Bab ini membahas perbandingan trigonometri dan fungsi trigonometri, termasuk definisi sudut, satuan pengukuran sudut, nilai sinus, kosinus dan tangen sudut-sudut istimewa, hubungan antar perbandingan trigonometri, grafik fungsi trigonometri, dan persamaan trigonometri sederhana.

1. BAB 6
Perbandingan Trigonometri
dan Fungsi Trigonometri

2. Peta Konsep
Perbandingan Trigonometri dan Fungsi
Trigonometri
Perbandingan Fungsi Persamaan Penerapan
Trigonometri Trigonometri Trigonometri Trigonometri
sin Grafik Fungsi Bentuk a cos x + b
Identitas Trigonometri
cos sin x = c
Trigonometri
tan
Sederhana
sec Sudut-sudut
Istimewa
csc
cot Perbandingan Sudut Aturan Aturan Luas
Berelasi Sinus Kosinus Segitiga
27 June 2012

3. A. Pengukuran Sudut
1. Satuan Pengukuran Sudut
Sudut adalah suatu bangun datar yang dibatasi oleh dua
sinar (garis) yang bersekutu pada titik pangkalnya.
B
O A
Satu derajat (1o) didefinisikan sebagai ukuran sudut yang
1
besarnya putaran penuh. Apabila diungkapkan
360
bentuk matematis, dapat ditulis:
1
1o
360
27 June 2012

4. 2. Hubungan Satuan Derajat dan Radian
180 o
1 rad 57 ,3o
180o π rad
o π rad
1 0,0174 rad
180
Perlu juga kalian ketahui bahwa
27 June 2012

5. Contoh 1:
Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat di bawah ini ke
dalam satuan radian.
a. 30o b. 24o 24'
Jawab:
30 o
a. besar sudut (radian) π rad
180 o
1
π rad
6
o
24
24o
60
b. besar sudut (radian) π rad
180o
27 June 2012

6. Contoh 2:
Ubahlah besar sudut di bawah ini ke dalam satuan derajat.
a. 2 rad b.
1
rad
4
Jawab :
180 o
a. besar sudut (derajat) = 2 rad
rad
114 ,6 o
180 o 1
b. besar sudut (derajat) = rad
rad 4
45o
27 June 2012

7. B. Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut
1. Nilai Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut
C
BC 1 AC
sin α csc α
AC sin α BC
AB 1 AC
cos α sec α
α AC cos α AB
B
A
1 AB
tan α
BC cot α
Perlu diingat .....!
AB tan α BC
sin α = DeMi (Depan Miring)
cos α = SaMi (Samping Miring) sin α cosα
tan α cot α
tan α = DeSa (Depan Samping) cosα sin α
27 June 2012

8. Contoh :
Diketahui nilai sin α = 0,8. Tentukan nilai perbandingan berikut.
a. cos α d. csc α
b. tan α e. cot α
c. sec α
Jawab :
8 Panjang AB 102 82
C sin α = 0,8 berarti sin α =
10
100 64
10 8
36
α
A B 6
6
Dengan mudah dapat ditentukan :
6 10 6
a. cos α = c. sec α = 6 e. cot α =
10 8
8 10
b. tan α = d. csc α =
6 8
27 June 2012

9. Contoh :
Jawab :
C Panjang AC 52 122
25 144
13 5
169
A B 13
12
Dengan mudah dapat ditentukan :
5 13 12
13 5 5
12 13
13 12
27 June 2012

10. 2. Nilai Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut-Sudut Istimewa
Dalam perbandingan trigonometri, sudut-sudut 0o, 30o, 45o , 60o,
dan 90o disebut dengan sudut-sudut istimewa.
Nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut tersebut,
dapat ditampilkan dalam tabel berikut.
0o 30o 45o 60o 90o
sin 0 1 1 1 1
2 3
2 2 2
cos 1 1 1 1 0
3 2
2 2 2
tan 0 1 1
3 3
3
27 June 2012

11. Contoh :
Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitung nilai
cos 60o – sin 30o – tan 45o
Jawab :
1 1
cos 60º – sin 30º – tan 45º 1 1
2 2
3. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut di Berbagai Kuadran
Y
Kuadran
Kuadran II Kuadran I
I II III IV
X sin α + + - -
Kuadran III Kuadran IV cos α + - - +
tan α + - + -
27 June 2012

12. 4. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
a. Relasi Sudut α dan (90o – α) di Kuadran I
sin (90o – α ) = cos α
cos (90o – α ) = sin α
tan (90o – α ) = cot α
b. Relasi Sudut α dan (180o – α) di Kuadran II
sin (180o – α ) = sin α
cos (180o – α ) = -cos α
tan (180o – α ) = -tan α
27 June 2012

13. c. Relasi Sudut α dan (180o + α) di Kuadran III
sin (180o + α ) = - sin α
cos (180o + α) = - cos α
tan (180o + α) = tan α
d. Relasi Sudut α dan – α atau (360o - α) di Kuadran IV
sin (360o - α) = -sin α
cos (360o - α ) = cos α
tan (360o + α ) = -tan α
Selain itu, juga tampak
sin (- α) = - sin α
cos (- α) = cos α
tan (- α) = -tan α
27 June 2012

14. Contoh :
Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah nilai
4
a. sin 150o ; c. tan c. tan (-330o)
3
b. cos 240 o d. sin (–210o)
Jawab :
a. Sudut 150o terletak di kuadran II. Oleh karena itu, sin 150o dapat
1
dinyatakan sebagai sin (180o – 30o) = sin 30o =
2
b. Sudut 240o terletak di kuadran III. Oleh karena itu, cos 240o dapat dinyatakan
1
sebagai cos 240o = cos (180o + 60o) = –cos 60o =
2
4 o. Berarti tan 4 o. Sudut
4
c. Sudut = 240 = tan 240 terletak di kuadran III.
3 3 3
Oleh karena itu,
4
tan = tan 240
3
= tan (180o + 60o) = tan 60o = 3
27 June 2012

15. d. sin (–210o) = –sin 210o
Sudut 210o terletak di kuadran III. Oleh karena itu.
sin (–210o) = –sin 210o = – sin (180o + 30o)
= –(–sin 30o)
1
2
e. tan (–330o) = –tan 330o
Sudut 330o terletak di kuadaran IV. Oleh karena itu,
tan (–330o) = –tan 330o = –tan (360o – 30o)
= –(–tan 30o)
= tan 30o
1
3
3
27 June 2012

16. C. Hubungan Perbandingan Trigonometri
dan Identitas Trigonometri
Nilai-nilai perbandingan trigonometri dari suatu-sudut
mempunyai suatu hubungan tertentu. Di antara
hubungan-hubungan perbandingan itu adalah sebagai
berikut.
2 2
1. sin + cos =1
2 2
2. sec = 1 + tan
sin
3. tan
cos
2 2
4. cos 1 csc
27 June 2012

17. D. Fungsi Trigonometri dan Grafiknya
1. Fungsi Trigonometri
Pemetaan-pemetaan atau fungsi-fungsi trigonometri
α sinα α tanα
α cosα
(a) (b) (c)
a. Gambar (a), fungsi sinus didefinisikan f : α → sin α, α R, dengan
f(α) = sin α.
b. Gambar (b), fungsi kosinus didefinisikan f : α → cos α, α R,
dengan f(α) = cos α.
c. Gambar (c), fungsi tangen didefinisikan f : α → tan α, α B, dengan
f(α) = tan α.
27 June 2012

18. 2. Grafik Fungsi Trigonometri
Periode fungsi f(x) = sin x dan f(x) = cos x adalah 2π atau
360o.
Amplitudo fungsi f(x) = sin x dan f(x) = cos x adalah 1.
a. Grafik Fungsi f(x) = sin x
1) Pilih titik-titik untuk sudut-sudut istimewa
2) Carilah nilai sinus masing-masing titik dan
tampilkan dalam tabel berikut.
1 1 1 1 2 5 7 4 3 5 11
x 0 2
6 4 3 2 3 6 6 3 2 3 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1
sin x 0 2 3 1 3 0 3 1 3 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2
27 June 2012

19. Berdasarkan tabel di atas, grafiknya tampak pada gambar berikut.
Y
1
f(x) sin x
2
0 X
-1 Amplitudo 1
Periode 2
Dari gambar di atas terlihat bahwa –1 ≤ sin x ≤ 1, untuk 0 ≤ x ≤ 2π. Hal yang
sama juga berlaku secara umum untuk – ∞ < x < ∞.
27 June 2012

20. b. Grafik Fungsi f(x) = cos x
0 1 1 1 1 2 5 7 4 3 5 11
x 2
6 4 3 2 3 6 6 3 2 3 6
cos x 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1
3 2 3 1 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Jika ditampilkan grafiknya adalah sebagai berikut.
Y
1 Amplitudo = 1
f(x) cos x Periode = 2π.
–1 ≤ cos x ≤ 1
2
0 X
-1
27 June 2012

21. c. Grafik Fungsi f(x) = tan x
1 1 1 1 2 5 7 4 3 5 11
x 0 2
6 4 3 2 3 6 6 3 2 3 6
1 1 1 3 1
tan x 0 3 1 3 3 3 0 3 3 3 0
3 3 3 3
Jika ditampilkan grafiknya adalah sebagai berikut.
Y
1
f(x) tan x
1 3 2
0 2 2 X
–∞ < tan x < ∞
Periode = π
-1
27 June 2012

22. F. Persamaan Trigonometri
1. Persamaan Trigonometri Sederhana
• Persamaan trigonometri dengan sudut derajat
Apabila sin xo = sin αo maka x = αo + k.360º atau
xo = (180o – αo) + k.360o
Apabila cos xo = cos αo maka xo = αo + k.360o atau
xo = – αo + k.360o
Apabila tan xo = tan αo maka xo = αo + k.180o.
• Persamaan trigonometri dengan sudut radian
Apabila sin x = sin maka x = + k . 2 atau x = ( - ) + k . 2
Apabila cos x = cos maka x = + k . 2 atau x = - + k . 2
Apabila tan x = tan maka x = + k . 2 atau x = +k.
27 June 2012

23. Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri
berikut.
Jawab :
Nilai x yang memenuhi adalah (untuk k = 0).
7
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
6
27 June 2012

24. 2. Persamaan Trigonometri Bentuk a cos x + b sin x = c
Bentuk a cos x + b sin x dapat diarahkan ke bentuk k cos (x – α).
Perlu diketahui bahwa cos (x – α ) = cos x cos α + sin x sin α
sehingga a cos x + b sin x = k . cos (x – α)
= k(cos x cos α + sin x sin α)
= (k cos α ) cos x + (k.sin α ) sin x
Hal ini sama artinya dengan a = k cos α dan b = k sin α
Ingat: cos2 α + sin2 α = 1
Oleh karena itu, a2 + b2 = (k . cos α )2 + (k.sin α )2
= k2(cos2 α + sin2 α ) = k2
a2 + b2 = k2
dengan syarat k2 ≥ c2
27 June 2012

25. G. Rumus-Rumus Segitiga
1. Aturan Sinus
Dalam setiap segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi BC, AC,
dan AB berturut-turut adalah a, b, dan c satuan panjang
dan besar sudut di hadapan sisi-sisi itu berturut-turut
adalah α , β , γ, berlaku aturan sinus berikut.
a b c
sin sin sin
Jika panjang sisi salah satu sudut dan
besar sudut di hadapan sisi tersebut
diketahui.
27 June 2012

26. Contoh:
Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 21 cm, dan β = 42o, tentukan
sudut-sudut segitiga ABC yang lain.
Jawab:
Diketahui, AC = b = 16 cm, β = 42o, AB = c = 21 cm,
γ=? BC = a = ? α =?
b c
sin sin
16 21
sin 42o sin
21 sin 42 o
sin 0,8782
16
Dengan menggunakan kalkulator, diperoleh γ = 61,43o
Setelah besar sudut γ dan β diketahui, besar sudut α juga dapat
dicari.
α = 180o – ( γ + β ) = 180o – (42o+ 61,43o) = 76,57o.
27 June 2012

27. 2. Aturan Kosinus
Dalam setiap segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi BC,
AC, dan AB berturut-turut adalah a, b, c dan besar
sudut di hadapan sisi-sisi itu berturut-turut adalah α,
β, dan γ, berlaku aturan kosinus.
a2 = b2 + c2 –2bc cos α
b2 = a2 + c2 – 2ac cos β
c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ
Aturan kosinus juga dapat digunakan untuk mencari unsur-unsur segitiga
yang belum diketahui.
Aturan sinus tidak dapat digunakan apabila yang diketahui hanya panjang
semua sisinya, tidak ada satu pun suatu sudut dan panjang sisi yang ada di
hadapannya diketahui besarnya.
Masalah ini dapat diatasi dengan aturan kosinus.
27 June 2012

28. Contoh:
Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 4 cm, AC = 6 cm, dan γ =
65o. Tentukan panjang sisi AB.
Jawab :
Misalkan
BC = a = 4 cm,
AC = b = 6 cm, dan
AB = c.
Dengan menggunakan aturan kosinus, panjang AB = c dapat dicari,
yaitu
c2 = a2 + b2 – 2 ab cos γ
= 42 + 62 – (2)(4)(6) cos 65o
= 16 + 36 – 48 (0,4226)
c2 = 31,7152 c = 5,6316
27 June 2012

29. H. Penerapan Trigonometri
1. Penerapan Trigonometri untuk Mencari Luas Segitiga
a.Jika unsur segitiga yang diketahui adalah
sudut α , panjang sisi b, dan panjang sisi c.
1
L= bc sin α
A 2
b. Jika unsur segitiga yang diketahui adalah
sudut β , panjang sisi a, dan c.
1
L= ac sin β
2
c. Jika unsur segitiga yang diketahui adalah
sudut γ , panjang sisi a, dan b.
1
L= ab sin γ
2
27 June 2012

30. Contoh:
Tentukan luas segitiga ABC apabila yang diketahui A = 120o, panjang AC = 10
cm, dan panjang AB = 8 cm.
Jawab:
Misalkan
AC =b = 10 cm,
AB =c = 8 cm, dan
α = 120o
Rumus yang digunakan :
1
L= bc sin α
2
1
L= (10)(8) sin 120O
2
1 1
L= (10)(8) 3
2 2
20 3
27 June 2012

31. 2. Luas Segitiga Jika diketahui panjang ketiga sisinya

33. 2. Penerapan Trigonometri dalam Kasus Umum
Contoh 1 :
Sebuah alat pengamat digunakan untuk mengamati sebuah balon
dengan sudut elevasi 60o. Jarak alat pengamat ke titik yang terletak di
tanah tepat di bawah balon adalah 245 m. Tentukan ketinggian balon
tersebut.
Jawab:
Perhatikan sketsa di samping.
Masalah tersebut dapat
diselesaikan menggunakan tangen
sudut.
y 0 y
tan 60 y 245 tan 60 245 3 424,35
x 245
Jadi, tinggi balon tersebut adalah 424,35 m
27 June 2012

34. Cara lain adalah menggunakan kosinus.
Dengan menggunakan kosinus, terlebih dahulu kalian cari panjang r.
x 245 245 245
cos 60 r 490
r r cos 60 0,5
Jadi, panjang r = 490 m.
Selanjutnya, dengan menggunakan rumus Pythagoras, dapat
dicari tinggi balon, yaitu
y r2 x2 4902 2452 424 35
,
Jadi, tinggi balon adalah 424,35 m.
27 June 2012

35. Contoh 2:
Sebuah pohon diamati oleh pengamat A dengan sudut elevasi 53o. Di lain
pihak, pengamat B juga mengamatinya dengan sudut elevasi 30o. Jika
jarak kedua pengamat 15 m, tentukan tinggi pohon tersebut.
Jawab:
Perhatikan sketsa di samping.
Pada gambar tersebut, panjang BD dapat dicari
dengan aturan sinus. CAD = 53o sehingga BAD =
180o – 53o = 127o.
Karena besar sudut DBA = 30o maka
BDA = 180o – ( DBA + BAD)
= 180o – (127o + 30o)
= 23o
27 June 2012

36. panjang BD panjang AB
sin BAD sin BDA
panjang AB sin BAD
panjangBD
sin BDA
15 sin 127
sin 23
15 0,7986
30 ,66 m
0,3907
Tinggi pohon = panjang CD. Perhatikan segitiga siku-siku BCD.
panjang CD
sin DBC
panjang BD
panjang CD panjang BD sin DBC
30 ,66 sin 30
30 ,66 0,5 15 ,33 (tinggi pohon)
27 June 2012