semana) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Yt (centenas 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 de euros)

1. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Enunciado
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
Gestão e Teoria da Decisão
Durante os últimos 12 meses registou-se a procura de determinado produto, valores que se apresentam a
seguir por ordem cronológica da sua ocorrência:
t (mês)
1
2
3
4
5
Yt (unidades)
946
1157
954
1012
860
6
7
1056 1182
8
9
984
911
10
11
1084 1105
12
856
a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la.
b) Preveja a procura do próximo mês e defina um intervalo de confiança a 90%.
(Considere 0.1 para a constante de amortecimento α ou médias móveis de comprimento q = 5)
1

2. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Resolução
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la.
1250
1200
1150
1100
Yt (unidades)
Gestão e Teoria da Decisão
Cronograma da série Yt
1050
1000
950
900
850
800
750
0
5
10
15
t (mês)
Serie Yt
Figura 1 – Cronograma da sucessão cronológica (série temporal)
2

3. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Resolução
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la.
Gestão e Teoria da Decisão
Caracterização qualitativa da série temporal:
Condicionada ao número escasso de observações da variável em estudo, a série temporal pode ser
caracterizada por:
i) não aparentar variação da amplitude das oscilações em torno do nível médio (série estacionária em
variância);
ii) não aparentar componente sistemática de crescimento/decrescimento em toda a extensão observada
da série, assim como não aparentar a presença de componente sistemática periódica (sazonal) de período
constante e bem definido (série estacionária em média).
A série temporal pode ser vista como uma realização de processo estocástico estacionário até 2ª ordem.
3

4. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Resolução
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la.
Gestão e Teoria da Decisão
Caracterização qualitativa da série temporal (continuação):
O cronograma da série temporal sugere um nível médio constante ao longo do tempo de observação,
ainda que possa exibir variações locais do mesmo. Globalmente pode ser sugerido o seguinte modelo
para descrever a variação do nível médio da série em função do tempo:
Yt = nt + et , nt = β 0 , t = 1,2,..., N
Hipóteses adicionais
1.E {et }
= 0, t = 1, 2,..., N
2.E {et2 }
= σ e2
3.E {et et +k } = 0, k ≥ 1
4.{et } ∼ N ( 0,σ e2 )
Os modelos locais, tais como as médias móveis simples de comprimento q ou o amortecimento
exponencial simples com coeficiente de amortecimento α, podem descrever variações locais do nível
médio.
4

5. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Resolução
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
CONCEITOS E FÓRMULAS FUNDAMENTAIS
Decomposição Clássica Aditiva
Gestão e Teoria da Decisão
Yt = nt + et , nt = β 0 , t = 1, 2,..., N
Hipóteses adicionais:
1. E {et } = 0, t = 1, 2,..., N
2. E {et2 }
= σ e2 (Constante)
3. E {et et +k } = 0, k ≥ 1
4. {et } ∼ N ( 0,σ e2 )
Médias Móveis Simples de comprimento q
Yt +1 = nt + et +1 , t = 1, 2,...
q
∑Y
t − j +1
j =1
, t = q, q + 1,..., N
q
Amortecimento Exponencial Simples com constante de amortecimento α
nt =
Yt +1 = nt + et +1 ,
t = 1, 2,...
nt = α Yt + (1 − α ) nt −1 , t = 1, 2,..., N ,
n0 = Y1
( 0 ≤ α ≤ 1)
5

6. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Resolução
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
CONCEITOS E FÓRMULAS FUNDAMENTAIS
Gestão e Teoria da Decisão
Previsão (um passo adiante)
Yt +1 = nt + et +1 ,
t = 1, 2,..., N
( ou Yt = nt −1 + et ,
Previsão pontual (valor esperado)
ˆ
Y = E {Y } = E {n + e } = E {n } + E {e
t +1
t +1
t
t +1
t +1
t
} = nt
}) }
t = 1, 2,..., N )
{(
Erro de previsão
ˆ
Yt +1 − Yt +1 = nt + et +1 − nt = et +1
Esperança (média) do erro de previsão
ˆ
E Yt +1 − Yt +1 = E {et +1} = 0;
{
}
Variância do erro de previsão
σ {2Y
ˆ
t +1 −Yt +1
}
=E
{((
ˆ
ˆ
Yt +1 − Yt +1 − E Yt +1 − Yt +1
) {
2
ˆ
= E Yt +1 − Yt +1
) }=σ
2
2
et +1
= σ e2
Função de distribuição de probabilidade do erro de previsão
a
et +1 ∼ N ( 0,σ e )
(Y
⇒Z =
t +1
ˆ
ˆ
− Yt +1 − E Yt +1 − Yt +1
) {
σ {Y
ˆ
t +1 −Yt +1
}
} = (Y
t +1
ˆ
− Yt +1
σe
)∼N
( 0,σ )
e
6

7. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Resolução
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
CONCEITOS E FÓRMULAS FUNDAMENTAIS
Gestão e Teoria da Decisão
Intervalo de confiança a 100(1 − α )%
ˆ


Yt +1 − Yt +1
 zα /2 ≤
P ( zα /2 ≤ Z ≤ z1−α /2 ) = 1 − α ⇔ P
≤ z1−α /2  = 1 − α ⇔


σe


ˆ


Yt +1 − Yt +1
ˆ
P  − z1−α /2 ≤
≤ z1−α /2  = 1 − α ⇔ P − z1−α /2σ e ≤ Yt +1 − Yt +1 ≤ z1−α /2σ e = 1 − α


σe


(
(
)
)
(
(
)
)
ˆ
ˆ
P Yt +1 − z1−α /2σ e ≤ Yt +1 ≤ Yt +1 + z1−α /2σ e = 1 − α
(
)
Estimativa da variância do erro de previsão
N
σ e2 = EQM =
∑(
t =t0
ˆ
Yt − Yt
)
2
( N − t0 + 1)
, t0 = q + 1 ( M .M .S .) ou t0 ≥ 1
7

8. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Resolução
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
b) Preveja a procura do próximo mês e defina um intervalo de confiança a 90%.
(Considere 0.1 para a constante de amortecimento α ou médias móveis de comprimento q = 5)
Gestão e Teoria da Decisão
Médias móveis de comprimento q = 5
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Yt
946
1157
954
1012
860
1056
1182
984
911
1084
1105
856
nt
q=5
Ŷt
Intervalo de confiança, IC , a 90% para o valor previsto
et=Yt-Ŷt
de Y em t = 13: Y13 = n12 + e13
 q

n12 =  ∑ Y12− j +1  , t ≥ q
 j =1

ˆ
1.Y = E {Y } = E {n + e
1
q
985.8
1007.8
1012.8
1018.8
998.6
1043.4
1053.2
988
13
985.8
1007.8
1012.8
1018.8
998.6
1043.4
1053.2
988
EQM
70.2
174.2
-28.8
-107.8
85.4
61.6
-197.2
13957
13
12
13
} = E {n12 } + E {e13}
= E {n12 } = n12
{(
ˆ
2.σ 2Y −Yˆ = E Y13 − Y13
( 13 13 )
{
= E ( e13 )
2
) } = E {( n
2
}=σ
12
2
e13
+ e13 − n12 )
2
}=
≅ EQM
ˆ
3.IC : Y13 ± z1−((1−0.90)/2) EQM = n12 ± z1−((1−0.90)/2) EQM
= n12 ± z0.95 EQM = 988 ± 1.645 13957
= 988 ± 194 unidades
N
∑(
EQM =
ˆ
Yt − Yt
t = q +1
( N − q)
)
2
8

9. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Resolução
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
b) Preveja a procura do próximo mês e defina um intervalo de confiança a 90%.
(Considere 0.1 para a constante de amortecimento α ou médias móveis de comprimento q = 5)
Cronogramas das séries Yt , nt e Previsão
1250
1200
1150
1100
Yt (unidades)
Gestão e Teoria da Decisão
Médias móveis de comprimento q = 5
1050
1000
950
900
850
800
750
0
5
10
15
t (mês)
Serie Yt
Serie nt
Previsão
Linf(IC)
Lsup(IC)
Figura 2 – Cronogramas da sucessão cronológica e da média
móvel simples
9

10. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Resolução
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
b) Preveja a procura do próximo mês e defina um intervalo de confiança a 90%.
(Considere 0.1 para a constante de amortecimento α ou médias móveis de comprimento q = 5)
Gestão e Teoria da Decisão
Amortecimento exponencial simples α = 0.1
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Yt
nt
Ŷt
et=Yt-Ŷt et2 Intervalo de confiança, IC , a 90% para o valor (previsto)
946
946
de Y em t = 13: Y13 = n12 + e13 ,
1157 967.10 946.0
n12 = α Y12 + (1 − α ) n11
954 965.79 967.1
ˆ
1012 970.41 965.8
46.2 2135 1.Y13 = E {Y13 } = E {n12 + e13 } = E {n12 } + E {e13 } = E {n12 } = n12
860 959.37 970.4 -110.4 12191
2
2
2
2.σ Y −Yˆ = E (Y13 − E {Y13 } ) = E ( n12 + e13 − n12 )
1056 969.03 959.4
96.6 9337
13 13
1182 990.33 969.0 213.0 45355
2
= E ( e13 ) = σ e213 ≅ EQM
984 989.70 990.3
-6.3
40
911 981.83 989.7
-78.7 6193 3.IC : Y ± z
ˆ
13
1−((1−0.90)/2) EQM = n12 ± z0.95 EQM
1084 992.04 981.8 102.2 10439
= 989 ± 1.645 13351 = 989 ± 190 unidades
1105 1003.34 992.0 113.0 12759
856 988.61 1003.3 -147.3 21709
2
N
989
ˆ)
∑ (Yt − Yt
EQM
13351
t =t
{
{
EQM =
} {
}
}
4
( N − t4 )
10

11. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Resolução
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
b) Preveja a procura do próximo mês e defina um intervalo de confiança a 90%.
(Considere 0.1 para a constante de amortecimento α ou médias móveis de comprimento q = 5)
Cronogramas das séries temporais Yt e nt
1250
1200
1150
1100
Yt
Gestão e Teoria da Decisão
Amortecimento exponencial simples α = 0.1
1050
1000
950
900
850
800
0
5
10
15
t
Figura 3 – Cronogramas da sucessão cronológica e da sucessão
exponencialmente amortecida
11

12. Modelos de Previsão
Exercício 4 – Enunciado
Amortecimento Exponencial de Holt
Gestão e Teoria da Decisão
O volume de vendas (em centenas de euros) de uma loja nas últimas 21 semanas foi o seguinte:
t (semanas)
Yt (102 €)
1
111
2
115
3
117
4
105
5
130
6
118
7
132
8
136
9
134
t (semanas)
Yt (102 €)
13
145
14
135
15
136
16
150
17
141
18
132
19
164
20
155
10
134
11
138
12
129
21
157
a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la.
b) Faça a previsão do volume de vendas para as próximas 3 semanas e defina os respectivos intervalos
de confiança a 95%. (No caso de utilizar o modelo de Holt considere α = 0.2 e β = 0.5)
12

13. Modelos de Previsão
Exercício 4 – Resolução
Amortecimento Exponencial de Holt
Cronograma de Yt
190
180
170
160
Yt (102 €)
Gestão e Teoria da Decisão
a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la.
150
140
130
120
110
100
0
5
10
15
20
25
t (semana)
Figura 4 – Cronograma da sucessão cronológica (série temporal)
13

14. Modelos de Previsão
Exercício 4 – Resolução
Amortecimento Exponencial de Holt
a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la.
Gestão e Teoria da Decisão
Caracterização qualitativa da série temporal:
Condicionada ao número escasso de observações da variável em estudo, a série temporal pode ser
caracterizada por:
i) não aparentar variação da amplitude das oscilações em torno do nível médio (série estacionária em
variância);
ii) aparentar marcada componente sistemática de crescimento em toda a extensão observada da série
(série não estacionária em média).
14

15. Modelos de Previsão
Exercício 4 – Resolução
Amortecimento Exponencial de Holt
a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la.
Gestão e Teoria da Decisão
Caracterização qualitativa da série temporal (continuação):
O cronograma da série temporal sugere um nível médio crescente ao longo do tempo de observação.
Globalmente pode ser sugerido o seguinte modelo para descrever a variação do nível médio da série em
função do tempo:
Yt = nt + et , nt = β 0 + β1t , t = 1,2,..., N
1,2,...,
Hipóteses adicionais,
1.E {et }
= 0, t = 1, 2,..., N
2.E {et2 }
=σ e2
3.E {et et + k } = 0, k ≥ 1
4.{et } ∼ N ( 0,σ e2 )
Modelos locais, tal como o modelo de Holt, modelo de amortecimento exponencial para séries com
tendência, descreve variações locais do nível médio e da taxa de variação (tendência de
crescimento/decrescimento).
15

16. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Resolução
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
CONCEITOS E FÓRMULAS FUNDAMENTAIS
Decomposição Clássica Aditiva
Gestão e Teoria da Decisão
Yt = nt + et , nt = β 0 + β1t , t = 1, 2,..., N
Hipóteses adicionais:
1. E {et } = 0, t = 1, 2,..., N
2. E {et2 }
= σ e2 (Constante)
3. E {et et +k } = 0, k ≥ 1
4. {et } ∼ N ( 0,σ e2 )
Amortecimento Exponencial Linear com constantes de amortecimento α e β
(Modelo de Holt )
Dadas estimativas de n0 e b0 ( p. ex. n0 = Y1 , b0 = Y2 − Y1 )
Yt = nt −1 + bt −1 + et ,
t = 1, 2,...
nt = α Yt + (1 − α )( nt −1 + bt −1 ) , t = 1, 2,..., N ,
bt = β ( nt − nt ) + (1 − α ) bt −1 , t = 1, 2,..., N ,
( 0 ≤ α ≤ 1)
( 0 ≤ β ≤ 1)
16

17. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Resolução
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
Gestão e Teoria da Decisão
CONCEITOS E FÓRMULAS FUNDAMENTAIS
Previsão (h passos adiante)
Yt + h = nt + hbt + et +h ,
t = 1, 2,..., N
Previsão pontual (valor esperado)
ˆ
Y = E {Y } = E {n + hb + e } = E {n } + hE {b } + E {e
t +1
t+h
t
t +h
t
t
t +h
t
} ≅ nt + hbt
Erro de previsão
ˆ
Y −Y ≅ e
t+h
t +h
t+h
Esperança (média) do erro de previsão
ˆ
E Yt +h − Yt +h = E {et +h } = 0;
{
}
Variância do erro de previsão
2
σ {Y
ˆ
t + h −Yt + h
}
=E
{((
ˆ
ˆ
Yt +h − Yt +h − E Yt +h − Yt +h
) {
}) }
2
{(
ˆ
= E Yt +h − Yt +h
) }=σ
2
2
et + h
≅ σ e2
Função de distribuição de probabilidade do erro de previsão
a
et +h ∼ N ( 0,σ e )
(Y
⇒Z =
t +h
ˆ
ˆ
− Yt +h − E Yt +h − Yt +h
) {
σ {Y
ˆ
t + h −Yt + h
}
} = (Y
t +h
ˆ
− Yt +h
σe
)∼N
( 0,σ )
e
17

18. Modelos de Previsão
Exercício 1 – Resolução
Médias Móveis e Amortecimento Exponencial Simples
CONCEITOS E FÓRMULAS FUNDAMENTAIS
Gestão e Teoria da Decisão
Intervalo de confiança a 100(1 − α )%
ˆ


Yt +h − Yt +h
P ( zα /2 ≤ Z ≤ z1−α /2 ) = 1 − α ⇔ P  zα /2 ≤
≤ z1−α /2  = 1 − α ⇔


σe


ˆ


Yt +h − Yt +h
ˆ
P  − z1−α /2 ≤
≤ z1−α /2  = 1 − α ⇔ P − z1−α /2σ e ≤ Yt +h − Yt +h ≤ z1−α /2σ e = 1 − α


σe


(
(
)
)
(
(
)
)
ˆ
ˆ
P Yt +h − z1−α /2σ e ≤ Yt +h ≤ Yt +h + z1−α /2σ e = 1 − α
(
)
Estimativa da variância do erro de previsão
N
∑ (Y − Yˆ )
t
2
e
σ = EQM =
2
t
t =t0
( N − t0 + 1)
, t0 = q + 1 ( M .M .S .) ou t0 ≥ 1
18

19. Modelos de Previsão
Exercício 4 – Resolução
Amortecimento Exponencial de Holt
Gestão e Teoria da Decisão
b) Faça a previsão do volume de vendas para as próximas 3 semanas e defina os respectivos intervalos de confiança a
95%. (No caso de utilizar o modelo de Holt considere α = 0.2 e β = 0.5)
t
Yt
(semana) (100€)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
111
115
117
105
130
118
132
136
134
134
138
129
145
135
136
150
141
132
164
155
157
nt
bt
115
118.6
118.9
122.8
124.2
127.5
131.4
134.6
137.1
139.5
139.6
141.7
141.8
141.4
143.3
143.7
141.9
146.0
149.2
152.7
4
3.8
2.1
3.0
2.2
2.7
3.3
3.3
2.9
2.7
1.4
1.8
0.9
0.2
1.1
0.7
-0.5
1.8
2.5
3.0
Ŷt
et =Yt-Ŷt
Intervalo de confiança, IC , a 90% para o valor
(previsto) de Y em t = 13: Y13 = n12 + b12 + e13 , com
n12 = α Y12 + (1 − α )( n11 + b11 ) ,
b12 = β ( n12 − n11 ) + (1 − β ) b11
ˆ
1. Y13 = E {Y13 } = E {n12 + b12 + e13 }
130.3
134.7
137.8
139.9
142.2
140.9
143.5
142.7
141.6
144.4
144.4
141.4
147.7
151.6
156
159
162
5.7
-0.7
-3.8
-1.9
-13.2
4.1
-8.5
-6.7
8.4
-3.4
-12.4
22.6
7.3
5.4
= E {n12 } + E {b12 } + E {e13 }
= E {n12 } + E {b12 } = n12 + b12
2
2.σ Y
ˆ
13 −Y13
{
= E (Y13 − E {Y13 } )
{
= E {( e ) } = σ
2
}
= E ( n12 + b12 + e13 − n12 − b12 )
2
13
2
e13
2
}
≅ EQM
ˆ
3.IC : Y13 ± z1−((1−0.95)/2) EQM = ( n12 + b12 ) ± z0.975 EQM
= 156 ± 1.96 84.83 ≅ 156 ± 18 unidades
19

20. Modelos de Previsão
Exercício 4 – Resolução
Amortecimento Exponencial de Holt
Cronogramas de Yt, Ŷt e Previsões
190
180
170
Yt (102 €)
)
Gestão e Teoria da Decisão
b) Faça a previsão do volume de vendas para as próximas 3 semanas e defina os respectivos intervalos de confiança a
95%. (No caso de utilizar o modelo de Holt considere α = 0.2 e β = 0.5)
160
150
140
130
120
110
100
0
5
10
15
20
25
t (semana)
Yt
Yt previsto
Previsão
Linf (IC)
Lsup (IC)
Figura 5 – Cronogramas da sucessão cronológica e da sucessão
com tendência exponencialmente amortecida
20