I. El documento explica operaciones básicas en los conjuntos de números enteros y racionales, como adición, sustracción, multiplicación, potenciación y operaciones con fracciones. II. También define conceptos como conjuntos, funciones, diagramas de funciones, dominio, rango y tipos de funciones. III. Finalmente, introduce polinomios, funciones polinómicas, partes de un polinomio y clasificación de polinomios según términos.

1. Obj № (Nivelación: Operaciones en Z y Q)<br />I) adicción en Z<br />Los sumandos con signo iguales se suman, se coloca el mismo signo.<br />Los sumandos con signo diferentes se restan, se coloca el mismo signo del mayor.<br /> <br />II) Sustracción en Z<br />El sustraendo se cambia por el número opuesto y la sustracción por una adicción, el minuendo se deja igual.<br /> <br />III) Multiplicaciones en Z<br />Los factores con igual signo resulta positivo, mientras los factores de diferente signo resulta negativo.<br />Para resolver multiplicaciones combinada se resuelve las distributiva, luego las multiplicaciones por ultimo las adicciones.<br />IV) Potencia en Z<br />Las bases se deben multiplicar cuantas veces lo indique el exponente, la potencia resultara negativa si la base es negativa y el exponente impar.<br /> <br />V) Operaciones de Fracciones<br />El método directo se aplica cuando la adicción tiene dos fracciones.<br />a) <br />El método mcm se aplica cuando la adicción tiene tres o mas fracciones.<br />a) <br />La multiplicación de fracciones se realiza en forma lineal numerador por numerador y denominador por denominador.<br />a) <br />La división de fracciones la primera fracción se deja igual se multiplica por la inversa de las demás.<br />a) <br />VI) Conjuntos<br />Naturales <br />Enteros<br />Enteros Positivos<br />Enteros Negativos<br />Enteros sin el Cero<br />No Enteros<br />Complete:<br />Obj Nº Funciones<br />Definición: Es una especie de correspondencia o relación entre los elementos 2 conjuntos.<br />Relación (R): La relación entre dos conjuntos A y B es toda expresión que permite asociar elementos del conjunto A con elementos del conjunto B.<br />221615981075Ejemplo: Formaremos dos conjuntos A y B; el conjunto A estará formado por nombres Propios: Ana; Belkis; Dario; Emily, Heberto y el conjunto B estará formado por letras del abecedario tales como: a; b; c; d; e; f,; g; h; i. La relación será Empieza con la letra<br />Ana R a<br />Belkis R b<br />Dario R d<br />Emily R e<br />Heberto R h<br />Diagrama: Es la representación de los elementos del conjunto A y B mediantes líneas cerradas el cuál se logra mediante una relación, en el caso anterior la expresión es “Empieza con la letra”<br />Ejemplo: representa en diagrama los siguientes dos conjuntos <br />R “ es capital de”<br />Diagrama:<br />10731548895<br />Maracay R Aragua<br />C. Bolívar R Bolívar<br /> S.Fernando R Apure<br />Pares Ordenados: Es la vinculación de componentes o elementos de conjuntos mediante una relación donde se debe respetar el orden de los componentes, es una expresión de la forma (a,b)<br />Ejemplo: representa en diagrama los siguientes dos conjuntos. Encuentre sus pares ordenados<br />R “es divisor de”<br />1235710-104775<br />Diagrama:<br />3 R 6<br />3 R 12<br />5 R 20<br />7 R 14<br />8 R 8<br />Los pares ordenados: <br />Producto Cartesiano: Es el conjunto formado por todos los pares ordenados, se denota (AxB) significa el producto cartesiano del conjunto A y B<br />Ejemplo: representa en diagrama los siguientes dos conjuntos. Encuentre su producto cartesiano<br />105791034290<br />R “es doble de”<br />Diagrama:<br />Producto Cartesiano:<br />Ley de Correspondencia: Son las relaciones que unen a los dos conjuntos relacionado.<br />Ejemplo:<br />Empieza con la letra<br />Es capital de<br />Es doble de<br />Ejemplos:<br />Dado el siguiente diagrama. Encuentre la ley de correspondencia<br />La Ley de Correspondencia:<br />14217650<br />R:” Más uno es” <br />Dado los siguientes pares ordenados. Construye el diagrama y Encuentre la ley de correspondencia<br />142176562865La Ley de Correspondencia:<br />R :“Es profesor de”<br />4955540153035<br />Conjuntos de Partida: Es el conjunto cuyos elementos se le aplica la relación, de los anteriores ejemplos estos son: A, C, E, G, I, K<br />Conjuntos de Llegada: Es el conjunto cuyos elementos concuerdan con la relación aplicada, de los anteriores ejemplos estos son: B, D, F, H, J, L<br />Ejemplo: Identifique el conjunto de partida y de Llegada. Encuentre su<br /> Diagrama:<br />1583690102235<br />R = “Es múltiplo de”<br />Conjunto Partida: M<br />Conjunto Llegada: N<br />Producto Cartesiano:<br />Característica de una Función: <br />TODOS los elementos de Partida están relacionados con los elementos del conjunto de Llegada.<br />Cada elemento del conjunto de Partida esta relacionado con un SOLO elemento del conjunto de Llegada.<br />Nota: Las funciones se denotan con las letras minúsculas y se escribe: <br />Se lee: La función se le aplica a cada elemento del conjunto A en uno y solo un elemento del conjunto B.<br />Relaciones que no son funciones: Son aquellas relaciones que no cumplen con las característica de una función.<br />1819910309880Ejemplo: Señala cuales de los siguientes diagramas los conjuntos son funciones.<br />No es función: por que no TODOS los elementos de Partida están relacionados con los elementos del conjunto de Llegada.<br />No es Función: porque los elementos del conjunto de Partida no está relacionado con un SOLO elemento del conjunto de Llegada.<br />Ejercicios: Señala cuales de los siguientes diagramas los conjuntos son funciones.<br />4292603810<br />Respuesta:<br /> ; ; ; <br />Dominio de una Función: Se denota (Df) corresponde a todos los elementos del conjunto de Partida que están relacionado con el conjunto de Llegada.<br />Rango de una Función: Se denota (If), corresponde a todos los elementos del conjunto de Llegada que tienen imagen mediante la función del conjunto de Partida.<br />Ejemplo: Sean los siguientes diagramas. Obtener El Dominio y el Rango<br />185039097155<br />Dominio:<br /> ó <br />Rango:<br />1850390595630<br />Dominio:<br /> <br />Rango:<br /> ó <br />345440506095Ejercicios: Indica cuales de las siguientes relaciones corresponde a una función, determina el dominio y el rango de la misma.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />Tipo de Funciones: Pueden ser: Inyectiva, Sobreyectiva, Biyectiva y No Biyectiva.<br />Inyectiva: es una función Inyectiva si elementos diferentes del dominio tienen imágenes diferentes del rango.<br />Características de una función Inyectiva:<br />Los elementos de Llegada deben tener “solo” un elemento de Partida.<br />Los elementos de Partida deben tener “diferentes imágenes” en el conjunto de Llegada<br />Sobreyectiva: es una función Sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de Llegada es imagen de al menos un elemento del conjunto de Partida.<br />Características de una función Sobreyectiva:<br />Todos los elementos del conjunto de Llegada son imagen de al menos un elemento de Partida.<br />No sobra ningún elemento del conjunto de llegada.<br />Biyectiva: es una función biyectiva si cumple con las características de una función inyectiva y sobreyectiva a la vez.<br />Características de una función Biyectiva:<br />Elementos diferentes del conjunto de Partida tienen imágenes diferentes en el conjunto de Llegada. (inyectiva)<br />Todos los elementos del conjunto de Llegada es imagen de un elemento del conjunto de Partida. (sobreyectiva)<br />No Biyectiva: es una función No biyectiva cuando no cumple con las características de una función inyectiva y sobreyectiva a la vez.<br />Ejercicios: Indica cuales de las siguientes relaciones corresponde a una función, determina el tipo de función.<br />Obj. 3 Graficas de funciones<br />Introducción: las graficas de funciones son representaciones que se plasman en un plano, para ello debemos tener en cuenta varios términos básicos, para entender el lenguaje de este tema.<br />3644901334770Sistema de Coordenada Cartesiana “Rectangulares”: Es la unión de 2 rectas perpendiculares llamados eje “x” (eje de las abscisas) y el eje “y” (ejes de la ordenadas) el lugar donde se intercepta se llama origen de las coordenadas, los 2 ejes de coordenadas dividen el plano en 4 partes iguales, cada uno de estos semiplanos recibe el nombre de cuadrantes, estos se denotan en números romanos.<br />4787901193800Coordenada de un punto: Los puntos de un plano está determinado por 2 coordenadas (x,y) la 1ra coordenada corresponde a las abscisas y la 2da coordenada corresponde a las ordenadas, formando así un par ordenado. Los puntos de intersección de los ejes de coordenadas con las proyecciones ortogonales determinan las coordenadas de un punto.<br />10541043180Ubicación de los puntos según los cuadrantes<br />Representación de los puntos en el plano: <br />Construir el sistema de coordenadas.<br />Desde cada punto determinado sobre los ejes x e y se levanta una perpendiculares.<br />La intersección de ambas perpendiculares determina en punto (x,y)<br />Ejercicio: <br />En un sistema de coordenadas rectangulares represente los siguientes puntos.<br /> <br /> <br />Ecuaciones de una función: Es la relación que indica las operaciones que hay que hacer con la variable independiente “x” para obtener la variable dependiente “y”.<br /> ó donde<br />X es la variable independiente.<br />Y es la variable dependiente.<br />Nota: la variable independiente puede ser un numero N, Z ó Q <br />Representación grafica de una función: Para representar una grafica de una ecuación de una función debemos realizar los siguientes pasos:<br />Construir la tabla de valores<br />Aplicar la ley de correspondencia<br />Construir el sistema de coordenadas<br />Unir los puntos obtenidos de la tabla de valores<br />Tipo de funciones según su grafico:<br />Funciones Constante: La ecuación de una función constante es f(x)= K donde K es un numero cualquiera, el grafico de una función constante es una recta paralela al eje de las abscisas (eje x).<br />Funciones Lineal: La ecuación de una función lineal es f(x)= aX donde a es un numero cualquiera, el grafico de una función lineal es una recta que pasa por el origen.<br />Función Afín: La ecuación de una función afín es f(x)= aX + b donde a y b son números cualquiera, el grafico de una función afín es una recta que pasa por el punto (0 , b).<br />Ejercicio: Reconoce según la ecuación el tipo de Función:<br /> <br />a) (afín)<br />b) (lineal)<br />c) (constante)<br />d) (lineal)<br />e) (afín)<br />f) (constante)<br />Ejercicio: Construye la tabla de valores para la función siguiente y represéntala gráficamente <br />Tabla de valores:<br />xy(x,y)<br />Ley de Correspondencia:<br />Para x=-2 <br />fx=2x+3<br />fx=2(-2)+3<br />fx=-4+3<br />fx=-1<br />Para x=-1 <br />fx=2x+3<br />fx=2(-1)+3<br />fx=-2+3<br />fx=+1<br />Para x=0 <br />fx=2x+3<br />fx=2(0)+3<br />fx=0+3<br />fx=3<br />Para x=+1 <br />fx=2x+3<br />fx=2(+1)+3<br />fx=+2+3<br />fx=+5<br />Para x=+2 <br />fx=2x+3<br />fx=2(+2)+3<br />fx=+4+3<br />fx=+7<br />Completo la tabla:<br />xy(x,y)<br />Sistema de coordenadas:<br />-698572390<br />Ejercicio: Construye la tabla de valores para la función siguiente y represéntala gráficamente <br />Tabla de valores:<br />xy(x,y)<br />Ley de Correspondencia:<br />Para x=-2 <br />fx=-4x<br />fx=-4(-2)<br />fx=+8<br />Para x=-1 <br />fx=2x+3<br />fx=-4(-1)<br />fx=+4<br />Para x=0 <br />fx=-4x<br />fx=-4(0)<br />fx=0<br />Para x=+1 <br />fx=-4x<br />fx=-4(+1)<br />fx=-4<br />Para x=+2 <br />fx=-4x<br />fx=-4(+2)<br />fx=-8<br />Completo la tabla:<br />xy(x,y)<br />Sistema de coordenadas:<br />-10223569850<br />Ejercicio: Construye la tabla de valores para la función siguiente y represéntala gráficamente <br />Tabla de valores:<br />xy(x,y)<br />Ley de Correspondencia:<br />Para x=-2 <br />fx=+5<br />Para x=-1 <br />fx=+5<br />Para x=0 <br />fx=+5<br />Para x=+1 <br />fx=+5<br />Para x=+2 <br />fx=+5<br />Completo la tabla:<br />xy(x,y)<br />Sistema de coordenadas:<br />38735128905<br />Obj. 3 Polinomio<br />Funciones Identidad: es la función que asocia a cada elemento de el mismo valor ,es decir, <br />Ejemplo: <br /> <br />Funciones constante: es toda función que asocia a cada elemento de Q un valor fijo, que también pertenece a Q, es decir,, donde a es el valor fijo o constante.<br />Ejemplo: <br /> b) <br /> c) <br /> <br />Funciones polinómicas: es la función obtenida como una combinación de adicciones y multiplicaciones de funciones idénticas y constate.<br />Ejemplo: <br /> <br /> <br /> <br />Polinomio: es toda expresión de la forma donde los exponentes de la variable son números naturales N y los coeficientes son números racionales (Q)<br />Partes de los Polinomio: <br />Sea <br />Términos del Polinomio: son expresiones del polinomio separadas por los signos <br />Los términos son: -9x4;+8x3;-5x3;+43x2;+x;-8<br />Variable: es la parte indeterminada del polinomio, representada por la letra. <br />La variable es: x<br />Grado del Polinomio: es representado por exponente mayor de la variable, recuerde cuando una variable no tiene exponente se dice que exponente es uno.<br />El grado del polinomio es: 4<br />Coeficiente: es la parte numérica que esta delante de la variable, recuerde cuando una variable no tiene coeficiente se dice que el coeficiente es uno <br />Los coeficientes son: -9, +8,-5,+43,+1<br />Termino Independiente: es la parte numérica del polinomio que no posee variable <br />El término independiente es: -8<br />Parte literal: es la parte del polinomio formada por la variable y el exponente <br />La parte Literal es: x4;x3;x3;x2;x <br />Clasificación de los polinomios según términos: <br />Monomio: es el polinomio que consta de un solo termino <br />a) Bx=-8x4<br />b) Ct=6t9<br />c) Da=+3<br />Binomios: es el polinomio que consta de dos términos <br />a) Bx=-8x4+2x<br />b) Ct=6t9-7t<br />c) Da=3+a<br />Trinomios: es el polinomio que consta de tres términos <br />a) Bx=-8x4+2x-3x9<br />b) Ct=6t9-7t+1<br />c) Da=3+a-4a3<br />Polinomio: son los que poseen cuatro ó más términos <br />a) Bx=4-8x4+2x-3x9<br />b) Ct=7t5+6t9-7t+1<br />c) Da=a5+a8-3+a-4a3<br />Termino Semejantes: dos o más términos son semejantes sin poseen la misma parte literal, es decir, si poseen la mismas variables y exponentes <br />Ejercicios: Indica cuales de las filas contienen términos semejantes.<br />a) -8x4 ; +8 x ; -8x9 (No semejantes)<br />b) -19x3 ; x3 ; -8x3 (semejantes)<br />c) -19a5b3 ; b3a5 ; -2a5b3 (semejantes)<br />d) -19 ;12 ;-9 (semejantes)<br />e) -19x5b3 ; b3x5 ; -2b5x3 (No semejantes)<br />Reducción de termino Semejantes: Para reducir 2 o más términos semejantes se debe sumar algebraicamente los coeficientes y conservar la misma parte literal. <br />Ejercicios: Reduce los términos semejantes presente en los siguientes polinomios.<br />a) Px=8x2+5x+7x2<br /> <br /> Px=15x2+5x<br />b) Qx=-9x2+5x3+7x2-3x3<br /> Qx=-2x2+2x3<br />c) Ry=8y6+5y+y6-7y6-25y<br /> Ry=2y6+235y<br />d) My=49y+5y+y6-8y6-25y<br /> My=4745y-7y6<br />Tipos de Polinomios: <br />Polinomios Nulos: es el polinomio donde todos los coeficientes y término independiente son ceros. <br />Ejercicio: <br />Diseña un polinomio nulo con 5 términos, variable t y grado 6 <br /> Ex=0t6+0t5+0t4+0t3+0t2+0<br />Diseña un polinomio nulo con 3 términos, variable b y grado 2 <br /> Fx=0b2+0b+0<br />Polinomio Constante: es el polinomio donde todos los coeficientes y su término independiente es un número cualquiera. <br />Ejercicio: <br />Diseña un polinomio constante con 5 términos, variable t y grado 6 <br /> Ex=0t6+0t5+0t4+0t3+0t2+8<br />Diseña un polinomio constante con 3 términos, variable b y grado 2 <br /> Fx=0b2+0b-5<br />Polinomio Ordenado: un polinomio se puede ordenar de dos formas “Creciente” cuando los exponentes van de menos a mayor y “Decreciente” cuando los exponentes van de mayor a menor, cuando no se dice el orden, se hará de forma decreciente. <br />Ejercicio: <br />Ordena el siguiente polinomio en forma Decreciente<br /> Lx=5t2+8+7t6+2t5+15t4<br />Decreciente:<br /> Lx=+7t6+2t5+15t4+5t2+8<br />Ordena el siguiente polinomio en forma Creciente<br /> Gx=7b+10b4+5-10b2<br />Creciente:<br /> Gx=5+7b-10b2+10b4<br />Polinomio Completo: un polinomio de grado n es el que tiene un termino por cada grado, desde el grado mayor n hasta el cero, sin faltarle ningún termino. <br />Ejercicio: <br />Ordena y completa el siguiente polinomio en forma Creciente<br />Gx=7b+10b4+5-10b2<br />Ordenamos y completamos:<br /> Gx=5+7b-10b2+0b3+10b4<br />Ordena y completa el siguiente polinomio<br /> Lx=5t2+8+7t6+2t5+15t4<br />Ordenamos y completamos:<br /> Lx=+7t6+2t5+15t4+0t3+5t2+0t1+8<br />Obj. 4 Adicción de Polinomio<br />Definición: Para sumar dos o más polinomios, se debe ordenar y completar en forma decreciente preferiblemente, colocando las partes literales semejantes de cada polinomio debajo del otro.<br />Regla de la Adicción de polinomio: Dados los polinomios Px y Q(x) se procede así:<br />Ordenamos y completamos ambos polinomios en forma decreciente a partir del grado mayor y escribimos en columnas los términos semejantes.<br />Se suman algebraicamente los coeficientes y se coloca el resultado acompañado de la parte literal (variable y exponente).<br />Obtenemos como polinomio suma otro polinomio.<br />Ejercicios: Dado los polinomios, resolver las siguientes adicciones de polinomios.<br />Px=8x3+5x5+x2+10x6-9+3x<br /> Qx=-9x2+5x6+7x4-3x5-5<br />Rx=8x4+5x2+59-7x5-9x<br />Mx=-45x4+9x3+35-x2-3x<br />Hallar:<br />a) Px + Qx= <br />Ordenamos y completamos:<br />Px=+10x6+5x5+0x4+8x3+ x2+3x -9<br /> Qx=+5x6-3x5+7x4 +0x3-9x2+0x1-5<br /> =+15x6+2x5+7x4 +8x3-8x2+3x1-14<br /> <br />b) Px + Rx=<br />Ordenamos y completamos:<br />Px=+10x6+5x5+0x4+8x3+ x2+3x -9<br />Rx=+0x6-7x5 +8x4 +0x3+5x2-9x+59<br /> =+10x6-2x5+8x4+8x3+6x2-6x-769<br />c) Mx + Rx=<br />Ordenamos y completamos:<br />Mx= 0x5-45x4+9x3- x2-3x +35<br />Rx=-7x5 +8x4 +0x3+5 x2 -9x+59<br /> = -7x5+365x4+9x3+4x2-12x +5245<br />d) Px+Mx + Rx=<br />Ordenamos y completamos:<br />Px=+10x6+5x5+0x4+8x3+x2+3x -9<br />Mx= 0x6+0x5-45x4+9x3- x2-3x+35<br />Rx= 0x6-7x5 +8x4 +0x3+5x2 -9x+59<br /> = 10x6-2x5+365x4+17x3+5x2-9x +35345<br />Obj. 5 Sustracción de Polinomio<br />Definición: Para restar un polinomio Px con otro polinomio Q(x) debemos cambiar el polinomio sustraendo por el polinomio opuesto y luego se realiza una adicción de polinomios.<br />Regla de la Sustracción de polinomio: Dados los polinomios Px y Q(x) se procede así:<br />Ordenamos y completamos ambos polinomios en forma decreciente a partir del grado mayor y escribimos en columnas los términos semejantes.<br />Se cambia el polinomio sustraendo por el polinomio opuesto.<br />Se suma el primer polinomio Px con el polinomio opuesto -Qx, se realiza las operaciones con los coeficientes y se coloca el resultado acompañado de la parte literal.<br />Ejercicios: Dado los polinomios, resolver las siguientes Sustracciones de polinomios.<br />Px=8x3+5x5+x2+10x6-9+3x<br /> Qx=-9x2+5x6+7x4-3x5-5<br />Rx=8x4+5x2+59-7x5-9x<br />Mx=-45x4+9x3+35-x2-3x<br />Nota: Antes de realizar las operaciones con sustracciones de polinomios debemos ordenar y completar todos los polinomios para facilitar los cálculos. <br />Ordenamos y completamos los polinomios<br />Px=+10x6+5x5+0x4+8x3+ x2+3x -9<br />Qx=+5x6-3x5+7x4 +0x3-9x2+0x1-5<br />Rx=-7x5 +8x4 +0x3+5x2 -9x+59<br />Mx=-45x4+9x3-x2-3x +35<br />Hallar:<br />a) Px- Qx= <br />Px =+10x6+5x5+0x4+8x3+ x2+3x -9<br />- Qx=-5x6+3x5-7x4+0x3+9x2+0x1+5<br /> =+5x6+8x5-7x4 +8x3+10x2+3x1-4<br />b) Px- Rx=<br />Px= +10x6+5x5+0x4+8x3+ x2+3x -9<br />-Rx=+0x6+7x5-8x4 +0x3-5x2 +9x-59<br /> =+10x6+12x5-8x4+8x3-4x2+12x-869<br />c) Mx - Rx=<br />Mx= 0x5-45x4+9x3- x2-3x +35<br />-Rx=+7x5-8x4 +0x3-5x2 +9x-59<br /> = -7x5+365x4+9x3-6x2-12x +5245<br />d) Px-Mx =<br />Px=+10x6+5x5+0x4+8x3+x2+3x -9<br />-Mx=0x6+0x5+45x4-9x3+ x2+3x-35<br /> = 10x6-5x5+45x4-x3+2x2-6x-485<br />Obj. 6 Multiplicación de Polinomio<br />Definición: Consideremos los polinomios Px y Q(x) para multiplicarse se procede así:<br />Ordenamos y completamos ambos polinomios en forma decreciente a partir del grado mayor de cada uno.<br />Multiplicamos cada uno de los términos del polinomio Px por el polinomio Q(x) de la siguiente manera:<br />Multiplicamos los signos de los términos.<br />Multiplicamos los coeficientes de los términos.<br />Multiplicamos las potencias de igual bases (colocamos la misma base y sumamos los exponentes)<br />Luego realizamos la adición de polinomios obtenida.<br />