1) O documento discute conceitos de análise combinatória como princípio fundamental de contagem, fatorial, arranjo simples, permutação simples e combinação simples. 2) É fornecido o cálculo do número de arranjos, permutações e combinações de elementos de um conjunto. 3) Exemplos e exercícios resolvidos são fornecidos para exemplificar os conceitos.

1. MATEMÁTICA
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTA- 5. PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS RE-
GEM (PFC) PETIDOS
Se um experimento A1 apresenta n1 resultados Considere um conjunto A com n elementos,
distintos e um experimento A2 apresenta n2 resultados dentre os quais os elementos N1,N2 ,...,Nn aparecem
distintos, e, assim sucessivamente, até um experi- α1, α 2 ,..., αn . O numero total de permutações usando
mento An com nn resultados distintos, então o expe- os n elementos do conjunto A é dado por:
rimento composto A1, A2, ..., An, nessa ordem,
apresenta n1.n2.n3 ... nn resultados distintos. n!
Pnα1, α2 ,..., αn = .
2. FATORIAL α1 ! α 2 !...αn
Denomina-se fatorial de um número qualquer
6. COMBINAÇÃO SIMPLES
“P” (P e ℵ) o produto desse número “P” por todos os
seus antecedentes inteiros até chegar a 1. Considere um conjunto A com n elementos
Exemplos: distintos. Define-se como combinação simples de n
2! = 2.1 = 2 elementos tomados p a p a todo subconjunto de A
3! = 3.1 = 3 com p elementos. São agrupamentos que diferem
4! = 4 . 3.2.1=24 somente pela natureza de seus elementos.
P! = P.(P-1).(P-2). ... .1 6.1. Número de Combinações Simples
O número total de combinações simples de n
P! – lê-se P fatorial
n 
elementos tomados p a p, indicado por   = Cn,p , é
0! = 1 p
1! = 1 dado por:
3. ARRANJO SIMPLES n  n!
  = Cn,p = .
São agrupados que diferem pela ordem e pela p (n − p ) !p!
natureza de seus elementos. O arranjo simples de n
elementos, tomados p a p, simboliza todos os agru- EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
pamentos simples.
3.1. Número de Arranjos simples 1 Calcule o número de anagramas da palavra
O número de arranjos simples de n elementos,
tomados p a p, é calculado pela relação AMOR.
n!
A n,p = .
{ (n − p)! Resolução:
repre sen tação
usual Lembre-se de que anagramas de AMOR são
palavras, com sentido ou não, formadas com todas as
4. PERMUTAÇÃO SIMPLES
letras A, M, O e R.
Considere um conjunto A com n elementos O número de anagramas representa a permuta-
distintos. Define-se como permutações simples de n ção das letras.
elementos de A o arranjo de n elementos, tomados n P4=4! = 4.3.2.1=24.
a n.
4.1. Número total de permutações 2 Determine o número de anagramas da palavra
O número total de permutações de n elemen-
tos, indicado por Pn, é dado por: ARARA.
n!
Pn = An,n ⇒ Pn = ⇒ P = n! . Resolução:
{ (n − n ) ! n
arranjo
Número de elementos: 5.
R aparece 2 vezes
Letras  .
 A aparece 3 vezes
Total de anagramas
Editora Exato 14

2. MATEMÁTICA
 ARARA 2 Resolvendo a equação ( x + 4) ! = 120 , então x va-
 ARAAR
 le:
 ARRAA a) 5.

 AAARR b) 6.
5! 5.4  AARAR
 c) 7.
2,3
P5 = = = 10 
2!3! 2  AARRA d) 8.
RAAAR e) 9.

RAARA
RARAA
 3 Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre,
RRAAA
 passando por São Paulo. Sabendo que há 5 rotei-
ros diferentes para chegar a São Paulo, partindo
de Recife, e 4 roteiros diferentes para chegar a
3 Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4} , determine todas as Porto Alegre, partindo de São Paulo, de quantas
combinações simples de 2 elementos. maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de
Resolução: Recife a Porto Alegre?
{1, 2} , {1,3} , {1, 4} , {2, 3} , {2, 4} e {3, 4} . a) 15.
b) 20.
c) 25.
4 Determine o número de retas distintas que podem d) 30.
ser determinadas por 7 pontos pertencentes a uma e) 9.
circunferência.
Resolução:
4 Num restaurante há 2 tipos de salada, 3 tipos de
A pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quantas
possibilidades temos de fazer uma refeição com
G B
uma salada, um prato quente e uma sobremesa?
a) 8.
C
b) 12.
F c) 14.
d) 16.
D
e) 18.
E
Observe que a reta AB e a reta BA são iguais, 5 Quantos números de dois algarismos distintos
ou seja, a ordem não influencia no resultado. podemos escrever com os algarismos:
Para formar uma reta, precisamos de 2 pontos
dentre os sete existentes. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
7  7! 7.6.5!
C7,2 = = = = 21 .
 2  (7 − 2) !2! 5!2.1 a) 72.
b) 71.
c) 70.
EXERCÍCIOS d) 69.
e) 68.
1 Calcule:
8!
a) 6 Quantos números pares e de quatro algarismos
6!
distintos podemos formar com os algarismos:
100! 1, 3, 4, 5, 6, 7?
b)
98!
a) 100.
5! b) 110.
c) c) 120.
3!+ 2!
d) 130.
e) 140.
Editora Exato 15

3. MATEMÁTICA
7 Você e mais 5 colegas pretendem formar comis-
sões de 3 pessoas. Quantas comissões são possí-
veis?
a) 08.
b) 10.
c) 15.
d) 20.
e) 25.
8 Em uma circunferência foram marcados 7 pontos
distintos. Quantas retas podem ser traçadas, pas-
sando cada uma por dois desses pontos?
a) 20.
b) 21.
c) 22.
d) 23.
e) 24.
9 Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma
reta paralela à primeira, marcam-se 5 pontos.
Quantos triângulos obtemos unindo 3 quaisquer
desses pontos?
a) 220.
b) 210.
c) 200.
d) 100.
e) 13.
GABARITO
1
a) 56
b) 9.900
c) 10
2 E
3 B
4 E
5 A
6 C
7 D
8 B
9 A
Editora Exato 16