Este documento apresenta um resumo sobre Matemática Financeira. Aborda conceitos como juros simples e compostos, taxas de juros, fórmulas para cálculo de juros, montante, rendas certas e sugestões de atividades. Tem como objetivo contextualizar esses conceitos matemáticos e torná-los úteis para a vida financeira dos estudantes.

1. Matem´tica Financeira
a
Uma abordagem contextual
Prof. PDE: Epaminondas Alves dos Santos
Orientador (UEL): Prof. Dr. Ulysses Sodr´
e
Trabalho desenvolvido junto ao PDE
1

2. Programa de Desenvolvimento
Educacional do Paran´
a
Conte´ do
u
Introdu¸˜o
ca 4
1 Juros 6
1.1 Juros Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Taxas de juros – Classifica¸˜o . . . . . . . . . . . .
ca 7
1.1.2 F´rmula de Juros Simples . . . . . . . . . . . . . .
o 8
1.1.3 F´rmulas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 9
1.1.4 Montante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5 Aplica¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
co 12
1.2 Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Demonstra¸˜o da f´rmula . . . . . . . . . . . . . .
ca o 13
1.2.2 Exemplos de aplica¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 14
1.2.3 C´lculo de taxas equivalentes . . . . . . . . . . . .
a 15
2 Rendas Certas 16
2.1 Sistema francˆs de amortiza¸˜o . . . . . . . . . . . . . . .
e ca 17
2.1.1 Rendas antecipadas – Com entrada . . . . . . . . . 17
2.1.2 Rendas postecipadas – Sem entrada . . . . . . . . . 19
2.1.3 Rendas diferidas – Com carˆncia . . . . . . . . . .
e 20
2.1.4 Observa¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
co 22
2.1.5 M´todo pr´tico: c´lculo do coeficiente de amortiza¸˜o 22
e a a ca
2.2 Sistema de Amortiza¸˜o Constante – SAC . . . . . . . . .
ca 24
2.3 Capitaliza¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 25

3. 3 Sugest˜es de Atividades
o 28
3.1 Encaminhamento metodol´gico . . . . . . . . . . . . . . .
o 28
3.2 Atividades com calculadora simples . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Calculando potˆncias com a calculadora simples . .
e 28
3.2.2 Explorando as teclas de mem´ria . . . . . . . . . .
o 29
3.3 Atividades com o software Calc . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Calculando a taxa de juros de uma renda uniforme 31
3.3.2 Calculando a taxa de juros de uma renda n˜o uniforme 34
a
3

4. Introdu¸˜o
ca
Grandes problemas enfrentados pelos professores de Matem´tica atual-
a
mente tais como a apatia, o desinteresse e, at´ mesmo, a indisciplina
e
por parte dos nossos alunos, s˜o provavelmente frutos de uma aparente
a
contradi¸˜o que existe entre a origem e desenvolvimento dos conte´dos
ca u
matem´ticos e a forma como eles s˜o disseminados pela escola.
a a
´
E sabido de todos que a Matem´tica originou e se desenvolveu em fun¸˜o
a ca
das necessidades enfrentadas pelo homem nas suas rela¸˜es sociais e no
co
enfrentamento das dificuldades impostas pela natureza. Apesar disso, de-
vido `s diversas transforma¸˜es ocorridas pelas pol´
a co ıticas educacionais, o
que se vˆ hoje em dia ´ um ensino da Matem´tica pouco contextualizado,
e e a
contribuindo para a falta de est´
ımulo dos nossos alunos.
Neste contexto, a Matem´tica Financeira se apresenta como uma exce-
a
lente alternativa para compor o curr´ ıculo do Ensino M´dio, visto que ela ´
e e
contextual por excelˆncia, ´ atual e necess´ria para a forma¸˜o de um in-
e e a ca
div´
ıduo cr´ıtico, pois ela d´ subs´
a ıdios necess´rios para a tomada de decis˜es
a o
importantes para a sua vida.
´
E indiscut´
ıvel, nos dias atuais, a relevˆncia da Matem´tica Financeira
a a
no cotidiano das pessoas. O fato de vivermos num pa´ capitalista em
ıs
desenvolvimento e que sofre os efeitos da globaliza¸˜o da economia tornam
ca
essa importˆncia ainda maior.
a
Com a economia em fase de estabiliza¸˜o e crescimento, aumenta a oferta
ca
de cr´dito e as pessoas est˜o se endividando cada vez mais. Torna-se
e a
necess´rio que o cidad˜o tome conhecimento, pelo menos um pouco dos
a a
mecanismos que regem o sistema financeiro.
Esse trabalho prop˜e atividades e discuss˜es no ˆmbito do Ensino M´dio,
o o a e
sobre as principais f´rmulas da Matem´tica Financeira e suas aplica¸˜es,
o a co
como, por exemplo, as que regem as amortiza¸˜es de d´
co ıvidas pelo Sistema
Francˆs. Visando facilitar o entendimento, as demonstra¸˜es s˜o feitas
e co a
sem muito rigor matem´tico, com ˆnfase `s demonstra¸˜es mecˆnicas ou
a e a co a
visuais.
Conhecer os conte´dos matem´ticos que est˜o envolvidos nas atividades
u a a
financeiras tais como os c´lculos dos juros simples e compostos, os de-
a
scontos, as capitaliza¸˜es e amortiza¸˜es de d´
co co ıvidas ´, sem d´vida, uma
e u
forma agrad´vel de dar significado a diversos conte´dos importantes da
a u
4

5. Matem´tica do Ensino Fundamental e M´dio, tais como: Raz˜es, Pro-
a e o
por¸˜es, Porcentagem, Fun¸˜es, Progress˜es Aritm´ticas e Geom´tricas,
co co o e e
entre outros.
A Matem´tica Financeira fazia parte do curr´
a ıculo dos antigos cursos profis-
sionalizantes da ´rea de contabilidade. Com a mudan¸a para o atual En-
a c
sino M´dio ela ficou relegada a um plano secund´rio, figurando apenas em
e a
algumas institui¸˜es como complemento de carga hor´ria, inserida como
co a
conte´do da parte diversificada.
u
O que esse trabalho prop˜e ´ a sua inser¸˜o definitiva na grade curricu-
o e ca
lar do Ensino M´dio, visto que a Matem´tica Financeira tem uma desta-
e a
cada importˆncia no cotidiano das pessoas. N˜o s˜o raras as situa¸˜es
a a a co
do dia-a-dia em que necessitamos de lan¸ar m˜o de algum conhecimento
c a
de Matem´tica Financeira para nos orientarmos na tomada de decis˜es
a o
importantes na nossa vida.
Partindo de alguns conhecimentos b´sicos adquiridos pelos alunos no en-
a
sino fundamental, tais como as no¸˜es de proporcionalidade, juros simples
co
e a no¸˜o de fun¸˜es o professor pode, aos poucos, ir refor¸ando esses
ca co c
conceitos e lan¸ando as bases da Matem´tica Financeira, introduzindo os
c a
conceitos da capitaliza¸˜o composta, da equivalˆncia de capitais e dos sis-
ca e
temas de amortiza¸˜o de d´
ca ıvidas.
Para esse prop´sito, o professor deve fazer um planejamento bastante cri-
o
terioso das suas a¸˜es tendo em vista as limita¸˜es de tempo e a disponi-
co co
bilidade de recursos tecnol´gicos da sua escola.
o
Quando poss´ıvel, o uso adequado de recursos computacionais pode ajudar
a dar mais agilidade e melhorar a qualidade dos trabalhos desenvolvidos,
mas na impossibilidade desses recursos, uma calculadora simples, usada
de forma eficiente, pode ser um bom instrumento para se trabalhar a
Matem´tica Financeira.
a
5

6. 1 Juros
Quando se toma emprestado de algu´m por um certo tempo algum bem
e
ou dinheiro, ´ natural que se pague ao fim desse prazo, al´m do valor
e e
emprestado, alguma compensa¸˜o financeira, o aluguel, no caso de um
ca
bem ou os juros, no caso de dinheiro.
Ao valor emprestado denominamos Principal, Capital Inicial ou simples-
`
mente Capital. A soma dos juros com o Capital em um determinado
per´
ıodo ´ dado o nome de Montante.
e
Constitui a base principal da Matem´tica Financeira os estudos dos mecan-
a
ismos que regem a forma¸˜o dos juros e a sua incorpora¸˜o ao Capital,
ca ca
tamb´m denominada Capitaliza¸˜o. O intervalo de tempo decorrente en-
e ca
tre cada capitaliza¸˜o ´ denominado Per´odo de Capitaliza¸˜o.
ca e ı ca
Quanto aos Sistemas ou Regimes de Capitaliza¸˜o, destacamos dois:
ca
• Juros Simples – Ao fim de cada per´ ıodo de capitaliza¸˜o s˜o incorpo-
ca a
rados os juros calculados sobre o Capital Inicial.
• Juros Compostos – Ao fim de cada per´ ıodo de capitaliza¸˜o s˜o in-
ca a
corporados os juros calculados sobre o montante do per´ıodo anterior.
1.1 Juros Simples
No regime de capitaliza¸˜o a Juros Simples, a compensa¸˜o financeira
ca ca
mencionada na se¸˜o anterior, ou seja, os (juros) s˜o diretamente propor-
ca a
cionais ao valor do capital emprestado (C), dentro de um per´ıodo unit´rio
a
de tempo (dia, mˆs, ano, etc.), e tamb´m diretamente proporcionais `
e e a
quantidade de per´ ıodos em que o mesmo ficar emprestado.
Para um per´ ıodo unit´rio, a parcela dos juros (combinada previamente
a
entre as partes), ´ dada por uma porcentagem do capital inicial, ou seja,
e
um valor r para cada 100 (cem) partes desse valor. r ´ denominada a taxa
e
de juros.
Por exemplo se r = 5, escreve-se r = 5% e lˆ-se (cinco por cento). Pode-se
e
5
escrever tamb´m r =
e ou o que ´ equivalente r = 0, 05.
e
100
r
Sendo r% a taxa de juros, chamaremos = i de taxa unit´ria.
a
100
6

7. 1.1.1 Taxas de juros – Classifica¸˜o
ca
Uma taxa de juros ´ denominada taxa efetiva, quando o per´
e ıodo a que ela
se refere coincide com o per´
ıodo de capitaliza¸˜o.
ca
Exemplo: 4% ao semestre capitalizados semestralmente.
Uma taxa de juros ´ denominada taxa nominal, quando o per´
e ıodo a que
ela se refere n˜o coincide com o per´
a ıodo de capitaliza¸˜o.
ca
Exemplo: 7% ao ano capitalizados mensalmente.
Esse tipo de taxa n˜o ´ aplicavel aos juros simples uma vez que o per´
a e ıodo
de referˆncia da taxa j´ determina o per´
e a ıodo de capitaliza¸˜o. No entanto
ca
ela ´ de extrema importˆncia para os juros compostos, dando origem aos
e a
conceitos de taxa proporcional e equivalente que ser˜o discutidas a seguir.
a
Duas taxas de juros s˜o proporcionais quando formam uma propor¸˜o
a ca
direta com os per´
ıodos de capitaliza¸˜o a elas referidos.
ca
Exemplo: A taxa de juros de 2% ao bimestre ´ proporcional a 6% ao
e
semestre, pois:
2 1
=
6 3
´
E uma propor¸˜o direta, ou seja, a raz˜o entre as taxas ´ igual a raz˜o
ca a e a
entre os per´
ıodos a elas referidos. Na pr´tica, quando a rela¸˜o entre os
a ca
per´
ıodos ´ de 1 : n, basta multiplicar ou dividir uma taxa de um pe´
e ıodo
por n para obter a taxa proporcional a ela relativa ao outro per´ıodo.
Exemplos:
1. Para obter a taxa semestral proporcional a 10% ao ano, observamos
que a rela¸˜o entre os per´
ca ıodos ´ de 1 : 2, ou seja, 1 ano = 2 semestres,
e
basta dividir 10 por 2, resultando na taxa semestral de 5%.
2. Para obter a taxa anual proporcional a 3% ao bimestre, lembramos
que a rela¸˜o entre os per´
ca ıodos ´ de 1 : 6, isto ´, (1 ano = 6 bimestres).
e e
Multiplicamos ent˜o 3 por 6 e obtemos a taxa proporcional procurada
a
de 18% ao ano.
Defini¸˜o: Duas taxas s˜o equivalentes quando se referindo a per´
ca a ıodos
de capitaliza¸˜es diferentes, produzem os mesmos juros num determinado
co
per´
ıodo, quando aplicadas sobre um mesmo capital.
7

8. No regime de capitaliza¸˜o a juros simples as taxas equivalentes para dois
ca
per´ıodos de capitaliza¸˜o distintos s˜o tamb´m proporcionais para esses
ca a e
mesmos per´ ıodos, pois a incidˆncia dos juros ocorre apenas sobre capital
e
inicial.
Por´m no regime de capitaliza¸˜o a juros compostos essas duas taxas s˜o
e ca a
bastantes distintas, como ser´ visto na se¸˜o 1.2.3.
a ca
Outro conceito muito importante e que as pessoas em geral n˜o d´ muita
a a
aten¸˜o ´ o de taxa real de juros. Essa taxa exprime o ganho real de um
ca e
investimento em um per´ ıodo pois ela relaciona a taxa efetiva e a taxa de
infla¸˜o (perda do valor do dinheiro) de um per´
ca ıodo de capitaliza¸˜o, da
ca
seguinte forma:
1 + taxa efetiva
taxa real = −1
1 + taxa de inflac˜oa
Em ´pocas de infla¸˜o alta, a n˜o observˆncia dessa taxa fez que muitas
e ca a a
pessoas perdessem as suas economias. As taxas de juros para investimento
eram altas e as pessoas emprestavam e gastavam os rendimentos dos juros.
Quando retiravam o montante do investimento, elas percebiam que haviam
perdido consideravelmente o seu valor devido ` taxa de infla¸˜o.
a ca
Recomendamos aos professores de Matem´tica do Ensino M´dio n˜o dedicar
a e a
muito tempo das aulas no estudo dos juros simples, pois h´ muito tempo
a
j´ n˜o se pratica os juros simples em nossa economia, tamb´m porque ele
a a e
j´ figura na grade do ensino fundamental. O que sugerimos aqui ´ uma
a e
revis˜o r´pida e bem elaborada desse conte´do que tem sua importˆncia
a a u a
para facilitar o entendimento da capitaliza¸˜o composta.
ca
1.1.2 F´rmula de Juros Simples
o
Se C ´ o capital emprestado ` taxa de r% ao mˆs, durante n meses, o
e a e
c´lculo dos juros produzidos, denotado por j, ´ dado pela f´rmula
a e o
r
j=C· ·n
100
Demonstra¸˜o : Para calcular os juros em cada per´
ca ıodo (mˆs), multi-
e
r
plicamos o valor C pela taxa percentual i = e para obter o total
100
dos juros dos n per´
ıodos, multiplica-se por n. Ou seja:
r
j=C· ·n
100
8

9. O que ´ equivalente a
e
j =C ·i·n (1)
1.1.3 F´rmulas derivadas
o
A f´rmula 1 para o c´lculo da taxa de juros, tamb´m pode ser usada para
o a e
gerar o c´lculo do Capital C, do tempo n e da taxa i. Como esta f´rmula
a o
envolve quatro vari´veis, basta conhecer trˆs delas para gerar a vari´vel
a e a
desconhecida.
Para calcular o capital, isolamos a inc´gnita C na f´rmula 1 para obter
o o
j
C= (2)
i·n
Para obter o per´
ıodo n, temos
j
n= (3)
C ·i
Para calcular a taxa i, temos
j
i= (4)
C ·n
Observa¸˜o importante! A taxa r e o tempo n devem estar expressas
ca
coerentemente, ou seja, se a taxa for mensal, o tempo deve ser expresso
em meses, caso contr´rio, deve-se transformar a taxa, usando-se uma taxa
a
proporcional (Ver subse¸˜o 1.2.3) ou o tempo, usando a rela¸˜o de propor-
ca ca
cionalidade entre os per´
ıodos.
Aplica¸˜es
co
1. Calcular os juros simples obtidos pela aplica¸˜o do capital R$ 1200,00,
ca
colocado ` taxa de 5% ao mˆs, durante 8 meses.
a e
Resolu¸˜o:
ca
5
• i= = 0, 05
100
• C = 1200
• n=8
• j =?
9

10. Aplicando a f´rmula 1, temos
o
j = 1200 · 0, 05 · 8 = 480
Resposta: Os juros obtidos foram de R$ 480,00.
2. Qual o capital, que emprestado a juros simples de 15% ao ano, produz
em 5 anos juros no valor de R$ 210,00?
Resolu¸˜o:
ca
15
• i= = 0, 15
100
• C =?
• n=5
• j = 210
Aplicando a f´rmula 2, obtemos
o
210
C= = 280
0, 15 · 5
Resposta: O capital emprestado deve ser de R$ 280,00.
3. Durante quanto tempo o capital R$ 850,00 deve ficar emprestado, `a
taxa de juros simples de 3% ao mˆs para gerar a renda R$ 76,50 de
e
juros?
Resolu¸˜o:
ca
3
• i= = 0, 03
100
• C = 850
• n =?
• j = 76, 50
Aplicando a f´rmula 3, temos
o
76, 50
n= =3
850 · 0, 03
Resposta: O capital deve ficar emprestado por 3 meses.
4. A que taxa de juros simples devemos emprestar R$ 2500,00, para que
em 4 bimestres, possamos ter a renda R$ 180,00 de juros?
Resolu¸˜o:
ca
10

11. • i =?
• C = 2500
• n=4
• j = 180
Aplicando a f´rmula 4, obtemos
o
180
i= = 0, 018
2500 · 4
Logo
r = 0, 018 · 100 = 1, 8
Resposta: A taxa deve ser de 1, 8% ao bimestre.
1.1.4 Montante
Montante (M ) ´ o nome dado ` soma do capital com os juros produzidos
e a
em um determinado per´ıodo, ou seja:
M =C +j (5)
´
E poss´
ıvel calcular os juros ou o capital que comp˜em um montante,
o
quando se conhece, al´m do montante, apenas a taxa e o tempo.
e
Observe que este c´lculo ´ muito complicado para se realizar com o uso das
a e
f´rmulas anteriores, pois elas necessitam que se identifique que parcela do
o
montante corresponde aos juros, uma vez que o montante n˜o se apresenta
a
de forma expl´
ıcita nessas f´rmulas.
o
Substituindo o resultado da equa¸˜o 2 na equa¸˜o 5, segue que
ca ca
C +j =M
´ equivalente a
e
j j
+ =M
i·n 1
que equivale a
j+j·i·n
=M
i·n
11

12. de onde segue que
j(1 + i · n)
M=
i·n
Isolando a inc´gnita j na ultima equa¸˜o, obtemos
o ´ ca
M ·i·n
j= (6)
1 + in
Para obter o capital, temos o desenvolvimento:
M =C +j
que ´ equivalente a
e
M =C +C ·i·n
ou seja
M = C(1 + i · n)
Isolando a inc´gnita C na ultima equa¸˜o, obtemos
o ´ ca
M
C= (7)
1+i·n
1.1.5 Aplica¸˜es
co
1. Um certo capital ficou emprestado ` taxa de juros simples de 10% ao
a
ano, durante 8 anos. Qual ´ o valor dos juros produzidos, se ao fim
e
desse per´
ıodo o montante correspondia a R$ 900,00?
Resolu¸˜o:
ca
10
• i= = 0, 1
100
• M = 900
• n=8
• j =?
Aplicando a f´rmula 6, obtemos:
o
900 · 0, 1 · 8
j= = 400
1 + 0, 1 · 8
Resposta: Os juros produzidos foram de R$ 400,00.
12

13. 2. Qual ´ o capital, que ficando emprestado por 5 meses, ` taxa de juros
e a
simples de 4% ao mˆs, produz o montante de R$ 5400,00?
e
Resolu¸˜o:
ca
4
• i= = 0, 04
100
• M = 5400
• n=5
• C =?
Aplicando a f´rmula 7, obtemos:
o
5400
C= = 4500
1 + 0, 04 · 5
Resposta: O capital deve ser de R$ 4500,00.
1.2 Juros Compostos
Denominamos capitaliza¸˜o composta ou capitaliza¸˜o com juros compos-
ca ca
tos ao regime de capitaliza¸˜o pelo qual os juros auferidos em cada per´
ca ıodo
s˜o somados ao capital anterior, para render juros no per´
a ıodo seguinte.
Esta pr´tica ´ denominada anatocismo ou, mais popularmente “juros so-
a e
bre juros”.
Para saber mais sobre anatocismo, consulte as p´ginas abaixo:
a
http://www.direitonet.com.br/dicionario_juridico/x/33/88/338
http://forum.jus.uol.com.br/discussao/16999/legalidade-ilegal-do-anatocismo
http://www.iesc.edu.br/pesquisa/arquivos/o_anatocismo_dos_sistemas_de_amortizacao.
pdf
1.2.1 Demonstra¸˜o da f´rmula
ca o
Seja Cn o montante ao fim de n per´ ıodos de capitaliza¸˜o composta, C0 o capital no per´
ca ıodo 0
em que ocorreu o empr´stimo, i a taxa unit´ria e Jn , os juros do per´
e a ıodo n.
Para calcular o montante C1 relativo ao primeiro per´ ıodo, ou seja C0 + J1 , devemos aplicar a
taxa i de juros simples durante 1 per´
ıodo ao capital C0 , para obter:
C1 = C0 + C0 · i = C0 (1 + i) = C0 (1 + i) = C0 (1 + i)1
C2 = C1 + C1 · i = C1 (1 + i) = C0 (1 + i)(1 + i) = C0 (1 + i)2
C3 = C2 + C2 · i = C2 (1 + i) = C0 (1 + i)2 (1 + i) = C0 (1 + i)3
E assim por diante.
13

14. Podemos acreditar que, ao fim de n per´
ıodos, o montante Cn ser´ dado pela f´rmula:
a o
Cn = C0 (1 + i)n (8)
Isolando C0 na equa¸˜o anterior, obtemos uma f´rmula que fornece o capital inicial, em fun¸˜o
ca o ca
do montante Cn , da taxa i e do tempo n.
Cn
C0 = (9)
(1 + i)n
1.2.2 Exemplos de aplica¸˜o
ca
1. Calcular o montante produzido pelo capital R$ 7800,00, aplicado a juros compostos de
5% ao mˆs, durante 6 meses.
e
Resolu¸˜o:
ca
• C6 =?
• C0 = 7800
5
• i= = 0, 05
100
• n=6
Aplicando a f´rmula 8, obtemos
o
C6 = 7800(1 + 0, 05)6 = 7800(1, 05)6 ∼ 7800 · 1, 34009 = 10452, 70
=
Resposta: O valor aproximado do montante produzido foi de R$ 10452,70.
2. Calcular o capital inicial necess´rio para que, a juros compostos de 4% ao mˆs, produza
a e
o montante de R$ 5600,00, durante 7 meses.
Resolu¸˜o:
ca
• C7 = 5600
• C0 =?
4
• i= = 0, 04
100
• n=7
Aplicando a f´rmula 9, obtemos
o
5600 5600 5600
C0 = 7
= 7
= = 4255, 54
(1 + 0, 04) (1, 04) 1, 315931
Resposta: O capital inicial deve ser de R$ 4255,54.
Observa¸˜o importante: Para o c´lculo do tempo e da taxa no regime de capitaliza¸˜o
ca a ca
a juros compostos, h´ necessidade da aplica¸˜o de equa¸˜es exponenciais e de logaritmos,
a ca co
o que `s vezes pode obrigar o uso de calculadora cient´
a ıfica ou de t´buas de logaritmos.
a
14

15. 1.2.3 C´lculo de taxas equivalentes
a
Duas taxas s˜o equivalentes quando se referindo a per´
a ıodos de capitaliza¸˜es diferentes, pro-
co
duzem os mesmos juros num determinado per´ ıodo, quando aplicadas sobre um mesmo capital.
Como j´ fora definido anteriormente, no regime de capitaliza¸˜o a juros composto os juros inci-
a ca
dem tamb´m sobre os juros do per´
e ıodo anterior. O que significa que quanto mais capitaliza¸˜es
co
o capital sofrer em um determinado per´ıodo, maior ser´ o seu rendimento.
a
Exemplos: Em juros compostos as taxas 21% ao ano ´ equivalente a 10% ao semestre. (Con-
e
fira!)
Observe que a taxa proporcional ´ de 20% ao ano.
e
F´rmulas para o c´lculo das taxas equivalentes: Para facilitar a nomenclatura vamos
o a
denotar por i o valor da taxa correspondente ao menor per´
ıodo de capitaliza¸˜o e por I o valor
ca
da taxa do maior per´ ıodo de capitaliza¸˜o.
ca
A Figura 1 a seguir mostra a rela¸˜o entre duas taxas equivalentes aplicadas sobre um mesmo
ca
capital C0 . Observe que que o efeito de trˆs aplica¸˜es da taxa i ´ o mesmo de uma unica
e co e ´
aplica¸˜o da taxa I e a rela¸˜o entre os per´
ca ca ıodos ´ de 1 : 3.
e
Figura 1: Taxas equivalentes.
Supondo conhecida a taxa i do menor per´ ıodo, queremos obter a taxa I equivalente a i. Como
o efeito dessas duas taxas sobre o capital C0 ´ o mesmo nesse per´
e ıodo, temos:
C0 (1 + I) = C0 (1 + i)3
logo
(1 + I) = (1 + i)3
e assim
I = (1 + i)3 − 1
Se se o per´
ıodo maior fosse igual a n vezes o per´
ıodo menor, ter´
ıamos a f´rmula
o
I = (1 + i)n − 1 (10)
Agora, suponhamos conhecida a taxa I do maior per´
ıodo e queremos conhecer a taxa i equiva-
lente a I.
Pelo mesmo racioc´
ınio usado na demonstra¸˜o anterior, temos que
ca
C0 (1 + i)3 = C0 (1 + I)
15

16. logo
(1 + i)3 = (1 + I)
assim √
3
(1 + i) = 1+I
de onde segue √
3
i= 1+I −1
Buscando generalizar o racioc´
ınio usado para gerar o resultado anterior, ´ f´cil perceber que se
e a
a taxa I do per´
ıodo maior fosse igual a n vezes a taxa i do per´
ıodo menor, ter´ıamos a f´rmula
o
√
i= n1+I −1 (11)
Observa¸oes importantes:
c˜
1. Para trabalhar com as f´rmulas anteriores atrav´s de uma calculadora simples, quanto
o e
a o
` F´rmula 10, n˜o h´ problemas pois ser´ necess´rio o c´lculo de uma potˆncia. (Ver
a a a a a e
atividade 3.2.1).
2. Para o uso da F´rmula 11 ´ necess´rio o c´lculo de ra´
o e a a ızes. Neste caso, para que sejam
poss´
ıveis os c´lculos, sugerimos que a rela¸˜o entre os per´
a ca ıodos de capitaliza¸˜o seja de
ca
1 : 2, 1 : 4, 1 : 8, ... que s˜o poss´
a ıveis em uma calculadora simples com aplica¸˜es co
sucessivas da raiz quadrada, pois, das propriedades da radicia¸˜o, temos:
ca
√ √
4
a= a
√ √
8
a= a
Caso contr´rio o c´lculo s´ ser´ poss´ com calculadora cient´
a a o a ıvel ıfica.
2 Rendas Certas
Uma lista de quantias (usualmente denominadas presta¸˜es, pagamentos ou termos), referidas
co
a ´pocas diversas ´ denominada s´rie, anuidade ou ainda, renda certa. Se esses pagamentos
e e e
forem iguais e em intervalos de tempo iguais, a s´rie recebe o nome de uniforme.
e
Quanto ` sua finalidade, as rendas certas podem servir ao prop´sito de constituir um capital
a o
(capitaliza¸˜o) ou liquidar uma d´
ca ıvida (liquida¸˜o).
ca
S˜o exemplos de rendas certas as poupan¸as e capitaliza¸˜es programadas, os pagamentos de
a c co
alugu´is, impostos e as presta¸˜es de financiamentos em geral.
e co
Quanto `s amortiza¸˜es de d´
a co ıvidas, existem diversos sistemas de amortiza¸˜es, destacando-se o
co
francˆs, o sistema de amortiza¸˜o constante (SAC), o americano e o alem˜o, cada um com as
e ca a
suas peculiaridades.
16

17. 2.1 Sistema francˆs de amortiza¸˜o
e ca
No sistema francˆs de amortiza¸˜o de d´
e ca ıvidas, o valor das presta¸˜es e o per´
co ıodo entre as
presta¸˜es s˜o constantes.
co a
Esse ´ o sistema mais usado no com´rcio atualmente. Em geral, as presta¸˜es, s˜o pagas
e e co a
mensalmente.
Quanto ao pagamento da primeira presta¸˜o, as rendas certas podem ser classificadas como:
ca
antecipadas, postecipadas ou diferidas.
2.1.1 Rendas antecipadas – Com entrada
Nas rendas antecipadas, ou com entrada, o pagamento da primeira presta¸˜o se d´ na data
ca a
atual, ou seja, no momento da constitui¸˜o da d´
ca ıvida. Denotaremos esse momento de per´
ıodo
0.
O exemplo mostrado na Figura 2 representa uma s´rie antecipada uniforme de n = 4 pagamentos
e
iguais a P para liquidar uma d´
ıvida D sujeita a uma taxa de juros i.
ca ´
Observa¸˜o: E usual em Matem´tica Financeira indicar o coeficiente de capitaliza¸˜o 1 + i pela
a ca
letra u, ou seja
u=1+i
Figura 2: Esquema de pagamento antecipado.
17

18. Como a d´ ıvida dever´ ser liquidada no fim do quarto per´
a ıodo, podemos estabelecer, nesse
per´
ıodo uma equivalˆncia de capitais entre o valor da d´
e ıvida D e o somat´rio das presta¸˜es P ,
o co
ou seja:
Du4 = P + P u + P u2 + P u3 + P u4 (12)
S5
Observe que a seq¨ˆncia (P, P u, P u2 , P u3 , P u4 ) dos montantes das presta¸˜es forma uma progress˜o
ue co a
geom´trica de n = 5 termos, de raz˜o q = u e primeiro termo a1 = P , assim, o segundo membro
e a
da equa¸˜o 12, ´ a soma dos n = 5 termos de uma PG.
ca e
A f´rmula geral para a soma dos termos uma progress˜o geom´trica finita ´
o a e e
qn − 1
Sn = a1
q−1
Substituindo os valores conhecidos na f´rmula acima, obtemos
o
u5 − 1
S5 = P
u−1
Como u = 1 + i, o denominador da ultima equa¸˜o fica u − 1 = 1 + i − 1 = i e realizando a
´ ca
substitui¸˜o, resulta
ca
u5 − 1
S5 = P (13)
i
Comparando as express˜es 13 e 12, obtemos
o
u5 − 1
Du4 = P
i
Isolando o valor de P na f´rmula anterior, obtemos
o
u4 · i
P =D· (14)
u5 − 1
Observa¸˜es:
co
1. O expoente (5) de u no denominador da f´rmula 14 est´ relacionado com o n´mero de
o a u
termos da renda. (Ver Figura 2)
2. O expoente (4) de u no numerador est´ relacionado com o n´mero de capitaliza¸˜es da
a u co
d´
ıvida.
3. Para uma renda antecipada, o n´mero de presta¸˜es ser´ sempre de uma unidade a mais
u co a
que o n´mero de capitaliza¸˜es da d´
u co ıvida.
Com base nessas observa¸˜es, podemos, de modo intuitivo estabelecer uma generaliza¸˜o do
co ca
c´lculo anterior para um n´mero n qualquer de termos, do seguinte modo:
a u
Para calcular a presta¸˜o necess´ria para saldar uma d´
ca a ıvida D, a uma taxa i com uma renda
antecipada de n per´ıodos com presta¸˜es iguais a P , podemos usar a seguinte f´rmula:
co o
un−1 · i
P =D· (15)
un − 1
18

19. Isolando-se a inc´gnita D na f´rmula anterior, pode-se obter uma f´rmula que permite calcular
o o o
o valor da d´
ıvida que ser´ amortizada pagando-se n presta¸˜es iguais a P , sendo a primeira na
a co
´poca 0:
e
un − 1
D=P · (16)
un−1 · i
2.1.2 Rendas postecipadas – Sem entrada
Na amortiza¸˜o postecipada, imediata ou sem entrada, a primeira presta¸˜o ou pagamento se
ca ca
d´ no fim do primeiro per´
a ıodo, ou seja, na ´poca 1. Vamos analisar a Figura 3 a seguir, que
e
representa uma renda postecipada de n = 4 termos ou presta¸˜es:
co
Figura 3: Esquema de pagamento postecipado.
Pelo mesmo racioc´ınio usado na demonstra¸˜o da f´rmula anterior, aplicando a equivalˆncia de
ca o e
capitais no fim do quarto per´ıodo, temos:
Du4 = P + P u + P u2 + P u3 (17)
S4
onde o segundo membro representa a soma dos termos de uma PG de n = 4 termos. Calculando
essa soma, obtemos:
P (u4 − 1)
S4 =
u−1
ou seja
P (u4 − 1)
S4 = (18)
i
19

20. Comparando as express˜es 18 e 17, resulta:
o
P (u4 − 1)
Du4 =
i
Isolando P , obtemos
u4 · i
P =D· (19)
u4 − 1
Observa¸˜es:
co
1. O expoente (4) de u no denominador da f´rmula 19 est´ relacionado com o n´mero de
o a u
termos da renda. (Ver Figura 3)
2. O expoente (4) de u no numerador est´ relacionado com o n´mero de capitaliza¸˜es da
a u co
d´
ıvida.
3. Para uma renda postecipada, o n´mero de presta¸˜es ser´ sempre de igual que o n´mero
u co a u
de capitaliza¸˜es da d´
co ıvida.
Com base nessas observa¸˜es, podemos, de modo intuitivo estabelecer uma generaliza¸˜o do
co ca
c´lculo anterior para um n´mero n qualquer de termos, do seguinte modo:
a u
Para calcular o valor da presta¸˜o necess´ria para liquidar uma d´
ca a ıvida D a uma taxa i, em n
pagamentos iguais a P , com a primeira presta¸˜o vencendo no fim do primeiro per´
ca ıodo, podemos
utilizar a f´rmula:
o
un · i
P =D· n (20)
u −1
Isolando-se a inc´gnita D na f´rmula anterior, pode-se calcular o valor da d´
o o ıvida que ser´
a
amortizada pagando-se n presta¸˜es iguais a P , sendo a primeira na ´poca 1:
co e
un − 1
D=P · (21)
un · i
2.1.3 Rendas diferidas – Com carˆncia
e
Neste sistema, como nos anteriores, o per´ ıodo e as presta¸˜es s˜o constantes, sendo que a
co a
primeira presta¸˜o vence m per´
ca ıodos ap´s a ´poca 1, e, a este diferimento se d´ o nome de
o e a
carˆncia. A Figura 4 representa essa situa¸˜o, para o caso de n = 4 presta¸˜es e um diferimento
e ca co
de m = 2 per´ıodos:
Fazendo a equivalˆncia de capitais na ´poca 6, obtemos:
e e
Du6 = P + P u + P u2 + P u3 (22)
S4
Como o segundo termo corresponde ` soma dos termos de uma PG de 4 termos, obtemos:
a
u4 − 1
S4 = P
u−1
ou seja
u4 − 1
S4 = P (23)
i
20

21. Figura 4: Esquema de pagamento diferido de 2 per´
ıodos.
Comparando as express˜es 23 e 22, obtemos:
o
u4 − 1
Du6 = P
i
Isolando P na ultima express˜o, resulta:
´ a
u6 · i
P =D· (24)
u4 − 1
Observa¸˜es:
co
1. O expoente (4) de u no denominador da f´rmula 24 est´ relacionado com o n´mero de
o a u
termos da renda. (Ver Figura 4)
2. O expoente (6) de u no numerador est´ relacionado com o n´mero de capitaliza¸˜es da
a u co
d´
ıvida.
3. Para uma renda diferida, o n´mero de capitaliza¸˜es da d´
u co ıvida ser´ sempre m unidades
a
a mais que o n´mero de presta¸˜es.
u co
Com base nessas observa¸˜es, podemos, de modo intuitivo estabelecer uma generaliza¸˜o do
co ca
c´lculo anterior para um n´mero n qualquer de termos e um per´
a u ıodo m qualquer de carˆncia,
e
do seguinte modo:
Para calcular o valor P das n presta¸˜es necess´rias para saldar a d´
co a ıvida D, sujeita ` taxa i,
a
sendo que o vencimento da primeira presta¸˜o se d´ m per´
ca a ıodos ap´s a ´poca 1, pode se usar a
o e
seguinte f´rmula:
o
un+m · i
P =D· n (25)
u −1
21

22. Isolando a inc´gnita D na f´rmula anterior, pode-se calcular o valor da d´
o o ıvida que ser´ amorti-
a
zada pagando-se n presta¸˜es iguais a P , sendo a primeira na ´poca m + 1:
co e
un − 1
D=P · (26)
un+m · i
2.1.4 Observa¸˜es
co
1. A condi¸˜o “m per´
ca ıodos ap´s a ´poca 1 ”, deve-se ao fato que sistema postecipado ou sem
o e
entrada ´ o sistema padr˜o utilizado atualmente. Quando n˜o se faz men¸˜o ao tipo,
e a a ca
subentende-se que ´ o tipo postecipado.
e
2. Observando melhor f´rmulas 15, 20 e 25, demonstradas anteriormente, podemos perceber
o
que os denominadores s˜o iguais em todas elas e que o expoente de u no numerador varia
a
conforme o vencimento da primeira presta¸˜o: n − 1 para o per´
ca ıodo 0, n para o per´
ıodo 1,
e n + m para uma carˆncia de m per´
e ıodos. Denotando por p esse expoente, denominamos
coeficiente de amortiza¸˜o, as express˜es do tipo:
ca o
up · i
un − 1
2.1.5 M´todo pr´tico para o c´lculo do coeficiente de amortiza¸˜o
e a a ca
Muitos professores n˜o gostam de trabalhar com a Matem´tica Financeira porque acreditam
a a
ser necess´rio o uso de calculadora financeira ou cient´
a ıfica para efetuar os c´lculos.
a
Isso n˜o ´ verdade, com um pouco de habilidade ´ poss´ se trabalhar esses c´lculos com o uso
a e e ıvel a
de uma calculadora comum. Bastando para isso usar os seus recursos de c´lculos constantes e
a
as teclas de mem´ria, indicadas na Figura 5 a seguir.
o
Figura 5: Uma calculadora padr˜o.
a
Exemplos
1. Para calcular a potˆncia 1, 0310 , em uma calculadora simples, seguir os seguintes passos:
e
(a) Digitar 1, 03;
22

23. (b) Pressionar = 9 vezes.
Observa¸˜o: Para elevar o n´mero dado a uma determinada potˆncia n, basta pres-
ca u e
sionar = n-1 vezes).
2. Fun¸˜es das teclas de mem´ria:
co o
• A tecla M+ adiciona o n´mero atual ` mem´ria.
u a o
• A tecla M– subtrai o n´mero atual da mem´ria.
u o
• A tecla MR ou a tecla MRC permite acessar o n´mero que est´ guardado na
u a
mem´ria.
o
3. A Figura 6 a seguir mostra, passo a passo, como se pode calcular o coeficiente de amor-
tiza¸˜o, para o caso de um pagamento postecipado, usando uma calculadora comum.
ca
• As setas vermelhas indicam a ordem das inser¸˜es de dados e das opera¸˜es;
co co
• Primeiro se calcula o denominador e memoriza o resultado;
• Depois se calcula o numerador e por fim se faz a divis˜o pelo resultado guardado na
a
mem´ria.
o
Figura 6: M´todo pr´tico
e a
4. Vamos ilustrar com um exemplo, como esse processo pode ser usado.
Comprei uma geladeira no valor de R$ 1200,00, em n = 10 presta¸˜es mensais iguais
co
sem entrada. Se a taxa de juros da loja ´ de 3% ao mˆs, qual deve ser o valor de cada
e e
presta¸˜o?
ca
Resolu¸˜o:
ca
• r = 3%
3
• i= = 0, 03
100
• u = 1 + 0, 03 = 1, 03
• n = 10 (n´mero de presta¸˜es)
u co
• D = 1200 (d´
ıvida)
23

24. • P =?
Aplicando a f´rmula 20, obtemos
o
1, 0310 · 0, 03 ∼ 1, 343916 · 0, 03 ∼
P = 1200 · 10 − 1 =
1200 · = 0, 11723 = 140, 67
1, 03 1, 343916 − 1
Resposta: O valor da presta¸˜o ser´ de R$ 140,67.
ca a
5. Qual deve ser o valor de um produto a ser comprado, de modo que eu possa pag´-lo a
totalmente em 6 presta¸˜es mensais de R$ 250,00, sem entrada, se a taxa de juros cobrada
co
pela loja ´ de 3, 5 % ao mˆs?
e e
Resolu¸˜o:
ca
• r = 3, 5%
3, 5
• i= = 0, 035
100
• u = 1 + 0, 035 = 1, 035
• n = 6 (n´mero de presta¸˜es)
u co
• D =?
• P = 250 (valor de cada presta¸˜o)
ca
Aplicando a f´rmula 21, temos
o
1, 0356 − 1 ∼ 1, 229255 − 1 ∼
D = 250 · 6 · 0, 035 =
250 · = 250 · 5, 328661 = 1332, 16
1, 035 1, 229255 · 0, 035
Resposta: O valor do produto a ser comprado deve ser de R$ 1332,16.
2.2 Sistema de Amortiza¸˜o Constante – SAC
ca
Esse ´ o sistema mais usado atualmente para financiamentos da casa pr´pria. Suas principais
e o
caracter´
ısticas s˜o:
a
1. As parcelas de amortiza¸˜o s˜o constantes;
ca a
2. O valor das presta¸˜es s˜o decrescentes.
co a
O valor P de cada presta¸˜o ´ composto de duas parcelas, os juros indicados por J, calculados
ca e
sobre o saldo devedor do per´ıodo anterior e a quota de amortiza¸˜o indicada por A, que ´ igual
ca e
D
ao valor da d´
ıvida dividido pelo n´mero de presta¸˜es, isto ´: A = .
u co e
n
Exemplo
Elaborar a planilha te´rica de amortiza¸˜o para um empr´stimo de R$ 10.000,00, pelo sistema
o ca e
SAC, sendo r = 2% ao mˆs, a taxa de financiamento e n = 5 presta¸˜es mensais.
e co
24

25. Resolu¸˜o: Sejam D0 , D1 , D2 , ..., D5 , os saldos devedores nos per´
ca ıodos 0, 1, 2, ..., 5, respectiva-
mente e Jn os juros do per´ıodo n, temos ent˜o a
J1 = 10000 · 0, 02 = 200
J2 = 8000 · 0, 02 = 160
J3 = 6000 · 0, 02 = 120
J4 = 4000 · 0, 02 = 80
J5 = 2000 · 0, 02 = 40
Resultando na Tabela 1:
n P J A D
0 - - - 10000
1 2200 200 2000 8000
2 2160 160 2000 6000
3 2120 120 2000 4000
4 2080 80 2000 2000
5 2040 40 2000 -
Tabela 1: Planilha te´rica (SAC)
o
2.3 Capitaliza¸˜o
ca
Quando se deseja constituir um Montante Mn ao longo de um certo tempo, podemos realizar n
dep´sitos em uma institui¸˜o financeira, um mesmo valor ou termo indicado por T , periodica-
o ca
mente.
Ao final desse per´ıodo, as somas dos montantes de cada um desses valores ir´ formar o Mon-
a
tante desejado. Todas estas aplica¸˜es recebem o nome dePlano de Capitaliza¸˜o ou Poupan¸a
co ca c
Programada.
A Figura 7 a seguir d´ uma id´ia de como isso ocorre, para uma renda antecipada (primeiro
a e
dep´sito no per´
o ıodo 0 ) de 5 termos.
Observe que a seq¨ˆncia (T, T u1 , T u2 , T u3 , T u4 ) dos montantes de cada termo T , ´ uma PG
ue e
de raz˜o u, primeiro termo T , com 5 termos. Para saber o valor do Montante M5 , no fim do
a
quarto per´
ıodo, basta calcular a soma dos 5 termos dessa PG. Assim.
q5 − 1
S5 = a1
q−1
e desse modo
u5 − 1
M5 = T
u−1
que tamb´m pode ser escrita como
e
u5 − 1
M5 = T (27)
i
25

26. Figura 7: Esquema de capitaliza¸˜o antecipado.
ca
A partir de observa¸˜es cuidadosas na f´rmula 27 e na figura 7, podemos perceber que o n´mero
co o u
(5) do numerador da f´rmula est´ relacionado com o n´mero de termos da renda. Podemos
o a u
ent˜o, de forma intuitiva, estabelecer uma f´rmula que dˆ o montante para um n´mero n
a o e u
qualquer de termos, como a que se segue.
´ a
E f´cil perceber que para uma renda de n termos iguais a T , sujeita a uma taxa i, o Montante
Mn ao fim de n − 1 per´ ıodos pode ser calculado pela f´rmula:
o
un − 1
Mn = T · (28)
i
Isolando a inc´gnita T na equa¸˜o anterior, pode-se calcular o valor dos n dep´sitos iguais a T ,
o ca o
necess´rios para se constituir o montante M .
a
i
T =M· (29)
un −1
Exemplos
1. Desejando constituir um capital, depositei mensalmente R$ 150,00, em uma poupan¸a c
programada durante 12 meses. Se a taxa de juros foi de 1, 5 % ao mˆs, qual ´ o valor
e e
atual do montante?
Resolu¸˜o:
ca
1, 5
• i= = 0, 015
100
• u = 1 + 0, 15 = 1, 015
• M12 =?
• n = 12
• T = 150
26

27. Aplicando a f´rmula 28, obtemos:
o
1, 01512 − 1 ∼ 1, 195618 − 1 ∼
M12 = 150 · = 150 · = 150 · 13, 0412 = 1956, 18
0, 015 0, 015
Resposta: O montante ao final desse per´
ıodo ser´ de aproximadamente R$ 1956,18.
a
2. Que valor devo depositar mensalmente em uma poupan¸a programada que rende 1, 2 %
c
de juros ao mˆs, durante n = 8 meses, para que constitua ao fim desse per´
e ıodo um capital
de R$ 5000,00?
Resolu¸˜o:
ca
1, 2
• i= = 0, 012
100
• u = 1 + 0, 12 = 1, 012
• M8 = 8000
• n=8
• T =?
Aplicando a f´rmula 29, temos
o
0, 012 0, 012 ∼ 8000 · 0, 119844 = 958, 75
T = 8000 · 8−1
= 8000 · =
1, 012 1, 100130 − 1
Resposta: Devo depositar durante 8 meses o valor R$ 958,75.
27

28. 3 Sugest˜es de Atividades
o
3.1 Encaminhamento metodol´gico
o
As atividades propostas neste trabalho s˜o indicadas para que sejam realizadas pelos alunos,
a
ap´s as demonstra¸˜es, por parte do professor, das principais f´rmulas da Matem´tica Finan-
o co o a
ceira e da resolu¸˜o de pelo menos alguns exerc´
ca ıcios exemplos para cada uma delas.
As atividades 3.2.1 e 3.2.2 podem ser realizadas em sala de aula, pois foram preparadas para
apresenta¸˜o com aux´ de calculadora simples.
ca ılio
As atividades 3.3.1 e 3.3.2 devem ser realizadas em um laborat´rio de inform´tica com um
o a
n´mero de computadores suficiente para atender aos alunos de uma turma, individualmente ou
u
em grupos pequenos. Uma boa parte dos estabelecimentos de ensino atualmente j´ possuem
a
esses laborat´rios.
o
Antes de levar os alunos ao laborat´rio, ´ muito importante que o professor, al´m da parte
o e e
te´rica, j´ tenha trabalhado com os alunos esses tipos de exerc´
o a ıcios com resolu¸˜es por outros
co
processos simples, com o uso de calculadora simples ou at´ mesmo pelos algoritmos operacionais.
e
3.2 Atividades com calculadora simples
3.2.1 Calculando potˆncias com a calculadora simples
e
Pedir que os alunos calculem os valores de diversas potˆncias de expoentes naturais, especial-
e
mente aquelas com expoentes maiores e bases com n´meros decimais.
u
Inicialmente, deixem os alunos livremente para realizar os c´lculos, interferindo somente ao final
a
para mostrar as vantagens de m´todos pr´ticos que visam facilitar esses c´lculos, como aquele
e a a
que est´ descrito na seq¨ˆncia. Eles s˜o muito importantes para a Matem´tica como um todo,
a ue a a
especialmente para Matem´tica Financeira.
a
Objetivos pedag´gicos
o
• Mostrar que n˜o s˜o necess´rios aparatos sofisticados como as calculadoras cient´
a a a ıficas ou
financeiras para se trabalhar c´lculos financeiros.
a
• Explorar ao m´ximo os recursos de uma calculadora simples.
a
• Facilitar o c´lculo de potˆncias que surgem naturalmente nas f´rmulas da Matem´tica
a e o a
Financeira.
• Com a racionaliza¸˜o do tempo de c´lculo, aproveitar o tempo excedente para avan¸ar
ca a c
em novos conte´dos.
u
• Incentivar o uso das opera¸˜es constantes e das teclas de mem´ria das calculadoras.
co o
Material necess´rio
a
• Uma calculadora simples;
• Material de anota¸˜o (l´pis, borracha, caneta e caderno).
ca a
28

29. Regra pr´tica para o c´lculo de potˆncias
a a e
Em uma calculadora simples, pode-se calcular o valor da potˆncia an , onde n ´ um n´mero
e e u
natural, obedecendo as seguintes etapas:
1. Digitar o n´mero que representa a base a da potˆncia;
u e
2. Pressionar a tecla X ;
3. Pressionar a tecla = (n-1) vezes.
Explorando essa atividade
• Pedir que cada aluno explique porque se deve apertar a tecla = (n-1) vezes se o expoente
da potˆncia ´ n.
e e
• Aplicar o m´todo mostrado acima para calcular o montante nos juros compostos, em cuja
e
f´rmula aparece potˆncias com expoentes naturais.
o e
Sugest˜o: Montar uma lista de atividades nas quais figurem essas potˆncias.
a e
• Mostrar aos alunos as vantagens de se usar o m´todo pr´tico descrito anteriormente e a
e a
sua real necessidade para a Matem´tica Financeira.
a
• Explorar com alunos outras opera¸˜es constantes das calculadoras comuns, como: soma,
co
subtra¸˜o, divis˜o e raiz quadrada, tentando descobrir poss´
ca a ıveis aplica¸˜es.
co
• Pedir que cada aluno mostre alguma outra situa¸˜o dentro da Matem´tica ou mesmo em
ca a
outra ciˆncia onde esse m´todo pode ser util.
e e ´
3.2.2 Explorando as teclas de mem´ria
o
Muitos usu´rios de calculadoras simples n˜o conhecem as fun¸˜es das teclas de mem´ria M ,
a a co o
M+ , MRC ou MR das calculadoras, ou quando sabem, n˜o as usam pois n˜o se d˜o conta
a a a
da sua real importˆncia para o c´lculo de f´rmulas matem´ticas.
a a o a
Nesta atividade o professor dever´ explicar as fun¸˜es dessas teclas (Ver 2.1.5) e montar uma
a co
lista de exerc´
ıcios de Matem´tica Financeira que envolvam f´rmulas cujos c´lculos podem ser
a o a
facilitados com o uso dessas calculadoras.
Ver as subse¸˜es 2.1 e 2.3. Inicialmente, os alunos devem ser deixados ` vontade para resolver
co a
os exerc´
ıcios do jeito que quiserem, mas o professor deve intervir em seguida para introduzir o
m´todo pr´tico mostrado abaixo, incentivando o seu uso.
e a
Objetivos pedag´gicos
o
• Mostrar aos alunos a importˆncia de saber realizar c´lculos financeiros para o cotidiano
a a
da pessoas.
• Auxiliar no processo de forma¸˜o de indiv´
ca ıduos cr´
ıticos.
• Incentivar o uso das teclas de mem´ria das calculadoras.
o
29

30. • Discutir com os alunos sobre as vantagens de se usar as teclas de mem´ria das calculadoras
o
e da sua real necessidade para a Matem´tica Financeira.
a
• Aplicar o m´todo pr´tico exposto nesta atividade para se calcular os coeficientes de amor-
e a
tiza¸˜o de d´
ca ıvidas e de capitaliza¸˜o.
ca
Sugest˜o: Montar uma lista de atividades;
a
Material necess´rio
a
• Uma calculadora simples;
• Material de anota¸˜o (l´pis, borracha, caneta e caderno).
ca a
M´todo pr´tico
e a
Para calcular o coeficiente de amortiza¸˜o do pagamento postecipado (sem entrada), cuja f´rmula
ca o
´ dada a seguir, onde n representa o n´mero de pagamentos, i ´ a taxa unit´ria e u = 1 + i,
e u e a
devemos proceder da seguinte forma:
un · i
un − 1
1. Digitar o n´mero u e pressionar a tecla = (n-1) vezes;
u
2. Pressionar em seq¨ˆncia, a tecla – , a tecla 1 e a tecla = ;
ue
3. Pressionar a tecla M+ para guardar o resultado atual (denominador da f´rmula) na
o
mem´ria da m´quina;
o a
4. Pressionar, ou a tecla MR ou a tecla MRC para acessar o valor que est´ guardado
a
na mem´ria da m´quina.
o a
5. Pressionar a tecla + , depois a tecla 1 e a tecla = para restituir o valor da potˆncia
e
un , que ´ necess´ria ao c´lculo do numerador.
e a a
6. Pressionar a tecla X , digitar o n´mero i e pressionar = para obter no visor da m´quina
u a
o resultado do numerador;
7. Pressionar ÷ , pressionar, ou MR ou MRC e finalmente pressionar a tecla = para
obter o resultado final.
Explorando essa atividade
• Estabelecer uma discuss˜o com os alunos a respeito da eficiˆncia e da real necessidade
a e
desse m´todo para a Matem´tica Financeira;
e a
• Pedir aos alunos que tentem fazer adapta¸˜es do m´todo para calcular os outros coefi-
co e
cientes (pagamento antecipado e diferido).
• Discutir com os alunos sobre a validade do uso deste m´todo.
e
• Pedir aos alunos que descubram outras aplica¸˜es para este m´todo dentro da Matem´tica
co e a
ou at´ mesmo em outras ciˆncias como a F´
e e ısica.
30

31. 3.3 Atividades com o software Calc
As atividades para esta se¸˜o visam utilizar o software Calc, uma planilha eletrˆnica que integra
ca o
o pacote de aplicativos BrOffice.Org, um software livre que pode ser baixado gratuitamente
no link http://www.broffice.org/download. O seu layout e funcionalidade s˜o semelhantes
a
ao Microsoft Excel e as atividades podem ser facilmente adaptadas do Excel para esse software.
3.3.1 Calculando a taxa de juros de uma renda uniforme
Inicialmente, o professor deve demonstrar aos alunos a dificuldade de se efetuar certos c´lculos
a
financeiros, particularmente os que visam encontrar o valor da taxa em problemas de rendas
certas, pois a vari´vel i, em quest˜o se apresenta de modo impl´
a a ıcito, ou seja n˜o pode ser
a
isolada facilmente por meio de uma equa¸˜o, necessitando muitas vezes de m´todos num´ricos
ca e e
de aproxima¸˜o.
ca
O professor deve pedir aos alunos que tragam, para a aula seguinte, folhetos com ofertas de
financiamentos de produtos, desses que as empresas distribuem contendo o pre¸o ` vista, o valor
c a
e a quantidade das presta¸˜es e a forma de pagamento, que neste caso deve ser sem entrada e
co
com o valor das presta¸˜es iguais.
co
Depois de uma breve introdu¸˜o sobre o software Calc na sala de aula e do m´todo que ser´
ca e a
utilizado, o professor dever´ pedir aos alunos que montem uma lista de atividades, auxiliando-os
a
se necess´rio, na escrita dos enunciados.
a
Em seguida, o professor dever´ conduzir os alunos ao laborat´rio de inform´tica para a resolu¸˜o
a o a ca
dos exerc´
ıcios.
Observa¸˜o: Algumas empresas cobram a TAC, que ´ uma tarifa para abertura de cr´dito.
ca e e
Neste caso, o valor dessa taxa deve ser acrescido ao valor da d´
ıvida. Devemos acrescentar
tamb´m o valor do IOF, imposto cobrado sobre opera¸˜es financeiras, caso este seja repassado
e co
ao consumidor. Pesquisar o valor dessa tarifa.
Objetivos pedag´gicos
o
• Resolver problemas de Matem´tica Financeira de dif´ solu¸˜o por m´todos simples,
a ıcil ca e
como os que visam o c´lculo da taxa em uma renda uniforme;
a
• Mostrar que a Matem´tica Financeira, at´ mesmo nos seus c´lculos mais complexos pode
a e a
ser acess´ aos nossos alunos;
ıvel
• Incentivar o uso da tecnologia computacional na resolu¸˜o de problemas;
ca
• Auxiliar no processo de forma¸˜o de indiv´
ca ıduos cr´
ıticos.
Material necess´rio
a
• Um computador pessoal com o software Calc instalado;
• Material de anota¸˜o (l´pis, borracha, caneta e caderno).
ca a
31

32. Procedimentos
Os procedimentos a seguir podem ser realizados individualmente ou em pequenos grupos, con-
forme a disponibilidade de computadores no laborat´rio:
o
1. Abrir uma planilha do Calc; (Ver Figura 8)
Figura 8: Abrindo uma planilha no Calc
2. Na c´lula B2, escrever N´mero de presta¸~es e na c´lula C2, escrever o valor correspon-
e u co e
dente ao N´mero de presta¸˜es;
u co
3. Na c´lula B3, escrever Valor da presta¸~o e na c´lula C3, escrever o valor correspon-
e ca e
dente ao Valor da presta¸˜o com o sinal negativo;
ca
4. Na c´lula B4, escrever Valor da d´vida e na c´lula C4, escrever o valor correspondente
e ı e
ao Valor da d´
ıvida;
5. Na c´lula B5, escrever Taxa.
e
6. Ajustar a largura da coluna B para caber estes textos;
7. Deixe a c´lula C5 vazia.
e
8. Selecionar a c´lula C5 e clicar no Assistente de fun¸˜es, cujo ´
e co ıcone ´ [ f(x) ];
e
9. Na guia Fun¸˜es, em categoria escolha financeiro e em fun¸˜o escolha TAXA, clicando
co ca
em pr´ximo; (Ver Figura 9)
o
10. Nas caixas NPER, Pgto, VP, n˜o digitar nada. Para inserir cada um desses dados, clique
a
sobre o bot˜o ` direita de cada uma delas para minimizar o assistente e visualizar os
a a
dados anteriormente inseridos.
32

33. Figura 9: Inserindo os dados
11. Com o prompt em cada uma dessas caixas selecionar respectivamente os valores da
planilha correspondentes do N´mero de presta¸~es para NPER, Valor da presta¸~o
u co ca
para Pgto, Valor da d´vida para VP.
ı
12. Na caixa Tipo, digitar o n´mero 1 e deixar as demais caixas deixar em branco.
u
13. Clicar em OK e o valor da taxa aparecer´ na c´lula B4. (Ver Figura 10)
a e
Figura 10: Trabalhando no assistente de fun¸˜o
ca
33

34. Explorando esta atividade
• Pedir aos alunos que confiram a taxa obtida nos c´lculos com a taxa declarada pela em-
a
presa (em geral, no rodap´ do an´ncio e em letras menores) e verifiquem se elas coincidem.
e u
• Pedir que cada aluno aumente o N´mero de presta¸˜es e responda `s quest˜es:
u co a o
– O valor da taxa se altera? Para mais ou para menos? Por que isso ocorre?
• Pedir que cada aluno diminua o Valor das presta¸˜es e responda `s perguntas:
co a
– O valor da taxa se altera? Para mais ou para menos? Por que isso ocorre?
• Em seguida, pedir para que cada aluno ajuste o Valor das presta¸˜es de modo que a Taxa
co
esteja pr´xima de 0 e responda `s seguintes perguntas:
o a
– Quando ocorre a taxa 0? A a taxa pode ser negativa? Quando isso ocorre? Se a
taxa ´ negativa, quem estaria pagando essa taxa? O cliente ou a empresa? O caso
e
da taxa negativa tem a ver com a realidade? Por que?
• Pedir aos alunos que pesquisem sobre as taxas cobradas no com´rcio local e com as taxas
e
calculadas na atividade anterior, pedir aos alunos que fa¸am a prova real dos c´lculos, ou
c a
seja, usem estas taxas nas f´rmulas para o c´lculo das presta¸˜es e verifiquem se os valores
o a co
coincidem. Se a resposta for negativa, sugerir que refa¸am os c´lculos para detectar o
c a
erro.
3.3.2 Calculando a taxa de juros de uma renda n˜o uniforme
a
Para essa atividade, deve-se seguir os mesmos passos da atividade anterior, diferindo apenas na
etapa seguinte:
O professor pedir´ aos alunos que tragam folhetos com ofertas de financiamentos de produtos,
a
desses que as empresas distribuem contendo o pre¸o ` vista, o valor, o n´mero de presta¸˜es e a
c a u co
forma de pagamento, n˜o importando se a opera¸˜o ser´ realizada com entrada ou sem entrada.
a ca a
Observa¸˜o: Para essa atividade as presta¸˜es n˜o necessariamente precisam ser iguais.
ca co a
Objetivos pedag´gicos
o
1. Resolver problemas de Matem´tica Financeira de dif´ solu¸˜o por m´todos simples;
a ıcil ca e
2. Mostrar que a Matem´tica Financeira, mesmo nos seus c´lculos mais complexos pode ser
a a
acess´ para os nossos alunos;
ıvel
3. Incentivar o uso da tecnologia computacional na resolu¸˜o de problemas;
ca
4. Auxiliar no processo de forma¸˜o de indiv´
ca ıduos cr´
ıticos.
Material necess´rio
a
• Computador com o software Calc instalado;
• Material de anota¸˜o (l´pis, borracha, caneta e caderno).
ca a
34

35. Procedimentos
Para as atividades seguintes, sugerimos que sejam realizadas individualmente ou em pequenos
grupos, conforme a disponibilidade de computadores no laborat´rio:
o
1. Abrir uma nova planilha no Calc; (Ver Figura 8)
2. Na c´lula B2 escrever D e na c´lula C2 digitar o Valor da d´
e e ıvida.
3. Na c´lula B3 escrever E e na c´lula C3 digitar o Valor da entrada, caso o plano seja com
e e
entrada. Se o plano for sem entrada, escrever 0.
4. Na c´lula B4 escrever D-E e na c´lula C4, calcular o valor do Saldo devedor, isto ´, a
e e e
diferen¸a entre a D´
c ıvida e o Valor da entrada;
5. Nas c´lulas B5 e C5 n˜o escrever nada;
e a
6. Na c´lula B6 escrever Saldo Devedor e na c´lula C6 digitar o valor do Saldo devedor;
e e
7. Na c´lula B7 escrever Presta¸~o 1 e na c´lula C7 digitar o valor da Presta¸˜o 1 (com
e ca e ca
sinal negativo);
8. Na c´lula B8 escrever Presta¸~o 2 e na c´lula C8 digitar o valor da Presta¸˜o 2 (com
e ca e ca
sinal negativo);
9. Na c´lula B9 escrever Presta¸~o 3 e na c´lula C9 digitar o valor da Presta¸˜o 3 (com
e ca e ca
sinal negativo); Observa¸˜o: O valor da d´
ca ıvida deve ser menor que o valor da soma das
presta¸˜es tomadas em valor absoluto.
co
10. Na c´lula B10 escrever Taxa;
e
11. Selecionar a c´lula C10 e clicar no Assistente de fun¸˜es, cujo ´
e co ıcone ´ [f(x)];
e
12. Na guia Fun¸~es, em Categoria escolher financeiro e em Fun¸~o escolher TIR e clicar
co ca
em pr´ximo; (Ver Figura 11)
o
Figura 11: Inserindo os dados
35

36. 13. Na caixa Valores n˜o digitar nada. Com o prompt nessa caixa, clicar no bot˜o ` direita
a a a
(Indicado com uma seta na Figura 12) para minimizar o Assistente. Selecionar apenas o
intervalo (de C6 a C9), da coluna dos valores e retornar ao Assistente, clicando no mesmo
bot˜o para maximiz´-lo. Clique em OK. O valor da taxa ir´ aparecer na c´lula B10 da
a a a e
planilha. (Ver Figura 12)
Figura 12: Trabalhando no assistente de fun¸˜o
ca
Explorando esta atividade
• Pedir que cada aluno aumente o valor de uma ou mais presta¸˜es e responda `s seguintes
co a
quest˜es:
o
– O que acontece com a taxa?
– Por que isso ocorre?
• Pedir que cada aluno diminua o valor de uma ou mais presta¸˜es e responda `s quest˜es:
co a o
– O que acontece com a taxa?
– Por que isso ocorre?
– Ela pode se tornar negativa? Em que situa¸˜o?
ca
– Nesse caso quem estar´ pagando essa taxa? Essa situa¸˜o pode ocorrer na realidade?
a ca
Estabele¸a uma discuss˜o sobre este assunto.
c a
36

37. Referˆncias
e
[1] D’Ambr´sio, Nicolau e Ubiratan, Matem´tica Comercial e Financeira, Companhia Editora
o a
Nacional, 29a edi¸˜o, S˜o Paulo, 1983.
ca a
[2] Lima, Elon Lages, et al, Temas e Problemas, Cole¸˜o do Professor de Matem´tica, SBM,
ca a
Rio de Janeiro, 2001.
[3] Faria, Rog´rio G. de, Matem´tica Comercial e Financeira, Makron Books, 5a edi¸˜o, S˜o
e a ca a
Paulo, 2000.
[4] Sobrinho, J. D. Vieira, Manual de Aplica¸˜es Financeiras – HP-12C, Atlas, 2a edi¸˜o, S˜o
co ca a
Paulo, 1985.
Conte´ dos dispon´
u ıveis na Internet
http://www.mat.uel.br/matessencial/financeira/financeira.htm
(acessado em 29 de novembro de 2007).
http://pa.esalq.usp.br/desr/dum/node2.html
(acessado em 30 de novembro de 2007).
http://www.iesc.edu.br/pesquisa/arquivos/o_anatocismo_dos_sistemas_de_amortizacao.
pdf
(acessado em 20 de dezembro de 2007).
37