1. Zeros de Funções Reais
Fase II: Refinamento de Raiz
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Método de Newton-Raphson
(Tangentes)

2. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Considerações Iniciais
Nós aprendemos a achar as raízes de uma função pelo
método da bisseção. Este método tem uma vantagem, ele sempre
converge para a raiz, desde que exista uma no intervalo inicial
dado. Mas tem duas desvantagens: ele é lento e se a função não
muda de sinal, a raiz não é encontrada.

3. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Considerações Iniciais
Vamos aprender um outro método, o de Newton-Raphson.
Ele cobre as desvantagens da bisseção, isto é, é mais rápido e
encontra raízes que tocam o eixo x, mas também apresenta duas
desvantagens:
• Nem sempre converge;
• Precisa do cálculo da derivada da função, o que nem sempre
é uma tarefa fácil.

4. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Definição
Mantendo apenas os dois primeiros termos da série, temos:

5. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Definição

6. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Definição

7. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Definição
Mudando ligeiramente a notação, obtemos a fórmula de
iteração. Veja:

8. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Interpretação Geométrica do método de Newton
Vejam que a cada
iteração a raiz se
aproxima mais da raiz
real ξ.

9. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Critérios de Convergência
As condições de convergência são agora (por análise intuitiva):

10. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

11. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
12
6
12
62
12
6
2
1
22
2
1
0
0
01
x
x
x
x
xxxx
x
xx
xx
xf
xf
xx

12. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Portanto, temos que:
12
62
1
x
x
x

13. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Desta forma, temos:
12
62
1
x
x
x
132
632
1x 1429,21x
6²3|)(| 0xf Portanto, continua!

14. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Tomando a nova iteração:
12
6
1
1
2
1
12
x
xx
xx
11429,22
61429,21429,2
1429,2
2
2x
1429,21x
7349,061429,2²1429,2|)(| 1xf Portanto, continua!
0039,22x

15. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Continuando...
0039,22x
Quadro!

16. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Generalizando, temos:
xn xn f(xn) f(x1)
X0 3 6 2,1429
X1 2,1429 0,7349 2,0039
x2 2,0039 0,0195
0039,2x

17. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Primeiramente, encontramos as raízes, já que não temos:

18. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Então, se:
Como a raiz quadrada de 6 está localizada entre 2 e 3,
podemos adotar um valor inicial entre este intervalo ou em sua
proximidade. Vamos adotar 1 como valor inicial.

19. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Calcula o erro...

20. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Calcula o erro...

21. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Calcula o erro...

22. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Calcula o erro...

23. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo

24. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Primeiramente, encontramos as raízes, já que não temos:

25. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo

26. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo
Quadro!

27. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Quando o Método de Newton pode não Convergir?

28. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
A não convergência do método pode ocorrer nos pontos
de máximos, mínimos e inflexão, quando a função muda a
concavidade.
Quando o Método de Newton pode não Convergir?
O gráfico seguinte mostra um caso em que o método não
converge.

29. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Quando o Método de Newton pode não Convergir?

30. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Considerações Finais
No método da bisseção nós damos o limite inferior e superior
da região que deve conter a raiz. No Newton-Raphson damos um
valor inicial e dependendo deste valor nem sempre o método
converge, pois podemos ter o caso em que a reta tangente a
função no ponto inicial não representa bem a função naquele
ponto.

31. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Considerações Finais
O método ideal para aproximação de raízes é aquele que a
convergência é assegurada, e rápida, e que haja um número
mínimo de iterações.

32. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exercícios

33. Fase II: Refinamento de Raiz: Método de Newton-Raphson
Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

34. 