ความน่าจะเป็น

1. (probability)
โดย . . . ครูปราณี เสียงสนั่น โรงเรียนฤทธิณรงค์รอน

2. 2.1 ความน่าจะเป็น
ในชีวิตประจาวันเราอยู่กับเหตุการณ์ต่าง ๆ และมี
คาถามอยู่ในใจตลอดเวลา เช่น
- พรุงนี้ฝนจะตกหรือไม่
่
- ซื้อหวยทีไร ไม่ถูกซักที
- ทีมฟุตบอลทีมใดจะได้เป็นแชมป์โลก
ในทางคณิตศาสตร์อาจหาจานวนจานวนหนึ่งที่บอกถึง
โอกาส มากหรือน้อยที่จะเกิดเหตุการณ์นั้นๆ เรียก
จานวนนั้นว่า “ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ “

3. "ค่าของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ซึ่งไม่ทราบ
แน่ว่าจะเกิดหรือไม่ " พิจารณา “น้าหนัก” ที่เหตุการณ์
นั้นๆ จะเกิด ถ้ากาหนดให้
- น้าหนักของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่ได้มีค่าเป็น 0
- น้าหนัก ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่มีค่าเป็น 1
เรียกค่าของน้าหนักนี้ว่า "ค่าของความน่าจะเป็น"

4. พิจารณาการโยนเหรียญสิบบาทหนึ่งเหรียญ ถ้าเหรียญ
นั้นไม่ได้มีการถ่วง ก็เชื่อว่า “ น้าหนัก “ ของการที่
เหรียญจะหงายหน้าใดหน้าหนึ่งย่อมเท่ากัน
ความน่าจะเป็นของเหรียญที่จะออกหัวหรือก้อย = 0.5

5. 2.2 การทดลองสุ่มและเหตุการณ์
การทดลองสุ่ม (Random Experiment)
คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์จะเป็นอะไรได้บ้าง
แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้ง
ที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไร ตัวอย่างเช่น
- การโยนเหรียญบาทหนึ่งเหรียญหนึ่งครั้ง ผลที่
เกิดขึ้นได้ คือ ขึ้นหัว หรือ ขึ้นก้อย
- ในการทอดลูกเต๋าหนึ่งลูก หนึ่งครั้งผลลัพธ์ทั้งหมด
ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ คือ แต้ม 1,2,3,4,5 หรือ 6

6. นักเรียนพิจารณาการกระทาต่อไปนี้ว่า
เป็นการทดลองสุ่ม หรือไม่
เป็น 1. การออกรางวัลสลากกินแบ่งของรัฐบาล
เป็น 2. การเสี่ยงเซียมซี
ไม่เป็น 3. การเดินทางไปโรงเรียน
เป็น 4. การแข่งขันฟุตบอลกีฬาสีของโรงเรียน
เป็น 5. การสารวจเพศของบุตรในครอบครัว

7. เหตุการณ์ (Events) คือ ผลลัพธ์ที่เราสนใจจากการ
ทดลองสุ่ม ตัวอย่างเช่น
- โยนเหรียญบาทหนึ่งเหรียญ 2 ครั้ง จงหาผลลัพธ์ของ
เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง ( ให้ H แทนหัว
และให้ T แทนก้อย )

8. วิธีหาผลลัพธ์จากการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 ครั้ง
เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง
( ให้ H แทนหัวและให้ T แทนก้อย )
โยนเหรียญ - ผลลัพธ์ทั้งหมด
โยนเหรียญ ผลลัพธ์ ที่เกิดขึ้นจากการ
ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2
H HH ทดลองสุ่ม มี 4
H แบบ คือ HH,
T HT
HT, TH และ
H TH TT
T
T TT
- ผลลัพธ์ของ เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1
ครั้ง มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH

10. แบบฝึกหัด 2.2
1). จงเขียนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจาก
การทดลองสุ่ม ต่อไปนี้
1) สารวจเพศของบุตรในครอบครัวที่มีบุตรสองคน
2) หยิบขนม 2 ถุง พร้อมกันจากตระกร้าที่มีขนม 4 ถุง
คือ ขนมเต้าส่วน บัวลอย ถั่วดาและกล้วยบวชชี
3) จัดคู่การแข่งขันฟุตบอลเยาวชนชิงแชมป์อาเซี่ยน
ซึ่งจัดการแข่งขันแบบพบกันหมด เมื่อมีทีมส่งเข้า
แข่งขัน 5 ทีม คือ ไทย พม่า ลาว บรูไน และ
มาเลเซีย

11. 1). จงเขียนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม
1.1) สารวจเพศของบุตรในครอบครัวที่มีบุตรสองคน
ผลลัพธ์จากมี ผลลัพธ์จากการ ผลลัพธ์ทั้งหมด
บุตรคนที่ 1 มีบุตรคนที่ 2 ถ้ามีบุตร 2 คน
มี 4 แบบ
ชาย ชาย และ ชาย
ชาย ชาย และ หญิง
หญิง
ชาย หญิง และ ชาย
หญิง หญิง และ หญิง
หญิง

12. 2).จงเขียนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยนเหรียญ 1 เหรียญ
3 ครั้งและเขียนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ต่อไปนี้(H แทนหัวและTแทนก้อย )
ครั้งที่ 2 ครั้งที่ 3 ผลลัพธ์
ครั้งที่ 1 1) ออกก้อย 1 ครั้ง
H HHH
H T HHT = 3 เหตุการณ์
H
T H HTH 2) ออกหัวน้อยกว่าออกก้อย
T HTT
= 3 เหตุการณ์
H
H THH 3) ออกก้อยมากกว่า 2 ครั้ง
T THT
T H TTH = 1 เหตุการณ์
T T TTT
4) ออกหัวและออกก้อยจานวนครั้งเท่าๆ กัน = 0 เหตุการณ์

13. 3). จงเขียนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการหมุนแป้นพร้อมกัน ดัง
รูปและเขียนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ตอไปนี้
่
ผลลัพธ์ทั้งหมด คือ (-1,-4) , (-1,+5) , (-1,+6) ,(+2,-4) , (+2,+5) , (+2,+6) ,
(-3,-4) , (-3,+5) และ (-3,+6) มีผลลัพธ์ทั้งหมด 9 ชุด
1) ผลบวกเป็นจานวนลบ มีกี่เหตุการณ์
มี 3 เหตุการณ์ คือ (-1,-4) , (+2,-4) และ (-3,-4)
2) ผลบวกเป็น 8 มี 1 เหตุการณ์ คือ (+2,+6)
3) ผลบวกเป็น 1 ไม่มีเหตุการณ์ที่ผลบวกเป็น 1

14. 4). แก้วสุ่มหยิบลูกอม 2 เม็ดแจกเพื่อน จากกล่องที่บรรจุลูกอม 4 เม็ด
มีรสต่างๆ กัน คือ รสนม รสส้ม รสองุ่น และรสสละ
จงหาว่าเพื่อนจะได้ลูกอมรสใดได้บ้าง
เหตุการณ์ทั้งหมด
รสส้ม รสนม + รสส้ม
รสนม รสองุ่น รสนม + รสองุ่น มีเหตุการณ์
รสสละ รสนม + รสสละ ทั้งหมด 6
แบบ
รสองุ่น รสส้ม + รสองุ่น
รสส้ม
รสสละ รสส้ม + รสสละ
รสองุ่น รสสละ รสองุ่น + รสสละ

15. 2.3 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
เป็นการหาว่าโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ต่างๆ เท่ากับเท่าใด
หรือเหตุการณ์ต่างๆ มีโอกาสที่จะเกิดขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์ เช่น
ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูกโอกาสที่ลูกเต๋าจะหงายแต้มเป็น
จานวนคู่ มีค่าเท่ากับเท่าใดเป็นต้น
สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ = จานวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์
จานวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจเกิดขึนได้
้

16. ตัวอย่าง จงหาความน่าจะเป็นในการโยนเหรียญที่สมดุล
2 เหรียญ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่จะได้
หัวอย่างน้อย 1 เหรียญ
วิธีทา เหตุการณ์ทั้งหมดในการโยนเหรียญที่สมดุล 2 เหรียญ
คือ HH, HT, TH, TT ( มี 4 แบบ )
เหตุการณ์ที่จะได้หัวอย่างน้อย 1 ครั้ง มี 3 แบบ
คือ HH, HT และ TH
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ = จานวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์
จานวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได้
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ = 3
4

17. ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกหนึงครั้งจงหาความน่าจะเป็น
่
ของเหตุการณ์
1) ที่จะได้แต้มบนหน้าลูกเต๋าเป็นจานวนคู่
2) ที่จะได้แต้มบนหน้าลูกเต๋าน้อยกว่า 5
เหตุการณ์ทั้งหมดที่จะได้จากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง มี 6 แบบ
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ = จานวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์
จานวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได้
3
1) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่จะได้แต้มบนหน้าลูกเต๋าเป็นจานวนคู่ = 6
4
2) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่จะได้แต้มบนหน้าลูกเต๋าน้อยกว่า 5 = 6

18. ไพ่ป๊อก 1 ชุด มี 52 ใบ

19. ตัวอย่าง หยิบไพ่ 2 ใบ จากไพ่ 4 ใบ ซึ่งประกอบด้วย
K โพดา , K โพแดง , K ดอกจิก และ K ข้าวหลามตัด
จงหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้
1. หยิบไพ่ 2 ใบพร้อมกันให้ได้ไพ่สีเดียวกัน
2. หยิบไพ่ทีละใบ 2 ครั้ง โดยไม่ใส่คืนก่อนที่จะหยิบใบที่สอง
เพื่อให้ได้ไพ่ใบใดใบหนึ่งเป็น K โพดา
วิธีทา
เหตุการณ์ทั้งหมดที่หยิบไพ่ 2 ใบพร้อมกันให้ได้ไพ่สีเดียวกันมี 6 แบบ
K K K
ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
K K
K K หยิบไพ่ 2 ใบพร้อมกันให้ได้
K K K
ไพ่สีเดียวกัน = 2
K K K 6
K
K K K =1
3
K K K K

20. K K K
2. หยิบไพ่ทีละใบ 2 ครั้ง
K K K K
โดยไม่ใส่คืนก่อนที่จะ
K K K
หยิบใบที่สอง เพื่อให้
ได้ไพ่ใบใดใบหนึงเป็น
่ K K K
K
K โพดา K K K
เหตุการณ์ทั้งหมดที่หยิบไพ่ K K K
ทีละใบ 2 ครั้งโดยไม่ใส่คืนมี K K K
12 แบบ K K K K
ค่าความน่าจะเป็นของ K K K
เหตุการณ์ที่ได้
K K K
ไพ่ใบใดใบหนึ่งเป็น K โพดา
K K K K
= 6 = 1 K K K
12 2

21. ทาแบบฝึกหัด 2.3
หน้า 54 - 55

22. แบบฝึกหัด 2.3
ข้อ 1) ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้
วิธีทา
ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง มีเหตุการณ์ทั้งหมด 6 เหตุการณ์
1
1.1 ) เหตุการณ์ทออกแต้ม 3 =
ี่
6
3 1
1.2 ) เหตุการณ์ทออกแต้มเป็นจานวนคู่ =
ี่ 
6 2
3 1
1.3 ) ออกแต้มเป็นจานวนเฉพาะ = 
6 2
4 2
1.4 ) ออกแต้มเป็นจานวนที่ไม่นอยกว่า 3
้ = 
6 3

23. ข้อ 4) ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้
วิธีทา ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง มีเหตุการณ์ทั้งหมด 36 เหตุการณ์
6 1
1) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้แต้มรวมเป็น 7 = 
36 6
8 2
2) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้แต้มต่างกัน 2 = 
36 9
3) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้แต้มรวมกันไม่น้อยกว่า 2
36
 1
36
30 5
4) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้แต้มรวมกันไม่เกิน 9  
36 6
6 1
5) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้แต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองเหมือนกัน  
36 6

24. ข้อ 5) โต้งรับประทานอาหารที่โรงอาหารของโรงเรียน แม่ค้าขายข้าวราดแกง
มีกับข้าว 4 อย่าง คือ ไข่เจียว แกงส้ม ยาวุ้นเส้น และไก่ผัดขิง
มีขนม 2 อย่าง คือ แกงบวดฟักทอง และรวมมิตร
โต้งชอบกับข้าวและขนมทุกอย่าง ตัดสินใจเลือกไม่ได้
จึงสั่งให้แม่ค้าตักกับข้าวราดข้าวมา 2 อย่าง และตักขนมมา 1 ถ้วย
จงหาความน่าจะเป็นที่โต้งจะได้รับประทานกับข้าวเป็น
- ไข่เจียว กับ แกงส้ม และขนมรวมมิตร
หรือได้รับประทาน
- ยาวุ้นเส้น กับ ไก่ผัดขิง และขนมแกงบวดฟักทอง

25. กับข้าว 4 อย่าง คือ ไข่เจียว แกงส้ม ยาวุ้นเส้น และไก่ผัดขิง ( เลือก 2 อย่าง )
มีขนม 2 อย่าง คือ แกงบวดฟักทอง และรวมมิตร ( เลือก 1 อย่าง )
ขนม 1 อย่าง กับข้าว 2 อย่าง + ขนม 1 อย่าง
กับข้าว 2 อย่าง
แกงบวดฟักทอง ไข่เจียว+แกงส้ม + แกงบวดฟักทอง
แกงส้ม รวมมิตร ไข่เจียว+แกงส้ม + รวมมิตร
แกงบวดฟักทอง ไข่เจียว+ยาวุ้นเส้น + แกงบวดฟักทอง
ไข่เจียว ยาวุ้นเส้น
รวมมิตร ไข่เจียว+ยาวุ้นเส้น + รวมมิตร
ไก่ผัดขิง แกงบวดฟักทอง ไข่เจียว+ไก่ผัดขิง + แกงบวดฟักทอง
รวมมิตร ไข่เจียว+ไก่ผัดขิง + รวมมิตร
แกงบวดฟักทอง แกงส้ม + ยาวุ้นเส้น+ แกงบวดฟักทอง
ยาวุ้นเส้น
แกงส้ม รวมมิตร แกงส้ม + ยาวุ้นเส้น + รวมมิตร
ไก่ผัดขิง แกงบวดฟักทอง แกงส้ม + ไก่ผัดขิง+ แกงบวดฟักทอง
รวมมิตร แกงส้ม + ไก่ผัดขิง + รวมมิตร
แกงบวดฟักทอง ยาวุ้นเส้น+ ไก่ผักขิง + แกงบวดฟักทอง
ยาวุ้นเส้น ไก่ผัดขิง
รวมมิตร ยาวุ้นเส้น + ไก่ผัดขิง + รวมมิตร
รวม 12 เหตุการณ์

26. จงหาความน่าจะเป็นที่โต้งจะได้รับประทานกับข้าวเป็น
- ไข่เจียว กับ แกงส้ม และขนมรวมมิตร
หรือได้รับประทาน
- ยาวุ้นเส้น กับ ไก่ผัดขิง และขนมแกงบวดฟักทอง
เหตุการณ์ทั้งหมดที่ตักกับข้าวราดข้าวมา 2 อย่าง และตักขนมมา 1 ถ้วย = 12 แบบ
เหตุการณ์ที่รับประทานไข่เจียว+แกงส้ม+ขนมรวมมิตร หรือ มี 2 เหตุการณ์
ได้รับประทาน ยาวุ้นเส้น กับ ไก่ผัดขิง และขนมแกงบวดฟักทอง
2 1
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ได้กับข้าวทีโต้งต้องการ =
่ 
12 6

27. 2.4 ความน่าจะเป็นกับการตัดสินใจ
นอกจาก “ ค่าความน่าจะเป็น “ แล้ว องค์ประกอบที่ช่วยในการตัดสินใจคือ
ผลตอบแทนของเหตุการณ์นั้น ซึ่งทางสถิติพิจารณาร่วมกันเป็น “ ค่าความคาดหมาย “
ผลตอบแทนของเหตุการณ์อาจหมายถึง ผลตอบแทนที่ได้ หรือ ผลตอบแทนที่เสีย
ค่าคาดหมาย
= ( ผลตอบแทนที่ได้ x ความน่าจะเป็นที่เลือก) + (ผลตอบแทนที่เสีย x ความน่าจะเป็นที่ไม่เลือก)

28. เช่น การโยนเหรียญ 2 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง
ถ้าเหรียญที่โยนออกหัวทั้งคูแล้ว อาพลจะได้เงิน 2 บาท ซึ่งจะแทนด้วย + 2 (ผลตอบแทนที่ได้)
่
แต่ถ้าเหรียญออกเป็นอย่างอื่น อาพลต้องจ่าย 1 บาท ซึ่งจะแทนด้วย -1 (ผลตอบแทนที่เสีย)
พิจารณา ดังนี้
ผลลัพท์ทั้งหมดในการโยนเหรียญ 2 เหรียญ พร้อมกัน มี 4 แบบ คือ HH , HT , TH และ TT
1
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้ หัวทั้งคู่ =
4
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่ได้หัวทั้งคู่ = 3
ค่าคาดหมาย 4
= ( ผลตอบแทนที่ได้ x ความน่าจะเป็นที่ได้หัวทังคู่) + (ผลตอบแทนที่เสีย x ความน่าจะเป็นที่ไม่เลือก)
้
1 3
=(2x ) + ( -1 x )  2  3   1  0.25
4 4 4 4 4
นั่นคือ ค่าคาดหมายที่ อาพล มีแนวโน้มจะเสียเงินโดยเฉลี่ยครั้งละ 0.25 บาทไปเรื่อยๆ