Equações Algébricas e Transcendentes - Método da Bisseção - @professorenan

Equações Algébricas
e
Transcendentes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Zero Reais de Funções Reais

Sendo P(x) um polinômio em C, chama-se
equação algébrica à igualdade P(x) = 0.
O que é uma Equação Algébrica?
Portanto, as raízes da equação algébrica,
são as mesmas do polinômio P(x) .

Uma equação transcendente é uma
equação que contém alguma função que não é
redutível a uma fração entre polinômios, e cuja
solução não pode ser expressa através de funções
elementares.
O que é uma Equação Transcendente?

Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou
transcendente, algumas etapas devem ser seguidas:
1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o menor possível,
que contenha a raiz;
2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de
exatidão requerido pelo problema.
Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da
seguinte maneira:
3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções disponíveis em
algumas calculadoras ou softwares matemáticos.

1. Introdução

Fase II: Refinamento de Raiz
• Existem vários métodos numéricos de refinamento de raiz.
• A forma como se efetua o refinamento é o que diferencia os
métodos.
• Todos eles são iterativos. Isto é segue uma sequência que são
executadas “passo a passo”, algumas das quais são repetidas em
ciclos.
• Métodos iterativos fornecem uma aproximação para a solução.
• Execução de ciclo recebe nome de iteração.

• Método da Bisseção;
• Método de Newton-Raphson (Tangentes);
• Método da Iteração Linear.
• Método da Secante (das Cordas ou Falsa Posição);

• Método da Bisseção

Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
O princípio fundamental do método da bissecção consiste em
localizar a raiz em um intervalo [x1, x2], onde a função é estritamente
crescente ou estritamente decrescente e considerar a raiz
aproximada como o ponto médio desse intervalo, ou seja, a raiz será
(x1 + x2)/2 ou (a+b)/2.
Para que a raiz pertença a tal intervalo, nas condições citadas,
devemos ter f(x1). f(x2) < 0.

Para tornar o erro menor, pode-se dividir o intervalo em dois
intervalos de amplitude igual à metade da amplitude do intervalo
anterior. Para isso, tomemos x3 = (x1 + x2)/2.
Veja a figura a seguir:

A raiz estará no intervalo [x1, (x1+x2)/2] se f(x1).f((x1+x2)/2) < 0, caso
contrário ela estará no intervalo [(x1+x2)/2, x2].

A repetição do processo fará com que, a cada iteração o ponto
médio do intervalo se aproxime cada vez mais da raiz.
Assim, o processo deverá ser continuado até que se obtenha uma
aproximação com erro inferior ao solicitado.

Para se aproximar de uma raiz, o princípio da bisseção consista em
reduzir o intervalo inicial testando o sinal de f(x) para o ponto médio
do intervalo.
Considerando o intervalo [a,b]:
• Se , o novo intervalo é [a,(a+b)/2]
• Se , o novo intervalo é [(a+b)/2,b]
( ). ( ) 0
2
a b
f a f
( ). ( ) 0
2
a b
f b f

15
xa = a0
f(x)
b = b0
x1 = (a + b)/2
x1
x
a = a1
f(x)
x1 = b1
x2 = (a + x1)/2
x2
x
f(x)
x1 = b2
x3 = (x2 + x1)/2
x2 = a2
x3
Repete-se o processo até que o valor
de x atenda às condições de parada.

• Solução: Começamos traçando o gráfico da função ou
tabelando e analisando a mudança de sinal. Vamos ver os dois:

• Solução: Começamos traçando o gráfico da função ou
tabelando e analisando a mudança de sinal. Vamos ver os dois:
Claramente vemos que existe uma raiz no intervalo [-3,5 ; -3,0], uma
segunda raiz no intervalo [0 ; 0,5] e uma terceira raiz no intervalo [2,5 ;
3].

• Solução: Agora pela tabulação e análise de sinais para
determinar os intervalos iniciais.
X -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f(x) - + + + + + + + - - - - - +

• Solução:
Vamos adotar o intervalo [0,0 ; 0,5], portanto, para a iteração i=1
temos:
Observem o algoritmo do método. O próximo passo é dividir o
intervalo ao meio.

• Solução:
Critério de parada!

• Solução:
Agora temos dois intervalos. O primeiro é [0 ; 0,25] e o segundo é
[0,25 ; 0,5]. Vamos verificar se a raiz se encontra no primeiro intervalo
fazendo:

• Solução:
Como o produto foi positivo, o intervalo onde se encontra a raiz não
é [0 ; 0,25] e sim [0,25 ; 0,5].

• Solução:
Vamos agora adotar o intervalo [0,25 ; 0,5], portanto, para a
iteração i=2, temos:
Observem o algoritmo do método. O próximo passo é dividir o
intervalo ao meio.

• Solução:
Quadro!

• O método exige pouco esforço computacional.
• A convergência é lenta. Notadamente se o intervalo inicial tiver
um tamanho, b – a, muito maior que uma precisão, ε.
• O método sempre gera uma sequência convergente.

• Raiz(f,a,b,tol)
o Enquanto (|a-b|>tol)
• x=(a+b)/2
• Se f(x).f(a)<0
o b=x
• Senão
o a=x
o Resultado=(a+b)/2
Implementação do Método da Bisseção.

Algoritmo
k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a;
xk+1 := (ak + bk)/2;
while critério de convergência não satisfeito and k L
if f(ak)f(xk+1) < 0 then /* raiz em [ak , xk+1] */
ak+1 := ak; bk+1 := xk+1;
else /* raiz em [xk+1, bk] */
ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ;
endif
k := k +1; xk+1 := (ak + bk)/2;
endwhile
if k>L
convergência falhou
endif

Ideia: Reduzir o intervalo que contém a raiz, dividindo-o ao meio a cada
iteração.

Exercícios

Trabalho

• Método da Iteração Linear.
• Método da Secante (das Cordas ou Falsa Posição);
Pesquisa em dupla sobre os seguintes métodos:
A pesquisa deve conter:
• Descrição de cada método;
• Seguir a ABNT quanto à formatação.
• Escolher um desses métodos e mostrar uma aplicação na
Engenharia;
• Comparação entre os métodos;
Data de Entrega: Dia da prova!

Método de Newton-Raphson
(Tangentes)

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