Equações Algébricas e Transcendentes - Isolamento de Raízes - @professorenan

Equações Algébricas
e
Transcendentes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Zero Reais de Funções Reais

O que é uma Equação Algébrica?

Sendo P(x) um polinômio em C, chama-se
equação algébrica à igualdade P(x) = 0.
Portanto, as raízes da equação algébrica,
são as mesmas do polinômio P(x) .

As incógnitas são submetidas apenas às chamadas
operações algébricas, ou seja, soma, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação,
utilizando letras e números.
Por exemplo:
Um caso particular deste tipo de equações são as equações
polinomiais.

O grau do polinômio, será também o grau da
equação.
Exemplo: 3x4 - 2x3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau.

Propriedades de uma equação algébrica
• Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes.
Exemplo:
A equação x3 - x = 0 possui 3 raízes, a saber:
x = 0 ou x = 1 ou x = -1.
Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da
equação dada é S = {0, 1, -1}.

• Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b.
Exemplo:
Para abaixar o grau de uma equação, divide-se P(x) por x - b ,
aplicando Briot-Ruffini.
Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático
italiano - 1765/1822.

• Se o número complexo (a + bi) for raiz de P(x) = 0 , então o
conjugado (a – bi) também será raiz.
Exemplo:
Qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de
suas raízes são os números 5, 3 + 2i e 4 - 3i?
Ora, por essa propriedade, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 +
3i são também raízes. Logo, pela primeira propriedade, conclui-se
que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui, no
mínimo, 5 raízes.

• Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos
que m é uma raiz de grau de multiplicidade k.
Exemplo:
A equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0, ou seja, três raízes
nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).
A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes
reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos, então, que 4 é uma raiz
dupla ou de ordem de multiplicidade dois.

• Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0
for nula , então a unidade é raiz da equação (1 é raiz).
Exemplo:
O número 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos
coeficientes é igual a zero.

• Toda equação de termo independente nulo, admite um número
de raízes nulas igual ao menor expoente da variável .
Exemplo:
A equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas.
A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!

• Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + a2xn-2
+ ... + an = 0, então ela pode ser escrita na forma fatorada :
ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0
Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau ,
então podemos escrever:
(x+1).(x-2).(x-53)= 0 , que desenvolvida fica :
x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0

O que é uma Equação Transcendente?

Uma equação transcendente é uma
equação que contém alguma função que não é
redutível a uma fração entre polinômios, e cuja
solução não pode ser expressa através de funções
elementares.

De modo geral, uma equação
transcendente não possui uma solução exata
expressa através de funções conhecidas, sendo
necessário recorrer ao cálculo numérico para obter
uma solução.

As equações transcendentes mais comuns que
aparecem são:
• Equações logarítmicas com combinações do logaritmo e da
incógnita.
• Equações trigonométricas em que a incógnita aparece tanto
como argumento de uma função trigonométrica quanto
independente. Ex.: Equação de Kepler, x - a sin(x) = b.
• Equações exponenciais em que a incógnita e sua exponencial
são somadas. Ex: na modelagem de um circuito elétrico, um
diodo e uma resistência.

Exemplos de Equações Transcendentes:

Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Nas mais diversas áreas das ciências exatas ocorrem,
frequentemente, situações que envolvem a resolução de uma
equação do tipo f(x)=0. Consideremos, por exemplo, o seguinte
circuito:
Kirchoff’s Law

1. Introdução
Estruturas Isostáticas

1. Introdução

1. Introdução
Serão analisados os casos dos Zeros Reais da função f(x)=0.

Como obter raízes reais de uma equação qualquer?

1. Introdução
Sabemos que, para algumas equações, como por exemplo às
equações polinomiais do segundo grau, existem fórmulas explicitas que
nos mostram as raízes em função dos coeficientes (Bháskara, por
exemplo).
No entanto, no caso de polinômios de grau mais elevado e no
caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se
achar zeros exatamente.

1. Introdução
A ideia central destes métodos numéricos é partir de uma
aproximação inicial para a raiz (um intervalo onde imaginamos a
raiz estar contida) e em seguida refinar essa aproximação através de
um processo iterativo.

1. Introdução
Por isso, temos que encontrar aproximações para esses zeros
(soluções numéricas), mas isto não é uma limitação muito séria, pois,
com os métodos que veremos, vamos conseguir encontrar os zeros de
uma função com qualquer precisão prefixada.

1. Introdução
Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou
transcendente, algumas etapas devem ser seguidas:
1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o menor possível,
que contenha a raiz;
2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de
exatidão requerido pelo problema.
Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da
seguinte maneira:
3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções disponíveis em
algumas calculadoras ou softwares matemáticos.

Fase I: Isolamento das Raízes
Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função
f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II depende
fortemente da precisão desta análise. Na analise teórica, usamos
frequentemente o Teorema de Bolzano:
Pois (+) (+) → (+), (-) (-) → (+); (+) (-) ou (-) (+) → (-)

Graficamente, temos:

Se f(a) . f(b) > 0, pode-se ter outras situações no intervalo
estudado, como as mostradas abaixo:

Observação:
Sob as hipóteses do Teorema de Bolzano, se f’(x) existir,
preservando sinal dentro de (a, b), então este intervalo contém um
único zero de f(x).
Graficamente, temos:

Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando resultados
anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as
mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em
que f(x) mudou de sinal.

Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as
raízes da função:
Primeira análise: Construindo uma tabela de valores para
f(x) e considerando apenas os sinais, temos:

Como f(x) é um polinômio de 3º grau, podemos afirmar que
cada intervalo contém um único zero de f(x); assim, localizamos
todas as raízes de f(x)=0.
Uma segunda análise da função, por meio do sinal da sua
derivada, não se faz necessário, neste exemplo, tendo em vista sua
trivialidade. Veja:

Fase I: Análise Gráfica
Pode-se utilizar um dos seguintes processos:

Fase I: Isolamento das Raízes. Método (i):

Fase I: Isolamento das Raízes. Método (ii):

raízes da função (Método ii):

Exercícios

Exercícios
1) Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes
das funções abaixo:

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