Calcul des 
réactions 
d’appui d’une 
structure 
Conception de structures 
Automne 2012 
R. Pleau 
École d’architecture, U...
Équilibre statique des forces 2 
Un corps est dit en équilibre statique lorsqu’il demeure 
immobile sous l’action des dive...
Équilibre translationnel 3 
vendredi 7 septembre 12
Équilibre translationnel 3 
Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps 
n’est pas nulle, ce corps ...
Équilibre translationnel 3 
Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps 
n’est pas nulle, ce corps ...
Équilibre translationnel 3 
Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps 
n’est pas nulle, ce corps ...
Équilibre translationnel 3 
Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps 
n’est pas nulle, ce corps ...
Équilibre translationnel 3 
Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps 
n’est pas nulle, ce corps ...
Équilibre translationnel 3 
Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps 
n’est pas nulle, ce corps ...
Équilibre translationnel 3 
Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps 
n’est pas nulle, ce corps ...
Équilibre translationnel 3 
Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps 
n’est pas nulle, ce corps ...
Équilibre translationnel 3 
Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps 
n’est pas nulle, ce corps ...
Équilibre translationnel 3 
Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps 
n’est pas nulle, ce corps ...
Moment de flexion 4 
Le moment de flexion résulte d’une force qui tend à 
faire tourner un objet autour d’un point. 
Le mo...
Équilibre rotationnel 5 
d 
F 
A 
Si un corps est soumis à une 
force (F) qui possède un bras 
de levier (d) p/r à un poin...
Équilibre rotationnel 5 
d 
F 
A 
Si un corps est soumis à une 
force (F) qui possède un bras 
de levier (d) p/r à un poin...
Équilibre rotationnel 5 
d 
F 
A 
Si un corps est soumis à une 
force (F) qui possède un bras 
de levier (d) p/r à un poin...
Équilibre rotationnel 5 
d 
F 
A 
Si un corps est soumis à une 
force (F) qui possède un bras 
de levier (d) p/r à un poin...
Équilibre rotationnel 5 
d 
F 
A 
Si un corps est soumis à une 
force (F) qui possède un bras 
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Équilibre rotationnel 5 
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F 
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Si un corps est soumis à une 
force (F) qui possède un bras 
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Équilibre rotationnel 5 
d 
F 
A 
Si un corps est soumis à une 
force (F) qui possède un bras 
de levier (d) p/r à un poin...
Conditions d’équilibre 6 
Par commodité, il est souvent avantageux de décomposer les 
forces en deux composantes orthogona...
Conditions d’appui 7 
On peut définir trois conditions d’appui ainsi que les symboles 
qui sont généralement utilisés pour...
Stabilité des structures 8 
Puisque l’équilibre statique n’est atteint que lorsque l’on satisfait trois 
conditions d’équi...
Exemple 9 
vendredi 7 septembre 12
Exemple 9 
Cette poutre est hyperstatique 
car elle possède plus d’appuis 
que nécessaire. 
vendredi 7 septembre 12
Exemple 9 
Cette poutre est hyperstatique 
car elle possède plus d’appuis 
que nécessaire. 
Cette poutre est isostatique 
...
Exemple 9 
Cette poutre est hyperstatique 
car elle possède plus d’appuis 
que nécessaire. 
Cette poutre est isostatique 
...
Mise en garde 10 
Les méthodes graphiques qui font l’objet du cours ne sont 
valides que pour les structures isostatiques ...
11 
Exemple 1 
une poutre 
simplement 
appuyée 
vendredi 7 septembre 12
Exemple 1 12 
10 kN 20 kN 30 kN 
4 2 3 3 [m] 
On veut calculer les réactions 
d’appui de la poutre illustrée ci-contre. 
v...
Exemple 1 (suite) 13 
La première étape consiste à 
dessiner le diagramme de corps 
libre (DCL) et d’identifier les 
réact...
Puisque la sommation des 
forces horizontales doit être 
nulle (Σ Fh = 0) et que la 
structure n’est soumise à 
aucune for...
Exemple 1 (suite) 
On pourrait utiliser la seconde 
condition d’équilibre (Σ Fv = 0) mais, 
comme il y a deux forces verti...
On calcule le moment p/r au point a 
et, puisque cette sommation doit être 
nulle (Σ Ma = 0), on trouve que: a 
Σ Ma = (V1...
Puisque la sommation des forces 
verticales doit être nulle (Σ Fv = 0), on 
trouve finalement que: 
V1 - 10 kN - 20 kN - 3...
Pour s’assurer que nous ne nous 
sommes pas trompés, on pourrait 
vérifier que la sommation des 
moments p/r au point b es...
Force résultante équivalente 19 
Lorsque l’on calcule les réactions d’appui d’une structure, on peut 
toujours remplacer u...
Force résultante équivalente 20 
Pour la poutre de l’exemple précé-dent, 
calculons la résultante des 
forces. 
1º) La for...
Force résultante équivalente 21 
2º) La force résultante doit produire le 
même moment de rotation que 
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Force résultante équivalente 22 
Calculons maintenant les 7,17 m 60 kN 
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diagramme de 
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Exemple 2 
un treillis 
isostatique 
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Exemple 2 22 
Considérons la structure illustrée ci-contre 
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Exemple 2 23 
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étape de l’analyse consiste à tracer 
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Exemple 2 24 
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A 25 
La structure ci-contre contient en effet une 
singularité qui la rend isostatique. Cette 
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vendredi 7 septembre 12 F2 2 m 2 m
La façon la plus simple de calculer les 
réactions d’appui consiste à 
prolonger les axes par lesquels 
passent les forces...
La façon la plus simple de calculer les 
réactions d’appui consiste à 
prolonger les axes par lesquels 
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La façon la plus simple de calculer les 
réactions d’appui consiste à 
prolonger les axes par lesquels 
passent les forces...
La façon la plus simple de calculer les 
réactions d’appui consiste à 
prolonger les axes par lesquels 
passent les forces...
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prolonger les axes par lesquels 
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On choisit alors de calculer le moment p/r 
à un point de jonction entre les axes de 
deux forces inconnues (i.e. les poin...
On choisit alors de calculer le moment p/r 
à un point de jonction entre les axes de 
deux forces inconnues (i.e. les poin...
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On aurait aussi pu calculer le moment p/r au point b en décom-posant 
la force de 100 kN en une composante verticale 
(Fv ...
On aurait aussi pu calculer le moment p/r au point b en décom-posant 
la force de 100 kN en une composante verticale 
(Fv ...
On aurait aussi pu calculer le moment p/r au point b en décom-posant 
la force de 100 kN en une composante verticale 
(Fv ...
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La réaction H1 peut être obtenue en calculant le moment p/r 
au point c: 
50 kN 
2 m 
2 m 
2 m 
c 70,7 kN 
53 kN 
F2 
H1 
...
La réaction H1 peut être obtenue en calculant le moment p/r 
au point c: 
Σ Mc = (H1 x 2 m) - (70,7 kN x 2 m) - (70,7 kN x...
La réaction H1 peut être obtenue en calculant le moment p/r 
au point c: 
Σ Mc = (H1 x 2 m) - (70,7 kN x 2 m) - (70,7 kN x...
32 
vendredi 7 septembre 12
Enfin, la réaction F2 est obtenue en calculant le moment 32 
p/r au point a: 
50 kN 
2 m 
2 m 
2 m 
53 kN 
F2 
a 
70,7 kN ...
Enfin, la réaction F2 est obtenue en calculant le moment 32 
p/r au point a: 
Σ Ma = (F2 x 1,79 m) - (70,7 kN x 2 m) + (70...
Enfin, la réaction F2 est obtenue en calculant le moment 32 
p/r au point a: 
Σ Ma = (F2 x 1,79 m) - (70,7 kN x 2 m) + (70...
Pour s’assurer que nous ne nous sommes pas trompés, on peut 
vérifier que la résultante des forces est nulle: 
Σ Fh = 206 ...
On pourrait aussi remplacer les deux réactions d’appui au point a 
par leur force résultante. 
L’addition vectorielle des ...
On pourrait aussi remplacer les deux forces externes (la force de 
100 kN inclinée à 45º et la force verticale de 50 kN) p...
La position de l’axe par lequel passe la 
force résultante est obtenue en faisant 
la somme des moments p/r à un point 
qu...
On pourrait donc tracer le diagramme de corps libre de la structure 
en remplaçant les deux charges externes par la charge...
En examinant le diagramme de corps libre ci-dessous, on constate 
également que les trois forces qui sollicitent la struct...
39 
Structures 
statiques 
avec 
singularités 
vendredi 7 septembre 12
Singularités dans une structure 40 
Nous avons vu dans l’exemple précèdent qu’il existe des cas 
où des structures avec pl...
Exemple 41 
On souhaite calculer les réactions d’appui pour la poutre illustrée 
ci-dessous. 
[m] 
100 kN 
rotule 
4 4 4 6...
Exemple (suite) 42 
La première étape consiste à tracer le diagramme de corps libre 
de la structure entière. 
H rotule 
d...
Exemple (suite) 43 
Pour obtenir une quatrième 
conditions d’équilibre, on doit 
tracer le diagramme de corps libre 
sur u...
Exemple (suite) 44 
On peux choisir indifféremment la partie gauche ou la partie 
droite et on obtiendra, évidemment, le m...
Exemple (suite) 45 
En considérant le DCL de la structure entière on trouve que: 
H rotule 
diagramme de corps libre 
[m] ...
Exemple (suite) 46 
En considérant le DCL de la structure partielle à droite de la 
rotule on trouve que: 
diagramme de co...
Exemple (suite) 47 
Nous avons maintenant un système de deux équations à deux 
inconnues (V2 et V3) que nous pouvons résou...
Exemple (suite) 48 
En substituant la valeur V3 dans l’équation [1] on trouve que : 
12 V2 + 18 V3 = 400 équation [1] 
12 ...
Exemple (suite) 49 
Pour conclure, la figure ci-dessous illustre les réactions d’appui. 
[m] 
100 kN 
rotule 
4 4 4 6 
50 ...
Vérification 50 
Pour s’assurer que nos calculs 
sont exacts, on peut vérifier 
A l’équilibre statique de la partie 
tronq...
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  1. 1. Calcul des réactions d’appui d’une structure Conception de structures Automne 2012 R. Pleau École d’architecture, Université Laval vendredi 7 septembre 12
  2. 2. Équilibre statique des forces 2 Un corps est dit en équilibre statique lorsqu’il demeure immobile sous l’action des diverses forces qui le sollicitent. Pour être en équilibre statique, un corps doit satisfaire deux conditions: 1º) Condition d’équilibre en translation La somme vectorielle des forces doit être nulle 2º) Condition d’équilibre en rotation Le moment doit être nul en tout point de l’espace vendredi 7 septembre 12
  3. 3. Équilibre translationnel 3 vendredi 7 septembre 12
  4. 4. Équilibre translationnel 3 Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps n’est pas nulle, ce corps subira un mouvement de translation dans la direction de la force résultante. vendredi 7 septembre 12
  5. 5. Équilibre translationnel 3 Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps n’est pas nulle, ce corps subira un mouvement de translation dans la direction de la force résultante. Force résultante vendredi 7 septembre 12
  6. 6. Équilibre translationnel 3 Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps n’est pas nulle, ce corps subira un mouvement de translation dans la direction de la force résultante. Force résultante vendredi 7 septembre 12
  7. 7. Équilibre translationnel 3 Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps n’est pas nulle, ce corps subira un mouvement de translation dans la direction de la force résultante. Force résultante vendredi 7 septembre 12
  8. 8. Équilibre translationnel 3 Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps n’est pas nulle, ce corps subira un mouvement de translation dans la direction de la force résultante. Force résultante vendredi 7 septembre 12
  9. 9. Équilibre translationnel 3 Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps n’est pas nulle, ce corps subira un mouvement de translation dans la direction de la force résultante. Force résultante vendredi 7 septembre 12
  10. 10. Équilibre translationnel 3 Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps n’est pas nulle, ce corps subira un mouvement de translation dans la direction de la force résultante. Force résultante vendredi 7 septembre 12
  11. 11. Équilibre translationnel 3 Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps n’est pas nulle, ce corps subira un mouvement de translation dans la direction de la force résultante. Force résultante vendredi 7 septembre 12
  12. 12. Équilibre translationnel 3 Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps n’est pas nulle, ce corps subira un mouvement de translation dans la direction de la force résultante. Force résultante vendredi 7 septembre 12
  13. 13. Équilibre translationnel 3 Si la résultante vectorielle de forces qui s’exercent sur un corps n’est pas nulle, ce corps subira un mouvement de translation dans la direction de la force résultante. Force résultante Un corps est en équilibre statique seulement si la résultante des forces est nulle vendredi 7 septembre 12
  14. 14. Moment de flexion 4 Le moment de flexion résulte d’une force qui tend à faire tourner un objet autour d’un point. Le moment qu’exerce une force p/r à un point est égal au produit de la force (exprimée en kN) par son bras de levier p/r à ce point (i.e. la distance entre le point de rotation et l’axe de la force exprimée en m). Le moment se mesure donc en kN-m et on adoptera la convention de signe suivante: moment positif (+) à entraîne une rotation dans le sens anti-horaire moment négatif (-) à entraîne une rotation dans le sens horaire M = F x d = moment que la force F exerce sur le point A 90º Force (F) bras de levier (d) A vendredi 7 septembre 12
  15. 15. Équilibre rotationnel 5 d F A Si un corps est soumis à une force (F) qui possède un bras de levier (d) p/r à un point de l’espace (A), cette force produira un moment (M = F x d) qui aura pour conséquence de faire tourner le corps autour du point A. Un corps est en équilibre statique seulement si la sommation des moments est nulle p/r à n’importe quel point de l’espace vendredi 7 septembre 12
  16. 16. Équilibre rotationnel 5 d F A Si un corps est soumis à une force (F) qui possède un bras de levier (d) p/r à un point de l’espace (A), cette force produira un moment (M = F x d) qui aura pour conséquence de faire tourner le corps autour du point A. Un corps est en équilibre statique seulement si la sommation des moments est nulle p/r à n’importe quel point de l’espace vendredi 7 septembre 12
  17. 17. Équilibre rotationnel 5 d F A Si un corps est soumis à une force (F) qui possède un bras de levier (d) p/r à un point de l’espace (A), cette force produira un moment (M = F x d) qui aura pour conséquence de faire tourner le corps autour du point A. Un corps est en équilibre statique seulement si la sommation des moments est nulle p/r à n’importe quel point de l’espace vendredi 7 septembre 12
  18. 18. Équilibre rotationnel 5 d F A Si un corps est soumis à une force (F) qui possède un bras de levier (d) p/r à un point de l’espace (A), cette force produira un moment (M = F x d) qui aura pour conséquence de faire tourner le corps autour du point A. Un corps est en équilibre statique seulement si la sommation des moments est nulle p/r à n’importe quel point de l’espace vendredi 7 septembre 12
  19. 19. Équilibre rotationnel 5 d F A Si un corps est soumis à une force (F) qui possède un bras de levier (d) p/r à un point de l’espace (A), cette force produira un moment (M = F x d) qui aura pour conséquence de faire tourner le corps autour du point A. Un corps est en équilibre statique seulement si la sommation des moments est nulle p/r à n’importe quel point de l’espace vendredi 7 septembre 12
  20. 20. Équilibre rotationnel 5 d F A Si un corps est soumis à une force (F) qui possède un bras de levier (d) p/r à un point de l’espace (A), cette force produira un moment (M = F x d) qui aura pour conséquence de faire tourner le corps autour du point A. Un corps est en équilibre statique seulement si la sommation des moments est nulle p/r à n’importe quel point de l’espace vendredi 7 septembre 12
  21. 21. Équilibre rotationnel 5 d F A Si un corps est soumis à une force (F) qui possède un bras de levier (d) p/r à un point de l’espace (A), cette force produira un moment (M = F x d) qui aura pour conséquence de faire tourner le corps autour du point A. Un corps est en équilibre statique seulement si la sommation des moments est nulle p/r à n’importe quel point de l’espace vendredi 7 septembre 12
  22. 22. Conditions d’équilibre 6 Par commodité, il est souvent avantageux de décomposer les forces en deux composantes orthogonales: une composante verticale et une composante horizontale. Un corps est alors en équilibre statique s’il satisfait les trois conditions suivantes : Σ Fh = 0 (la sommation des forces horizontales est nulle) Σ Fv = 0 (la sommation des forces verticales est nulle) Σ M = 0 (la sommation des moments est nulle) On adoptera la convention de signe suivante: - les forces verticales sont positives lorsque qu’elles sont dirigées vers le haut et négatives lorsqu’elles sont dirigées vers le bas. - les forces horizontales seront positives lorsqu’elles sont dirigées vers la droite et négatives lorsqu’elles sont dirigées vers la gauche. - les moments sont positifs lorsque la rotation est dans le sens anti-horaire et négatifs lorsque la rotation est dans le sens horaire vendredi 7 septembre 12
  23. 23. Conditions d’appui 7 On peut définir trois conditions d’appui ainsi que les symboles qui sont généralement utilisés pour les représenter : Appui simple La translation est empêchée dans une seule direction (une seule réaction d’appui) Appui double La translation est empêchée dans deux directions orthogonales (deux réactions d’appui) Encastrement La translation est empêchée dans deux directions orthogonales et la rotation est empêchée (trois réactions d’appui) vendredi 7 septembre 12
  24. 24. Stabilité des structures 8 Puisque l’équilibre statique n’est atteint que lorsque l’on satisfait trois conditions d’équilibre (Σ Fh = 0, Σ Fv = 0 et Σ M = 0), on peut définir trois types de structures : Structures instables à Structures qui possèdent moins de 3 réactions d’appui il n’existe aucune combinaison de réactions d’appui qui puisse assurer l’équilibre statique de la structure. Structures isostatiques à Structures qui possèdent 3 réactions d’appui il existe une et une seule combinaison de réaction d’appui qui assure l’équilibre statique de la structure. Structures hyperstatiques à Structures qui possèdent plus de 3 réactions d’appui il existe plusieurs combinaisons de réactions d’appui qui puissent assurer l’équilibre statique de la structure vendredi 7 septembre 12
  25. 25. Exemple 9 vendredi 7 septembre 12
  26. 26. Exemple 9 Cette poutre est hyperstatique car elle possède plus d’appuis que nécessaire. vendredi 7 septembre 12
  27. 27. Exemple 9 Cette poutre est hyperstatique car elle possède plus d’appuis que nécessaire. Cette poutre est isostatique car elle possède juste le nombre d’appuis nécessaires. vendredi 7 septembre 12
  28. 28. Exemple 9 Cette poutre est hyperstatique car elle possède plus d’appuis que nécessaire. Cette poutre est isostatique car elle possède juste le nombre d’appuis nécessaires. Cette poutre est instable car elle possède moins d’appuis que ce qui est nécessaire vendredi 7 septembre 12
  29. 29. Mise en garde 10 Les méthodes graphiques qui font l’objet du cours ne sont valides que pour les structures isostatiques Par contre les logiciels d’analyse comme DrBeamPro et VisualAnalysis peuvent prendre en compte des structures hyperstatiques vendredi 7 septembre 12
  30. 30. 11 Exemple 1 une poutre simplement appuyée vendredi 7 septembre 12
  31. 31. Exemple 1 12 10 kN 20 kN 30 kN 4 2 3 3 [m] On veut calculer les réactions d’appui de la poutre illustrée ci-contre. vendredi 7 septembre 12
  32. 32. Exemple 1 (suite) 13 La première étape consiste à dessiner le diagramme de corps libre (DCL) et d’identifier les réactions d’appui. On remarque que l’on a trois réactions d’appui et que la structure est donc isostatique. [m] 10 kN 20 kN 30 kN V1 H V2 4 2 3 3 diagramme de corps libre vendredi 7 septembre 12
  33. 33. Puisque la sommation des forces horizontales doit être nulle (Σ Fh = 0) et que la structure n’est soumise à aucune force horizontale externe, on en conclut facilement que: H = 0 14 [m] 10 kN 20 kN 30 kN V1 H V2 diagramme de corps libre 12 Exemple 1 (suite) 4 2 3 3 vendredi 7 septembre 12
  34. 34. Exemple 1 (suite) On pourrait utiliser la seconde condition d’équilibre (Σ Fv = 0) mais, comme il y a deux forces verticales inconnues (V1 et V2), il est alors impossible de trouver directement l’une de ces deux forces. axe a 15 axe b [m] 10 kN 20 kN 30 kN 4 2 3 3 V1 V2 diagramme de corps libre 12 On aura donc recours à la troisième condition d’équilibre qui veut que la sommation des moments p/r à n’importe quel point soit nulle (Σ M = 0). Pour éviter d’avoir deux forces inconnues (V1 et V2), nous choisirons un point qui est situé dans l’axe de V1 ou de V2. Puisque le bras de levier de l’une de ces forces sera alors nulle, il nous restera une seule inconnue. On pourrait donc calculer les moments p/r à n’importe quel point situé sur l’axe a ou sur l’axe b. vendredi 7 septembre 12
  35. 35. On calcule le moment p/r au point a et, puisque cette sommation doit être nulle (Σ Ma = 0), on trouve que: a Σ Ma = (V1 x 0) - (10 kN x 4 m) - (20 kN x 6 m) - (30 kN x 9 m) + (V2 x 12 m) = 0 En isolant V2 on trouve alors que: V2 = (40 + 120 + 270) kN-m = 35,83 kN 12 m 16 [m] 10 kN 20 kN 30 kN V1 V2 diagramme de corps libre 12 Exemple 1 (suite) 4 2 3 3 vendredi 7 septembre 12
  36. 36. Puisque la sommation des forces verticales doit être nulle (Σ Fv = 0), on trouve finalement que: V1 - 10 kN - 20 kN - 30 kN + 35,83 kN = 0 En isolant V1, on trouve alors que: V1 = (10 + 20 + 30 - 35,83 kN) = 24,17 kN 17 [m] 10 kN 20 kN 30 kN V1 35,83 kN diagramme de corps libre 12 Exemple 1 (suite) 4 2 3 3 vendredi 7 septembre 12
  37. 37. Pour s’assurer que nous ne nous sommes pas trompés, on pourrait vérifier que la sommation des moments p/r au point b est bien nulle: Σ Mb = - (24,17 kN x 12 m) + (10 kN x 8 m) + (20 kN x 6 m) + (30 kN x 3 m) + (35,83 x 0 m) = 0 18 b [m] 10 kN 20 kN 30 kN 35,83 kN Vérification 4 2 3 3 24,17 kN diagramme de corps libre vendredi 7 septembre 12
  38. 38. Force résultante équivalente 19 Lorsque l’on calcule les réactions d’appui d’une structure, on peut toujours remplacer un ensemble de forces par une force résultante équivalente à condition que: 1º) La force résultante soit égale à l’addition vectorielle des autres forces 2º) La force résultante soit placée le long d’un axe qui fait en sorte que le moment qu’elle exerce sur un point donné soit le même que la somme des moments exercés par les autres forces. vendredi 7 septembre 12
  39. 39. Force résultante équivalente 20 Pour la poutre de l’exemple précé-dent, calculons la résultante des forces. 1º) La force résultante est obtenue par l’addition vectorielle des 3 autres forces 10 kN 20 kN 30 kN 60 kN Force résultante [m] 10 kN 20 kN 30 kN V1 4 2 3 3 V2 vendredi 7 septembre 12
  40. 40. Force résultante équivalente 21 2º) La force résultante doit produire le même moment de rotation que l’ensemble des 3 forces indivi-duelles sur n’importe quel point de la poutre. La position de l’axe par lequel passe la force résultante est donc obtenue en faisant la somme des moments p/r à un point (le point a dans notre exemple). Σ Ma = - (10 kN x 4 m) - (20 kN x 6 m) - (30 kN x 9 m) = - (60 kN x d) En isolant d, on trouve que: d = - (40 + 120 + 270) kN-m = 7,17 m 60 kN a V1 [m] 10 kN 20 kN 30 kN 4 2 3 3 V2 [m] V1 4 2 3 3 a d 60 kN V2 vendredi 7 septembre 12
  41. 41. Force résultante équivalente 22 Calculons maintenant les 7,17 m 60 kN réactions d’appui pour le diagramme de corps libre qui est illustré à la figure ci-contre. V2 Σ Ma = - (60 kN x 7,17 m) + (V2 x 12 m) d’où: V2 = 60 kN x 7,17 m = 35,85 kN 12 m Σ Fv = V1 - 60 kN + 35,85 kN = 0 d’où: V1 = (60 - 35,85 kN) = 24,15 kN On constate bien que l’on obtient les mêmes réactions d’appui que précédemment (si on néglige la petite différence de 0,02 kN qui est simplement causée par une petite erreur d’arrondi sur la longueur des bras de levier. [m] V1 4 2 3 3 a vendredi 7 septembre 12
  42. 42. 23 Exemple 2 un treillis isostatique vendredi 7 septembre 12
  43. 43. Exemple 2 22 Considérons la structure illustrée ci-contre (c’est la structure que nous avons déjà analysée pour décrire la méthode point par point). 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º 24 vendredi 7 septembre 12
  44. 44. Exemple 2 23 Comme toujours, la première étape de l’analyse consiste à tracer le diagramme de corps libre de la structure. 25 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V2 V1 H2 H1 Diagramme de corps libre On constate sur ce diagramme la présence de quatre réactions d’appui inconnues (V1, H1, V2 et H2). Selon la règle que nous avons énoncé précédemment, nous devrions en conclure que cette structure est hyperstatique puisque le nombre de réactions d’appui inconnues est supérieur à 3. Or, à l’aide de la méthode point par point, nous avons réussi à calculer ces réactions. Comment l’expliquer ? vendredi 7 septembre 12
  45. 45. Exemple 2 24 26 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V2 V1 H2 H1 Diagramme de corps libre En fait, il arrive qu’une structure comporte ce que l’on appelle des singularités qui imposent à la structure certaines contraintes et qui font en sorte que cette structure qui, théoriquement, devrait être hyperstatique est en fait isostatique. vendredi 7 septembre 12
  46. 46. A 25 La structure ci-contre contient en effet une singularité qui la rend isostatique. Cette singularité vient du fait que l’on considère que chacun des noeuds de la structure est rotulé ce qui signifie que chacune des membrures ne peut transmettre que des efforts axiaux (tension ou compression). Puisque la membrure A ne transmet qu’un effort axial à l’appui, la réaction d’appui correspondante est forcément dans l’axe de la membrure. On peut donc remplacer les réactions inconnues H2 et V2 par une force résultante équivalente F2 qui est orientée dans l’axe de la membrure A. On obtient ainsi un nouveau diagramme de corps libre qui ne montre que trois réactions d’appui inconnues (V1, H1 et F2) ce qui implique que la structure est isostatique. 27 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V2 V1 F2 H1 A Diagramme de corps libre 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 H2 H1 Diagramme de corps libre vendredi 7 septembre 12
  47. 47. 28 vendredi 7 septembre 12 F2 2 m 2 m
  48. 48. La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 28 vendredi 7 septembre 12 F2 2 m 2 m
  49. 49. La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 28 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre vendredi 7 septembre 12 F2 2 m 2 m
  50. 50. La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 28 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre vendredi 7 septembre 12 F2 2 m 2 m
  51. 51. La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 28 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre vendredi 7 septembre 12 F2 2 m 2 m
  52. 52. La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 28 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º a V1 F2 H1 Diagramme de corps libre F2 2 m 2 m vendredi 7 septembre 12
  53. 53. 28 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º a V1 F2 H1 Diagramme de corps libre La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre F2 2 m 2 m vendredi 7 septembre 12
  54. 54. 28 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º a V1 F2 H1 Diagramme de corps libre La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre F2 2 m 2 m vendredi 7 septembre 12
  55. 55. 28 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º a V1 F2 H1 Diagramme de corps libre La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre F2 2 m 2 m vendredi 7 septembre 12
  56. 56. 28 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º a V1 F2 H1 Diagramme de corps libre La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre b F2 2 m 2 m vendredi 7 septembre 12
  57. 57. 28 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre b F2 2 m 2 m 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre a vendredi 7 septembre 12
  58. 58. 28 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre b F2 2 m 2 m 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre a vendredi 7 septembre 12
  59. 59. 28 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre b F2 2 m 2 m 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre a vendredi 7 septembre 12
  60. 60. 28 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre b F2 2 m 2 m 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre a c vendredi 7 septembre 12
  61. 61. 28 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre La façon la plus simple de calculer les réactions d’appui consiste à prolonger les axes par lesquels passent les forces inconnues et à identifier un point de jonction entre deux de ces axes. 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre b F2 2 m 2 m Les points a, b et c sont tous trois situés à la jonction entre deux de ces axes. 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 Diagramme de corps libre a c vendredi 7 septembre 12
  62. 62. 29 vendredi 7 septembre 12
  63. 63. On choisit alors de calculer le moment p/r à un point de jonction entre les axes de deux forces inconnues (i.e. les points a, b ou c dans notre exemple). De cette façon, deux forces inconnues possèdent un bras de levier nul et il ne nous reste alors qu’une seule force inconnue que l’on peut facilement isoler. Dans notre exemple, nous choisirons de calculer le moment p/r au point b car, de cette façon, le bras de levier de la force de 50 kN est nul lui aussi, et il ne reste que la force de 100 kN à prendre en compte. 29 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 b Diagramme de corps libre vendredi 7 septembre 12
  64. 64. On choisit alors de calculer le moment p/r à un point de jonction entre les axes de deux forces inconnues (i.e. les points a, b ou c dans notre exemple). De cette façon, deux forces inconnues possèdent un bras de levier nul et il ne nous reste alors qu’une seule force inconnue que l’on peut facilement isoler. Dans notre exemple, nous choisirons de calculer le moment p/r au point b car, de cette façon, le bras de levier de la force de 50 kN est nul lui aussi, et il ne reste que la force de 100 kN à prendre en compte. 29 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN 45 º V1 F2 H1 b Diagramme de corps libre 100 kN 45 º 90º 90º 2,12 m b Le bras de levier de la force de 100 kN p/r au point b est mesuré graphiquement à la figure ci-contre. On obtient alors: Σ Mb = (100 kN x 2,12 m) - (V1 x 4 m) = 0 d’où: V1 = 100 kN x 2,12 m = 53 kN 4 m vendredi 7 septembre 12
  65. 65. 30 vendredi 7 septembre 12
  66. 66. On aurait aussi pu calculer le moment p/r au point b en décom-posant la force de 100 kN en une composante verticale (Fv = 100 kN x sin 45º = 70,7 kN) et une composante horizontale (Fh = 100 kN x cos 45º = 70,7 kN). On obtient alors: 50 kN 2 m 2 m 2 m V1 F2 H1 b 70,7 kN 70,7 kN Diagramme de corps libre 30 vendredi 7 septembre 12
  67. 67. On aurait aussi pu calculer le moment p/r au point b en décom-posant la force de 100 kN en une composante verticale (Fv = 100 kN x sin 45º = 70,7 kN) et une composante horizontale (Fh = 100 kN x cos 45º = 70,7 kN). On obtient alors: Σ Mb = (70,7 kN x 2 m) + (70,7 kN x 1m) - (V1 x 4 m) = 0 50 kN 2 m 2 m 2 m V1 F2 H1 b 70,7 kN 70,7 kN Diagramme de corps libre 30 vendredi 7 septembre 12
  68. 68. On aurait aussi pu calculer le moment p/r au point b en décom-posant la force de 100 kN en une composante verticale (Fv = 100 kN x sin 45º = 70,7 kN) et une composante horizontale (Fh = 100 kN x cos 45º = 70,7 kN). On obtient alors: Σ Mb = (70,7 kN x 2 m) + (70,7 kN x 1m) - (V1 x 4 m) = 0 50 kN 2 m 2 m 2 m d’où: V1 = (141,4 + 70,7) kN-m = 53 kN V1 F2 H1 b 70,7 kN 70,7 kN Diagramme de corps libre 30 4 m vendredi 7 septembre 12
  69. 69. 31 vendredi 7 septembre 12
  70. 70. La réaction H1 peut être obtenue en calculant le moment p/r au point c: 50 kN 2 m 2 m 2 m c 70,7 kN 53 kN F2 H1 70,7 kN Diagramme de corps libre 31 vendredi 7 septembre 12
  71. 71. La réaction H1 peut être obtenue en calculant le moment p/r au point c: Σ Mc = (H1 x 2 m) - (70,7 kN x 2 m) - (70,7 kN x 1m) - (50 kN x 4 m) = 0 50 kN 2 m 2 m 2 m c 70,7 kN 53 kN F2 H1 70,7 kN Diagramme de corps libre 31 vendredi 7 septembre 12
  72. 72. La réaction H1 peut être obtenue en calculant le moment p/r au point c: Σ Mc = (H1 x 2 m) - (70,7 kN x 2 m) - (70,7 kN x 1m) - (50 kN x 4 m) = 0 50 kN d’où: H1 = (141,4 + 70,7 + 200) kN-m = 206 kN 2 m 2 m 2 m c 70,7 kN 53 kN F2 H1 70,7 kN Diagramme de corps libre 31 2 m vendredi 7 septembre 12
  73. 73. 32 vendredi 7 septembre 12
  74. 74. Enfin, la réaction F2 est obtenue en calculant le moment 32 p/r au point a: 50 kN 2 m 2 m 2 m 53 kN F2 a 70,7 kN 70,7 kN 206 kN Diagramme de corps libre vendredi 7 septembre 12
  75. 75. Enfin, la réaction F2 est obtenue en calculant le moment 32 p/r au point a: Σ Ma = (F2 x 1,79 m) - (70,7 kN x 2 m) + (70,7 kN x 1m) - (50 kN x 4 m) = 0 F2 1,79 m a 90º 90º 50 kN 2 m 2 m 2 m 53 kN F2 a 70,7 kN 70,7 kN 206 kN Diagramme de corps libre vendredi 7 septembre 12
  76. 76. Enfin, la réaction F2 est obtenue en calculant le moment 32 p/r au point a: Σ Ma = (F2 x 1,79 m) - (70,7 kN x 2 m) + (70,7 kN x 1m) - (50 kN x 4 m) = 0 d’où: F2 = (141,4 - 70,7 + 200) kN-m = 151 kN F2 1,79 m a 90º 90º 50 kN 2 m 2 m 2 m 53 kN F2 a 70,7 kN 70,7 kN 206 kN Diagramme de corps libre 1,79 m vendredi 7 septembre 12
  77. 77. Pour s’assurer que nous ne nous sommes pas trompés, on peut vérifier que la résultante des forces est nulle: Σ Fh = 206 kN - (151 kN x cos 26,56º) - 70,7 kN = 0 Σ Fv = 53 kN + (151 kN x sin 26,56º) - 70,7 kN - 50 kN = 0 50 kN 2 m 2 m 2 m 53 kN 151 kN 70,7 kN 70,7 kN Diagramme de corps libre 206 kN 26,56º 33 vendredi 7 septembre 12
  78. 78. On pourrait aussi remplacer les deux réactions d’appui au point a par leur force résultante. L’addition vectorielle des forces nous donne alors une résultante de 213 kN inclinée à 14,4º p/r à l’horizontale. 26,56º 50 kN 2 m 2 m 2 m 151 kN 70,7 kN 70,7 kN a 213 kN Diagramme de corps libre 206 kN 53 kN 213 kN 14,4º Polygone de forces 34 vendredi 7 septembre 12
  79. 79. On pourrait aussi remplacer les deux forces externes (la force de 100 kN inclinée à 45º et la force verticale de 50 kN) par une force résultante équivalente: L’addition vectorielle des forces nous donne une résultante de 140 kN inclinée de 59,6º p/r à l’horizontale. 26,56º 50 kN 2 m 2 m 2 m 151 kN 100 kN 213 kN Diagramme de corps libre 50 kN 140 kN 100 kN 59,6º Polygone de forces 35 vendredi 7 septembre 12
  80. 80. La position de l’axe par lequel passe la force résultante est obtenue en faisant la somme des moments p/r à un point quelconque de l’espace. Nous avons choisi de faire la somme des moments p/r au point a car, de cette façon, on simplifie le calcul puisque le bras de levier de la composante de 100 kN est nul. On trouve alors: Σ Ma = 140 kN x d = 50 kN x 2 m d’où: d = 50 kN x 2 m = 0,71 m 26,56º 50 kN 2 m 2 m 2 m 100 kN Forces externes d 140 kN 2 m 26,56º 59,6º 2 m 2 m a Force résultante équivalente 140 kN 36 a vendredi 7 septembre 12
  81. 81. On pourrait donc tracer le diagramme de corps libre de la structure en remplaçant les deux charges externes par la charge résultante équivalente. En traçant le polygone des 3 forces qui sollicitent alors la structure, on peut vérifier que, conformément aux lois de l’équilibre statique, la somme vectorielle des forces est nulle. 0,71 m 140 kN 2 m 26,56º 59,6º 2 m 2 m 151 kN 213 kN Diagramme de corps libre 213 kN 151 kN 140 kN Polygone de forces 37 vendredi 7 septembre 12
  82. 82. En examinant le diagramme de corps libre ci-dessous, on constate également que les trois forces qui sollicitent la structure sont situés le long de trois axes qui se croisent en un point (le point a en l’occurrence). Cette constatation nous amène à formuler une règle générale. 140 kN 2 m 2 m 2 m 151 kN 213 kN a Diagramme de corps libre Lorsqu’une structure est sollicitée par 3 forces dont 2 ne sont pas parallèles, ces 3 forces sont forcément situées sur des axes qui se croisent en un point. 38 Exemple 1 une poutre simplement appuyée vendredi 7 septembre 12
  83. 83. 39 Structures statiques avec singularités vendredi 7 septembre 12
  84. 84. Singularités dans une structure 40 Nous avons vu dans l’exemple précèdent qu’il existe des cas où des structures avec plus de 3 réactions d’appui sont isostatiques parce qu’elle contiennent des singularités. Ces singularités sont souvent des rotules qui permettent la rotation libre de deux parties de la structure l’une p/r à l’autre. Dans ce cas, si on ne prend en compte qu’une partie de la structure, la sommation des moments au point rotulé est forcément égale à 0 ce qui nous fournit une équation d’équilibre additionnelle. Nous allons illustré le calcul des réactions d’appui dans ce type de structure par un exemple. vendredi 7 septembre 12
  85. 85. Exemple 41 On souhaite calculer les réactions d’appui pour la poutre illustrée ci-dessous. [m] 100 kN rotule 4 4 4 6 vendredi 7 septembre 12
  86. 86. Exemple (suite) 42 La première étape consiste à tracer le diagramme de corps libre de la structure entière. H rotule diagramme de corps libre [m] 100 kN 4 4 4 6 V1 V2 V3 On constate que nous avons 4 réactions d’appui (H, V1, V2 et V3) mais seulement trois équations d’équilibre (Σ Fh = 0, Σ Fv = 0 et Σ M = 0) ce qui suggère une structure hyperstatique. Dans ces conditions il est mathématiquement impossible de calculer les réactions d’appui. On constate que nous avons 4 réactions d’appui (H, V1, V2 et V3) mais seulement trois équations d’équilibre vendredi 7 septembre 12
  87. 87. Exemple (suite) 43 Pour obtenir une quatrième conditions d’équilibre, on doit tracer le diagramme de corps libre sur une section tronquée de la structure (à gauche ou à droite de la rotule). Sur le DCL d’une section tronquée de la poutre, les forces A et B représentent les efforts exercés par la partie de poutre que nous avons escamotée selon de principe d’action-réaction. A diagramme de corps libre [m] 4 6 V2 V3 a A B diagramme de corps libre [m] 100 kN 4 4 H V1 a B A Sur ces sections tronquées, on sait que la sommation des moments à la rotule doit être égal à 0 (Σ Ma = 0). vendredi 7 septembre 12
  88. 88. Exemple (suite) 44 On peux choisir indifféremment la partie gauche ou la partie droite et on obtiendra, évidemment, le même résultat. Cependant, un choix judicieux de la partie retenue facilitera souvent la résolution numérique. Pour cet exemple, la solution devient très simple si on retient la partie gauche de la structure. Pour fins de démonstration, nous choisirons la partie droite qui nous conduit à une résolution plus difficile, mais plus générale. vendredi 7 septembre 12
  89. 89. Exemple (suite) 45 En considérant le DCL de la structure entière on trouve que: H rotule diagramme de corps libre [m] 100 kN 4 4 4 6 V1 V2 V3 b Σ Fh = 0 d’où H = 0 kN : Σ Mb = - (100 kN x 4 m) + (V2 x 12 m) + (V3 x 18 m) = 0 d’où : 12 V2 + 18 V3 = 400 équation [1] vendredi 7 septembre 12
  90. 90. Exemple (suite) 46 En considérant le DCL de la structure partielle à droite de la rotule on trouve que: diagramme de corps libre Σ Ma = (V2 x 4 m) + (V3 x 10 m) = 0 d’où : 4 V2 + 10 V3 = 0 équation [2] [m] 4 6 V2 V3 a vendredi 7 septembre 12
  91. 91. Exemple (suite) 47 Nous avons maintenant un système de deux équations à deux inconnues (V2 et V3) que nous pouvons résoudre. 12 V2 + 18 V3 = 400 équation [1] 4 V2 + 10 V3 = 0 équation [2] En isolant V2 dans l’équation [2] on obtient : V2 = 18 V3 = - 2,5 V3 équation [3] En substituant l’équation [3] dans l’équation [1] on trouve que : - 30 V3 + 18 V3 = 400 équation [4] D’où V3 = 400 / -12 = - 33,33 kN vendredi 7 septembre 12
  92. 92. Exemple (suite) 48 En substituant la valeur V3 dans l’équation [1] on trouve que : 12 V2 + 18 V3 = 400 équation [1] 12 V2 + (18 x -33,33) = 400 d’où V2 = (400 + 600) /12 = 83,33 kN On obtient la dernière inconnue, V1, en faisant la sommation des forces verticales : Σ Fv = V1 + V2 + V3 - 100 kN = 0 d’où : V1 = 100 - V2 - V3 V1 = 100 - 83,33 - (-33,33) = 50 kN vendredi 7 septembre 12
  93. 93. Exemple (suite) 49 Pour conclure, la figure ci-dessous illustre les réactions d’appui. [m] 100 kN rotule 4 4 4 6 50 kN 83,33 kN 33,33 kN vendredi 7 septembre 12
  94. 94. Vérification 50 Pour s’assurer que nos calculs sont exacts, on peut vérifier A l’équilibre statique de la partie tronquée à la gauche de la [m] rotule en faisant la sommation des moments au point a. diagramme de corps libre 100 kN 4 4 50 kN a B Σ Ma = - (50 kN x 8 m) + (100 kN x 4 m) = 0 vendredi 7 septembre 12

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