1. MATEMÁTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA
1. REPRESENTAÇÃO NO PLANO CARTESI- Se P pertence ao quarto quadrante, então
ANO xp > 0 e yp < 0 .
Dado um sistema de coordenadas cartesianas A convenção pode ser representada como a se-
xOy. guir.
y
y
( , +) (+, +)
x
O x (-, -) (+, -)
2.1. Propriedade dos eixos cartesianos
Se P ( xp , yp ) pertence ao eixo das abscissas,
então yp = 0 .
Cada ponto do plano Cartesiano é representado
por um par ordenado P ( xp , xp ) , em que xp representa Se P ( xp , yp ) pertence ao eixo das ordenadas,
a abscissa (eixo horizontal) e yp representa a ordena- então xp = 0 .
da (eixo vertical).
Os eixos coordenados separam o plano em 3. BISSETRIZ DOS QUADRANTES
quatro regiões denominadas quadrantes e ordenadas
no sentido anti-horário, conforme a figura. y bissetriz dos quadrantes
Q (a, b) ímpares
II Q IQ P
45º 45º
(x, y)
45º 45º
Q’ P’ x
segundo quadrante primeiro quadrante O
III Q IVQ bissetriz dos quadrantes
pares
terceiro quadrante quarto quadrante
Observe que os ∆OPP ' ∆QQ ' O são isósce-
les.Logo a=b e x=y.
Analisando os sinais, temos:
2. CONVENÇÃO DOS SINAIS NO PLANO Bissetriz dos quadrantes ímpares: y=x (Coor-
denadas iguais).
Considere um ponto P ( xp , yp ) do plano cartesi- Bissetriz dos quadrantes pares: a=−b (coorde-
ano. nadas opostas).
Se P pertence ao primeiro quadrante, então Exemplo
xp > 0 e yp > 0 . E.1) Represente os pontos A(2,4), B(1,0),
Se P pertence ao segundo quadrante, então C(−2,−1), D(2,−3) e E(0,3).
x p < 0 e yp > 0 .
Se P pertence ao terceiro quadrante, então,
x p < 0 e yp < 0 .
Editora Exato 8

2. Resolução: x A + xB
Conclui-se pela equação (l) que x M = e
2
y A + yB
yM =
2
E Exemplo
E.1) Determine as coordenadas do ponto mé-
dio do segmento formado pelos pontos A( −2, −6) e
B B ( 4,10 ) .
C
Resolução:
D
 −2 + 4 −6 + 10 
M ,  ⇒ M (1 2)
,
 2 2 
4. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
6. BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO
Considere como ilustração os pontos abaixo.
Se A(xA, xA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são vértices
de um triângulo, então o baricentro G(xG, yG) desse
triângulo é tal que:
B
y
B x A + xB + x c y + yB + y C
xG = e yG = A .
d 3 3
B
yB - y
7. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS
y PONTOS POR DETERMINANTE
xB - x
Três pontos A(xA, xA), B(xB, yB) e C(xC, yC)
x x são colineares se, e somente se:
B
xA yA 1
Aplicando Pitágoras no triângulo:
D = xB yB 1 =0.
( xB − x A ) + ( yB − y A )
2 2
dAB = ∆x 2 + ∆y 2 ⇒ dAB =
2
xC yC 1
5. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
8. ÁREA DO TRIÂNGULO (S)
Dado o sistema cartesiano e o segmento for-
mado pelo ponto A ( x A, x A ) e B ( xB, xB ) . Dados A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), vérti-
xA yA 1
ces de um triângulo e D = x B yB 1 , a área do tri-
xC yC 1
y B D
B ângulo ABC é dada por S = .
2
yM M
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
y 1 Ache as coordenadas de M, ponto médio do seg-
mento AB , sendo A(2, 2) e B(8, 12):
x xM x Resolução:
B
A ( 2, 2) B ( 8,12)
 X + X B Y A +Y B 
Aplicando o teorema de Tales, na figura, te- M = A , 
 2 2 
mos:
 2 + 8 2 + 12 
M = , 
 2 2 
AM X M − X A YA − YM
= = = 1 (I) , lembre-se de que M é  10 14 
MB X B − X M YB − YM M = , 
 2 2
AM
ponto médio, ou seja, = 1. M = ( 5,7 )
MB
Editora Exato 9

3. EXERCÍCIOS 7 (U.PASSO FUNDO-RS) Os pontos A(-1,1),
B(2,-2) e C(3,4):
1 (FMU-SP), As coordenadas do ponto médio do a) estão alinhados.
segmento de extremidades (5,-2) e ( -1, -4) são: b) formam um triângulo retângulo.
a) (3,1) b) (1,3) c) formam um triângulo isósceles.
c) (-3,2) d) (2,-3) d) formam um triângulo escaleno de 42 u.a.
e) (3,3) e) formam um triângulo com 10,5 u.a.
2 (UFES) As coordenadas do ponto médio de um 8 Qual a área do quadrilátero cujos vértices são A(-
segmento AB são (-1,2). Sabendo-se que as coor- 3,-2); B(2,0); C(1,3) e D(-2,1)
denadas do ponto A são (2,5), então as coordena- a) 9 u.a
das de B são: b) 10 u a.
a) (4,1) b) (-4,-1) c) 11 u.a.
c) (4,-1) d) (-1,-4) d) 12 u.a.
e) Nenhuma. e) 15 u.a.
3 (MACK-SP) Os vértices de um triângulo ABC 9 (CEFET-PR) Seja o quadrilátero ABCM de vér-
são A(2,5), B(4,7) e C(-3,6). O baricentro desse tices A(1;2), B(-3;1), C(-5;-3), sendo o quarto
triângulo tem como coordenadas: vértice o ponto médio do segmento de extremi-
a) (3,6) b) (1,6) dades (5, -2) e(-1,4). O valor da área do quadrilá-
tero ABCM é:
c)  − , 
1 11
d)  , 9 
3 
  a) 25/2
 2 2 
2 
e) (9,3) b) 12/5
c) 31/2
d) 11
4 (CESGRANRIO) A distância entre os pontos e) 20
M(4,-5); e N(-1, 7) do plano xoy vale:
a)14 b)12
c) 8 d) 13 GABARITO
e) 9
1 D
5 (UCP-PR) A distância da origem do sistema car- 2 B
tesiano ao ponto médio do segmento de extremos 3 B
(-2,-7) e (-4,1) é:
a) 5 b) 2 2 4 D
c) 2 3 d) 3 3 5 E
e) 3 2 6 E
7 E
6 (FGV-SP) A área da figura hachurada, no dia-
grama a seguir, vale: 8 D
y
9 A
4
3
2
1
0 x
1 2 3 4
a) 4,0 d) 5,0
b) 3,5 e) 4,5
c) 3,0
Editora Exato 10