1. Analyse d’une
structure
en triangle
méthode
point par point
Conception de structures
Automne 2012
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval
vendredi 7 septembre 12
2. Problème 2
La figure suivante montre la vue en élévation d’une structure en
treillis qui est appuyée sur un mur et qui supporte une charge
verticale de 50 kN suspendue à son extrémité ainsi qu’une charge
de 100 kN inclinée de 45º p/r à l’horizontale.
On veut calculer les efforts axiaux dans chacune des membrures.
vendredi 7 septembre 12
3. Hypothèse 3
On fait l’hypothèse que chacun des noeuds de la structure est
rotulé (i.e. les membrures peuvent pivoter librement autour de ces
noeuds) et que, par conséquent, chaque membrure ne peut
transmettre que des efforts normaux (i.e. parallèles à l’axe de la
membrure) de tension ou de compression.
vendredi 7 septembre 12
6. Étape 1
4
La première étape consiste à dessiner
la structure à l’échelle et à identifier
chacun des noeuds (à l’aide de chiffres)
et des membrures (à l’aide de lettres).
On représente aussi les charges qui
sont appliquées à la structure.
vendredi 7 septembre 12
7. Étape 1
4
La première étape consiste à dessiner
la structure à l’échelle et à identifier
chacun des noeuds (à l’aide de chiffres)
et des membrures (à l’aide de lettres).
On représente aussi les charges qui
sont appliquées à la structure.
Pour cet exemple, nous avons
numéroté les noeuds de 1 à 5 et les
membrures de A à F.
vendredi 7 septembre 12
8. Étape 1
La première étape consiste à dessiner
la structure à l’échelle et à identifier
chacun des noeuds (à l’aide de chiffres)
et des membrures (à l’aide de lettres).
On représente aussi les charges qui
sont appliquées à la structure.
N.B.: L’ordre de numérotation n’a
aucune importance
4
Pour cet exemple, nous avons
numéroté les noeuds de 1 à 5 et les
membrures de A à F.
vendredi 7 septembre 12
11. 5
Étape 2
La deuxième étape consiste à identifier
un noeud qui est sollicité par au moins
une charge connue et qui unit pas
plus de deux membrures pour
lesquelles les efforts internes sont
inconnus.
vendredi 7 septembre 12
12. 5
Étape 2
La deuxième étape consiste à identifier
un noeud qui est sollicité par au moins
une charge connue et qui unit pas
plus de deux membrures pour
lesquelles les efforts internes sont
inconnus.
Pour cet exemple, le noeud 5 est le seul
qui répond à ces deux critères.
vendredi 7 septembre 12
13. Étape 2
N.B.: Pour la plupart des structures, il est nécessaire de calculer
les réactions d’appui pour trouver un noeud qui satisfait ces
deux critères:
• au moins une charge connue
• pas plus de deux membrures dont les efforts internes sont
inconnus
5
La deuxième étape consiste à identifier
un noeud qui est sollicité par au moins
une charge connue et qui unit pas
plus de deux membrures pour
lesquelles les efforts internes sont
inconnus.
Pour cet exemple, le noeud 5 est le seul
qui répond à ces deux critères.
vendredi 7 septembre 12
16. On trace le diagramme de corps libre
pour le noeud identifié (le noeud 5 en ce
qui nous concerne).
Diagramme de
corps libre (DCL)
6
Étape 3
vendredi 7 septembre 12
17. On trace le diagramme de corps libre
pour le noeud identifié (le noeud 5 en ce
qui nous concerne).
Le diagramme de corps libre indique
toutes les forces qui sollicitent ce
noeud.
Diagramme de
corps libre (DCL)
6
Étape 3
vendredi 7 septembre 12
18. On trace le diagramme de corps libre
pour le noeud identifié (le noeud 5 en ce
qui nous concerne).
Le diagramme de corps libre indique
toutes les forces qui sollicitent ce
noeud.
Sur le diagramme de corps libre
reproduit ci-contre, le vecteur E
représente la force axiale dans la
membrure E et le vecteur F représente
la force axiale dans la membrure F.
Diagramme de
corps libre (DCL)
6
Étape 3
vendredi 7 septembre 12
20. 7
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4
vendredi 7 septembre 12
21. 7
À partir du DCL, on trace un polygone
de forces qui est la représentation
graphique de l’addition vectorielle des
trois forces.
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4
vendredi 7 septembre 12
22. 7
À partir du DCL, on trace un polygone
de forces qui est la représentation
graphique de l’addition vectorielle des
trois forces.
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4
Ce polygone de forces consiste
simplement à placer les trois vecteurs
de forces bout-à-bout.
vendredi 7 septembre 12
23. 7
À partir du DCL, on trace un polygone
de forces qui est la représentation
graphique de l’addition vectorielle des
trois forces.
L’équilibre statique du noeud exige que
la force résultante soit nulle. Cela
signifie que, lorsqu’elles sont mises
bout-à-bout, le point d’arrivée des
forces doit coïncider avec leur point de
départ.
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4
Ce polygone de forces consiste
simplement à placer les trois vecteurs
de forces bout-à-bout.
vendredi 7 septembre 12
25. 8
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4a
vendredi 7 septembre 12
26. 8
On place d’abord la force externe
connue de 50 kN en la dessinant à
l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN)
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4a
vendredi 7 septembre 12
27. On place d’abord la force externe
connue de 50 kN en la dessinant à
l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN)
Polygone de forces
8
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4a
vendredi 7 septembre 12
28. On place d’abord la force externe
connue de 50 kN en la dessinant à
l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN)
Polygone de forces
8
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4a
vendredi 7 septembre 12
29. On place d’abord la force externe
connue de 50 kN en la dessinant à
l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN)
Polygone de forces
8
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4a
2,5 cm
vendredi 7 septembre 12
30. On place d’abord la force externe
connue de 50 kN en la dessinant à
l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN)
Polygone de forces
8
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4a
vendredi 7 septembre 12
32. 9
Étape 4b
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
33. 9
Étape 4b
On y ajoute la force F dont on connaît
la direction mais pas encore l’intensité
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
34. 9
Étape 4b
On y ajoute la force F dont on connaît
la direction mais pas encore l’intensité
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
36. 10
On y ajoute la force E dont on connaît
aussi la direction mais toujours pas
l’intensité. Pour assurer l’équilibre
statique, on trace la force E de manière
à ce que son point d’arrivée corres-ponde
au point de départ du polygone
de force.
Étape 4c
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
37. 10
On y ajoute la force E dont on connaît
aussi la direction mais toujours pas
l’intensité. Pour assurer l’équilibre
statique, on trace la force E de manière
à ce que son point d’arrivée corres-ponde
au point de départ du polygone
de force.
Étape 4c
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
38. Le point d’interception entre les
vecteurs E et F nous permet de
tracer le polygone de forces qui
assure l’équilibre statique.
11
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
40. 12
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4e
vendredi 7 septembre 12
41. 12
En mesurant la longueur des vecteurs
E et F, on obtient l’intensité de ces
forces.
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4e
vendredi 7 septembre 12
42. 12
En mesurant la longueur des vecteurs
E et F, on obtient l’intensité de ces
forces.
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
Étape 4e
vendredi 7 septembre 12
44. 13
Étape 4f
On connaît maintenant l’intensité des efforts
internes dans les membrures E et F. Il nous
reste à déterminer s’il s’agit d’efforts de
tension ou de compression. Pour y parvenir,
on se réfère au DCL. Si le vecteur force
pointe vers le noeud, c’est un effort de
compression. S’il pointe dans la
direction opposée, c’est un effort de
tension. En ce qui nous concerne, on en
conclut que la membrure E est tendue et
que la membrure F en est comprimée.
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
45. 13
Étape 4f
On connaît maintenant l’intensité des efforts
internes dans les membrures E et F. Il nous
reste à déterminer s’il s’agit d’efforts de
tension ou de compression. Pour y parvenir,
on se réfère au DCL. Si le vecteur force
pointe vers le noeud, c’est un effort de
compression. S’il pointe dans la
direction opposée, c’est un effort de
tension. En ce qui nous concerne, on en
conclut que la membrure E est tendue et
que la membrure F en est comprimée.
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
47. Note importante 14
Dans l’exemple précédent, après avoir
placé la force externe de 50 kN, nous y
avons ajouté, dans l’ordre, les forces F et
E. Cet ordre est arbitraire et l’on obtien-drait
le même résultat final quel que soit
l’ordre selon lequel on additionne les
forces comme on peux le constater aux
figures ci-contre:
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
48. Note importante 14
Dans l’exemple précédent, après avoir
placé la force externe de 50 kN, nous y
avons ajouté, dans l’ordre, les forces F et
E. Cet ordre est arbitraire et l’on obtien-drait
le même résultat final quel que soit
l’ordre selon lequel on additionne les
forces comme on peux le constater aux
figures ci-contre:
Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces
vendredi 7 septembre 12
49. Note importante 14
Dans l’exemple précédent, après avoir
placé la force externe de 50 kN, nous y
avons ajouté, dans l’ordre, les forces F et
E. Cet ordre est arbitraire et l’on obtien-drait
le même résultat final quel que soit
l’ordre selon lequel on additionne les
forces comme on peux le constater aux
figures ci-contre:
Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces
vendredi 7 septembre 12
50. Autre note importante 15
Dans l’exemple précédent, lorsque nous avons tracé le diagramme de
corps libre du noeud 5, les vecteurs E et F étaient placés dans la bonne
direction (i.e. tension dans la membrure E et compression dans la
membrure F). Qu’arrive-t-il si les vecteurs sont mal orientés ?
Essayons pour voir.
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
52. Autre note importante (suite) 16
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
53. Autre note importante (suite) 16
Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces
vendredi 7 septembre 12
54. Autre note importante (suite) 16
1º) On place d’abord la force externe de 50 kN
Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces
vendredi 7 septembre 12
55. Autre note importante (suite) 16
1º) On place d’abord la force externe de 50 kN
Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces
vendredi 7 septembre 12
56. Autre note importante (suite) 16
1º) On place d’abord la force externe de 50 kN
2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation
mais pas l’intensité
Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces
vendredi 7 septembre 12
57. Autre note importante (suite) 16
1º) On place d’abord la force externe de 50 kN
2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation
mais pas l’intensité
Diagramme de
corps libre (DCL)
F
Polygone de forces
vendredi 7 septembre 12
58. Autre note importante (suite) 16
1º) On place d’abord la force externe de 50 kN
2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation
mais pas l’intensité
3°) On ajoute la force E dont on connaît aussi l’orientation
Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces
mais pas l’intensité.
F
vendredi 7 septembre 12
59. Autre note importante (suite) 16
1º) On place d’abord la force externe de 50 kN
2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation
mais pas l’intensité
3°) On ajoute la force E dont on connaît aussi l’orientation
Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces
mais pas l’intensité.
F
E
vendredi 7 septembre 12
60. Autre note importante (suite) 16
1º) On place d’abord la force externe de 50 kN
2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation
mais pas l’intensité
3°) On ajoute la force E dont on connaît aussi l’orientation
Diagramme de
corps libre (DCL)
Polygone de forces
mais pas l’intensité.
on remarque qu’il est impossible
de fermer le polygone de forces !
F
E
vendredi 7 septembre 12
62. Autre note importante (suite) 17
4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de
la force externe de 50 kN afin de fermer le polygone
de forces puisque c’est obligatoire !
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
F
vendredi 7 septembre 12
63. Autre note importante (suite) 17
4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de
la force externe de 50 kN afin de fermer le polygone
de forces puisque c’est obligatoire !
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
E
F
vendredi 7 septembre 12
64. Autre note importante (suite) 17
4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de
la force externe de 50 kN afin de fermer le polygone
de forces puisque c’est obligatoire !
5º) On prolonge les axes des deux forces jusqu’à ce qu’ils
Polygone de forces
se croisent.
Diagramme de
corps libre (DCL)
E
F
vendredi 7 septembre 12
65. Autre note importante (suite) 17
4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de
la force externe de 50 kN afin de fermer le polygone
de forces puisque c’est obligatoire !
5º) On prolonge les axes des deux forces jusqu’à ce qu’ils
Polygone de forces
se croisent.
Diagramme de
corps libre (DCL)
E
F
vendredi 7 septembre 12
67. Autre note importante (suite) 18
6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on
modifie l’orientation initiale des forces E et F afin d’obtenir un
polygone de forces fermé et on mesure la longueur des vecteurs
E et F pour connaître l’intensité de ces forces.
vendredi 7 septembre 12
68. Autre note importante (suite) 18
6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on
modifie l’orientation initiale des forces E et F afin d’obtenir un
polygone de forces fermé et on mesure la longueur des vecteurs
E et F pour connaître l’intensité de ces forces.
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
69. Autre note importante (suite) 18
6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on
modifie l’orientation initiale des forces E et F afin d’obtenir un
polygone de forces fermé et on mesure la longueur des vecteurs
E et F pour connaître l’intensité de ces forces.
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
70. Autre note importante (suite) 18
6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on
modifie l’orientation initiale des forces E et F afin d’obtenir un
polygone de forces fermé et on mesure la longueur des vecteurs
E et F pour connaître l’intensité de ces forces.
7º) À partir de polygone de forces, on corrige l’orientation des
forces sur le diagramme de corps libre
Polygone de forces
Diagramme de
corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
71. Autre note importante (suite) 18
6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on
modifie l’orientation initiale des forces E et F afin d’obtenir un
polygone de forces fermé et on mesure la longueur des vecteurs
E et F pour connaître l’intensité de ces forces.
7º) À partir de polygone de forces, on corrige l’orientation des
forces sur le diagramme de corps libre
Polygone de forces
vendredi 7 septembre 12
74. 19
Étape 5
La cinquième étape consiste à identifier
un noeud adjacent au noeud 5 qui unit
pas plus de deux membrures dont
les efforts internes sont inconnus.
vendredi 7 septembre 12
75. 19
Étape 5
La cinquième étape consiste à identifier
un noeud adjacent au noeud 5 qui unit
pas plus de deux membrures dont
les efforts internes sont inconnus.
Le noeud 3 ne respecte pas ce critère
car il unit trois membrures (A, B et D)
dont les efforts internes sont inconnus
(par contre, on connaît maintenant
l’effort interne dans la membrure E qui
correspond à une force de tension de
112 kN)
vendredi 7 septembre 12
76. 19
Étape 5
La cinquième étape consiste à identifier
un noeud adjacent au noeud 5 qui unit
pas plus de deux membrures dont
les efforts internes sont inconnus.
Le noeud 3 ne respecte pas ce critère
car il unit trois membrures (A, B et D)
dont les efforts internes sont inconnus
(par contre, on connaît maintenant
l’effort interne dans la membrure E qui
correspond à une force de tension de
112 kN)
Le noeud 4 est le seul noeud qui
respecte ce critère car il unit
seulement deux membrures (C et D)
dont les efforts internes sont inconnus.
vendredi 7 septembre 12
79. 20
Étape 6
On trace le diagramme de corps
libre pour le noeud identifié (le noeud
4 en ce qui nous concerne).
N.B. : On connaît maintenant l’effort
interne dans la membrure F
(compression de 100 kN)
vendredi 7 septembre 12
80. 20
Étape 6
On trace le diagramme de corps
libre pour le noeud identifié (le noeud
4 en ce qui nous concerne).
N.B. : On connaît maintenant l’effort
interne dans la membrure F
(compression de 100 kN)
C
Diagramme de corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
82. 21
On trace le polygone de forces à
partir du DCL.
Polygone des forces
Diagramme de corps libre (DCL)
Étape 7
C
vendredi 7 septembre 12
83. 21
On trace le polygone de forces à
partir du DCL.
1º) On place la force connue de
100 kN
Polygone des forces
Diagramme de corps libre (DCL)
Étape 7
C
vendredi 7 septembre 12
84. On trace le polygone de forces à
partir du DCL.
2°) On y ajoute la force C dont on
connaît la direction mais non
l’intensité.
21
1º) On place la force connue de
100 kN
Polygone des forces
Diagramme de corps libre (DCL)
Étape 7
C
vendredi 7 septembre 12
85. On trace le polygone de forces à
partir du DCL.
2°) On y ajoute la force C dont on
connaît la direction mais non
l’intensité.
21
1º) On place la force connue de
100 kN
3º) On y ajoute la force D et on se
rend compte que, pour fermer
le polygone de force, la force D
doit être nulle.
Polygone des forces
Diagramme de corps libre (DCL)
Étape 7
C
vendredi 7 septembre 12
86. On trace le polygone de forces à
partir du DCL.
2°) On y ajoute la force C dont on
connaît la direction mais non
l’intensité.
21
1º) On place la force connue de
100 kN
3º) On y ajoute la force D et on se
rend compte que, pour fermer
le polygone de force, la force D
doit être nulle.
C
100 kN
Polygone des forces
Diagramme de corps libre (DCL)
Étape 7
C
vendredi 7 septembre 12
87. Diagramme de corps libre (DCL)
22
Étape 7
4º) En examinant le DCL, on en
déduit la nature des efforts
internes (tension ou
compression).
100 kN (compression)
100 kN (compression)
Polygone des forces
100 kN
0 kN
vendredi 7 septembre 12
88. Note importante 23
L’analyse du polygone de forces du noeud 4 nous fournit l’occasion
d’énoncer une règle générale:
Si un noeud unit trois membrures et que les deux critères
suivants sont satisfaits:
1º) l’une des membrures est perpendiculaire aux
deux autres
2º) aucune force externe n’est appliquée au noeud
Alors l’effort interne est toujours nul dans la membrure
perpendiculaire est les deux autres membrures sont
soumises au même effort interne
vendredi 7 septembre 12
91. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
92. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
93. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
94. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
95. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
96. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
97. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
98. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
99. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
100. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
101. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
102. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
103. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
104. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
105. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
106. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
107. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
108. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
109. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
110. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
111. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
112. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
113. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
114. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
115. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
116. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
117. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
118. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
119. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
120. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
121. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
122. Exemple 24
Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez
les membrures qui ne subissent aucun effort interne
vendredi 7 septembre 12
125. 25
Étape 8
L’étape suivante consiste à choisir un
noeud qui respecte les deux critères
suivants:
vendredi 7 septembre 12
126. 25
Étape 8
L’étape suivante consiste à choisir un
noeud qui respecte les deux critères
suivants:
1º) Ce noeud est adjacent à un noeud
pour lequel on a déjà tracé le
polygone de forces (i.e. les noeuds
4 et 5 en ce qui nous concerne).
vendredi 7 septembre 12
127. 25
Étape 8
L’étape suivante consiste à choisir un
noeud qui respecte les deux critères
suivants:
1º) Ce noeud est adjacent à un noeud
pour lequel on a déjà tracé le
polygone de forces (i.e. les noeuds
4 et 5 en ce qui nous concerne).
2º) Ce noeud n’unit pas plus de deux
membrures dont les efforts
internes sont inconnus.
vendredi 7 septembre 12
128. 25
Étape 8
L’étape suivante consiste à choisir un
noeud qui respecte les deux critères
suivants:
1º) Ce noeud est adjacent à un noeud
pour lequel on a déjà tracé le
polygone de forces (i.e. les noeuds
4 et 5 en ce qui nous concerne).
2º) Ce noeud n’unit pas plus de deux
membrures dont les efforts
internes sont inconnus.
Les noeuds 2 et 3 respectent ces
deux critères. Nous choisirons
arbitrairement le noeud 3.
vendredi 7 septembre 12
131. 26
Étape 9
On trace le diagramme de corps libre
pour le noeud 3 en indiquant tous les
efforts internes connus.
vendredi 7 septembre 12
132. 26
Étape 9
On trace le diagramme de corps libre
pour le noeud 3 en indiquant tous les
efforts internes connus.
A
B
3
Diagramme de corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
133. 26
Étape 9
On trace le diagramme de corps libre
pour le noeud 3 en indiquant tous les
efforts internes connus.
A
B
3
Diagramme de corps libre (DCL)
N.B. : Sur le DCL, nous n’avons pas
indiqué l’effort interne dans la
membrure D car il est nul
vendredi 7 septembre 12
135. 27
Étape 10
A
B
3
Diagramme de corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
136. 27
Étape 10
On trace le polygone de forces à partir
du DCL et on mesure l’intensité des
efforts internes dans les membrures A
et B.
A
B
3
Diagramme de corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
137. 27
Étape 10
On trace le polygone de forces à partir
du DCL et on mesure l’intensité des
efforts internes dans les membrures A
et B.
A
B
3
Diagramme de corps libre (DCL)
Polygone de forces
vendredi 7 septembre 12
140. 28
Étape 11
On trace le diagramme de corps libre
du noeud 2 ainsi que le polygone de
forces qui y est associé. Sur le DCL,
la force R2 représente la réaction
d’appui du mur sur la structure.
vendredi 7 septembre 12
141. 28
Étape 11
2
2
R2 100 kN
Diagramme de corps libre (DCL)
On trace le diagramme de corps libre
du noeud 2 ainsi que le polygone de
forces qui y est associé. Sur le DCL,
la force R2 représente la réaction
d’appui du mur sur la structure.
vendredi 7 septembre 12
142. 28
Étape 11
La réaction d’appui du mur (R2)
correspond à la force qui est
nécessaire pour fermer le polygone
de force au noeud 2.
2
2
R2 100 kN
Diagramme de corps libre (DCL)
On trace le diagramme de corps libre
du noeud 2 ainsi que le polygone de
forces qui y est associé. Sur le DCL,
la force R2 représente la réaction
d’appui du mur sur la structure.
vendredi 7 septembre 12
143. La réaction d’appui du mur (R2)
correspond à la force qui est
nécessaire pour fermer le polygone
de force au noeud 2.
100 kN
2
2
R2 100 kN
Polygone de forces
28
Étape 11
Diagramme de corps libre (DCL)
On trace le diagramme de corps libre
du noeud 2 ainsi que le polygone de
forces qui y est associé. Sur le DCL,
la force R2 représente la réaction
d’appui du mur sur la structure.
vendredi 7 septembre 12
144. La réaction d’appui du mur (R2)
correspond à la force qui est
nécessaire pour fermer le polygone
de force au noeud 2.
100 kN
2
2
R2 100 kN
Polygone de forces
28
Étape 11
Diagramme de corps libre (DCL)
On trace le diagramme de corps libre
du noeud 2 ainsi que le polygone de
forces qui y est associé. Sur le DCL,
la force R2 représente la réaction
d’appui du mur sur la structure.
Graphiquement, on trouve que cette
force est égale à 212 kN, qu’elle est
inclinée à 15º p/r à l’horizontale et
qu’elle est sollicite le mur en
compression.
vendredi 7 septembre 12
147. 29
Étape 12
On trace le diagramme de corps libre
du noeud 1 ainsi que le polygone de
forces qui y est associé. Sur le DCL, la
force R1 représente la réaction
d’appui du mur sur la structure.
vendredi 7 septembre 12
148. 29
Étape 12
On trace le diagramme de corps libre
du noeud 1 ainsi que le polygone de
forces qui y est associé. Sur le DCL, la
force R1 représente la réaction
d’appui du mur sur la structure.
1
R1
1
Diagramme de corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
149. On trace le diagramme de corps libre
du noeud 1 ainsi que le polygone de
forces qui y est associé. Sur le DCL, la
force R1 représente la réaction
d’appui du mur sur la structure.
1
R1
1
Polygone de forces
29
Étape 12
Diagramme de corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
150. On trace le diagramme de corps libre
du noeud 1 ainsi que le polygone de
forces qui y est associé. Sur le DCL, la
force R1 représente la réaction
d’appui du mur sur la structure.
1
R1
1
Polygone de forces
29
Étape 12
On constate que, évidemment, la
réaction d’appui du mur est égale à
l’effort interne dans la membrure A
puisqu’il n’existe aucune autre
membrure reliée au point A.
Diagramme de corps libre (DCL)
vendredi 7 septembre 12
152. Note importante 30
On peut s’assurer que notre structure est bien en équilibre statique en traçant le
diagramme de corps libre de la structure tout entière et en vérifiant que le
polygone de forces est bien fermé.
vendredi 7 septembre 12
153. Note importante 30
On peut s’assurer que notre structure est bien en équilibre statique en traçant le
diagramme de corps libre de la structure tout entière et en vérifiant que le
polygone de forces est bien fermé.
50 kN
45º
Diagramme de corps libre de la structure
vendredi 7 septembre 12
154. Note importante 30
On peut s’assurer que notre structure est bien en équilibre statique en traçant le
diagramme de corps libre de la structure tout entière et en vérifiant que le
polygone de forces est bien fermé.
50 kN
50 kN
45º
Diagramme de corps libre de la structure Polygone de forces
vendredi 7 septembre 12
155. Note importante 30
On peut s’assurer que notre structure est bien en équilibre statique en traçant le
diagramme de corps libre de la structure tout entière et en vérifiant que le
polygone de forces est bien fermé.
50 kN
50 kN
45º
Diagramme de corps libre de la structure Polygone de forces
On constate effectivement que les 4 forces qui sollicitent notre structure
(2 forces externes et 2 réactions d’appui) sont en équilibre statique
puisqu’elles forment un polygone de forces fermé
vendredi 7 septembre 12
158. 31
Étape 13
On trace le diagramme d’efforts
internes de la structure qui indique
simplement les efforts internes en
indiquant s’il s’agit de tension ou de
compression.
vendredi 7 septembre 12
159. On trace le diagramme d’efforts
internes de la structure qui indique
simplement les efforts internes en
indiquant s’il s’agit de tension ou de
compression.
0
100 100
Efforts de compression
Efforts de tension
Diagramme des efforts internes (kN)
31
Étape 13
vendredi 7 septembre 12
160. On trace le diagramme d’efforts
internes de la structure qui indique
simplement les efforts internes en
indiquant s’il s’agit de tension ou de
compression.
0
100 100
Efforts de compression
Efforts de tension
Diagramme des efforts internes (kN)
31
Étape 13
Par commodité, on présente en rouge
les efforts de tension, en bleu les efforts
de compression et en pointillé les
membrures où l’effort est nul.
vendredi 7 septembre 12