1. MATEMÁTICA
MATRIZES
1. DEFINIÇÃO Toda matriz identidade de ordem maior que 1
terá todos os elementos da diagonal principal iguais a
Chama-se matriz do tipo m x n toda tabela de 1 e todos os demais elementos iguais a zero.
números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabe-
la pode ser representada entre parênteses ( ), entre Exemplo:
colchetes [ ] ou entre barras duplas || ||.  1 0 0
 
I3 =  0 1 0 
Exemplos:  0 0 1
9 4   
 
a) A 3× 2 = 5 6  Matriz A do tipo 3 × 2 Matriz transposta
 1 − 3 Se A é uma matriz de ordem m x n, denomi-
 
5 −4 
namos transposta de A. A matriz de ordem n x m ob-
b) B 2× 2 =   Matriz B do tipo 2 × 2 tida trocando-se ordenadamente as linhas pelas
3 − 6 colunas indica-se transposta de A por At.
c) C1×3 = 4 − 1 5 Matriz C do tipo 1 × 3
2. REPRESENTAÇÃO GENÉRICA
3.4. Outras matrizes especiais
Matriz linha: é uma matriz m x n onde m =
Uma matriz qualquer do tipo m x n pode ser 1, ou seja, a matriz linha possui uma única
representada da seguinte maneira: linha.
 a11 a12

a13 K a1n 

Matriz coluna: é uma matriz m x n onde n =
a a22 a23 K a 2n  1, ou seja, a matriz coluna possui uma única
A m×n =  21
 M M M M  
coluna.
a
 m1 am2 am 3 K amn  Matriz diagonal: é a matriz quadrada em
Como o quadro A é bastante extenso, a matriz que todos os elementos não pertencentes à
m x n será representada abreviadamente por: diagonal principal são nulos.
Matriz triangular: é a matriz quadrada em
( )
A = aij
que todos os elementos situados em um
m ×n
mesmo lado da diagonal principal são i-
guais a zero.
aij são os elementos da matriz A, onde i repre- Matriz nula: é uma matriz m x n onde todos
senta a linha e j as colunas, às quais cada elemento aij os elementos são nulos.
pertence.
4. IGUALDADE DE MATRIZES
3. MATRIZES ESPECIAIS
Dadas duas matrizes do mesmo tipo,
3.1 Matriz quadrada A = (aij)m x n e B = (aij)m x n, dizemos que A = B se, e
É toda matriz cujo número de linhas é igual ao somente se, todo elemento de A é igual ao seu cor-
número de colunas. respondente em B.
Diagonal secundária
a11 a12 a13 5. OPERAÇÃO COM MATRIZES
A= a21 a22 a23
a31 a32 a33
5.1. Adição de matrizes
Dadas as matrizes A = (aij) m x n e B = (bij)m x n,
Diagonal principal
a soma de A com B é a matriz C = (cij)m x n, tal
Numa matriz quadrada, de ordem n, os ele- que: cij=aij+bij para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
mentos aij, tais que i = j formam a diagonal principal
da matriz, e os elementos aij, tais que i + j = n + 1 for- Indicamos essa operação por: C = A + B
mam a diagonal secundária. Propriedades da Adição
3.2. Matriz identidade 1a A+ B = B + A (comutativa)
Chama-se matriz identidade de ordem n, que se 2a (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
indica por In , a matriz: 3a A+ 0 = A (elemento neutro)
4a A + (−A) = 0 (elemento oposto)
1, se i = j
In = ( a ij )n × n , tal que aij =  .
0, se i ≠ j
Editora Exato 1

2. 5.2. Multiplicação de uma matriz por EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
um número real
Dada a matriz A = (aij)m x n e o número real α , 1 Resolva:
o produto de A por α é a matriz de B = (bij)m x n, tal  1 2
   2
que: bij = aij . α para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. A = − 3 5 e A t = 1 − 3 
 2 0 2 5
 0  2× 3

Exemplo:   3× 2
 2 − 5   8 − 20 
Resolução:
  
4 3 0  = 12 0 
 Podemos indicar At como:
1 6   4 A t = (b ji )n×m , tal que b ji = a ij , ∀i, j, 1 ≤ i ≤ m e
   24 
1 ≤ j ≤ n.
5.3. Multiplicação de matrizes
Dadas as matrizes A = (aik)mxk e B = (bkj)kxn o
produto de A por B é a matriz C = (cij)mxn, tal que ca- 2 Some as matrizes seguintes:
da elemento cij é igual ao produto da linha i de A pela Resolução:
coluna j de B.  1 4 3   2 3 5
 + =
Propriedades:  6 8 −5   4 −3 7 
Para qualquer matriz Amxn, quaisquer matrizes  3 7 8
B e C (convenientes) e qualquer número real α , va-  
10 5 2 
lem as propriedades:
1ª (AB)C = A(BC) (associativa) 3 Multiplique as matrizes:
2ª C(A+B)= CA + CB (distributiva à es-
querda) 9 7  1 2 3
0 8 ⋅  4 5 6 =
   
3ª (A+B)C = AC +BC (distributiva à direi-    
ta)
4ª A . In = In . A = A (elemento neutro) Resolução:
5ª ( α . A)B = A . ( α . B) = α ( A . B)
6ª (A.B)t = At . Bt  9 ⋅ 1 + 7 ⋅ 4 9 ⋅ 2 + 7 ⋅ 5 9 ⋅ 3 + 7 ⋅ 6
=
 0 ⋅ 1 + 8 ⋅ 4 0 ⋅ 2 + 8 ⋅ 5 0 ⋅ 3 + 8 ⋅ 6

O número de colunas de A deve ser igual ao  
número de linhas de B.
A multiplicação de matrizes não é necessaria-  37 53 69 
mente comutativa, ou seja, nem sempre A ⋅ B = B ⋅ A . =
 32 40 48 

 
Se o produto A ⋅ B é nulo, isto não significa
necessariamente que A ou B sejam nulos.
Na multiplicação de matrizes, se C é uma ma-  −1 3   1 0
triz não nula AC = BC, isto não significa necessaria- 4 Dadas as matrizes A =  e B= , o va-
 4 0  -1 4 
mente que A = B. lor de 2A–3B é:
6. MATRIZ INVERSA Resolução:
Calcule 2ª – 3B
Dada a matriz A quadrada de ordem n, se e-
xistir uma matriz A-1, tal que A-1 . A = In e A . A-
1
=In, ela será chamada matriz inversa de A. ( ) ( )
2. -1 3
4 0
1 0
-3 -1 4
7. MATRIZ SIMÉTRICA
Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem
( ) ( )
-2 6
8 0
+
-3 0
3 -12
 -5 6 
n, A é simétrica se At = A, ou seja, se aij = aji, para 1  
≤i≤n e 1 ≤ j ≤ n. 11 -12 
Editora Exato 2

3. EXERCÍCIOS  4 3
e)  
6 2 
1 2
 
1 (UFRN) Dadas as matrizes A = 3 4 e
5 6
5 (UFPR) Seja M=(aij), uma matriz de ordem 3x2
 
2(i − j), se i=j
 −1 3 2  tal que aij =  . A matriz M é:
B=  então a matriz A–1Bt é: 2i + j, se i ≠ j
 2 0 1
0 2 
 0 -1  
a)   a) 2 0
1 4   -4 0 
 
2 0
0 6
b)  0 4 

3 5
 b)  6 0 
 
   8 10 
 
 2 0 3
c)  ] 0 4
 0 4 5 c)  5 0 
 
 2 1 7 8 
d)    
 -1 4 
0 5 7
0 0 d)  
 4 0 8
e)  0 4 
 
3 5 0 6 8
  e)  
 6 0 10 
2 (UFRN) A solução da equação matrici-
 2 -1 1 0 
 -1 2   x+1 x+4  6 Se A =   e B= , então o produto AB é:
al  2 =  é um número:  3 2 1 -4 
 x x -2   3x+4 2 
2 1
a) maior que –1. a)  
b) menor que –1.  -1 4
c) maior que 1. 1 4
b)  
d) entre –1 e 1. 5 -8 
e) ente 0 e 3. 0 -1 
c)  
2 5
3 (PUC) Da equação matricial 2 0
d)  
 x 1   2 y   3 2 3 -8 
 + =  resulta:
1 2   0 -1  z t  2 -1
e)  
a) x=y=z=t=1 3 0
b) x=1, y=1, z=3, t=2
3
c) x= , y=2, z=0, t=–2 7 (FGV-SP) Dadas as matrizes
2
d) x=1, y=2, z=t=0 x y x 6 4 x+y 
A=  .B =   e C=  , e sendo
e) x=2, y=0, z=2, t=3 z w   -1 2w   z+w 3 
3A=B+C, então:
a) x+y+z+w=11
4 (UEL-PR) – A matriz quadrada A = (aij ) , de or- b) x+y+z+w=10
i + j, para i ≥ j c) x+y–z–w=0
dem 2, tal que aij =  é:
3j, para i<j d) x+y–z–w=11
2 3 e) x+y+z+w>11
a)  
3 6 
4 6 
b)  
3 2 
3 6 
c)  
 2 4
2 6 
d)  
3 4
Editora Exato 3

4. 3 0
8 (PUC) Dadas as matrizes A= e
1 -4 
2 1
B= , então AB–BA é igual a:
 -1 0 
0 0
a)  
0 0
 2 -3 
b)  
5 0 
 -3 1 
c)  
2 7
1 0 
d)  
 0 1
 -1 7 
e)  
9 1 
1 -1
9 (OSEC-SP) Dadas as matrizes A =   e
2 3
 0 1
B=  então, calculando-se (A+B)2, obtém-
 3 8
se:
 1 0 
a)  
 60 121
 1 0 
b)  
 25 121
1 0 
c)  
 4 8
1 60 
d)  
1 121
1 1
e)  
1 1
GABARITO
1 B
2 B
3 A
4 D
5 C
6 B
7 B
8 E
9 A
Editora Exato 4