Buku ajar ini membahas tentang konsep geometri dasar seperti kongruensi pada segitiga, sifat-sifat segiempat, teorema Pythagoras, perbandingan seharga garis dan kesebangunan, beberapa teorema pada garis istimewa pada segitiga dan lingkaran. Peserta diharapkan dapat memahami konsep-konsep tersebut dan mampu menyelesaikan masalah-masalah geometri.

1. BUKU AJAR
GEOMETRI
Penulis
Dra. Kusni, M.Si
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MIPA
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2008

2. KATA PENGANTAR
Pada buku ajar ini dimulai dengan kongruensi,dilanjutkan dengan sifat-
sifat segiempat, luas, teorema Pythagoras,Perbandingan seharga
garis,sebangun,teorema pda garis istimewa pada segitiga,dan lingkaran.
Penulisan buku ajar ini dimulai dari hal yang paling dasar. Geometri sendiri
adalah merupakan materi dasar yang digunakan pada materi yang lainnya.
Contoh : kalkulus..
Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari buku ajar ini peserta
pelatihan diharapkan :
1. Memahami konsep Geometri
2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat Geometri
3. Mampu mandiri dalam menyelesaikan tugas-tugas Geometri
4. Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan Geometri
Dengan segala keterbatasannya, penulis tetap berharap buku ajar ini
dapat bermanfaat. Lebih dari itu, buku ajar ini diharapkan dapat digunakan
sebagai bahan diskusi.
Semoga Allah melipat gandakan amal baik kita semua.
2

3. DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN SAMPUL …... ………………………………………………………….. 1
HALAMAN FRANCIS ………………………………………………………………. 2
KATA PENGANTAR …………………………………………………………………. 3
DAFTAR ISI …………………………………………………………………………. 4
PETA KOMPETENSI ………………………………………………………………. 6
BAB I PENDAHULUAN ……………………………………………………………. 7
A. Deskripsi
B. Prasyarat
C. Petunjuk Belajar
D. Kompetensi dan Indikator
BAB II SAMA DAN SEBANGUN PADA SEGITIGA ……………………………… 9
A. Kompetensi dan Indikator
B. Uraian Materi
C. Latihan
D. Lembar Kegiatan Mahsiswa
E. Rangkuman
F. Tes Formatif
BAB III SEGI EMPAT ………………………………………………………………. 15
A. Kompetensi dan Indikator
B. Uraian Materi
C. Latihan
D. Lembar kegiatan Mahsiswa
E. Rangkuman
F. Tes Formatif
BAB IV PERBANDINGAN SEHARGA GARIS DAN SEBANGUN …………….. 29
A. Kompetensi dan Indikator
B. Uraian Materi
C. Latihan
D. Lembar Kegiatan Mahsiswa
E. Rangkuman
F. Tes Formatif
BAB V BEBERAPA TEOREMA PADA SEGITIGA ……………………………… 38
A. Kompetensi dan Indikator
B. Uraian Materi
C. Latihan
D. Lembar Kegiatan Mahsiswa
E. Rangkuman
3

4. F. Tes Formatif
BAB VI BEBERAPA TEOREMA PADA LINGKARAN …………………………… 41
A. Kompetensi dan Indikator
B. Uraian Materi
C. Latihan
D. Lembar Kegiatan Mahsiswa
E. Rangkuman
F. Tes Formatif
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ………………………………………………. 54
GLOSARIUM …………………………………………………………………………56
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………. 57
4

5. PETA KOMPETENSI BUKU AJAR
SAMA DAN SEBANGUN SEGI EMPAT
KONGRUENSI * SIFAT
* LUAS
TEOREMA PERBANDINGAN SEHARGA PYTHAGORAS
MENELAOS GARIS
CEVA KESEBANGUNAN
TEOREMA PROYEKSI
STEWART
TEO. GARIS ISTIMEWA
PADA SEGITIGA
TEOREMA PADA
LINGKARAN
5

6. BAB I
PENDAHULUAN
Deskripsi
Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsure dan
relasi yang ada diantara unsure tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang
merupakan benda abtra yang menjadi unsure dasar geometri. Berdasarkan
unsur-unsur inilah,didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada
pengertian bru sebelumnya.
Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama
yang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan
postulat.Berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang
disebut teorema. Teorema tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan teorema
yang ada sebelumnya.
Pada buku ajar ini dimulai dengan kongruensi,dilanjutkan dengan sifat-
sifat segiempat, luas, teorema Pythagoras,Perbandingan seharga
garis,sebangun,teorema pda garis istimewa pada segitiga,dan lingkaran.
Penulisan buku ajar ini dimulai dari hal yang paling dasar. Geometri sendiri
adalah merupakan materi dasar yang digunakan pada materi yang lainnya.
Contoh : kalkulus.
Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari buku ajar ini peserta
pelatihan diharapkan :
1. Memahami konsep geometri
2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat geometri
3. Mampu mandiri dalam menyelesaikn tugas-tugas geometri
4. Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan geometri.
Prasyarat
Pada buku ajar Geometri tidak diperlukan prasyarat, karena dapat
dikatakan bahwa geometri adalah materi dasar, sehingga dibutuhkan pada
materi lain.
Petunjuk Belajar
Mempelajari geometri berarti harus menggambar dan menyelesaikan soal.
Pada saat menggambar yang harus diperhatikan adalah ;
1. Jika gambar itu tidak menolong penyelesaian, maka umumnya tidak perlu
menggambar
2. Bila dijumpai banyak pertanyaan pada suatu soal, maka seringkali gambar
itu penuh dengan banyak garis, sehingga tidak lagi mempermudah
6

7. penyelesaan soal. Sebaiknya, apabila gambar itu sudah penuh, dibuat
gambar lain, kalau perlu untuk setiap pertanyaan satu gambar saja.
Pada saat menyelesaikan persoalan :
1. Soal geometri perlu diselesaikan secara pasti. Oleh karena itu perlu
mengenal teorema-teorema yang dapat digunakan sebagai pijakan.
Jangan ingin menyelesaikan geometri hanya dengan “mengarang”.
2. Geometri hanya dapat dipelajari secara intensif, jika bangun yang kita
tinjau itu kita selidiki sendiri.
Kompetensi dan Indikator
Kompetensi :
1. Memahami konsep geometri
2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat geometri
3 .Mampu mandiri dalam menyelesaikan tugas-tugas geometri
4 .Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan geometri.
Indikator:
1. Memahami tentang kongruensi dan mengembangkannya
2. Memahami tentang segi empat, sifatnya,luas, dan teorema Pythagoras.
3. Memahami perbandingan seharga garis-garis dan kesebangunan
4. Memahami beberapa teorema pada garis-garis istimewa pada segitiga
5. Memahami tentang perbandingan seharga garis dalam lingkran,lingkaran
luar dan dalam pada segitiga, segiempat talibusur dan segiempat
garissinggung
7

8. BAB II
SAMA DAN SEBANGUN (KONGRUENSI)
A. KOMPETENSI DAN INDIKATOR
KOMPETENSI :
1. Memahami konsep dan prinsip tentang kongruensi
2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan kongruensi
INDIKATOR :
1. Memahami tentang dua segitiga yang kongruen
2. Dapat menurunkan teorema kongruensi pada teorema dasar yang lainnya.
B. URAIAN MATERI
SAMA DAN SEBANGUN (KONGRUENSI) PADA SEGITIGA
DEFINISI
Dua segitiga dikatakan sama dan sebangun ( ) atau kongruen bila segitiga
yang satu dapat menutupi segitiga yang lain dengan tepat atau sebaliknya.
TEOREMA
Dua segitiga kongruen bila dua sisi dan sudut yang diapitnya sama (s.
sd. s)
C
Diketahui: x
ABC dan PQR
AC = PR
C= R
CB = PQ
Buktikan ABC PQR
Bukti: A B
Letakkan A pada P dan C pada R. R
Karena C= R maka kaki CB menutupi RQ x
Dan karena CB = RQ maka B berada di Q.
Jadi ABC menutupi PQR dengan tepat
atau ABC PQR
Akibatnya semua unsur yang seletak sama.
P Q
TEOREMA
Dua segitiga kongruen bila satu sisi dan 2 sudut pada sisi iyu sama (
sd. s. sd )
8

9. Dua segitiga kongruen bila satu sisi sama, 1 sudut pada sisi itu sama
dan sudut di depan sisi itu sama juga ( s. sd. sd )
Dua segitiga kongruen bila ketiga sisi sama ( s.s.s)
Dua segitiga siku-siku kongruen bila hypotenusa dan 1 pasang sisi
siku-siku sama.
C
TEOREMA
Pada segitiga samakaki, kedua sudut alasnya sama besar.
oo
Diketahui : 12
ABC samakaki. CA = CB
Buktikan : A= B
Bukti:
Tarik garis bagi CD dan tinjau ACD dan BCD
AC = BC (diketahui)
C1 = C2 (CD garis bagi)
CD = CD (berimpit)
Jadi ACD BCD (s.sd.s) ak: A= B
Perhatikan semua unsur yang seletak akan sama
yaitu AD = BD D1 = D2 AD garis berat 1 2
Juga didapat sifat bahwa pada segitiga samakaki A D B
garis bagi itu juga menjadi garis berat (karena AD = BD )
Karena D1 = D2 dan D1 + D2 = 1800 maka D1= D2 = 900.
Sehingga garis bagi itu juga menjadi garis tinggi (karena D1= D2 = 900 )
KESIMPULAN:
Pada samakaki, garis tinggi, garis bagi dan garis berat yang ditarik dari
puncak, dan sumbu alas berimpit.
TEOREMA
Jika dalam suatu segitiga, ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu
alas berimpit maka segitiga itu sama kaki (buktikan sendiri).
C. LATIHAN
1. Buktikan teorem berikut.
Dalam segitiga siku-siku, garis berat ke sisi miring sama dengan setengan
sisi miring (Buat dari titik B garis // AC dan memotong perpanjangan AD di
E, jika diketahui ABC siku-siku ( A = 900) dan AD garis berat ke sisi
miring).
2. Buktikan bahwa T.K. titik titik yang berjarak sama ke kaki-kaki sudut,
merupakan garis bagi suatu sudut.
9

10. 3. Diketahui ABC. AD garis berat. E pada perpanjangan AD sehingga
BE AD. F pada AD sehingga CF AD. Buktikan CE = BF
C
DE
F
B
A
4. Diketahui ABC samakaki. M sembarang pada alas AB garis g dan h
adalah sumbu AM dan BM. Garis g memotong AC di K, garis k
memotong BC di L. Buktikan AK=CL.
5. Diketahui ABC, A = 600, AD garis bagi, E dan F pada garis bagiini,
sehingga CE dan BF garis bagi ini.
1
Buktikan : CE + BF = (AB + AC).
2
6. Diketahui ABC samakaki. AC = BC, D pada perpanjangan AB, E pada
CD sehingga BE = DE, F pada CD sehingga AF//BE. Buktikan ACF
CBE!
C
F
E
A B D
D. LEMBAR KEGIATAN
1.Alat dan Bahan
Peserta pelatihan membawa dengan lengkap alat-alat yang dibutuhkan
yaitu : pinsil, bolpoint, jangka, penghapus, penggaris, penggaris siku-siku,
kertas garis ,kertas gambar, buku sumber, diktat Geometri
10

11. 2.Keselamatan dan Kesehatan Kerja
Peserta pelatihan membawa sendiri alat dan bahan dengan lengkap, tidak
boleh meminjam alat dan bahan dengan peserta pelatihan yang lain,
sehingga tidak mengganggu konsentrasi dan kenyamanan peserta
pelatihan yang lain.
3.Prasyarat
Peserta pelatihan telah menguasai tentang garis dan sudut
4.Langkah Kegiatan
Kegiatan Awal
Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan
dengan garis dan sudut.
Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan garis,melukis
garis,macam-macam sudut, dan klasifikasi segitiga ditinjau dari sisi dan
sudutnya(dengan menggunakan alat peraga).
Kegiatan Inti
Menjelaskan definisi kongruensi dan teorema kongruensi dari dua
segitiga,dan memberikan contohnya.
Menjelaskan teorema yang lain dengan menggunakan kongruensi
Diskusi kelas.
Kegiatan Akhir
Kesimpulan
Penilaian
Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.
5.Hasil
Peserta pelatihan memahami tentang kongruensi dua segitiga dan
teorema dasar tentang segitiga samakaki.
E. Rangkuman
1. Dua buah segitiga disebut kongruen jika salah satu segitiga
dapatditranformasikan dengan tranlasi,releksi, atau rotasi atau ketiganya
sehingga mereka dapat disusun tepat sama.
2. Untuk melihat dua segitiga kongruen cukup diselidiki salah satu dari syarat
berikut :
a. Kedua segitiga mempunyai tiga pasang sisi yang sama panjang
(s,s,s).
b. Kedua segitiga mempunyai dua pasang sisi sama panjang dan
sudut yang diapitnya sama besar (s,sd,s)
c. Kedua segitiga mempunyai dua sudut sama besar dan sisi yang
diapitnya sama panjang (sd,s,sd)
d. Kedua segitiga mempunyai satu sisi sama, sudut pada sisi itu dan
sudut dihadapan sisi itu sama juga.
3. Pada segitiga sama kaki mempunya sudut alas sama besar.
4. Pada segitiga samakaki ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas
11

12. berimpit.
F. Tes Formatif 1
I. Pilih satu jawaban yang paling tepat
1. Pada ABC yang sama kaki dan alasnya AB, ditarik garis bagi AD dan BE.
Maka:
a. AD = BE
b. CD = CE
c. CED = CDE
d. Semua jawaban salah.
2. Pada ABC sama kaki dan alasnya AB, ditarik garis bagi AD dan BE
yangberpotongan di T. Maka :
a. TD TE
b. AT = TB
c. AT = TC
d. BT = CT
3. Pada ABC samakaki. Pernyataan yang benar adalah :
a. Sudut alasnya sama besar
b. Hanya garis bagi dan garis berat dari puncak yang berimpit
c. Hanya garis tinggi dan garis bagi dari puncak yang berimpit
d. Ketiga garis istimewa dari puncak yang berimpit.
4. Pada ABC siku-siku ( A = 900) ,jika panjang BC = 8 cm, maka panjang
garis berat dari A adalah :
a. 8 cm
b. 6 cm
c. 4 cm
d. 3 cm
5. Diketahui trapezium ABCD dengan AB // CD dan AD = BC. Pernyataan
yang salah adalah :
a. AC = BD
b. A = B
c. ABC ABD
d. ABP CDP ( P perpotongan AC dengan BD)
6. Segitiga ABC dan PQR adalah segitiga siku-siku, A = P = 900. Jika
AB= PQ dan BC = PR, maka ABC PQR sebab komponen yang sama
adalah :
12

13. a. (s,s,sd)
b. (sd,s,s)
c. (s,sd,s)
d. (s,s,s)
7.Segitiga ABC siku-siku ( A= 900), Jika AC = 8 cm dan C = 300, maka
AB =
a. 3V3 cm
b. 5V3 cm
c. 6V3 cm
d. 7V3 cm
8.Segitiga ABC siku-siku ( A= 900), Jika AC = 8 cm dan C = 300, maka
BC =
a. 8/3V3 cm
b. 5V3 cm
c. 6V3 cm
d. 7V3 cm
II. Kerjakan semua soal dibawah ini :
1. Segitiga ABC siku-siku ( A= 900), Jika C = 300, buktikan bahwa BC =
2AB.
2. Diketahui ABC samakaki, AC = BC. Ttitik P sembarang pada alas AB. Q
dan R pada BC dan AC sehingga PQ BC dan PR AC. Buktikan : PQ +
PR = AS(garis tinggi ke salah satu kaki segitiga).
3. Melalui C dan B pada persegi ABCD dibuat garis yang membentuk sudut
150 dengan sisi BC sehingga berpotongan dititik P. Buktikan bahwa APD
adalah segitiga samasisi.
13

14. BAB III
SEGIEMPAT
A. KOMPETENSI DAN INDIKATOR
KOMPETENSI :
1. Memahami konsep dan prinsip tentang segi empat,luas, dan teorema
Pythagoras
2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan segi empat,luas,
dan teorema Pythagoras
INDIKATOR :
1. Memahami tentang jajar genjang, persegi panjang, persegi, belah ketupat,
layang-layang, dan trapezium.
2. Memahami tentang luas jajar genjang, persegi panjang, persegi, belah
ketupat, layang-layang, dan trapezium.
3. Memahami tentang teorema Pythagoras
B. URAIAN MATERI
Bila pada bidang datar terdapat 4 titik sembarang yang tidak segaris dan
keempatnya dihubungkan dengan garis lurus, maka terjadilah segi empat.
Ada beberapa segi empat yang akan dibicarakan, yaitu segi empat
sembarang, jajar genjang, persegi panjang belah ketupat, persegi, trapesium,
dan segi empat layang-layang.
Beberapa batasan:
1. Segi empat sembarang adalah segi empat yang keempat sisinya tidak
sama panjang dan keempat sudutnya tidak sama besar.
2. Jajaran genjang (paralellogram), adalah segi empat yang sepasang-
sepasang sisinya yang berhadapan sejajar.
3. Persegi panjang (rectangle), adalah jajar genjang yang salah satu
sudutnya 900.
4. Belah ketupat (rhombus), adalah jajar genjang yang dua sisinya yang
berurutan sama panjang.
5. Persegi (square), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 90 0.
6. Trapesium (trapezoid), adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang
sisi berhadapan yang sejajar.
7. Segi empat layang-layang (kite), adalah segi empat yang diagonalnya
saling tegak lurus dan salah satu diagonalnya terbagi dua sama panjang
oleh yang lain.
TEOREMA
14

15. Dalam jajar genjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan
sebaliknya bila dalam segi empat yang berhadapan sama, segi empat itu
adalah jajar genjang.
Diketahui : ABCD jajar genjang.
Buktikan : A= C
Bukti : Tarik diagonal BD
D C
2 1
ABD CDB, sebab:
B1 D1
D2 B2
BD BD
2 A C
1
A B
Sebaliknya: A= C
B= D
A+ B= C+ D = 1800 atau AD // BC dan AB // DC
atau ABCD jajaran genjang.
TEOREMA
Dalam jajaran genjang, sisi yang berhadapan sama panjang dan
sebaliknya bila sisi-sisi yang berhadapan dalam segi empat sama
panjang, maka segi empat itu adalah jajaran genjang.
Diketahui : ABCD jajaran genjang.
Buktikan : AB = DC dan AD = BC.
Bukti : tarik diagonal BD, maka :
D C
2 1
ABD CDB, sebab:
BD BD
B1 D1
D2 B2
2 AB = DC dan AD = BC
1
A B
Sebaliknya tetap berlaku, yaitu:
ABD CDB, sebab:
15

16. AB CD
AD BC
BD BD
B1 = D1 AB // DC ABCD jajaran genjang.
B2 = D2 AD // BC
TEOREMA
Kedua diagonal dalam jajaran genjang potong memotong di tengah-
tengah dan sebaliknya bila dalam segi empat, kedua diagonalnya
potong memotong di tengah-tengah maka segi empat itu adlah jajaran
genjang.
Diketahui : ABCD jajaran genjang. AC dan Bd berpotongan di S.
Buktikan : AS = CS dan BS = DS.
Buktikan : ABS CDS, sebab:
D C
2 1 1
2 AB DC
S A1 C1
3
1
4 2 B1 D1
AS = SC dan BS = SD
2
2
1 1
A B
Sebaliknya: ABS dan CDS tetap sama dan sebangun, sebab:
AS SC
BS DS
S4 S3
A1 C1 AB // DC .....................(1)
ASD CSB , sebab:
SD SB
SA SC
S1 S2
D2 B 2 atau AD // BC ........................(2)
Dari (1) dan (2) ABCD jajaran genjang
TEOREMA
16

17. Bila dalam segi empat sepasang sisi yang berhadapan sama dan
sejajar, maka segi empat itu adlah jajaran genjang.
Diketahui : AB // DC
Buktikan : ABCD jajaran genjang.
Bukti : Tarik diagonal BD
D C ABD CDB, sebab:
2 1 AB DC
B1 D1
BD BD
B2 D2 AD // BC
Karena sudah diketahui AB //
2 DC, maka ABCD jajaran
1
A B genjang.
Persegi panajng, adalah jajaran genajng yang salah satu sudutnya 90 0.
TEOREMA
Dalam persegi panjang kedua diagonalnya sama panjang dan
sebaliknya bila dalam jajaran genjang kedua diagonalnya sama panjang,
maka jajaran genjang itu adalah persegi panjang.
Diketahui : ABCD persegi panjang.
Buktikan : AC = BD
Bukti : ABC BAD, sebab:
D C
AB = AB
2
A= B = 900
S AD = BC
AC = BD
2
1 1
A B
Sebaliknya : AC = BD maka AS = SB = SD.
ABS dan ADS samakaki.
A1 = B1, A2 = D2 2 ( A1 + A2 ) = 1800.
0
A1,2 = 90 ABCD persegi panjang.
Belah ketupat, adalah jajaran genjang yang 2 sisi berdekatan sama panjang.
17

18. TEOREMA
Dalam belah ketupat, diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudutnya
menjadi 2 bagian yang sama dan kedua diagonalnya itu saling tegak
lurus.
Diketahui : ABCD belah ketupat.
Buktikan : a. A1 = A2
b. B1 = B2
c. AC BD
Bukti : ABS ADS, sebab :
AB = AD
AS = AS
D BS = DS
C
A1 = A2 dan S1 = S2
Karena S1,2 = 1800, maka S1 = S2
S = 900
1
2 AC BD
ABS CBS, sebab :
1
2 AB = CB
2 1
A B SB = SB
AS = SC
B1 = B2
TEOREMA
Bila dalam jajaran genjang diagonalnya membagi sudut menjadi 2
bagian yang sama, maka jajaran genjang itu adalah belah ketupat.
Diketahui : ABCD jajaran genjang dan A1 = A2
Buktikan : ABCD belah ketupat.
Bukti : ABC ADC, sebab :
D C
1
2 A1 = A2
AC = AC
C1 = C2
1
2
A B
18

19. AB AD ABCD belah ketupat.
TEOREMA
Bila dalam jajaran genjang, kedua diagonalnya saling tegak lurus, maka
jajaran genjang itu adalah belah ketupat.
Diketahui : ABCD jajaran genjang dan AC BD.
Buktikan : ABCD belah ketupat.
Bukti : ABS CBS, sebab:
D C
AS = CS
S S1 = S2 = 900
2
1 BS = BS
AB = CB ABCD belah ketupat
A B
Persegi (bujur sangkar), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 90 0.
Jadi, persegi adalah segi empat beraturan.
TEOREMA
Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga akan
sejajar dengan sisi yang ketiga dan panjangnya setengah sisi yang
ketiga itu.
Diketahui : ABC. Titik D dan titik E tengah-tengah AC dan BC.
1
Buktikan : DE // AB dan DE = AB.
2
Bukti : Sambung DE dengan EF = ED. Hubungkan BD dan CF dan BF.
19

20. DBFC jajaran genjang, sebab:
DE = EF; CE = EB.
Jadi BF // AC atau BF # AD atau ABFD jajaran genjang sehingga AB //
DE.
1
AB = DF AB = 2 DE. Jadi, DE // AB dan DE = AB.
2
DE disebut paralel tengah segitiga ABC.
B
D E F
A B
TEOREMA
Garis berat ke sisi miring suatu segitiga siku-siku setengah sisi miring
itu.
Diketahui : ABC siku-siku. C N
A = 900, AM garis berat.
1
Buktikan : AM = BC.
2 M
Bukti : Sambung AM dengan MN = MA, maka
ABNC jajaran genjang, tetapi A = 900 1
ABNC persegi panjang. 2
1 A B
AN = BC atau AM = BC.
2
Trapesium, adalah segi empat yang sepasang sisinya yang berhadapan
sejajar. Ada tiga macam trapesium, yaitu trapesium sembarang, trapesium
siku-siku, dan trapesium sama kaki.
TEOREMA
Dalam trapesium samakaki, kedua diagonal sama panjang dan sudut-
sudut alas sama besar.
Diketahui : ABCD trapesium samakaki. D C
Buktikan : A= B dan AC = BD.
Bukti : Tarik CE // DA, maka AECD jajaran
Genjang, AD = CE, AD = BC
20

21. Jadi CE = BC atau BCE samakaki
E = B; E= A (sehadap)
A= B.
ABC BAD, sebab
AB = AB ; BC = AD; A= B.
AC = BD.
TEOREMA
Garis yang menghubungkan pertengahan-pertengahan kaki suatu
trapesium sejajar deagan sisi-sisi sejajarnya dan panjangnya setengah
jumlah sisi yang sejajar.
Diketahui : Trapesium ABCD. AE = ED ; BF = FC.
Buktikan : a. EF // AB // DC.
1
b. EF = (AB + DC).
2
Bukti : sambung DF dan AB hingga berpotongan di G.
BGF CDF, sebab:
BF = CF; F1 = F2; D1 = G1 D C
1
DC = BG dan DF = FG
Atau EF paralel tengah AGD sehingga E 1 F
1 2
EF // AG dan EF = AG
2 1 G
1 A B
Atau EF // AB // DC dan EF = (AB + DC).
2
LUAS
D C
TEOREMA
p Luas persegi panjang sama dengan
panjang dikali lebar
A l B
D C
TEOREMA
Luas jajaran genjang sama dengan alas
dikali tingginya.
A E B F
C D
TEOREMA
t
21

22. Luas segitiga sama dengan setengah dari
alas dikali tingginya.
G D C TEOREMA
Luas trapesium sama dengan jumlah sisi-
sisi sejajar dikali tingginya dibagi dua.
t t
A F B
D
TEOREMA
Luas segiempat yang diagonal-
A C
E diagonalnya saling tegak lurus, sama
dengan setengah perkalian diagonal-
diagonalnya.
B
c3 c2 c c1
Melalui C ditarik garis // AB. Tentukan c1, c2,
dan c3 pada garis tersebut.
Maka luas ABC1 = luas ABC2 = luas
ABC3 karena mempunyai garis tinggi yang
sam dan satu sisi persekutuan.
D
TEOREMA PYTAGHORAS
H C
E
M
K
A
I B
22

23. IV
III V I
IV
I III
II
II
V
Dengan menggunkan gambar diatas buktikan teorema pytaghoras.
C. LATIHAN
1. Gambar dibawah adalah persegi panjang ABCD dan DEFG diketahui AB
= 10 cm, AD = 24 cm, EF = 12 cm, dan ED = 18 cm. Berapakah selisih
luas bangun yang diarsir.
A D
E
C
B
G
23

24. 2. Dalam ABC, AB diperpanjang dengan BF = c BC dengan CD = a dan
CA dengan AE = b. Buktikan luas DEF = 7 x luas ABC.
3. Lukis sebuah segitiga yang sama dengan sebuah segiempat ABCD yang
diketahui
C
D
A B
4. Dalam jajaran genjang ABCD ditentukan sembarang titik P dan titik ini
dihubungkan dengan titik sudut.
Buktikan : Luas PAB – luas PCB = luas PAD – luas PCD.
5. AB adalah alas ABC
Pada sisi AC dan BC dilukiskan kesebelah luar sembarang jajar genjang
ACDE dan BCFG. ED dan GF setelah diperpanjang berpotongan di P.
Ditarik PC seterusnya di sebelah bawah AB ditarik garis AH # PC dan
disudahkan dengan jajar genjang BAHK.
Buktikan : Luas BAHK = luas ACDE + luas BCFG
6. Kubus ABCD. EFGH. CB diperpanjang dengan BP = CB, buktikan PFD
adalah siku-siku.
D. LEMBAR KEGIATAN
1.Alat dan Bahan
Peserta pelatihan membawa dengan lengkap alat-alat yang dibutuhkan
yaitu : pinsil, bolpoint, jangka, penghapus, penggaris, penggaris siku-siku,
kertas garis ,kertas gambar, buku sumber, diktat Geometri
2.Keselamatan dan Kesehatan Kerja
Peserta pelatihan membawa sendiri alat dan bahan dengan lengkap, tidak
boleh meminjam alat dan bahan dengan peserta pelatihan yang lain,
sehingga tidak mengganggu konsentrasi dan kenyamanan peserta
pelatihan yang lain.
24

25. 3.Prasyarat
Peserta pelatihan telah menguasai tentang kongruensi
4.Langkah Kegiatan
Kegiatan Awal
Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan
dengan kongruensi.
Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kongruensi
Kegiatan Inti
Menjelaskan definisi jajar genjang, persegi panjang, persegi,
belahketupat, layang-layang, trapezium, dan luas jajar genjang, persegi
panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, dan trapezium ,serta
memberikan contoh dan bukan contoh.
Menjelaskan teorema Pythagoras, triple Pythagoras, dan aplikasinya.
Diskusi kelas.
Kegiatan Akhir
Kesimpulan
Penilaian
Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.
5.Hasil
Peserta pelatihan memahami tentang jajar genjang, persegi panjang,
persegi, belahketupat, layang-layang, trapezium. Luas jajar genjang,
persegi panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, trapezium,serta
dapat memberikan contoh dan bukan contoh.
Dapat menjelaskan teorema Pythagoras, triple Pythagoras, dan
aplikasinya
E. Rangkuman
1. Segi empat sembarang adalah segi empat yang keempat sisinya tidak
sama panjang dan keempat sudutnya tidak sama besar.
2. Jajaran genjang (paralellogram), adalah segi empat yang sepasang-
sepasang sisinya yang berhadapan sejajar.
3. Persegi panjang (rectangle), adalah jajar genjang yang salah satu
sudutnya 900.
4. Belah ketupat (rhombus), adalah jajar genjang yang dua sisinya yang
berurutan sama panjang.
5. Persegi (square), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 90 0.
6. Trapesium (trapezoid), adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang
sisi berhadapan yang sejajar.
7. Segi empat layang-layang (kite), adalah segi empat yang diagonalnya
saling tegak lurus dan salah satu diagonalnya terbagi dua sama panjang
oleh yang lain.
F. Tes Formatif
25

26. I. Pilih satu jawaban yang paling tepat
1. Bangun datar dibawah ini adalah segiempat yang mempunyai dua pasang
sisi yang sejajar, kecuali
a. jajargenjang
b. persegipanjang
c. belahketupat
d. layang-layang
2. Dalam suatu belah ketupat ABCD garis tegaklurus dari B pada sisi AD
membagi dua sama panjang. Maka besar A :
a. 1200
b. 900
c. 600
d. 450
3. Trapesium ABCD, dengan AB = 10 cm, CD = 7 cm, sedangkan AD = BC=
3 cm. Maka besar A :
a. 1200
b. 900
c. 600
d. 450
4.Pertengahan-pertengahan sisi-sisi trapezium sama kaki merupakan titik-
titik sudut suatu :
a. jajargenjang
b. persegi
c. persegipanjang
d. belahketupat.
5.Diagonal laying-layang ABCD berpotongan di P. AP = PD dan ABD =
300.Jika AD = 10V2, maka luas ABCD =
a. 100
b. 100(1 + V3)
c. 100V3
d. 300
6. Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD BC,maka
luas jajargenjang ABCD adalah :
a. 48 cm2
b. 60 cm2
c. 80 cm2
d. 86 cm2
7.Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD BC, maka
panjang jarak AB dan CD adalah :
a. 4,8 cm
26

27. b. 6 cm
c. 8 cm
d. 8,6 cm
8.Diketahui belahketupat ABCD dan BFDE dengan E, F terletak pada AC.Jika
BD = 50 cm dan AE = 24 cm . Maka luas daerah BCDF + ABED adalah :
a. 50 cm2
b. 100 cm2
c. 600 cm2
d. 1200 cm2
II. Kerjakan semua soal dibawah ini
1. Dalam persegi panjang ABCD terdapat titik P. Buktikan bahwa : PA 2 + PC2
= PB2 + PD2
2.Diketahui jajar genjang ABCD. AB = 20. Garis bagi dalam A dan D
berpotongan di E. AE = 16, DE = 12.Hitung luas ABCD.
3. Diketahui jajar genjang ABCD. Garis l memotong AB dan AD sehingga
E,F,G dan H pada l. AE,BF, CG, DH l. Buktikan : BF + DH = CG - AE
27

28. BAB IV
PERBANDINGAN SEHARGA GARIS DAN SEBANGUN
A. Kompetensi dan Indikator
Kompetensi
1. Memahami tentang perbandingan seharga garis dan sebangun
2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan perbandingan
seharga garis dan kesebangunan
Indikator
1. Memahami perbandingan seharga garis.
2. Memahami tentang bangun-bangun yang sebangun.
B. URAIAN MATERI
TEOREMA
Bila beberapa garis sejajar dipotong oleh sebuah garis atas potongan-
potongan yang sama, maka garis-garis sejajar itu dipotong oleh garis
potong yang lain atas potongan-potongan yang sama juga.
Diketahui : garis-garis a // b // c dipotong di A, B, dan C sehingga AB = BC
Buktikan : garis m memotong a, b, c di D, E, dan F sehingga DE = EF.
Bukti :
Tarik dari D (lihat gambar) garis // l, memotong garis b di G dan tarik dari E
garis EH sejajar l, maka ABGD dan BCHE jajaran genjang hingga AB = BC =
DG = EH.
DGE EHF sebab DG = EH; G1 = H1 = B1 = C1, dan E1 =
F1 jadi DE = EF.
l m
a A D
1 1 1
b B G E
1 1 1
c C H F
28

29. TEOREMA
Bila beberapa garis sejajar dipotong oleh sebuah garis atas
perbandingan tertentu, maka garis-garis sejajar itu dipotong oleh garis
potong yang lain atas perbandingan yang tertentu juga.
Diketahui : garis-garis a // b // c dipotong oleh garis l atas perbandingan 2 : 3,
maka garis potong m akan memotong a, b, c atas perbandingan 2 : 3 juga.
Bukti :
Tarik dari titik-titik bagi G, H, K garis-garis // a // b // c didapat L, M, N pada
garis m maka : AG = GB= BH = HK = KC,
Menurut dalil 44 maka DL = LE = EM = MN = NE, maka DE : EF = 2 : 3 juga.
l m
a A D
G L
B E
b
H M
K N
C F
c
BEBERAPA BATASAN :
bila satu titik dikalikan terhadap satu titik lain dengan satu faktor k,
maka hasilnya sebuah titik yang jaraknya k kali jarak titik itu kepusat
perkalian (pusat dilatasi).
bila sepotong garis dikali dengan faktor k terhadap satu titik,
hasilnya sebuah garis sejajar garis semula dan panjangnya k kali
panjang garis semula.
Bila faktor perkalian positif, hasilnya sejajar dan searah, bila negatif
hasilnya sejajar berlawanan arah.
dua segitiga disebut sebangun jika segitiga yang satu dapat
didilatasikan sedemikian sehingga hasilnya sama dan sebangun
dengan bangun yang lain.
TEOREMA
Dua segitiga sebangun bila sisi-sisi segitiga yang satu sebanding
dengan sisi-sisi segitiga yang lain.
29

30. C1 R
C
B B1
Q
O
A
A1 P
Diketahui : ABC dan PQR dengan AB : BC : CA = PQ : QR : RP
Buktikan : ABC PQR
PQ
Bukti : Kalikan ABC terhadap O dengan faktor k maka didapat
AB
A1B1C1
PQ
A1B1 . AB PQ , begitu juga B1C1 =QR dan C1A1=RP
AB
A1B1C1 PQR atau ABC PQR
TEOREMA
Dua segitiga sebangun bila dua sudut-sudutnya sama besar.
Diketahui : ABC dan PQR dengan A P; B Q
Buktikan : ABC PQR
Bukti :
PQ PQ
Kalikan ABC dengan k maka A1B1 . AB PQ
AB AB
A A1 ; B B1 A1 P dan B1 Q
A1B1C1 PQR atau ABC PQR
C1 R
C
B B1
O Q
A
A1 P
30

31. TEOREMA
Dua segitiga sebangun bila sepasang sudut sama besar dan sisi-sisi
yang mengapit sebanding.
Diketahui : ABC dan PQR dengan A P dan AB : AC = PQ : PR
Buktikan : ABC PQR
C1 R
C
B B1
O Q
A
A1 P
Bukti :
PQ PQ
Kalikan ABC dengan k maka A1B1 . AB PQ dan
AB AB
PR PQ PR
A1C1 . AC PR sebab
AC AB AC
A1B1C1 PQR atau ABC PQR
Dalil-dalil mengenai sebangun ini dapat dipergunakan untuk membuktikan
sudut-sudut sama besar atau sisi-sisi sebanding.
TEOREMA
Luas segitiga yang sama alasnya berbanding seperti tingginya dan
sebaliknya bila tingginya sama, luasnya berbanding seperti alasnya.
Diketahui : ABC dan PQR dan AB = PQ
Luas ABC t1
Buktikan :
Luas PQR t2 R
C
t1 t2
A D B P S Q
31

32. Bukti :
1 1
Luas ABC =
. AB.CD .a..t1 ………………………………….(1)
2 2
1 1
Luas PQR = .PQ.RS .a..t 2 ………………………………….(2)
2 2
1
.a.t
Luas ABC 2 1 t1
Luas PQR 1 t2
.a.t 2
2
1
.a1 .t
Luas ABC 2 a1
Sebaliknya jika t1=t2 maka
Luas PQR 1 a2
.a 2 .t
2
TEOREMA
Luas dua segitiga yang mempunyai sepasang sudut yang sama,
berbanding seperti perkalian sisi-sisi yang mengapitnya.
Diketahui : ABC dan PQR dengan A P
Luas ABC AB. AC
Buktikan :
Luas PQR PQ.PR
C
R
t1
t2
A D B P S Q
Bukti :
Tarik CD AB dan RS PQ, maka ACD PRS, jadi AC : PR = t 1 : t2
1
. AB.t1
Luas ABC 2 AB.t1 AB. AC
Luas PQR 1 PQ.t 2 PQ.PR
.PQ.t 2
2
Berlaku juga bila 2 sudut itu berpelurus sesamanya
32

33. TEOREMA
Perbandingan luas 2 segitiga yang sebangun adalah sama dengan
kuadrat dari perbandingan sepasang sisi seletak.
Diketahui : ABC PQR
Luas ABC AB 2 AC 2 BC 2
Buktikan :
Luas PQR PQ 2 PR 2 QR 2
Bukti :
ABC PQR maka A P
AB AC
PQ PR
Luas ABC AB. AC AB. AB AB 2
Luas PQR PQ.PR PQ.PQ PQ 2
R
C
B P Q
A
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa perbandingan luas kedua
AC 2 BC 2
segitiga akan sama dengan juga.
PR 2 QR 2
C. LATIHAN
1. Titik M pada pertengahan hipotema BC suatu segitiga siku-siku ABC.
Melalui M dibuat garis tegak lurus BC yang memotong AB dan AC di P
dan Q. Buktikan MA2 = MP xMQ
2. Diketahui trapesium ABCD. AB//DC, AB=a, DC=b. E pada BC sehingga
EF//AB, AE : ED = p : q. Nyatakan EF dengan a, b, p, dan q!
3. Diketahui ABC, AB=c; CD = t. sebuah persegi PQRS ada di dalam
segitiga itu dengan P dan Q pada AB, R pada BC dan S pada AC.
Nyatakan sisi bujursangkar itu dengan c dan t!
4. Diketahui jajargenjang ABCD. Titik T pada DC (DT<TC). Tariklah melalui
T sebuah garis yang membagi jajargenjang itu menjadi 2 bagian yang
sama luas!
33

34. 5. Pada sebuah dengan sudut 900 dan 600 ditarik garis tinggi pada sisi
miring dan garis bagi sudut lancip yang besar. Buktikan garis yang
menghubungkan titik ujung garis-garis itu membagi segitiga itu menjadi
dua bagian sama besar.
D. LEMBAR KEGIATAN
1.Alat dan Bahan
Peserta pelatihan membawa dengan lengkap alat-alat yang dibutuhkan
yaitu : pinsil, bolpoint, jangka, penghapus, penggaris, penggaris siku-siku,
kertas garis ,kertas gambar, buku sumber, diktat Geometri
2.Keselamatan dan Kesehatan Kerja
Peserta pelatihan membawa sendiri alat dan bahan dengan lengkap, tidak
boleh meminjam alat dan bahan dengan peserta pelatihan yang lain,
sehingga tidak mengganggu konsentrasi dan kenyamanan peserta
pelatihan yang lain.
3.Prasyarat
Peserta pelatihan telah menguasai tentang kesejajaran
4.Langkah Kegiatan
Kegiatan Awal
Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan
dengan kesejajaran.
Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kesejajaran
Kegiatan Inti
Menjelaskan tentang perbandingan seharga garis-garis
Menjelaskan tentang kesebangunan dan aplikasinya.
Diskusi kelas.
Kegiatan Akhir
Kesimpulan
Penilaian
Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.
5. Hasil
* Peserta pelatihan memahami tentang perbandingan seharga garis.
* Peserta pelatihan memahami tentang bangun yang sebangun.
E. Rangkuman
Dua bangun disebut sebangun jika segitiga yang satu dapat didilatasikan
sedemikian sehingga hasilnya sama dan sebangun dengan bangun yang
lain.
* Luas dua segitiga yang mempunyai sepasang sudut yang sama,
berbanding seperti perkalian sisi-sisi yang mengapitnya.
34

35. * Perbandingan luas 2 segitiga yang sebangun adalah sama dengan kuadrat
dari perbandingan sepasang sisi seletak.
F. Tes Formatif
I Pilih satu jawaban yang paling tepat
1. Diketahui jajar genjang ABCD. E pada AC, sehingga AE : EC = 1 :3
ditarikdari E garis sejajar AB memotong BD di F. Jika AB = 24 , maka EF
=
a. 12
b. 10
c. 8
d. 6
2. Persegi ABCD diketahui panjang sisinya =8. P pada AD dan Q pada AB
sehingga DP = AQ = 6. CP dan DQ berpotongan di R. Maka panjang DR
=
a. 6
b. 4,8
c. 4
d. 3,8
3. Diketahui ABC . AB = 24. Pada AB terletak titik P sehingga AP = 2/3
AB. Q pada CP hingga CQ : QP = 3 : 1.Perpanjangan AQ memotong BC
di R. Diarik dari R garis sejajar AB dan memotong CP di S. Panjang RS =
a. 8
b. 6
c. 5 1/3
d. 5
4. Pada jajargenjang ABCD diketahui P pada DC. Garis yang melalui A dan
P memotong BD dan perpanjangan BC di Q dan R. Jika AQ = 12 dan PR
= 10. Maka PQ =
a. 12
b. 10
c. 8
d. 6
5. Diketahui ABC. AB = 28, P pada AB sehingga AP = 12. Q pada BC dan
PQ//AC. R pada AC dan PR//BC. S pada BC dan RS//AB. PQ dan RS
berpotongan di T. Bila QS = 4, maka PR =
a. 12
b. 10
c. 8
d. 6
35

36. 6. Diketahui ABC. D dan E di tengah-tengah AB dan AC. Sebuah garis
melalui E memotong CD dan CB di F dan G. Jika BG = 16 dan EF : FG =
3 : 2, maka CG =
a. 12
b. 10
c. 8
d. 6
7. Diketahui ABC. Pada BC terletak titik D, sehingga CD = 2/5 BC dan
pada AB titik E, sehingga AE = 1/3 AB. AD dan CE berpotongan di S.
Maka : AS : SD =
a. 2 : 3
b. 3 : 4
c. 4 : 5
d. semua jawaban salah
8. Diketahui ABC. Pada BC terletak titik D, sehingga CD = 2/5 BC dan
pada AB titik E, sehingga AE = 1/3 AB. AD dan CE berpotongan di S.
Maka : CS : SE =
a. 2 : 3
b. 3 : 4
c. 4 : 5
d. semua jawaban salah
II. Kerjakan semua soal dibawah ini :
1. Diketahui panjang ruas garis a ,b,dan c. Lukiskanlah ruas garis x dan y,
jika
x b
x + y = a dan =
y c
2. Diketahui ABC siku-siku ( A = 900), B = 600 Buktikanlh bahwa garis
tinggi ke hypotenuse memotong garis bagi B di tengah-tengah.
3. Lukislah sebuah segitiga, jika diketahui dua sudut dan kelilingnya.
36

37. BAB V
BEBERAPA TEOREMA PADA SEGITIGA
A. Kompetensi dan Indikator
Kompetensi
1. Memahami tentang beberapa teorema pada garis-garis istimewa segitiga
2.Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan teorema -
teorema pada garis-garis istimewa segitiga
Indikator
1. Memahami teorema proyeksi pada segitiga siku-siku.
2. Memahami tentang teorema proyeksi pada segitig lancip dan tumpul
3. Memahami tentang teorema Stewart
4. Memahami tentang teorema garis bagi pqda segitiga
5. Memahami tentang teorema garis berat pqda segitiga.
6. Memahami tentang teorema garis tinggi pqda segitiga
7. Memahami tentang teorema Menelaos dan Ceva
B. URAIAN MATERI
Beberapa teorema dan Garis Istimewa Pada Segitiga
1. Teorema Proyeksi pada Segitiga Siku-siku
C
q D Lihat Gambar
a
P disebut proyeksi sisi siku-siku c pada sisi a.
b q disebut proyeksi sisi siku-siku b pada sisi a.
t p
A B
c
TEOREMA Kuadrat sisi siku-siku sama dengan hasil kali proyeksinya ke
sisi miring dan sisi miring sendiri.
Kuadrat garis tinggi ke sisi miring sama dengan hasil kali
bagian sisi miring.
Hasil kali sisi siku-siku sama dengan hasil kali sisi miring dan
garis tinggi ke sisi miring itu.
Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi
yang lain.
37

38. Buktinya sebagai berikut.
C Diketahui : ABC, A= , AD BC
q D a Buktikan :
1 2
b 1.
t p
1 2 2.
B 3.
A c
4.
Buktinya adalah sebagai berikut.
1. Lihat Lihat
maka maka
2. Lihat
maka
3. Karena
Maka
4. Dari hasil No. 1 :
+
2. Teorema Proyeksi pada Segitiga Lancip / Tumpul
C
b a
t
Buktinya sebagai berikut.
p q Diketahui :
A D c B
q proyeksi a pada c
Buktikan :
38

39. Bukti : Pada ; dan pada
C Jika tumpul maka buktikan bahwa
.
Bukti :
a
;
t b
p c B
D A
TEOREMA
Kuadrat sisi di hadapan sudut lancip (tumpul) sama dengan jumlah
kuadrat kedua sisi yang lain dikurangi (ditambah) dua kali sisi
yang satu dan proyeksi sisi yang kedua ke sisi yang pertama
TEOREMA STEWART
Teorema Stewart
Jika garis x yang ditarik dari titik C dan membagi sisi c dalam
dan maka
C Diketahui :
dengan dan
b a Buktikan :
x
A Bukti :
c1 E m D c2 B
Tarik garis CE AB, misal DE = m maka
1. Pada (lancip) 2. Pada (
Dari (1) dan (2) didapat :
39

40. GARIS ISTIMEWA DALAM SEGITIGA
TEOREMA Garis-garis berat dalam segitiga berpotongan atas bagian
yang perbandingannya 2 : 1.
C Diketahui :
E D
Berpotongan di Z
Z Buktikan : AZ = ZD = BZ : ZE = 2 : 1
A Bukti :
B
Hubungkan D dengan E maka DE // AB. Karena E dan D berturut-turut
1
tengah-tengah AC dan BC maka ED = AB (AB : DE = 2 : 1).
2
Lihat dan : ZED (dalam bersebrangan)
DZE (bertolak belakang)
Jadi AZ : ZD = BZ : ZE = AB : DE = 2 : 1
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan untuk garis berat melalui titik C.
TEOREMA Jika , dan berturut-turut garis berat ke sisi a, b, dan
c maka
A Diketahui : garis berat (AD = )
Buktikan :
c Bukti : Menurut Teorema Stewart
b
xa
C
B D
Dengan cara yang sama untuk dan .
TEOREMA Garis yang membagi sisi di depannya menjadi dua bagian
yang berbanding seperti sisi-sisi yang berdekatan.
40

41. C Diketahui : garis bagi
F dan
D Buktikan : : =c:b
b
Bukti :
Tarik garis DE AB den DF AC, maka
B
A c E DE = DF (
Lihat
i. Luas
ii. Jika garis tinggi dari A adalah maka :
Luas
Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan
Rumus itu juga berlaku untuk garis bagi luar, buktinya sbb :
Diketahui : garis bagi luar DA = p dan
E
C DB = q
Buktikan : p : q = b : a
b a Bukti :
D p A c Tarik garis DE BC dan DF AC, maka DE =
q B
DF ( )
Lihat
i. Luas
ii. Luas
Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan
TEOREMA Kuadrat garis bagi dalam sama dengan hasil kali sisi sebelah
dikurangi hasil kali bagian sisi di hadapannya.
C Diketahui : garis bagi dalam AD = p
dan DB = q
b a Buktikan :
Bukti :
A p q B
D CD garis bagi maka a : b = q : p atau ap =
bq
Menurut teorema Stewart :
41

42. Untuk garis bagi luar, . Buktinya sebagai berikut.
Diketahui : garis bagi luar AD = p
C dan BD = q
b a Buktikan :
D p c Bukti :
qA B
Menurut teorema Stewart :
TEOREMA Dua garis tinggi dalam segitiga berbanding terbalik terbalik
dengan sisinya
C Diketahui :
garis tinggi pada sisi a
b a garis tinggi pada sisi b
tb
ta Buktikan : t a : t b b : a
A B Bukti :
Luas ABC 1 t a a; luas ABC 1 t b
2 2 b
Sehingga didapat :
1 t a 1 t b
2 a 2 b
t a a tb b
t a tb b a
42

43. TEOREMA Jika diketahui ABC , 2 s a b c dan t a , tb , tc berturut-turut
garis tinggi pada a, b, dan c maka :
2
ta s ( s a ) ( s b) ( s c )
a
2
tb s ( s a ) ( s b) ( s c )
b
2
tc s ( s a ) ( s b) ( s c )
c
Bukti :
a b c 2s
a b c a b c 2c 2 s 2c 2( s c )
a b c a b c 2b 2 s 2b 2( s b)
a b c a b c 2 a 2 s 2 a 2( s a )
2
ta c2 p2
c2 a2 b2
p
2a
2
2 2 c2 a2 b2
ta c
2a
2 c2 a2 b2 c2 a2 b2
ta c c
2a 2a
2 2ac c 2 a 2 b 2 2ac c 2 a 2 b 2
ta
2a 2a
2 (a c) 2 b 2 b2 (a c) 2
ta
2a 2a
(a c b) (a c b) (b a c) (b a c)
2
ta
4a 2
2 2 s 2( s b ) 2( s c ) 2( s a )
ta
4a 2
2 4
ta s ( s a ) ( s b) ( s c )
a2
2
ta s ( s a ) ( s b) ( s c )
a
Demikian pula untuk tb dan tc .
43

44. 2
Luas ABC 1 s ( s a ) ( s b) ( s c ) s ( s a ) ( s b) ( s c )
2 a
Jadi Luas ABC s ( s a ) ( s b) ( s c )
TEOREMA MENELAOS
TEOREMA Jika sebuah transversal ABC memotong sisi-sisi Ab, BC, dan
CA berturut-turut di titik-titik P, Q, dan R maka
(ABP)(BCQ)(CAR) =1
C
Bukti :
a
c R
Q PA QB RC
b ( ABP) ( BCQ ) (CAR )
A B P PB QC RA
c b a
1
b a c
TEOREMA CEVA
TEOREMA Dalam ABC dibuat tiga transversal sudut yang memotong Ab,
BC, CA berturut-turut di P, Q, dan R, jika ketiga transversal
sudut tadi melalui satu titik (konruen) maka (ABP)(BCQ)CAR)
=1
Bukti :
S C l Dibuat garis l melalui C dan sejajar AB.
a1 : a 2 q : c
b1 a1
b1 : b 2 p : c
R
Q c1 : c 2 q : p
PA QB RC
b2 a2 (ABP)(BCQ)(CAR)
PB QC RA
q c p
1
p q c
A c1 P c2 B
44

45. C. LATIHAN
1. Diketahui jajar genjang ABCD. AD = 14, E pada AD sehingga AE = 2 ED.
BE dan AC berpotongan di F. g titik tengah FC atau FG : GC = 1 : 1. EG
memotong BC di H. Hitung CH.
2. Diketahui : ABC
1
Pada AB terletak titik D sehingga AD = DB dan pada AC terletak titik E
2
sehingga AE = 3 EC. BE dan CD berpotongan di F. Hitung CF : FD dan
BF : FE.
3. Pada ABC , D dan E ditengah BC dan AB. g pada AC dan Dg memotong
CE di F sehingga DF : FG = 2 : 3. Luas CgF = 56. Hitung luas ABC .
4. Pada ABC , AC = 4 dan BC = 5 CD garis bagi, AE garis berat dan luas
1
ADEC = 6 . Hitung luas BDE .
2
5. Pada ABC ( A = tumpul ) ditarik garis tinggi AD dan BE. Buktikan
DC BC
AC dan DEC B.
EC
6. Garis-garis tinggi AD dan BE sebuah ABC berpotongan di titik T.
Buktikanlah AD AT BT BE AB 2 . (Gunakan teorema Stewart).
D. LEMBAR KEGIATAN
1.Alat dan Bahan
Peserta pelatihan membawa dengan lengkap alat-alat yang dibutuhkan
yaitu : pinsil, bolpoint, jangka, penghapus, penggaris, penggaris siku-siku,
kertas garis ,kertas gambar, buku sumber, diktat Geometri
2.Keselamatan dan Kesehatan Kerja
Peserta pelatihan membawa sendiri alat dan bahan dengan lengkap, tidak
boleh meminjam alat dan bahan dengan peserta pelatihan yang lain,
sehingga tidak mengganggu konsentrasi dan kenyamanan peserta
pelatihan yang lain.
3.Prasyarat
Peserta pelatihan telah menguasai tentang kesejajaran dan kesebangunan
4.Langkah Kegiatan
Kegiatan Awal
Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan
dengan kesejajaran dan kesebangunan
Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kesejajaran dan
kesebangunan
Kegiatan Inti
Menjelaskan tentang teorema proyeksi pada segitiga siku-siku
45

46. Menjelaskan tentang teorema proyeksi pada segitig lancip dan tumpul
Menjelaskan tentang teorema Stewart
Menjelaskan tentang teorema garis bagi pqda segitiga
Menjelaskan tentang teorema garis berat pqda segitiga
Menjelaskan tentang teorema garis tinggi pqda segitiga
Menjelaskan tentang teorema Menelalos dan Ceva
Diskusi kelas.
Kegiatan Akhir
Kesimpulan
Penilaian
Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.
5. Hasil
* Peserta pelatihan memahami teorema proyeksi pada segitiga siku-siku.
* Peserta pelatihan memahami tentang teorema proyeksi pada segitiga
lancip dan tumpul
* Peserta pelatihan memahami tentang teorema Stewart
* Peserta pelatihan memahami tentang teorema garis bagi pada segitiga
* Peserta pelatihan memahami tentang teorema garis berat pada segitiga.
* Peserta pelatihan memahami tentang teorema garis tinggi pada segitiga
* Peserta pelatihan memahami tentang teorema Menelaos dan Ceva
.
E. Rangkuman
* Teorema Proyeksi pada segitiga lancip/tumpul
Kuadrat sisi di hadapan sudut lancip (tumpul) sama dengan jumlah kuadrat
kedua sisi yang lain dikurangi (ditambah) dua kali sisi yang satu dan proyeksi
sisi yang kedua ke sisi yang pertama
* Teoreme Stewart:
Jika garis x yang ditarik dari titik C dan membagi sisi c dalam dan
maka
F. Tes Formatif
I Pilih satu jawaban yang paling tepat
1.Diketahui ABC siku-siku. A = 900. P pada AC dan Q pada BC sehingga
PQ //AB. PQ = PA = 8. PQB = 1350. R pada BC sehingga QR = 4 (R
diantra B dan Q). Perpanjangan AR memotongperpanjangan PQ di S. AR =
a. 12
b. 10
c. 8
d. 6
2. Dengan menggunakan soal no 1, maka panjang QS =
46

47. a. 2
b. 2 2
c. 2 2+1
d. 16/7(2 2 + 1)
3.Diketahui ABC CF garis berat. BZ CF( Z titik berat) D pada BZ sehingga
BD = DZ. Panjang FD = 6 2. Maka panjang BC =
a. 2
b. 12 2
c. 14 2
d. 24 2
4. Diketahui ABC. AB = 46 dan BC = 26. Jika B= 2 A,maka panjang
AC =
a. 12 3
b. 10 3
c. 8 3
d. 8
5. Diketahui ABC. AD, BE, dan CF adalah garis berat. AD= 6; BE = 9 dan
AB = 8. Panjang CF =
a. 6
b. 8
c. 9
d. 3 10
6.Dari trapezium ABCD (AB//DC),AB = 30, CD = 18, BC = 10, dan AD = 8.
Panjang garis tegaklurus dri pertengahan BC ke AD =
a. 71/2 7
b. 7
c. 8
d. 6
7.Diketahui ABC siku-siku di C. Z adalah titik berat. CZ = 12dan BZ
CD.Panjang AB, BC dan AC adalah :
a. 36,12 3, dan 2 91
b. 36, 12, dan 91
c. 12, 12 3, dan 91 2
d. 12 3,36, dan 2 91
8. Dari trapezium ABCD (AB//DC), AC BD.AB = 2CD; AD = 8 dan BC =
11.Panjang AB =
a. 8
b. 11
c. 37
47

48. d. 2 37
II. Kerjakan semua soal dibawah ini :
1. Lukis ABC jika diketahui panjang ketiga garis berat AD = 6 cm; BE = 9
cm dan CF = 3 10cm.
2. Buktikanlah, bahwa jumlah kuadrat kedua diagonal sebuah jajar genjang =
jumlah kuadrat keempat sisinya.
3. Diketahui ABC, AB = 14, BC =, dan CA = 13 cm. Dibuat garis tinggi BE
dan CF. Tentukan luas AEF.
48

49. BAB VI
BEBERAPA TEOREMA PADA LINGKARAN
A. Kompetensi dan Indikator
Kompetensi
1. Memahami tentang beberapa teorema pada lingkaran
2.Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan teorema -
teorema pada lingkaran
Indikator
1. Memahami teorema tentang perbandingan seharga garis-garis dalam
lingkaran.
2. Memahami teorema tentang segitiga dan lingkaran luarnya.
3. Memahami teorema tentang segitiga dan lingkaran dalamnya
4. Memahami tentang teorema lingkaran singgung
5. Memahami tentang teorema segiempat talibusur.
6. Memahami tentang teorema segiempat garis singgung
B. URAIAN MATERI
PERBANDINGAN SEHARGA GARIS-GARIS DALAM LINGKARAN
TEOREMA Garis tegak lurus dari sebuah titik lingkaran ke garis
tengahnya ialah pembanding tengah antara bagian-bagian
garis tengah itu.
Diketahui : (M, R)
C . garis tengah
AB
CD AB
2
Buktikanlah CD AD AB
Bukti : Pada ABC C 90
A B Maka AD : CD = CD : BD (teorema)
D M
atau CD 2 AD AB
TEOREMA
Jika dari sebuah titik lingkaran ditarik sebuah tali busur dan
sebuah garis tengah, maka tali busur ini pembanding
tengah antara garis tengah dan proyeksinya pada garis ini.
49

50. C
Diketahui : (M, R)
.
AB garis tengah
CD AB
2
Buktikanlah CD AD AB (Buktikan sendiri)
A B
D M
TEOREMA Jika dua buah tali busur berpotongan di
dalamlingkaran, maka perkalian kedua bagian pada
tali busur yang pertama sama dengan perkalian
bagian-bagian pada tali busur yang kedua.
C Diketahui : (M, R)
B .
P AB dan CD berpotongan di P
A Buktikan : PA X PB = PC X PD
M (Buktikan Sendiri!)
D
TEOREMA
Jika dari sebuah titik di luar lingkaran ditarik 2 garis
potong maka perkalian bagian-bagian garis potong yang
pertama = perkalian bagian-bagian garis potong yang
kedua.
Diketahui : (M, R)
B .
P di luar lingkaran
A Buktikan : PA X PB = PC X PD.
M P
C (Buktikan Sendiri!)
D
TEOREMA
Jika dari sebuah titik di luar sebuah lingkaran ditarik
sebuah garis potong, maka garsi singgung ini menjadi
pembanding tengah antara bagian-bagian tengah garis
potong.
50

51. C Diketahui : (M, R)
.
B P di luar lingkaran
Buktikan : PA 2 PB PC
P (Buktikan sendiri!)
A
CATATAN :
1. Ketiga teorema terakhir di atas dapat juga dikatakan sebagai berikut :
hasil perbanyakan jarak-jarak P ke titik potong-titik potong A dan B dari
suatu garis yang berputar pada P dengan sebuah lingkaran, mempunyai
harga konstan.
2. Jika hasil perbanyakan PA x PB diberi tanda positif atau negative, maka
hasil perbanyakan dianggap positif jika P di luar lingkaran, dan negative
jika P di dalam lingkaran.
Hasil perbanyakan tadi ditulis PA PB .
Yang disebut Kuasa ( P, L) dari suatu titik P terhadap lingkaran L
ialah hasil perbanyakan PA PB .
A dan B adalah titik potong lingkaran itu dengan sebuah garis yang
melalui P. Kuasa ini positif, jika P di luar lingkaran, nol jika P pada
lingkaran dan negatif jika P terletak di dalam lingkaran.
TEOREMA Kuasa sebuah titik P terhadap lingkaran (M,r) = PM 2 - r 2 .
Bukti :
Kuasa P terhadap (M,r) = PA PB
.
( PA AC )( PC CB )
M
r ( PA AC ) ( PC AC )
P 2 2
B C A PC AC
PM 2 MC 2 AC 2
PM 2 ( MC 2 AC 2 )
PM 2 AM 2
PM 2 r 2
51

52. LINGKARAN LUAR
TEOREMA Jari-jari R lingkaran luar sebuah segitiga sama dengan
perkalian sisi-sisinya dibagi oleh 4 kali luas segitiga itu,
abc
atau R
4L
B
Diketahui : ABC dengan lingkaran luar O.
a AB = c, AC = b, BC = a.
c abc
tb O Buktikan : R .
4L
A D b C Bukti : Dari titik B telah kita tarik garis tinggi BD =
tb dan garis tengah BE = 2R. E dihubungkan dengan
E C.
Maka ABD ~ EBC , karena A E 1 BC dan D BCE 90 .
2
Dari kesebangunan ini diperoleh :
ac abc abc
c : tb 2 R : a atau 2 Rtb ac , jadi 2 R atau 2 R atau R .
tb btb 2btb
b tb 2 luas ABC . Jadi .
abc
R
4L
LINGKARAN DALAM
Titik pusat lingkaran dalam sebuah kita namakan I dan jari-jari lingkaran
dalam = r.
TEOREMA Jari-jari R lingkaran dalam sebuah = Luas dibagi 1
2
L
keliling, atau R
S
Diketahui : ABC
L
Buktikan : R .
S
C
Bukti : Luas AIB = 1 c x r
2
E
c Luas BIC = 1 a x r
a 2
D
r I
Luas CIA = 1 b x r +
2
B
A F b Luas ABC = 1 (a + b +c) r
2
52

53. Luas ABC = 1 s x r
2
luas ABC L
Atau r =
s s
Lihat gambar
AF = AD (mengapa?)
BF = BE (mengapa?)
CD = CE (mengapa?) +
AF + BF + CD = AD + BE + CE
AF + BF + CD = s atau AB + CD = s, jadi CD = s – c.
(buktikan : AF = s – a dan BF = s – b.
CATATAN :
AIB 180 1 ( A B) A B C 1 A 1 B 1 A 1 B 1 C
2 2 2 2 2 2
atauAIB ( 1 A 1 B 1 C) 1 C 90 1 C
2 2 2 2 2
Jika dari sebuah ABC diketahui alas c, sudut puncak C, dan jari-jari
lingkaran dalam R, maka dapat kita lukiskan AIB, karena dari segitiga ini
diketahui; alas sudut puncak dan tingginya (mengapa?). Setelah AIB
dilukiskan, maka lukisan ABC mudah sekali. (Bagaimana?).
LINGKARAN SINGGUNG
Lingkaran singgung suatu segitiga ialah lingkaran yang menyinggung
pada sisi segitiga itu dan pada kepanjangan-kepanjangan kedua sisi yang
lain.
C Sudah jelas bahwa sebuah segi tiga mempunyai tiga buah
lingkaran singgung.
1. Lingkaran I a yang menyinggung pada BC dan
mempunyai jari-jari ra .
2. Lingkaran I b yang menyinggung pada AC dan
A
D mempunyai jari-jari rb .
B
3. Lingkaran I c yang menyinggung pada AB dan
rc
F mempunyai jari-jari rc .
E rc rc
Ic
Q
P
I c ialah titik potong garis bagi luar A dan garis bagi C. Garis bagi luar
B juga harus melalui I c . Telah kita buktikan bahwa I c D = I c F. Jadi I c
53

54. terletak pada tk sekalian titik yang sama jauh letaknya dari kaki-kaki
ABQ dan itu ialah garis bagi luar B.
TEOREMA
Dalam ABC jari-jari lingkaran-lingkaran singgungnya
ialah :
L L L
ra , rb , rc
s a s b s c
L
Buktikan : rc
s c
C Bukti :
Ib Ia AC I c = 1 b x rc
Luas
2
G Luas CB I c = 1 a x rc
2 +
L H
A B Luas segi 4 CA I c B = 1 (a + b) rc
2
E 1 cx r
D Luas segi 3 AB I c = -
rc rc 2 c
Ic Luas ABC = 1 (a + b - c ) rc
2
Telah kita buktikan,bahwa 1 (a + b - c ) = s – c
2
L
Jadi ABC =(s-c) x rc atau rc
s c
L L
(buktikan : ra , rb )
s a s b
Lihat gambar, kemudian jawablah pertanyaan berikut
Mengapa CD = CE ?
Mengapa CD + CE = AC + BC + AB ?
Mengapa CD = s dan AD = s –b ?
Berapakah panjang AF, BF, dan BE ?
Nyatakanlah AK, AL, CK, CG, BG, dan BH dengan sisi-sisi ABC.
A I c B = 18 0 - I c AB - AB I c
= 18 0 - ( 1 B+ 1 C) – ( 1A+ 1 C).
2 2 2 2
=18 0 - 1 B- 1 C- 1 A- 1 C.
2 2 2 2
=9 0 - 1C.
2
A I c B dapat dilukiskan jika diketahui rc , c dan C.
Karena dari segi tiga itu sekarang diketahui alas, sudut puncak dan
tingginya.
Jika A I c B telah dilukiskan maka mudah kita memperoleh ABC.
54

55. abc r
L
r
L
, r
L
, r
L
R
KESIMPULAN : 4L , s , a
s a
b
s b
c
s c
Jika O pusat lingkaran luar ABC, I pusat lingkaran dalam
dan I a , I b , I c pusat lingkaran singgung, maka :
AOB = 2 C, BOC = 2 A, AOC = 2 B
AIB = 9 0 + 1 C, AIC = 9 0 + 1 B,
2 2
BIC = 9 0 + 1 A
2
A Ic B = 9 0 - 1 C, A I b C = 9 0 - 1 B,
2 2
B Ia C = 9 0 - 1 A
2
SEGIEMPAT TALI BUSUR
DEFINISI
Segiempat tali busur ialah sebuah segiempat yang
keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran.
TEOREMA Dalam segiempat tali busur sudut-sudut yang berhadapan
berpelurus sesamanya.
Diketahui : ABCD segiempat tali busur.
Buktikan : A + C =18 0
B
C Bukti : A = 1 BCD
2
C= 1 BAD
2 +
A A+ C= 1 ( BCD + BAD)
2
D Atau
A + C = 1 keliling linkaran = 18 0
2
AKIBAT : Sudut luar sebuah sudut pada segiempat tali busur = sudut
dalam berhadapan (mengapa?) . A = C1 .
TEOREMA Jika dua buah sudut yang berhadapan dalam sebuah
segiempat berpelurus sesamanya maka segiempat itu
ialah sebuah segiempat tali busur.
B
C
Diketahui : B + D = 18 0
Buktikan : A, B, C, dan D terletak pada satu lingkaran.
Bukti :
A Melalui A, B, dan C senantiasa dapat digambarkan
D sebuah lingkaran.
55

56. Kita umpamakan bahwa titik D tidak terletak pada lingkaran ini, maka
lingkaran ini memotong garis AD di P.
Akan tetapi tentu B + P = 18 0 . Sedangkan diketahui bahwa B +
D = 18 0
Jadi ini akan mengakibatkan, bahwa P = D. Akan tetapi P = C1 +
D
(mengapa?)
Perandaian bahwa D tidak terletak pada lingkaran itu, terbukti salah,
jadi D harus terletak pada lingkaran; dengan perkataan lain ABCD ialah
segiempat tali busur.
TEOREMA PTOLEMEUS
Dalam segiempat tali busur perkalian diagonal-diagonalnya
sama dengan junlah perkalian sisi-sisi yang berhadapan
D Diketahui : ABCD segiempat tali busur.
3 1 Buktikan : AC x BD = AB x DC + BC x AD
A 2
Bukti : Kita lukiskan CDE = ADB.
E C Maka DEC ~ DAB,
Karena ABD = ACD = 1 AD dan ADB =
2
EDC
B Akibat :
EC : AB = DC : DB
EC x DB = AB x DC .......................(i)
ADE ~ BDC, karena ADE = BDC (mengapa?) dan DAE
= DBC = 1 DC. Dari kesebangunan ini diperoleh : AE : BC = AD :BD
2
atau AE x BD = BC x AD..................(ii)
Jika (i) dan (ii) dijumlahkan maka diperoleh :
EC x BD = AB x DC
AE x BD = BC x AD
+
(AE + EC) x BD = AB x DC + BC x AD atau
AC x BD = AB x DC + BC x AD.
PENGGUNAAN SEGIEMPAT TALI BUSUR
a. menentukan kepanjangan dua sisi yang berhadapan dengan sisi
segiempat tali busur adalah a, b, c, dan d.
D Pada gambar BCE = A (mengapa?). E
c = E. Jadi ADE ~ CBE. Akibat :
d x : (a + y) = b : d atau dx = ab + by (1)
C
b x juga y : (c+ x) = b : d atau dy = bc + by (2)
A a B y E
56

57. Ini adalah dua persamaan dengan dua variabel
dx by ab atau dbx b 2 y ab 2 (1)
bx dy bc atau dbx d 2 y dbc (2) +
2 2
(d b ) y b( ab dc )
b ( ab dc )
atau y
d 2 b2
b ( ad bc )
Dengan cara yang sama y
d 2 b2
Soal :
Dari sebuah segiempat tali busur sisi-sisinya ialah AB = 52, BC = 25, CD
= 39 dan AD = 60. Hitunglah BE dan CE.
b. Juga dapat kita hitung perbandingan diagonal-diagonal.
Dari gambar mudah dapat dibuktikan, bahwa DBE ~ ACE (mengapa?)
Jadi : AC : DB = CE : BE atau
AC : DB = x : y = (ad + bc) : (ab + dc) (lihat pada a)
c. Perhitungan diagonal-diagonal.
Sekarang kita ketahui perbandingan diagonal-diagonal dan dengan
pertolongan dalil (pendirian) Ptolemeus juga kita ketahui, perkaliannya.
Jadi dapat kita hitung diagonal-diagonal itu.
AC : DB = (ad + bc) : (ab + dc) (lihat di atas) .......................(1)
AC x DB = (ac +bd) (Ptolemeus) .................................................(2)
( ac bd ) ( ad bc ) ( ac bd ) ( ad bc )
AC 2 atau AC
ab dc ( ab dc )
Soal :
Hitunglah diagonal-diagonal sebuah segiempat tali busur ABCD jika AB =
16, BC = 25, CD = 33, dan AD = 60.
d. Untuk menghitung jari-jari lingkaran luar sebuah segiempat tali busur, kita
bekerja sebagai berikut. Hitunglah sebuah diagonal ump. AC. Hitunglah
sekarang jari-jari lingkaran luar ADC dengan pertolongan rumus
abc
R . Ini juga jari-jari lingkaran luar segiempat tali busur itu.
4L
e. Bila kita harus membuktikan suatu segiempat adalah segiempat tali busur,
perhatikan gambar-gambar di bawah ini; segiempat ABCD adalah
segiempat tali busur, jika memenuhi salah satu :
B C
B . C C
1
.
B
.
A . D D A D
A
A+ C = 18 0
A = C1 A= C
57

58. B
B
C
B q A
r q
A C
p s
p r C
A D D s
D
B= D = 90
pxq=rxs pq = rs
SEGIEMPAT GARIS SINGGUNG
DEFINISI Sebuah segiempat, yang sisi-sisinya menyinggung sebuah
lingkaran yang dapat dilukiskan dalam segiempat itu, namanya
segiempat garis singgung
TEOREMA
Jumlah dua buah sisi yang berhadapan sebuah segiempat
garis singgung sama dengan kedua sisi yang lain.
B Diketahui : ABCD segiempat garis singgung.
Buktikan : AB + CD = AD + BC.
Bukti : Untuk membuktikan ini kita pergunakan
teorema yang menyatakan, bahwa garis-garis
F singgung yang ditarik dari sebuah titik pada
sebuah lingkaran, sama panjangnya.
C Jadi : AE = AH
BE = BF
E CG = CF
G
DG = HD +
D ( AE + BE ) + (CG + DG ) = ( AH + HD ) +
A H (BF+CF)
atau AB + CD = AD + BC
TEOREMA Jika pada segiempat jumlah sisi yang berhadapan sepasang-
sepasang sama, maka segiempat itu ialah sebuah segiempat
garis singgung.
58

59. C. LATIHAN
1. Jika p dan q ruas garis yang diketahui dan
x+y=p
xy = q2
Lukislah x dan y.
2. Jika p dan q ruas garis yang diketahui dan
x–y=p
xy = q2
lukislah x dan y.
3. Lukis x 4 p 4 q 4 p dan q ruas garis yang diketahui
4. Lukis ABC jika diketahui: C, c, dan r (jari-jari lingkaran dalam
5.
D
A
10 cm AD =
7 cm
C
B 12 cm
6. Dalam trapesium ABCD (AB = alas) ditarik garis AE BC dan BF AD
buktikan F, D, C, dan E terletak pada sebuah lingkaran.
7. Pada trapesium ABCD mempunyai lingkaran singgung dan lingkaran luar.
Jika AB = 28, CD = 8. tentukan diagonal trapesium tersebut
D. LEMBAR KEGIATAN
1.Alat dan Bahan
Peserta pelatihan membawa dengan lengkap alat-alat yang dibutuhkan
yaitu : pinsil, bolpoint, jangka, penghapus, penggaris, penggaris siku-siku,
kertas garis ,kertas gambar, buku sumber, diktat Geometri
2.Keselamatan dan Kesehatan Kerja
Peserta pelatihan membawa sendiri alat dan bahan dengan lengkap, tidak
boleh meminjam alat dan bahan dengan peserta pelatihan yang lain,
sehingga tidak mengganggu konsentrasi dan kenyamanan peserta
pelatihan yang lain.
3.Prasyarat
Peserta pelatihan telah menguasai tentang sifat sederhana pada
lingkaran,garis singgung pada lingkaran, sudut pusat, sudut keliling.
4.Langkah Kegiatan
Kegiatan Awal
59