El documento explica conceptos fundamentales del cálculo diferencial como derivadas, crecimiento y decrecimiento de funciones, extremos relativos (máximos y mínimos), concavidad y convexidad, puntos de inflexión y optimización de funciones. Define cada concepto, explica cómo calcularlos y provee ejemplos ilustrativos. Además, brinda una breve introducción a la historia del cálculo diferencial y una bibliografía de recursos adicionales.

1. INTRODUCCION
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII
hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen
el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma
independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se
simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que
usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
Crecimien t o en un pun t o
S i f es der iv ab le en a:
f es estr ictamente creciente en a si:
f'(a ) > 0
D ecrecimien t o en u n p u nt o
S i f es der iv ab le en a:
f es estr ictamente d ecreciente en a si:
f'(a ) < 0
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Par a hallar el crecimien t o y d ecrecimient o seg uir emo s lo s sig uientes
p aso s:
1. D eriva r la fu n ción.

2. 2. Obt en er la s ra íces d e la d eriv ad a p rimera , p a ra ello ha cemos:
f'(x ) = 0 .
3. F orma mos in t erva los a biert os con los ceros (r aíces) d e la
d eriv ad a p rimera y los pu nt os d e d is cont inu ida d (si lo s hub iese)
4. T oma mos un v a lor d e ca da int erv alo, y h a lla mos el s ig no q u e
t ien e en la d eriva d a p rimera .
S i f'(x ) > 0 es crecien t e.
S i f'(x ) < 0 es d ecrecien t e.
5. E s cribimos los in terv a los d e crecimiento y d ecrecimien t o .
E jemp lo
C alcular lo s interv alo s d e cr ecimiento y d ecr ecimiento d e la f unció n:

3. E x t remos rela tiv os
S i f es der iv ab le en a, a es u n ext remo rela tiv o o lo cal si:
1. S i f'(a ) = 0 .
2. S i f''(a ) ≠ 0 .

4. Má x imos relat iv os
S i f y f' so n d er iv ab les en a, a es un máx imo rela t iv o si se cump le:
1. f'(a ) = 0
2. f''(a ) < 0
Mín imos relat iv os
S i f y f' so n d er iv ab les en a, a es un mínimo rela t iv o si se cump le:
1. f'(a ) = 0
2. f''(a ) > 0
Cálculo de máximos y mínimos
Par a hallar los ext remos loca les seg uir emo s lo s sig uientes p aso s:
1. Ha lla mos la d eriv ad a p rimera y ca lcu lamos s us ra íces .
2. Rea lizamos la 2 ª d eriv ad a , y ca lculamos el s ig n o qu e t oman en
ella la s raíces d e d eriv ad a p rimera y s i:
f''(a ) < 0 es un má x imo r elativ o
f''(a ) > 0 es un mín imo r elativ o
3. Ca lcu lamos la imag en (en la fun ción ) de los ext remos relat iv os .

5. E jemp lo
C alcular lo s má ximos y mín imos de:
f (x ) = x 3
− 3x + 2
f '(x ) = 3 x2
− 3 = 0
f ''(x ) = 6 x
f ''(−1 ) = −6 Máx imo
f ''(1 ) = 6 Mínimo
f (− 1 ) = (− 1 )3
− 3 (−1 ) + 2 = 4
f (1 ) = (1 ) 3
− 3 (1 ) + 2 = 0
Má x imo(−1 , 4 ) Mínimo(1 , 0 )
S i y a hemo s estud iado el crecimiento y d ecr ecimiento d e una f unció n
hab r á:
1. Un máx imo en el p unto , d e la f unció n, en la q ue ésta p asa d e
crecien t e a d ecrecien t e.
2. Un mín imo en el p unto , d e la f unció n , en la q ue ésta p asa d e
d ecrecien t e a crecien t e .
E jemp lo
Hallar lo s máx imos y mín imos d e:

6. Tenemo s un mínimo en x = 3
Mín imo(3 , 2 7 /4 )
En x = 1 no hay un máx imo po rq ue x = 1 no p er tenece al do minio de la
f unció n.
S i f y f' so n d er iv ab les en a, a es:
Cón ca va
S i f''(a ) > 0
Con v exa
S i f''(a ) < 0
Intervalos de concavidad y convexidad

7. Par a calcular lo s in terv a los la con cav ida d y conv ex id ad d e una
f unció n seg uir emo s lo s sig uientes p aso s:
1. Ha lla mos la d eriv ad a s eg un d a y ca lcu lamos s us ra íces .
2. F ormamos int erva los a b iert os con los ceros (ra íces ) de la
d eriv ad a s eg un da y los pu nt os d e dis con t in u id a d (s i los h ub iese).
3. T oma mos un v a lor d e ca da int erv alo, y h a lla mos el s ig no q u e
t ien e en la d eriva d a s eg un d a .
S i f''(x ) > 0 es cón cav a .
S i f''(x ) < 0 es conv ex a .
4. Escr ib imo s lo s interv alo s:
E jemp lo d e in t erv a los d e con cav id a d y conv ex ida d

8. S i f y f' so n d er iv ab les en a, a es un:
Pu nt o d e in flexión
S i f'' = 0

9. y f''' ≠ 0
Cálculo de los puntos de inflexión
Par a hallar los pun t os d e in flex ión , seg uir emo s lo s sig uientes p aso s:
1. Ha lla mos la d eriv ad a s eg un d a y ca lcu lamos s us ra íces .
2. Rea liza mos la deriv a da t ercera , y ca lcu lamos el s ign o q ue
t oma n en ella los ceros d e d eriva d a s egu nd a y si:
f'''(x ) ≠ 0 T en emos un pu nt o d e in flexión .
3. Ca lcu lamos la imag en (en la fun ción ) del p un t o d e in flex ión .
E jemp lo
Hallar lo s p un tos d e in flex ión d e:
f (x ) = x 3
− 3x + 2
f ''(x ) = 6 x 6 x = 0 x = 0 .
f '''(x ) = 6 S er á un p unto d e inf lex ió n.
f (0 ) = (0 ) 3
− 3 (0 ) + 2 = 2
Pu nt o d e in flexión: (0 , 2 )
S i y a hemo s estud iado la co ncav id ad y co nv exid ad d e una f unció n hab r á:

10. Pu nt os d e in flex ión en lo s p unto s en q ue ésta p asa d e cón cav a a
con v exa o v icecers a .
E jemp lo
C alcular lo s p untos d e inf lex ió n d e la f unció n:
Tenemo s un p unt o d e in flexión en x = 0 , y a q ue la f unció n p asa de
co nv ex a a co ncav a.
Pu nt o d e in flexión (0, 0 )

11. Optimización de funciones
La optimización es una aplicación directa del cálculo diferencial y sirve para
calcular máximos y mínimos de funciones sujetas a determinadas condiciones. La
aplicación práctica de los problemas de optimización es bien clara: calcular
superficies o volúmenes máximos, costes mínimos, forma óptima de determinadas
figuras...
Es importante en este tipo de problemas identificar claramente la función a
optimizar que suele depender de dos variables. El ejercicio nos dará una condición
que liga a ambas y lo que debemos hacer es despejar una de ellas y sustituirla en
la función a optimizar, de forma que tengamos una sola variable. A partir de aquí
aplicaremos la teoría del cálculo diferencial para identificar máximos o mínimos.
Aquí van algunos ejemplos

12. BIBLIOGRAFÍA
Intervalos de crecimiento y decrecimiento - Vitutor
Crecimiento y decrecimiento de una función. Definición ...
Unidad 5: DERIVADAS Y APLICACIONES - Matemáticas I UNEXPO
sites.google.com/site/.../4-unidades/unidad-5-derivadas-y-aplicaciones
DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES. OPTIMIZACI´ON