2. Sistemas de Equações Lineares
• Os sistemas de equações lineares
aparecem em inúmeros problemas de
modelagem computacional em engenharias
e ciências.
• O que é um sistema linear?
– Conjunto formado por duas ou mais equações
lineares definidas nas mesmas incógnitas.
3. Sistemas de Equações Lineares
Forma geral:
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
332211
22323222121
11313212111
n,2,,1, ji
teindependentermo:b
escoeficient:a
incógnitas:x
i
ij
i
4. Sistemas de Equações Lineares
Forma matricial:
nnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
221
22221
11211
bxA
matriz de
coeficientes
vetor de
incógnitas
vetor de
termos
independentes
5. Classificação dos SistEqLin
A classificação é feita em função do número de
soluções que o sistema admite.
• Sistema Possível ou Consistente: possui
pelo menos uma solução:
– Determinado: admite uma única solução.
– Indeterminado: admite mais de uma solução.
• Sistema Impossível ou Inconsistente: não
admite solução.
6. Classificação dos SistEqLin
Admite única solução: (x,y) = (4,2) que equivale ao
ponto de intersecção das retas.
Sistema possível e determinado
8. Classificação dos SistEqLin
Não admite solução: retas paralelas (não se interceptam).
Sistema impossível
ATENÇÃO:
Neste curso iremos trabalhar com a solução numérica de sistemas
de equações lineares que admitem uma única solução!
10. Solução numérica dos SistEqLin
• Métodos exatos: Buscam encontrar a solução
exata do sistema de equações lineares.
– Eliminação de Gauss
– Decomposição LU
• Métodos iterativos: Conjunto de
procedimentos que são executados a medida
que se obtém sucessivas aproximações da
solução do sistema.
– Método de Jacobi
– Método de Gauss-Seidel
18. Solução de sistemas triangulares
• Implementar a solução do seguinte sistema
linear triangular superior:
19. Solução de sistemas triangulares
A = [2 1 3; 0 -1 1; 0 0 1];
b = [9 1 2];
n = 3;
x = zeros(n,1);
x(n) = b(n)/A(n,n);
for i=n-1:-1:1
soma = 0.0;
for j=i+1:n
soma = soma + A(i,j)*x(j);
end
x(i) = (b(i)-soma)/A(i,i);
end
disp('Solucao encontrada: ')
disp(x)
20. Solução de Sistemas Triangulares
• Vimos que é simples a solução de um
sistema linear quando este está na forma
triangular.
• Existem métodos para solução de sistemas
lineares que se aproveitam desta facilidade.
• Consistem em executar operações sobre a
matriz de coeficientes A de modo a deixá-la
na forma triangular superior ou inferior
• Exemplos:
– Método da eliminação de Gauss
– Método da decomposição LU
21. Método da Eliminação de Gauss
bxA '' bxA
sistema linear
original
sistema triangular superior
equivalente
22. Método da Eliminação de Gauss
• Resolver o sistema linear
2223
742
80484
321
321
321
xxx
xxx
xxx
23. Método da Eliminação de Gauss
• Resolver o sistema linear
22
7
80
213
412
484
3
2
1
x
x
x
24. Método da Eliminação de Gauss
• Matriz aumentada:
L1
L2
L3
pivô
22213
7412
80484
31. • Sistema triangular superior equivalente:
Resolvido via substituição retroativa:
Solução :
3
112
202
3
32
321
x
xx
xxx
Método da Eliminação de Gauss
3
5
7
3
2
1
x
x
x
32. Método da Decomposição LU
Essência do método: Fatoração LU
A = L·U
Logo:
A·x = b (L·U)·x = b
matriz de coeficientes
matriz triangular
inferior
matriz triangular
superior
36. Método da Decomposição LU
Passo 1: Decompõe a matriz de coeficientes
como o produto entre duas matrizes: uma
triangular inferior L e outra triangular superior U:
A = L·U
Logo:
A·x = b (L·U)·x = b
Passo 2: define U·x = y e resolve L·y = b via
substituição progressiva e encontra o valor de y.
Passo 3: resolve U·x = y via substituição
retroativa e encontra a solução x.
37. Método da Decomposição LU
Resolva o seguinte sistema linear pelo
método da decomposição LU:
5
7
0
311
413
125
z
y
x