1. Las matrices permiten presentar los resultados fundamentales de la econometría de manera compacta y clara mediante el álgebra matricial. Una matriz es una colección de números ordenados en filas y columnas, y un vector es un conjunto ordenado de números en una fila o columna. 2. Existen diversas operaciones con matrices como suma, producto y transpuesta. La suma de elementos de un vector o matriz y conceptos como independencia lineal y rango son importantes en econometría. 3. Matrices como las idempotentes y Mo son útiles para transformar datos y realizar cál

1. Apuntes de Econometría EMI – Ingeniería Comercial
REPASO DE MATRICES
Mediante el uso del álgebra matricial, los resultados fundamentales en econometría se
presentan de manera compacta y clara.
Una matriz es una colección de números ordenados rectangularmente,
⎡ a11 a12 ... a1k ⎤
⎢a a 22 ... a 2 k ⎥
A = [aik ] = [A]ik = ⎢ 21 ⎥
⎢ ... ... ... ... ⎥
⎢ ⎥
⎣a n1 an2 ... a nk ⎦
Un vector es un conjunto ordenado de números dispuestos en una fila o en una columna.
Una matriz puede ser también interpretada como un conjunto de vectores columna. La
dimensión de una matriz indica el número de filas y el número de columnas que contiene: “A
es una matriz nxk”, que indica que A tiene n filas y k columnas. Si n es igual a k, entonces A
es una matriz cuadrada.
Una matriz simétrica A, es aquella en la cual
aik = aki , para todo i.
Una matriz diagonal, es una matriz cuadrada cuyos únicos elementos distintos de cero,
aparecen en su diagonal principal.
Una matriz escalar es una matriz diagonal, con el mismo valor en todos los elementos de la
diagonal.
Una matriz identidad es una matriz escalar con unos en la diagonal.
Una matriz triangular es aquella que contiene ceros encima, o bien debajo de la diagonal
principal.
1. OPERACIONES CON MATRICES.-
Igualdad:
A = B ⇔ aik = bik ∀ik
Transpuesta:
B = A' ⇔ bik = aki ∀ik
A = ( A' )'
Suma: C = A ± B = [aik + bik ]
Conmutativa: A + B = B + A
( A + B)' = A'+ B'
Asociativa: ( A + B) + C = A + ( B + C )
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2. Apuntes de Econometría EMI – Ingeniería Comercial
Producto: De dos vectores es un escalar.
C = AB ⇔ Ank BkT ⇒ CnT
AB ≠ BA No es conmutativa
( AB)C = A( BC ) Asociativa
A( B + C ) = AB + AC Distributiva
( AB)' = B' A' Transpuesta.
2. SUMA DE ELEMENTOS:
i matriz escalar de “1”.
∑x i = x1 + x2 + ... + xn = iX
Si xi = a : = i' (ai ) = a(i' i) = na
∑ ax i = ai ' X
Si a = 1
n : = 1 n ∑ xi = 1 n i ' X = x
∑x i = i' X = nx
Suma de cuadrados de los elementos de un vector:
2
∑x i = x' x
Suma de los productos de los vectores X e Y:
∑x y i i = x' y
Matriz idempotente.-
Es la que se emplea para transformar datos en desviaciones de la media.
1 1 1
ix = x = i i' x = ii' x donde 1
n ii' es nxn con cada elemento 1
n
n n n
Entonces,
[ x − ix ] = [ x − 1 n ii' x] y puesto que x = Ix
= [ Ix − 1 n ii' x] = [ I − 1 n ii' ]x = M o x
Todos los elementos de la diagonal de Mº son 1 − 1
n y los demás son − 1
n.
Suma de desviaciones respecto a la media:
∑(x i − x ) = i'[M º x] = 0' x = 0
Suma de desviaciones al cuadrado:
2

3. Apuntes de Econometría EMI – Ingeniería Comercial
∑(x i − x ) 2 = ( x − ix )' ( x − ix ) = (M º x)' (M º x) = x' M º ' M º x = x' M º x
Dado que Mº es una matriz idempotente.
Suma de cuadrados y productos cruzados de desviaciones respecto a las medias:
∑( x − x )( y − y) = (M º x)(M º y)
i i
Pero si Z = [ xy ] ⇒ M º z
Producto escalar: un escalar múltiplo de un vector “a” es otro vector “a” cuyas coordenadas
son el múltiplo escalar de las coordenadas de “a”. Cualquier escalar múltiplo de a es un
segmento de esta línea.
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si cualquiera de los vectores en el
conjunto puede ser escrito como una combinación lineal de los otros.
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si y solo si, la única solución a la
ecuación x1a1 + x2 a2 + ... + xk ak = 0 es: x1 = x2 = ... = xk = 0
El rango columna de una matriz es la dimensión del vector espacio generados por sus columnas:
Rango de una Matriz: r ( A) = r ( A' ) ≤ min( N º filas , N º columnas )
Para cualquier matriz, r ( A) = r ( AA' ) = r ( A' A)
Dos vectores a y b son ortogonales, si a ' b = b' a = 0 “a ⊥b”
Un sistema de ecuaciones es homogéneo si adopta la forma Ax=0.
Un sistema de ecuaciones es No Homogéneo si Ax=b. Donde b es un vector no nulo y A debe
tener rango completo.
Una matriz cuya inversa existe es No singular.
La traza de una matriz cuadrada kxk es la suma de los elementos de la diagonal principal.
Todas las matrices simétricas idempotentes, excepto I, son singulares.
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