ) ( 5 4 )(3 2 )**
(2 3 ) (2 3 ) 5 (3 2 ) 4 (3 2 )
2 3 2 3 15 10 12 8
13 3 11
x x y y x y x y x y
x x y y x y x x y y x y
x xy xy y x xy xy y
x xy y
       
       
       
  
c.  4 2 3 2 3
5 2 5 3 3(2 ) 7x x x x x x x       
Se eliminan los paréntesis aplicando la propiedad distributiva; luego se simplifican los términos
semejantes dentro del corchete; después se eliminan los corchetes aplicando la propiedad distributiva;
entonces se simplifican términos semejantes dentro se las llaves y, finalmente, se eliminan las llaves
aplicando la propiedad distributiva.

“Continental”
 
 
 
 
4 3 3 2 3
4 3 2 3
4 4 3 3
4 3
4 3
5 2 5 3 6 3 7
5 2 5 3 3 7
5 2 15 15 7
5 2 14 22
5 28 44
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
       
       
    
   
 

“Continental”
LECCIÓN Nº 7
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. Averiguar acerca de la propiedad distributiva en la multiplicación de polinomios y escriba un
ejemplo.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Monomio:……………….…………………………………………………………………………………………………………………..
Polinomio:………………………………………………………………………………………………………………………………
Semejantes:………………………………………………………………………………………………………………………………….
Simplificación:………………………………………………………………………………………………………….…………………..
Conmutativa:…………………………..……………………………………………………………………………………………

“Continental”
RESUMO:
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
POLINOMIOS
MULTIPLICACIÓN
De monomios De un monomio por un polinomio De dos polinomios

“Continental”
CUESTIONARIO
1. Encuentra los productos:
3 2 2 3
2 2 2 2 4
2 4 3 2
2 4 3 2
2 3 2 2 2
2 2 3
2 2 2 2 4 2
22 3 2
2 3
( ) (2 )
(2 ) ( )
( ) ( )
( 2 ) ( )
( ) (2 )
2 ( 1) ( 1)
(3 ) (3 ) ( )
( ) ( )
( 3)( 2) ( 2)
a b ab
ab a c
x y x y
ab a b
a b abc
a x x x
ab a c a b
a x y a x y
x x x


 
 
 
      

      
   
2. Multiplica las expresiones:
2 2 2
3 2
2 2
2 3 2 2
( 2 )
2 (3 3 2)
3 (4 2 3)
5 ( 4 )
ab a ab ab
x x x
ab a ab
a b ab a b a
  
   
  
  

“Continental”
3 2
2 3 2
5
1 1
2 3 5
4 2 2
3 1 3
2 3 4
4 2 6 4 6
3 (3 2 10)
4 ( 2 2)
3 (5 2)
10 (3 4 )
8 ( 2 3 4 )
5 (3 6 )
7 ( 4 5 )
2 ( 6 2)
1
(5 3 2 )
4
x x
a a a
y y y
m m m
y y y
b b
x x x x
x x x
x x x
m m m
z z z z
w w w w
r r r
x x x
a a
c c c c
 
 
 
  
  
   
   
  
  
  
    
 
  
   
   
3. Encuentra los productos.
2 2
2 2
( 2 )( 2 4 )
( 1)( 2)( 3)
(2 1)(3 1)(2 1)
( 2 )( 2 )
x y x xy y
x x x
x x x
x x y x x y
   
   
   
    

“Continental”
2
4 3 4 2
4 1 2 2
( )( )
(3 5 3 )(4 2 )
(9 3 2)( )
(2 5 3 )( 3 5 12)
1 2
( 4 )
6 7
1
2 (4 3)
9
x x
a a
a b c a b c
a b c a b c
m n m m n
n s t p q
p q p q
x x x
 
 
    
    
    
     
     
 
    
 
4. Suprime los signos de agrupación y reduce los paréntesis.
( )( ) ( )( )
(3 )( 5 ) ( )( )
a b a b a c a c
m n m n m n m n
     
     

“Continental”
 
2 2 2 2
2
3 3
2 2
(5 2 )( ) ( )( )
8 (4 2 )(5 3 )
8[ 2(3 4)] 4( 6)
7 2 3 8
7 6 7
4 7 5 3 7
[( 7 5 3) 8( 3 )] 6
m n m n m n m n
q p q p q
x x
p
w p w
m n m n
     
    
     
           
   
      

“Continental”
LECCIÓN Nº8
PRODUCTOS NOTABLES
- Comprender los conceptos productos notables.
- Identificar las características que deben tener los productos notables.
DEFINICIÓN
Cuando se emplean expresiones algebraicas, hay productos que presentan algunas regularidades, a estos
productos se les denomina productos notables. Con el fin de trabajar con mayor rapidez, es conveniente
aprender a reconocerlos y utilizarlos adecuadamente.
CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS
El cuadrado de a+b es un producto notable. La expresión (a+b)2
se resuelve así:
2
2 2
2 2
( ) ( )( )
2 min
a b a b a b
a ab ba b Se aplica la propiedad distributivo
a ab b Se reducen tér os semejantes
   
   
  
Este desarrollo se puede generalizar enunciando el producto notable de la siguiente manera:
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primero más el doble producto del
primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
2 2 2
( ) 2a b a ab b   

“Continental”
Ejemplo:
Resuelve el siguiente producto:
a.
2 2 2
( ) (2 )m s m m s s     
2 2
2m ms s  
CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS
El cuadrado de la diferencia entre a y b, es otro producto notable.
2
2 2
2 2
( ) ( )( )
2
a b a b a b
a ab ba b
a ab b
   
   
  
Este desarrollo se puede generalizar enunciando el producto notable así:
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero menos el doble producto
del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
2 2 2
( ) 2a b a ab b   
Ejemplo:
Resuelve el siguiente producto:
a.
3 3 2 3 3 2 3 3 2
( ) ( ) (2)( )( ) ( )x y z x y x y z z   
6 6 3 3 2
2x y x y z z  
b.
2 3 2 2 2 3 2 3 2
( ) ( ) (2)( )( ) ( )x y z x x y z y z   
2 2 3 4 6
2x xy z y z  

“Continental”
CUADRADO DE UN TRINOMIO
Para determinar a qué es igual la expresión (a+b+c)2
, se resuelve el producto así:
2 2 2
2 2 2
( )( )
2 2 2
a b c a b c a ab ac ba b bc ca cb c
a b c ab bc ac
            
     
Ejemplo:
Resuelve:
a.
2 2 2 2
( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc       
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS EXPRESIONES
El producto de la suma de dos cantidades, a y b, constituye otro producto notable. La expresión:
2 2
2 2
( )( ) ( ) ( )a b a b a a b b a b
a ab ba b
a b
     
   
 
Este desarrollo se puede generalizar enunciando el producto notable de la siguiente manera:
El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual a la diferencia de sus cuadrados.
2 2
( )( )a b a b a b   
PRODUCTO DE EXPRESIONES DE LA FORMA (x+a)(x+b).
La expresión (x+a)(x+b), con a y b como números reales, constituye otro producto notable. En forma
general, el producto (x+a)(x+b) se resuelve como sigue:
2
2
2
( )( ) ( ) ( )
( )
x a x b x x b a x b
x bx ax ab
x ax bx ab
x a b x ab
     
   
   
   

“Continental”
CUBO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS
La expresión (a+b)3
se resuelve de la siguiente manera:
3 2
2 2
2 2 2 2
3 2 2 2 2 3
3 2 2 3
( ) ( )( )
( )( 2 )
( 2 ) ( 2 )
2 2
3 3
a b a b a b
a b a ab b
a a ab b b a ab b
a a b ab a b ab b
a a b ab b
   
   
     
     
   
Es decir, el cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primero, mas el triple producto del
primero al cuadrado por el segundo, mas el triple producto del primero por el segundo al cuadrado, mas
el cubo del segundo.
3 3 2 2 3
( ) 3 3a b a a b ab b    
En la representación geométrica de la figura, se muestra un cubo de arista (a+b) y, dentro de él, dos
cubos con aristas a y b, respectivamente. En la figura se determinan tres sólidos de volumen a2
b y tres
sólidos de volumen ab2
.
Ejemplo:
Resuelve:
a.
3 3 2 2 3
( 1) 3 (1) 3 (1) (1)a a a a    
3 2
3 3 1a a a   
CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS.
La expresión se resuelve así:

“Continental”
3 2
2 2
2 2 2 2
3 2 2 2 2 3
3 2 2 3
( ) ( )( )
( )( 2 )
( 2 ) ( 2 )
2 2
3 3
a b a b a b
a b a ab b
a a ab b b a ab b
a a b ab a b ab b
a a b ab b
   
   
     
     
   
Es decir, el cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primero, menos el triple producto
del primero al cuadrado por el segundo, mas el triple producto del primero por el segundo al cuadrado,
menos el cubo del segundo.
3 3 2 2 3
( ) 3 3a b a a b ab b    
En el resultado los signos aparecen alternados,
, , , .   
Ejemplos:
Resuelve:
a.
3 3 2 2 3
( 2) 3 (2) 3 (2) (2)m m m a    
3 2
6 12 8m a a   
b.
2 3 3 2 2 2 2 2 3
( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )x y x x y x y y    
3 2 2 4 6
3 3x x y xy y   

“Continental”
LECCION Nº 8
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Por qué es necesario el estudio de los productos notables?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Producto Notable:…….………………………………………………………………………………………………………………..
Generalizar:………………………………………………………………………………………………………………………………
Cantidades:……..………………………………………………………………………………………………………………………….
Exponente Cuadrático:………………………………………………………………………………………………………………..
Exponente Cúbico:………………………..……………………………………………………………………………………………

“Continental”
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.

“Continental”
CUESTIONARIO
1. Encuentra los siguientes cuadrados:
 
 
2
2 2 2
2 2
1 2
23 4 2
2
2
3 2
(6 )
(3 )
( )
(3 2)
2 5
3 7 2
4
3
3
a
a
n n
m
x y
x b
m
pq p q
a a
m n m n


 
 
 
 
 
 
   
 
2. Desarrolla los siguientes productos:
 2
2
2
2
( )
(5 )
(3 2 )
(5 3 2 )
a b c
a b c
m n p
p q w
  
  
  
  
3. Realiza las operaciones entre polinomios.

“Continental”
 
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
21 2
(4 5 3) (3 2 )
9( 5 ) 4( )
6( ) 5( )
1
(2 ) 3( )
4
3 4 2x b x x
a b a b
m n m n mn
a b a b ab
a b a b c
a a a  
    
    
    
    
  
4. Calcula los siguientes productos.
2 2 2 2
3 4 5 5 3 4
( )( )
(8 3 )(8 3 )
2 2
3 3
4 4
3 3
7 7
m n m n
t t
m n m n
w z a a w z
  
  
      
  
      
  
1 1
6 6
5 5
mn mn       
  
5. Resuelva los siguientes productos:

“Continental”
( 5)( 3)
( 4)( 3)
( 10)( 3)
1
( 4)( 2)
4
5 ( 9)( 2)
x x
t t
m m
x x
x x x
  
  
  
  
  
6. Escribe el término que falta en cada expresión.
 
 
 
 
 
 
4 3
3
32 2
32
3
32
32
33 2
( 2 )
(2 2 )
5
3 2
2 4
2 3
4 3
8 2
b a
x y
a b
p q
x y
a ab
stw st w
pq p q
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Halla el volumen de cada cubo:

“Continental”
Lados = 4x+3
Lados =
𝟐
𝟕
𝒂 𝒎
−
𝟑
𝟓
𝒏 𝟐

“Continental”
LECCIÓN Nº9
DIVISÓN Y COCIENTES NOTABLES
- Comprender los conceptos de división y cocientes notables.
- Identificar las características que deben tener los cocientes notables.
DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS
Antes de empezar el estudio de la división de polinomios, es conveniente revisar una propiedad de la
potenciación que será de utilidad.
Por ejemplo, para simplificar la expresión
5
3
x
x
, se realiza el siguiente procedimiento:
5
2
3
7
3
4
x x x x x x
x x x
x x x x
a a a a a a a a
a a a a
a a a a a
   
   
 
     
    
  
DIVISIÓN DE MONOMIOS.
En la figura se muestra el cuadrado de lado 2r y un círculo de radio r. La razón o cociente entre sus áreas
se expresa como:
2 2
2 2
(2 ) 4 4r r
r r  
 

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