La teoría de los números estudia las propiedades de los números enteros. Estudia conceptos como los números primos, su distribución y cantidad, y cómo funciones como la función zeta de Riemann se relacionan con los números primos. La hipótesis de Riemann, que todos los ceros no triviales de la función zeta están en la línea real con parte real igual a 1/2, sigue siendo uno de los mayores problemas sin resolver en las matemáticas.

3. “ La Matemática es la reina de las ciencias y la Teoría de los Números es la reina de las Matemáticas” Gauss, 1801 2004 ¡No! ¡No! ¡No! ¡No! Biólogos Químicos Físicos Matemáticos

4. NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN Aquél divisible sólo por él mismo y por 1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ... ? ¿Qué es un número primo? ? ¿Cuántos números primos hay? EUCLIDES (c.300 a.d.C.) : Infinitos “ Más que cualquier cantidad de primos dada”.

5. NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN ? ¿Cuántos números primos hay? ? ¿En qué proporción? CHEBYSHEV (1848) : A la larga, la proporción se hace tan pequeña como se quiera pero decrece menos rápidamente que K/log x . EULER (1737) : La infinitud se puede demostrar utilizando series infinitas. Hay más primos que cuadrados.

6. NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN ? ¿Se puede aproximar bien la proporción con funciones “normales”? 10 cifras 40 cifras 70 cifras 100 cifras < uno de cada 20 < uno de cada 90 < uno de cada 160 < uno de cada 230 Hadamard, de la Vallée-Poussin (Riemann) : Proporción de primos menores que N ~

7.  (s)= producto sobre sus ceros (nº complejos) c=Re(cero más a la derecha) Prueba “buena”  Función rara= fórmula complicada con primos Riemann Función con primos = fórmula complicada con   0 1 1/2 c

9. -2 -4 MINI GUÍA DE LA FUNCIÓN  1 Ceros en cautividad (no son peligrosos) Carril exclusivo para los próximos 10 9 ceros (RIEMANN) Al infinito No se admiten ceros 1/2 ! 

10. Hipótesis de Riemann (1859): Todos los ceros no triviales de la función  están en “fila india”. Teorema de los números primos El error en el teorema de los números primos es lo menor posible (algo más que la raíz cuadrada de N). HR

11. “ A los matemáticos les es habitual pretender que las ideas de que se ocupan son de naturaleza tan refinada y espiritual que no son dominio de la fantasía, sino que deben ser comprendidas por una visión pura e intelectual de la que sólo las facultades del alma son capaces.” Hume, 1736 EMPIRISMO: FILOSOFÍA “OFICIAL” DE LA CIENCIA Hume: Las ideas son impresiones debilitadas Abstracción, Matemáticas Realidad

12. Gracias a los números primos y sus propiedades se pueden hacer conexiones seguras por canales inseguros, acreditar identidades , etc. No es propaganda. Las conexiones seguras en internet funcionan así hoy (protocolos SSH, SSL, firmas electrónicas) de manera cotidiana . La mayoría de los matemáticos consideran que el valor estético de la teoría de números y de las Matemáticas en general, supera su hipotético valor utilitario. Pero ...

13. ¿Es posible transmitir públicamente sin comprometer la seguridad? ¿Se puede jugar a las cartas por correo o por teléfono? (I. Stewart) A B na lanca ...

14. ¿Cómo construir “candados” con los primos? · RSA (Rivest, Shamir, Adleman 1978) · Diffie-Hellman (1976) Cosas fáciles (con ordenador): · Multiplicar dos primos grandes · Calcular el resto r de a b al dividir por p Cosas difíciles (incluso con ordenador): · Factorizar · Tomar “logaritmos”: hallar b a partir de a, r y p

15. La aritmética del reloj 2=14=122 8=20=-4 Suma 11+4=3 Resta 2-3=-1=11 Multiplicación 7·7=1 División 2·algo=5, no existe 5/2. Notación: Significa que a y b son la misma hora Lo mismo para un reloj con p (primo) números

16. La aritmética del reloj (primo) · En los relojes primos se puede dividir, salvo por 0. · Siempre hay horas “generadoras”: multiplicadas por sí mismas dan todas las horas no nulas. · (China, comienzos de nuestra era) 2·2· p veces ·2 son siempre las 2 en un reloj primo. · (Fermat, siglo XVII) a · a · p veces · a son siempre las a en un reloj primo. p =3 p =5

17. a p=primo grande (cientos de cifras), g= generador g b g a b x= mensaje (p) Clave= g ab Clave= g ab x Cx Cx x A na B lanca ¿ g a , g b g ab ?

18. NÚMEROS + ANÁLISIS ¿Cómo contar con ondas? ¿Cuántos enteros hay entre 0’8 y 10’3? 9 10 1 3 2 10 ..... enrollar analizar Método mejor

19. Ejemplo no trivial:

20. Tambor hiperbólico (no euclídeo): Ondas de Maass (formas modulares) Un muestrario de ondas Tambor rectangular: Tambor circular, esférico:

21. Dos ideas: · Con ondas de frecuencia n no se pueden apreciar objetos de tamaño menor que 1/n. ( P. Incertidumbre ) · Estadísticamente, las ondas “independientes” no tienen resonancia. Contar bien estudiar interferencias

22. Teorema de Vinogradov: · Todo número impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos. Tiene “resonancias” en y en otros valores, que podemos estudiar, e interferencias destructivas en el resto.

23. Esta presentación está disponible en: http://www.uam.es/fernando.chamizo