Este documento discute o problema do livre acesso aos recursos naturais limitados através de um exemplo de pesca em duas lagos. Mostra que, com livre acesso, os pescadores irão explorar os recursos além do nível ótimo, levando a uma produção total menor do que seria possível. A solução ótima é regular o acesso para maximizar a produção total.

1. Bom para cada um, mau para
todos…
O problema do livre acesso
José Lima Santos
Rotas matemáticas da UTL
Rota 3
ISA, 29 de fevereiro de 2012

2. Resumo:
Um ensaio célebre em economia dos recursos naturais
– The Tragedy of the Commons – analisa as
consequências do livre acesso aos recursos naturais: a
sua degradação e esgotamento.
O colapso dos recursos pesqueiros, a desflorestação, e
as emissões de gases com efeito de estufa são todos
exemplos de uma mesma história, em que cada um,
agindo no seu interesse pessoal, nos leva à desgraça de
todos.
Como procurar, na matemática, a expressão do
interesse pessoal, do bem comum e das soluções para
o livre acesso?

3. O ponto de partida: a mão
invisível
“… he intends only his own gain, and he is in
this, as in many other cases, led by an
invisible hand to promote an end which was
no part of his intention….By pursuing his
own interest he frequently promotes that of
society more effectually than when he really
intends to promote it.”
Adam Smith, “The Wealth of Nations”, 1776, p.
572.

4. Um problema: às vezes a mão
invisível avaria...

5. Um exemplo:
Na ilha de Pago-Pago há dois lagos e 20
pescadores.

6. No lago X, o número total de peixes pescados
(Px) é dado por:
Px = 10.Lx – 0,5.Lx2
Em que Lx é o nº de pescadores no lago X.
No lago Y, pescam-se Py peixes:
Py = 5.Ly
Em que Ly = 20 – Lx é o nº de pescadores no
lago Y.

7. Pescado total no lago x (Px)
50
40
Nº de peixes pescados
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº pescadores no lago x (Lx)

8. Pescado total no lago Y (Py)
100
90
80
Nº de peixes pescados
70
60
50
40
30
20
10
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Nº pescadores no lago Y (Ly)

9. Como podemos exprimir a resposta do nº de
peixes pescados ao número de pescadores num
lago?
Duas opções: Produtividade marginal (PMg) e
Produtividade média (PMed)
Por exemplo no lago X:
PMgx = dPx/dLx = ∆Px/∆Lx = tg(α)
PMedx = Px/Lx = tg (β)
Como interpretar a PMg e a PMed?

10. Pescado total no lago x (Px)
50
40
∆Px
Nº de peixes pescados
30
α
20
∆Lx
Px
10
β Lx
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº pescadores no lago x (Lx)

11. Produtividades média e marginal no lago X
10
9
8
Nº peixes por pescador
7
6
PMgx
5
PMedx
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10
Nº pescadores no lago X

12. Produtividades média e marginal no lago Y
10,0
9,0
8,0
Nº peixes por pescador
7,0
6,0
5,0
PMedy, PMgy
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0 5 10 15 20
Nº pescadores no lago Y

13. a) Quantos pescadores devem pescar no lago X
de modo a maximizar a produção total da
ilha? Quantos peixes se pescam nesse
máximo?
max Px + Py
s.a.: Lx + Ly = 20
Ou seja, escolher Lx que maximiza:
Px + Py = 10.Lx – 0,5.Lx2 + 5.(20 – Lx) =
10.Lx – 0,5.Lx2 + 100 – 5.Lx =
5.Lx – 0,5.Lx2 + 100

14. Produção total da ilha (Px+Py)
120
d(Px+Py)/dLx=0
100
Nº total de peixes pescados
80
60 Px+Py
40
20
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Nº pescadores no lago X (Lx)

15. Derivando a função a maximizar e igualando a
zero, dá:
d(Px + Py)/dLx = 5 – Lx = 0,
Ou seja:
Lx = 5
Ly = 20 – 5 = 15
Px + Py = 5x5 – 0,5x52 + 100 = 112,5 peixes
Isto dá o óptimo da ilha (o melhor para todos).

16. Outro modo de resolver o problema é
determinar a produtividade marginal no lago X:
PMgx = dPx/dLx = 10 – Lx,
que é o acréscimo de peixe que resulta de pôr
mais um pescador a pescar no lago Lx.

17. Vale a pena pôr mais pescadores a pescar no
lago X até que esta produtividade marginal seja
ainda superior ao custo marginal (CMgx), isto é:
PMgx > CMgx
Quanto custa pôr mais um pescador no lago X?
Custa os 5 peixes que esse pescador deixa de
pescar no lago Y. Ou seja: CMgx = 5 peixes
Assim o óptimo atinge-se quando:
PMgx = 10 – Lx = 5 => Lx = 5

18. Produtividade marginal e custo marginal
11
10
9
Nº de peixes por pescador
8
7
6 PMgx
PMedx
5
PMedy
4
3
2
óptimo
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº pescadores no lago x (Lx)

19. b) E agora quantos pescadores vão pescar no
lago X se houver livre acesso a este lago?
Quantos peixes se pescam nesse equilíbrio de
livre acesso?
Vejamos qual a produtividade média do
pescador no lago X:
PMedx = Px/Lx = 10 – 0,5.Lx
Mais pescadores entram no lago X até que a
sua produtividade média seja superior aos 5
peixes que poderiam pescar em Y, ou seja até
que:
Px/Lx = 10 – 0,5.Lx > 5 peixes

20. Assim, só quando:
Px/Lx = 10 – 0,5.Lx = 5 peixes/pescador
é que cessa a entrada de mais pescadores no
lago X (equilíbrio de livre acesso). Isto vai
acontecer com:
Lx = 10 pescadores, o que implica:
Px + Py = 10x5 – 0,5x102 + 100 = 100 peixes, o
que fica bem abaixo do nível óptimo de
produção da ilha

21. Produtividades média e marginal
11
10
9
Nº de peixes por pescador
8
7
6 PMgx
PMedx
5
PMedy
4
3 Livre acesso
2
1 óptimo
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº pescadores no lago x (Lx)

22. Assim, neste caso, a mão invisível não
está a conduzir cada um, prosseguindo o
seu interesse individual, no sentido do que
é melhor para o colectivo.
Porquê?

23. Lx PMg PMed PMed-PMg
0 10 10,0 0,0
1 9 9,5 0,5
2 8 9,0 1,0
3 7 8,5 1,5
4 6 8,0 2,0
5 5 7,5 2,5
6 4 7,0 3,0
7 3 6,5 3,5
8 2 6,0 4,0
9 1 5,5 4,5
10 0 5,0 5,0
11 -1 4,5 5,5
12 -2 4,0 6,0
13 -3 3,5 6,5