Hydraulique fluviale

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Morphologie fluviale et transport sédimentaire en cours d'eau naturel

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Hydraulique fluviale

  1. 1. v1.1.0 Morphologie fluviale et transport sédimentaire en cours d’eau naturel HYDRAULIQUE FLUVIALE Roland O. YONABA Doctorant, Assistant d’Enseignement de Recherche Département Génie Civil et Hydraulique (GCH) Laboratoire Hydrologie et Ressources en Eau (LEAH)/2iE Email: ousmane.yonaba@2ie-edu.org / roland.yonaba@gmail.com
  2. 2. OBJECTIFS DE COURS ■ Notions de morphologie fluviale ■ Mécanismes modifiant la morphologie d’un cours d’eau naturel ■ Variables de contrôle, variables de réponse ■ Equilibre dynamique, tri granulométrique, pavage ■ Transport sédimentaire ■ Modes de transport des sédiments ■ Formules empiriques associées ■ Techniques de mesures du transport solide ■ Conséquences morphologiques de quelques aménagements ■ Développements hydrodynamiques ■ Equations de Saint-Venant & Exner ■ Calcul d’évolution de fond de lit de cours d’eau 04.09.16 2
  3. 3. INDICATIONS BIBLIOGRAPHIQUES 04.09.16 3 ■ Belleudy, Philippe, ‘Le Transport Solide En Rivière: Lacunes de Connaissance et Besoins Méthodologiques’ (Institut National Polytechnique de Grenoble, 2001) ■ Degoutte, Gérard, Diagnostic, Aménagement et Gestion Des Rivières: Hydraulique et Morphologie Fluviales Appliquées (Ed. Tec & doc, 2012) ■ Einstein, Hans Albert, The Bed-Load Function for Sediment Transportation in Open Channel Flows, 1026 (US Department of Agriculture, 1950) ■ Engelund, Frank et Eggert Hansen, A Monograph on Sediment Transport in Alluvial Streams (TEKNISKFORLAG Skelbrekgade 4 Copenhagen V, Denmark., 1967) ■ Garde, R. J., History of Fluvial Hydraulics (New Age International, 1995) ■ Graf, Walter Hans et Mustafa Siddik Altinakar, ‘Hydraulique Fluviale, Traité de Génie Civil, Vol. 16’, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2000 ■ Meyer-Peter, Eugen et Robert Müller, ‘Formulas for Bed-Load Transport’ (IAHR, 1948) ■ ONEMA, Eléments de Connaissance Pour La Gestion Du Transport Solide En Rivière (ONEMA) ■ Recking, Alain, Frédéric Liébault, Christophe Peteuil, et Thomas Jolimet, ‘Testing Bedload Transport Equations with Consideration of Time Scales’, Earth Surface Processes and Landforms, 37 (2012), 774–89 ■ Shields, Albert, Application of Similarity Principles and Turbulence Research to Bed-Load Movement (Soil Conservation Service, 1936)
  4. 4. SOMMAIRE 04.09.16 4 I. Morphologie Fluviale Cours d’eau, morphologie fluviale, styles fluviaux II. Transport de sédiments Généralités, contrainte tractrice, formules de transport solide, vitesse de début d’entrainement, géométrie d’équilibre, mesure du transport solide III. Conséquences morphologiques de quelques aménagements Excavation en lit mineur, calibrage, ablation de végétation, endiguement, rétrécissement de section, retenues d’eau, ouvrages obliques IV. Développements hydrodynamiques Equations de Saint-Venant-Exner, calcul d’évolution de fond de lit
  5. 5. MORPHOLOGIE FLUVIALE Chapitre I
  6. 6. 01. COURS D’EAU 04.09.16 Définition et usages 6 ■ Cours d’eau ■ Chemin naturel creusé par le passage habituel des eaux de ruissellement, de manière permanente ou sporadique ■ Positionné naturellement au point bas d’une région, fond de vallée ■ Multiples usages ■ Support de transport et de navigation ■ Production électrique, force mortice,… ■ Pêche, chasse, culture, pâturage ■ Sédiments transportés et déposés ■ Ressource en eau (boisson, besoins domestiques,…)
  7. 7. 01. COURS D’EAU 04.09.16 Fonctions d’un cours d’eau 7 ■ Fonction hydrologique ■ Ecoulement des débit liquides ■ Fonction hydraulique ■ Dissipation de l’énergie potentielle par frottement ■ Fonction sédimentologique ■ Production, transport et dépôt de débit solide ■ Fonction hydrogéologique ■ Drainage ou recharge de la nappe ■ Fonction écologique ■ Entretien des milieux aquatiques et humides
  8. 8. 01. COURS D’EAU 04.09.16 Vocabulaire des cours d’eau (1/3) 8 Lit moyen : inondé pour les crues intermédiaires de durée de retour de 1 à 5 ans Lit majeur : pleine inondable occupé par les crues exceptionnelles Berge : talus incliné séparant le lit mineur du lit majeur Rive : zone plate en crête des berges séparant le milieu aquatique du milieu terrestre Lit mineur : chenal occupé par l’écoulement des crues courantes, sujet à une forte dynamique
  9. 9. 01. COURS D’EAU 04.09.16 Vocabulaire des cours d’eau (2/3) 9 Ripisylve : formation végétale naturelle qui borde la rive d’un cours d’eau. Peut également être une véritable forêt alluviale. C'est un milieu lié à la rivière, particulièrement riche en terme de diversité floristique. La ripisylve influence et entretient : • la faune et la flore • le paysage • la température de l’eau • l’écoulement des crues • La stabilité des berges Mais génère quelques inconvénients : • Alimentation de la rivière en bois arrachés par les crues, susceptibles de créer des embâcles, d’obstruer les ponts et d’aggraver les crues localement • Apport de matière organique dû à la décomposition des feuilles • Accessibilité difficile pour les promeneurs ou les pêcheurs ; • Consommation d’eau pouvant diminuer les débits d’étiage
  10. 10. 01. COURS D’EAU 04.09.16 Vocabulaire des cours d’eau (3/3) 10 Alluvions et substratum: la rivière coule sur ses alluvions (grains fins ou grossiers alternativement déposés ou repris par le courant) qui recouvrent le substratum rocheux formé d'une roche dure (ou plus ou moins tendre) (schistes, grés, marnes…). Si les dépôts et la mise en suspension des alluvions s’alternent, l’altération du substratum est quant à elle irréversible : les alluvions assurent la protection du substratum.
  11. 11. 02. MORPHOLOGIE FLUVIALE 04.09.16 Définition 11 Morphologie : ensemble décrivant les caractéristiques, la configuration et l'évolution des formes d’un cours d’eau Comment la rivière évolue t’elle ? Elle est façonnée et entretenue naturellement Ou elle est le résultat de l’action anthropique
  12. 12. 02. MORPHOLOGIE FLUVIALE 04.09.16 Distribution des vitesses d’écoulement 12 Les vitesses maximales sont mesurées légèrement en dessous de la surface, en zone « libre » proche des axes principaux d’écoulement Les vitesses minimales sont mesurées près des parois d’écoulement
  13. 13. 02. MORPHOLOGIE FLUVIALE 04.09.16 Débit de crue et débit morphogène 13 ■ Débit morphogène ■ Façonne le lit au gré du temps ■ Proche de la crue journalière de durée de retour de 1 à 2 ans ■ Correspond généralement au débit à plein bord (Wolman et Miller, 1960) ■ Suivant le type d’étude de transport solide menée : ■ Evolution du lit à moyen et long terme : débit morphogène ■ Sécurité d’ouvrage, zone à risque : crues rares Modèle de calcul quantité – fréquence pour le transport sédimentaire (Barry et al., 2008) Les débits les plus fréquents ne transportent pas de sédiments Les débits extrêmes ne transportent pas de sédiments Le débit efficace est celui revenant en moyenne tous les 1 à 2 ans
  14. 14. 02. MORPHOLOGIE FLUVIALE 04.09.16 Variables de contrôle 14 Débit liquide Débit solide Variables s’imposant au cours d’eau et qui contrôlent son évolution physique Variables Principales Variables secondaires
  15. 15. 02. MORPHOLOGIE FLUVIALE 04.09.16 Variables de réponse 15 Variables permettant au cours d’eau de s’ajuster aux variables de contrôle La sinuosité Pente, profondeur, largeur du lit à plein bords Pente Largeur Hauteur
  16. 16. 02. MORPHOLOGIE FLUVIALE 04.09.16 Equilibre dynamique (1/2) 16 Balance de Lane (1955)  Tout cours d'eau oscille entre érosion et dépôt  Lorsque le débit augmente, la flèche se déplace vers l'érosion, ce qui augmente le transport solide  Lorsque le débit diminue la flèche pointe vers le dépôt et le débit solide diminue jusqu'à retrouver "l'équilibre".  Les rivières tendent vers une pente d’équilibre Emory Wilson Lane (1891-1963)
  17. 17. 02. MORPHOLOGIE FLUVIALE 04.09.16 Equilibre dynamique (2/2) 17 ■ Les rivières tendent à établir une combinaison « dynamiquement stable » ■ Ajustement permanent entre variables de contrôle et de réponse ■ Ainsi, il est nécessaire d’identifier le seuil à partir duquel les oscillations et modifications géométriques ne sont plus liées à l’équilibre mais deviennent indicateurs de dysfonctionnement ■ Conséquences de modifications: ■ Faible ampleur : pas de changement dans le style fluvial ■ Lourde : métamorphose fluviale, évolution vers un nouvel équilibre ■ Lourde mais peu durable : évolution vers un nouveau style fluvial et retour progressif au style antérieur
  18. 18. 03. STYLES FLUVIAUX 04.09.16 Profil en long 18 ■ Le profil en long du lit ordinaire et celui du champ d’inondation sont très grossièrement parallèles donc assimilables sur des grandes longueurs ■ Le profil en long du fond du fond du lit ordinaire est accidenté par des points hauts et des points bas qui se succèdent assez rapidement d’amont en aval Points hauts : seuils (ou radiers) Points bas : mouilles (ou pools)
  19. 19. 03. STYLES FLUVIAUX 04.09.16 Lits calibrés naturellement 19 ■ Se rencontrent d’ailleurs le plus souvent dans les parties amont des bassins versants où les fonds de vallée sont très étroits et les pentes relativement fortes. ■ Lits ordinaires très creux : rapport b/h de l’ordre d’unités, de 3 à 8. ■ Géométrie peu différenciée, tracé peu sinueux. ■ Débordent peu ou rarement avec un champ d’inondation très limité voire inexistant. ■ Tendance naturelle au creusement.
  20. 20. 03. STYLES FLUVIAUX 04.09.16 Lits à méandres (1/2) 20 ■ Lits sinueux en courbes et contre- courbes séparés par points d’inflexion ■ Rapport b/h de l’ordre de 20 à 60 ■ Lits débordant tous les 2 à 5 ans ■ Aux points d’inflexions: ■ Bancs à l’intérieur ■ Mouilles à l’extérieur (érosion de berges) ■ Profils en travers ■ Symétrie en inter-courbes ■ Dissymétrique en courbes
  21. 21. 03. STYLES FLUVIAUX 04.09.16 Lits à méandres (2/2) 21 Sédiments arrachés puis déposés Coalescence de méandre Recoupement de méandre en préparation Déplacement de méandre vers l’aval
  22. 22. 03. STYLES FLUVIAUX 04.09.16 Lits à chenaux divagants 22 ■ Lits très larges et peu profonds : rapport b/h entre 80 et 200 ■ Profil en travers irréguliers, encombrés de bancs ■ Tracé rectiligne et peu sinueux ■ Fond ponctué de chenaux se déplaçant après chaque crue
  23. 23. TRANSPORT DE SEDIMENTS Chapitre II
  24. 24. 01. GENERALITES 04.09.16 Hydraulique torrentielle et hydraulique fluviale (1/2) 24 ■ Selon Bernard (1925), sur la base de la pente, nous pouvons distinguer : ■ les rivières : pente inférieure à 1% ; ■ les rivières torrentielles : pente comprise entre 1 et 6% ; ■ les torrents : pente supérieure à 6% Rivière Rivière torrentielle Torrent
  25. 25. 01. GENERALITES 04.09.16 Hydraulique torrentielle et hydraulique fluviale (2/2) 25 ■ Hydraulique torrentielle : concerne les torrents ■ Caractérisée par des événements exceptionnels tels les laves torrentielles, mélanges de boue et de pierres ■ transports solides très spectaculaires ■ Ne sera pas traité dans le cadre de ce cours ■ Hydraulique fluviale : concerne les rivières ou les rivières torrentielles. ■ Phénomène implicitement couplé ■ Mais peut être approché de manière découplée ■ En dissociant la phase liquide et la phase solide ■ En tenant compte de l’évolution du fond de lit
  26. 26. 01. GENERALITES 04.09.16 Ecoulement d’un mélange 26 ■ Pour l’écoulement gravitationnel d’un mélange eau- sédiment, Graf et Altinakar (2000) proposent la classification suivante : Mélange quasi- newtonien : Cs < 8% Mélange eau-sédiment de concentration volumique Cs Mélange non- newtonien : Cs > 8% Mélange newtonien : Cs << 1% Charriage et suspension Courant de turbidité Ecoulements Débris-lave Mustafa Siddik Altinakar Water Hans Graf (1936 - )
  27. 27. 01. GENERALITES 04.09.16 Transport solide : définition et modes de transport 27 ■ Le transport solide correspond au transport de matériaux granulaires ■ Les matériaux apportés à la rivière. ■ Les arbres arrachés aux berges ou au lit majeur. Modes de transport en hydraulique fluviale (Degoutte, 2012)
  28. 28. 01. GENERALITES 04.09.16 Diagramme de Hjulström 28 Henning Filip Hjulström (1902-1982) Diagramme définissant l’état d’un grain, en fonction de sa taille et de la vitesse de l’écoulement. Diagramme de Hjuström (1935)
  29. 29. 01. GENERALITES 04.09.16 Tri granulométrique 29 ■ Les pentes des rivières naturelles sont plus fortes en amont qu’en aval ■ Caractère torrentiel à l’amont et fluvial à l’aval ■ Les sédiments seront mobilisés en amont puis déposés en chemin d’écoulement : ■ Les particules les plus grosses se déposent initialement ■ Les fines étant emportées se déposent plus loin. ■ On assiste alors à un tri granulométrique d’amont en aval.
  30. 30. 01. GENERALITES 04.09.16 Armure 30 ■ Couche de surface grossière, résultat de l'exportation des éléments fins pendant et après chaque période de mouvement de tout ou d’une partie des grains disponibles au transport (Bray et Church, 1980) ■ La rupture de l’armure est fréquente, au moins 1 fois/an
  31. 31. 01. GENERALITES 04.09.16 Pavage 31 ■ Couche mise en place à la suite du même processus aboutissant aux armures, mais elle est cependant beaucoup plus solide et pérenne. ■ les particules constituant la surface des lits pavés ne sont mises en mouvement que lors d‘épisodes hydrologiques exceptionnels (très fortes crues (Bray et Church, 1980) Vue d’un pavage (Degoutte, 2012) Rôle protecteur de la couche de pavage
  32. 32. 01. GENERALITES 04.09.16 Rivière à sable et rivière à graviers (1/2) 32 Rivière à graviersRivière à sable  Substrat constitué de particules de petite taille (< 2 mm) et à granulométrie dite uniforme  Le fond est tapissé d’ondulations de fond de type rides, dunes et antidunes  Substrat constitué d’éléments grossiers (petits graviers à gros graviers), la granulométrie est dite étalée.  Présence en général d’un pavage observé au fond du lit, qui reste sans ondulations.
  33. 33. 01. GENERALITES 04.09.16 Rivière à sable et rivière à graviers (2/2) 33 Caractéristiques principales des rivières à sable et à gravier
  34. 34. ■ Le débit solide 𝑄𝑠 est le volume de matériaux granulaires transportés par le courant par unité de temps. ■ L’énergie de l’écoulement définit une capacité de transport ■ L’écoulement cherche toujours à assurer la saturation en débit solide pour peu que le matériau à transporter soit disponible ■ À chaque instant, l'écoulement est saturé en débit solide (charriage et suspension) ■ Le bief de rivière considéré est donc en équilibre : 𝑄𝑠,𝑖𝑛 = 𝑄𝑠,𝑜𝑢𝑡 ■ Saturation en débit solide : principe fondamental de la dynamique fluviale ■ Si 𝑄𝑠 > capacité de transport : dépôt au fond du lit ■ Si 𝑄𝑠 < capacité de transport : érosion du fond du lit et/ou des berges 01. GENERALITES 04.09.16 Débit solide et capacité de transport 34
  35. 35. ■ Soit 𝑑 𝑥 le diamètre de grain correspondant à 𝑥% en poids de tamisât ■ Le coefficient de Hazen (1895) ou coefficient d’uniformité 𝐶𝑈 permet de classifier la granulométrie 01. GENERALITES 04.09.16 Taille des grains et granulométrie 35 𝑪𝑼 = 𝒅 𝟔𝟎 𝒅 𝟏𝟎 Courbe granulométrique exprimée en % de passants (Degoutte, 2012) 𝑪𝑼 < 𝟑 : granulométrie uniforme 𝑪𝑼 > 𝟑 : granulométrie étalée Allen Hazen (1869-1930)
  36. 36. 01. GENERALITES 04.09.16 Interpolation logarithmique 36 ■ On souhaite interpoler un diamètre 𝒅 au sein d’une distribution granulométrique pour laquelle l’on ne connait que deux diamètres caractéristiques 𝑑 𝑥 et 𝑑 𝑦. ■ En admettant que 𝑝 correspond à un pourcentage en masse de passant ■ Cette interpolation reste en général valable entre les points d’inflexion de la courbe granulométrique, soit le 𝑑10 et le 𝑑90 𝑝 = 𝑖 ln 𝑘𝑑 𝑝 , ∀𝑖, 𝑘 = 𝐶 𝑡𝑒 d’où : 𝒅 = 𝒂𝒆 𝒃𝒑, ∀𝑎, 𝑏 = 𝐶 𝑡𝑒 𝒃 = 𝟏 𝒙 − 𝒚 𝐥𝐧 𝒅 𝒙 𝒅 𝒚 𝒂 = 𝒅 𝒙 𝒆 𝒙𝒃 = 𝒅 𝒚 𝒆 𝒚𝒃
  37. 37. ■ La contrainte tractrice 𝜏0 est la force de frottement de l’eau contre les parois de la section mouillée dans le sens tangentiel et par unité de surface 02. CONTRAINTE TRACTRICE 04.09.16 Définition 37 Contraintes appliquée par l’eau sur les parois (Degoutte, 2012) En écoulement non uniforme, on démontre que : 𝝉 𝟎 = 𝜸 𝒘 𝑹 𝒉 𝒋 Pour une section très large : 𝑦 ≪ 𝑏 ⇒ 𝑅ℎ ≈ 𝑦 𝝉 𝟎 = 𝜸 𝒘 𝒚𝒋 Par ailleurs, pour l’écoulement uniforme, 𝒊 = 𝒋 Il est à remarquer que le rapport 𝜏0/𝜌 a la dimension du carré d’une vitesse, appelée vitesse de frottement et notée 𝒖∗ 𝒖∗ 𝟐 = 𝝉 𝟎 𝝆 = 𝒈𝑹 𝒉 𝒋
  38. 38. 02. CONTRAINTE TRACTRICE 04.09.16 Mise en mouvement d’un grain de diamètre d 38 Equilibre d’un grain posé au fond d’un chenal (Degoutte, 2012) 𝑃 = 𝜋𝛾𝑠 𝑑3 6 𝑃𝑡 = 𝑃 sin 𝜂 𝑃′ = 𝜋𝛾 𝑤 𝑑3 6 𝑆 = 𝑐𝛾 𝑤 𝑑2 𝑉2 2𝑔 𝑃𝑛 = 𝑃 cos 𝜂 𝐹 = 𝑃𝑛 − 𝑃′ tan 𝜑 𝑬 = 𝑭 − 𝑷 𝒕 = 𝒃𝝉 𝟎 𝒅 𝟐
  39. 39. ■ Au seuil de la mise en mouvement : 02. CONTRAINTE TRACTRICE 04.09.16 Paramètre de Shields (1/2) 39 𝐸 = 𝑏𝜏0 𝑑2 = 𝐹 − 𝑃𝑡 𝜂 étant petit : cos 𝜂 → 1 et sin 𝜂 → 0 ⇒ 𝑃𝑡 = 𝑃 sin 𝜂 → 0 ⇒ 𝑃𝑛 = 𝑃 cos 𝜂 → 𝑃 𝑏𝜏0 𝑑2 = 𝐹 = 𝑃𝑛 − 𝑃′ tan 𝜑 𝑏𝜏0 𝑑2 = 𝜋 𝑑3 6 tan 𝜑 𝛾𝑠 − 𝛾 𝑤 𝜏0 𝛾𝑠 − 𝛾 𝑤 𝑑 = 𝜋 6𝑏 tan 𝜑  Shields (1936) définit alors le paramètre adimensionnel : 𝝉∗ = 𝝉 𝟎 𝜸 𝒔 − 𝜸 𝒘 𝒅 = 𝜸 𝒘 𝑹 𝒉 𝑱 𝜸 𝒔 − 𝜸 𝒘 𝒅  Le terme ( Τ𝜋 6𝑏) tan 𝜑 est un seuil critique constant lié au sédiment.  La mise en mouvement du grain de diamètre 𝑑 se produit donc lorsque 𝜏∗ dépasse une valeur critique
  40. 40. ■ En résumé, la contrainte tractrice sur fond plat s’écrit : ■ Le paramètre de Shields (1936), forme adimensionnelle de la contrainte tractrice sur fond plat, est définie par : ■ Sur une pente d’angle 𝛽 (cas des berges), la contrainte tractrice s’écrira 02. CONTRAINTE TRACTRICE 04.09.16 Paramètre de Shields (2/2) 40 𝝉 𝟎 = 𝜸 𝒘 𝑹 𝒉 𝒋 Si l’écoulement est uniforme, 𝑖 = 𝑗 ⇒ 𝜏0 = 𝛾 𝑤 𝑅ℎ 𝑖 𝝉∗ = 𝝉 𝟎 𝜸 𝒔 − 𝜸 𝒘 𝒅 𝝉 𝜷 = 𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝜷 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝝋 𝝉 𝟎 On donne : • 𝛾𝑠 ≈ 26 à 27 𝑘𝑁/𝑚3 • 𝛾 𝑤 ≈ 10 𝑘𝑁/𝑚3 Albert Frank Shields (1908-1974)
  41. 41. Shields (1936) montre expérimentalement, pour la granulométrie uniforme, l’existence de la relation : 02. CONTRAINTE TRACTRICE 04.09.16 Diagramme de Yalin-Shields (1972) 41 𝜏0 ≡ 𝑓(𝑅 𝑒 ∗ ) avec 𝑅 𝑒 = 𝑢∗ 𝑑 𝜈 et 𝑢∗ = 𝜏0/𝜌 = 𝑔𝑅ℎ 𝐼 Yalin (1972) met en relation le paramètre de Shields 𝜏∗ à un diamètre adimensionnel 𝑑∗ : Diagramme de Yalin-Shields (1972) Selim M. Yalin (1925-2007) 𝑑∗ = 𝑑 𝛾𝑠 − 𝛾 𝑤 𝛾 𝑤 𝑔 𝜈2 Τ1 3
  42. 42. ■ Ramette (1981) propose des valeurs seuils pour la granulométrie uniforme 02. CONTRAINTE TRACTRICE 04.09.16 Seuils de mise en mouvement (1/2) 42 On pourra toutefois retenir les seuils suivants pour le paramètre de Shields Granulométrie Mise en mouvement Dépôt Uniforme (rivière à sable) 𝜏∗ ≥ 0,047 𝜏∗ ≤ 0,047 Etalée (rivière à graviers) 𝜏 𝑑50 ∗ ≥ 0,138 𝜏 𝑑50 ∗ ≤ 0,047
  43. 43. Le mode de transport est aussi donné par le Nombre de Rouse, en admettant la constante de Von Karmán 𝒦 = 0,41 Ferguson et Church (2006) proposent une relation donnant la vitesse de sédimentation 𝑉𝑠𝑠 d’un grain 02. CONTRAINTE TRACTRICE 04.09.16 Seuils de mise en mouvement (2/2) 43 𝑽 𝒔𝒔 = 𝟏𝟔, 𝟏𝟕𝒅 𝟐 𝟏, 𝟖. 𝟏𝟎−𝟓 + 𝟏𝟐, 𝟏𝟐𝟕𝟓𝒅 𝟑 𝟎,𝟓 𝑷 = 𝑽 𝒔𝒔 𝓚𝒖∗ Nombre de Rouse Mode de transport P > 2,5 Charriage 1,2 < P < 2,5 Suspension à 50 % 0,8 < P < 1,2 Suspension à 100 % P < 0,8 Charge flottante De manière indicative, Graf (1971) propose 𝒖∗ 𝑽 𝒔𝒔 > 𝟎, 𝟏: 𝒅é𝒃𝒖𝒕 𝒅𝒆 𝒄𝒉𝒂𝒓𝒓𝒊𝒂𝒈𝒆 𝒖∗ 𝑽 𝒔𝒔 > 𝟎, 𝟒: 𝒅é𝒃𝒖𝒕 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒔𝒑𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏 Hunter Rouse (1906-1996)
  44. 44. ■ La contrainte de frottement 𝜏0 résulte de l’effet conjugué des cisaillement générés par ondulations de fond de lit et des grains ■ Pour une formulation de type Chézy (1768) soit 𝜏0 = 𝜌𝑔𝑈2 /𝐶2 ■ Qui peut se traduire aussi en : 02. CONTRAINTE TRACTRICE 04.09.16 Notion de contrainte tractrice efficace (1/2) 44 𝝉 𝟎 = 𝝉 𝒈𝒓𝒂𝒊𝒏𝒔 + 𝝉 𝒇𝒐𝒏𝒅 𝟏 𝑲 𝒔 𝟐 = 𝟏 𝑲 𝒈𝒓𝒂𝒊𝒏𝒔 𝟐 + 𝟏 𝑲 𝒇𝒐𝒏𝒅 𝟐 𝟏 𝑪 𝟐 = 𝟏 𝑪 𝒈𝒓𝒂𝒊𝒏𝒔 𝟐 + 𝟏 𝑪 𝒇𝒐𝒏𝒅 𝟐
  45. 45. 02. CONTRAINTE TRACTRICE 04.09.16 Notion de contrainte tractrice efficace (2/2) 45 𝜷 = 𝑲 𝒔 𝑲 𝒈𝒓𝒂𝒊𝒏𝒔 Τ𝟑 𝟐 Selon Ramette (1981): 𝜷 = 𝟎, 𝟎𝟔 𝝉∗ + 𝟎, 𝟒𝟏𝝉∗ Τ𝟏𝟓 𝟏𝟔 Notons toujours que : 𝟎, 𝟑𝟓 < 𝜷 < 𝟏 𝑲 𝒔: Rugosité d’ensemble de section, dûe au fond et aux grains 𝑲 𝒈𝒓𝒂𝒊𝒏𝒔: Rugosité dûe au grains (rugosité de peau) 𝑲 𝒈𝒓𝒂𝒊𝒏𝒔 ≈ 𝟐𝟏, 𝟏 𝒅 𝟓𝟎 Τ𝟏 𝟔 ≈ 𝟐𝟔 𝒅 𝟗𝟎 Τ𝟏 𝟔 𝝉 𝟎 = 𝜷𝝉 𝟎 + 𝟏 − 𝜷 𝝉 𝟎 Contrainte tractrice totale Contrainte tractrice dûe aux grains, dite tractrice efficace Contrainte tractrice dûe aux dunes En l’absence d’ondulations du fond (c’est souvent le cas en granulométrie étalée), on prendra 𝜷 = 𝟏
  46. 46. 02. CONTRAINTE TRACTRICE 04.09.16 Rides, dunes et antidunes 46 Disparition des dunes et apparition des antidunes pour 𝝉∗ > 𝟒, 𝟓 à 𝟓 Apparition des dunes pour 𝝉∗ = 𝟎, 𝟎𝟔𝟐, qui deviennent maximales pour 𝜏∗ = 0,38 et disparaissent pour 𝜏∗ = 2,5 Les rides deviennent prononcées pour 𝛽 minimal, soit 𝝉∗ = 𝟎, 𝟑𝟖
  47. 47. ■ Il existe plusieurs formules ou « modèles » d’évaluation du transport solide ■ Evaluent la capacité de transport et non le transport effectif ! ■ Restent valables sous des conditions bien définies ■ Il existe essentiellement 3 types de formulations de transport solide : ■ Formules de type Du Boys, liées à la tension de frottement ■ Formules de type Schoklitsch, liées au débit liquide ■ Formules de type Einstein, liées à la portance du grain ■ Aucune formule n’existe pour la suspension intrinsèque! ■ Elle est estimée en déduisant le charriage du débit solide total 03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE 04.09.16 Typologie des formules de transport 47
  48. 48. ■ Largeurs de bras vifs 𝐿 : dimension transversale du chenal sur laquelle les grains sont mobilisables. On estimera pour la suite que 𝑳 ≅ 𝒃 ■ Nous définissons également les termes suivants : ■ Densité spécifique : 𝒔 𝒔 = 𝜸 𝒔/𝜸 𝒘 ■ Débit liquide unitaire : 𝒒 = 𝑸/𝒃 ■ Aussi, nous adopterons les notations suivantes de débit en [m3.s-1.m-1] : ■ 𝒒 𝒔𝒃 : débit solide unitaire par charriage ■ 𝒒 𝒔 : débit solide total ■ Ainsi, nous définirons définira donc les débits en [m3.s-1], 𝑄𝑠 et 𝑄𝑠 ■ 𝑸 𝒔 = 𝒒 𝒔 𝑳 ≈ 𝒒 𝒔 𝒃 : débit solide total vides non compris ■ 𝑸 𝒔 = Τ𝑸 𝒔 𝟏 − 𝒏 : débit solide total, vides compris 03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE 04.09.16 Conventions et notations 48
  49. 49. 03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE 04.09.16 Domaine de validité de quelques formules de transport 49 Domaines de validité des formules de transport (Belleudy, 2001) Phillipe Belleudy (1951 - )
  50. 50. 03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE 04.09.16 Formules de charriage (1/4) 50 ■ En granulométrie uniforme: ■ 𝝉 𝒄𝒓 ∗ = 𝟎, 𝟎𝟒𝟕 et 𝑑 = 𝑑 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 ■ En granulométrie étalée à fond sans ondulations (Parker, 1982): ■ 𝝉 𝒄𝒓 ∗ = 𝟎, 𝟏𝟑𝟖, 𝛽 = 1 et 𝑑 = 𝑑50 𝒒 𝒔𝒃 = 𝟖 𝒈 𝒔 𝒔 − 𝟏 𝒅 𝟑 𝜷𝝉∗ − 𝝉 𝒄𝒓 ∗ Τ𝟑 𝟐 Conditions de validité • Ecoulement uniforme • 0,01 𝑚 < 𝑦 < 1,20 [𝑚] • 0,04 % < 𝑖 < 2 % • 0,4 𝑚𝑚 < 𝑑 < 30 [𝑚𝑚] • Granulométrie uniforme • 𝜏∗ < 0,25 : charriage (Ramette, 1981) Eugène Meyer-Peter (1883-1969) Robert Müller (1908-1987) Formule de Meyer-Peter et Müller (1948)
  51. 51. 03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE 04.09.16 Formules de charriage (2/4) 51 ■ Einstein (1937) introduit l’idée que le grain se déplace sur une distance proportionnelle à taille. Il en résulte que : ■ Cette relation complexe et nécessitant des abaques a été lissée par Brown (1950) sous la forme : ■ Le diamètre caractéristique est donné par : ■ 𝑑 = 𝑑 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 (uniforme) et 𝑑 = 𝑑50 (étalée) 𝒒 𝒔𝒃 = 𝒈 𝒔 𝒔 − 𝟏 𝒅 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝟑𝟔𝝂 𝟐 𝒈 𝒔 𝒔−𝟏 𝒅 𝟑 − 𝟑𝟔𝝂 𝟐 𝒈 𝒔 𝒔−𝟏 𝒅 𝟑 𝒇(𝝉∗) Conditions de validité 0,3 𝑚𝑚 < 𝑑 < 29 [𝑚𝑚] 𝑞 𝑠𝑏 𝑔 𝑠𝑠 − 1 𝑑 = 𝑓 𝛾𝑠 − 𝛾 𝑤 𝜏0 ′ 𝑑 𝑓(𝜏∗ ) = ൝ 2,15𝑒−0,391/𝜏∗ 𝑠𝑖 𝜏∗ < 0,182 40𝜏∗3 𝑠𝑖 𝜏∗ > 0,182 Formule de Brown-Einstein (1950) Hans Albert Einstein (1904 - 1973)
  52. 52. 03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE 04.09.16 Formules de charriage (3/4) 52 ■ On définit un débit critique d’érosion 𝑞 𝑐𝑟 : ■ Le charriage est alors donné par : ■ Le diamètre caractéristique est donné par : ■ Granulométrie uniforme : 𝑑 = 𝑑 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 ■ Granulométrie étalée : 𝑑 = 𝑑40 (Bathurst et. al, 1987) 𝒒 𝒔𝒃 = 𝟐, 𝟓 𝒔 𝒔 𝒒 − 𝒒 𝒄𝒓 𝒊 Τ𝟑 𝟐 Conditions de validité • 0,03 % < 𝑖 < 10 % • 0,3 𝑚𝑚 < 𝑑 < 7 [𝑚𝑚] 𝒒 𝒄𝒓 = 𝟎, 𝟐𝟔 𝒔 𝒔 − 𝟏 Τ𝟓 𝟑 𝒅 Τ𝟑 𝟐 𝒊 Τ𝟕 𝟔 Formule de Schoklitsch (1962) Armin Karl Kult Schoklitsch (1888-1969)
  53. 53. 03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE 04.09.16 Formules de charriage (4/4) 53 ■ Bathurst (1985) définit un débit critique 𝑞 𝑐 : ■ Selon Rickenmann (1990), le charriage est alors donné par : ■ Le diamètre caractéristique pour 𝑞 𝑐 est donné par : ■ 𝑑 = 𝑑 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 (uniforme) et 𝑑 = 𝑑50 (étalée) 𝒒 𝒔𝒃 = 𝟑,𝟏 𝑺 𝒔−𝟏 𝟑/𝟐 𝒅 𝟗𝟎 𝒅 𝟑𝟎 𝟎,𝟐 𝒒 − 𝒒 𝒄 𝒊 𝟑/𝟐 si 𝒊 > 𝟑% 𝒒 𝒔𝒃 = 𝟏𝟐,𝟔 𝒔 𝒔−𝟏 𝟏,𝟔 𝒅 𝟗𝟎 𝒅 𝟑𝟎 𝟎,𝟐 𝒒 − 𝒒 𝒄 𝒊 𝟐 si 𝐢 < 𝟑% Conditions de validité • 0,3 % < 𝑖 < 20 % • 0,4 𝑚𝑚 < 𝑑 < 10 [𝑚𝑚] 𝒒 𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟓 𝒔 𝒔 − 𝟏 𝟏,𝟔𝟕 𝒈 𝟏/𝟐 𝒅 𝟑/𝟐 𝒊−𝟏,𝟏𝟐 Si ൗ𝑑90 𝑑30 inconnu, prendre ൗ𝑑90 𝑑30 = 1,05 Formule de Rickenmann (1990) Dieter Rickenmann
  54. 54. 03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE 04.09.16 Formules de transport solide total (1/3) 54 ■ Engelund et Hansen (1967) établissent que : ■ Le diamètre caractéristique est donné par : ■ 𝑑 = 𝑑 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 (uniforme) et 𝑑 = 𝑑50 (étalée) Conditions de validité • Pente faible (?) • 0,15 𝑚𝑚 < 𝑑 < 1,6 [𝑚𝑚] 𝒒 𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟓 𝒈 𝒔 𝒔 − 𝟏 𝒅 𝟑 𝑲 𝒔 𝟐 𝑹 𝒉 𝟏/𝟑 𝒈 𝝉∗ 𝟓/𝟐 Formule de Engelund et Hansen (1967) Frank Anker Engelund (1925 - 1983) Karl Henry Eggert Hansen (1914 - 1999)
  55. 55. 03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE 04.09.16 Formules de transport solide total (2/3) 55 ■ Graf et Acaroglu (1968) définissent un paramètre d’intensité de frottement Ψ𝐴 comme critère de transport solide et mettent en évidence qu’il est lié à un paramètre de transport Φ 𝐴 ■ De manière expérimentale, ils établissent par suite que : ■ Le diamètre caractéristique est donné par : ■ 𝑑 = 𝑑 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 (uniforme) et 𝑑 = 𝑑50 (étalée) Conditions de validité • 0,3 𝑚𝑚 < 𝑑 < 1,7 [𝑚𝑚] Ψ𝐴 = 𝜏∗ −1 = (𝑆𝑠−1)𝑑 𝑅ℎ 𝑖 Φ 𝐴 = Τ𝑞 𝑠 𝑞 𝑈𝑅ℎ 𝑔 𝑠𝑠 − 1 𝑑3 Φ 𝐴 = 𝑓(Ψ𝐴) Φ 𝐴 = 𝑎Ψ𝐴 −𝛽 = 10,39 Ψ𝐴 −2,52 ⇒ 𝒒 𝒔 = 𝟏𝟎, 𝟑𝟗𝒈 𝟎,𝟓 𝒚𝑹 𝒉 𝟏,𝟓𝟐 𝒊 𝟐,𝟓𝟐 𝒔 𝒔 − 𝟏 𝟐,𝟎𝟐 𝒅 𝟏,𝟎𝟐 Formule de Graf et Acaroglu (1968) Walter Hans Graf (1936 - )
  56. 56. 03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE 04.09.16 Formules de transport solide total (3/3) 56 ■ On définit le terme Fgr : ■ Le charriage est alors donné par : ■ Le diamètre caractéristique est donné par : ■ 𝑑 = 𝑑 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 (uniforme) et 𝑑 = 𝑑35 (étalée) 𝒒 𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝒒 𝒅 𝒚 𝑭 𝒈𝒓 𝟎, 𝟏𝟕 − 𝟏 𝟏,𝟓 Conditions de validité • 𝐹𝑟 < 0,8 (Bathurst et al., 1987) • 0,04 [𝑚𝑚] < 𝑑 < 4 [𝑚𝑚] 𝑭 𝒈𝒓 = 𝟏 𝒈 𝒔 𝒔 − 𝟏 𝒅 𝑼 𝟑𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 𝒚 𝒅 Formule de Ackers et White (1973) P. Ackers
  57. 57. ■ La vitesse provoquant le début de la mise en mouvement d’un grain de diamètre 𝑑 est appelée vitesse de début d’entrainement 𝑈0 ■ Elle est établie en injectant l’expression de la pente 𝑖 donnée par l’équation de Shields (1936) dans l’expression de Manning-Strickler pour la vitesse 04. VITESSE DE DEBUT D’ENTRAINEMENT 04.09.16 Vitesse 𝑈0 au début de la mise en mouvement 57 Or, de l’équation de Manning-Strickler (1891) : 𝑈 = 𝐾𝑠 𝑅ℎ Τ2 3 𝑖 ⇒ 𝑈2 = 𝐾𝑠 2 𝑅ℎ Τ4 3 𝑖 Du paramètre de Shields (1936), on tire : 𝜏 𝑐𝑟 ∗ = 𝛾 𝑤 𝑅ℎ 𝑖 𝛾𝑠 − 𝛾 𝑤 𝑑 ⇒ 𝑖 = (𝑠𝑠 − 1) 𝑑 𝑅ℎ 𝜏 𝑐𝑟 ∗ 𝑼 𝟎 = 𝒔 𝒔 − 𝟏 𝟏/𝟐 𝑲 𝒔 𝑹 𝒉 Τ𝟏 𝟔 𝒅 𝟏/𝟐 𝝉 𝒄𝒓 ∗ Τ𝟏 𝟐
  58. 58. 05. STABILITE D’UN PAVAGE 04.09.16 Prédiction de la stabilité d’une couche de pavage 58 𝝉∗𝒂,𝒄𝒓 = 𝝉∗𝒄𝒓 𝟎, 𝟒 𝒅 𝟓𝟎 𝒅 𝟓𝟎 𝒂, 𝟏 𝟐 + 𝟎, 𝟔 𝟐 𝒖∗𝒂,𝒄𝒓 = 𝒈 𝒔 𝒔 − 𝟏 𝒅 𝟓𝟎 𝒂, 𝝉∗𝒂,𝒄𝒓 𝟎,𝟓 Diagramme de Yalin-Shields (1972) 𝜏∗𝑐𝑟 est donné par le diagramme de Yalin- Shields (1972), soit 𝝉∗𝒄𝒓 ≈ 𝟎, 𝟎𝟓 𝝉∗𝒄𝒓 Lors du développement d’un pavage, l’augmentation de la vitesse de frottement 𝑢∗ emporte les particules les plus petites, laissant en places les plus grosses. Le pavage devient instable et sera détruit pour 𝑢∗ > 𝑢∗𝑎,𝑐𝑟 Arved Jaan Raudviki Raudviki (1990) propose une relation empirique pour la prédiction de la stabilité de la couche de pavage de diamètre médian 𝑑50 𝑎 .
  59. 59. ■ La profondeur maximale des fonds perturbés (ou susceptible d’être affouillée) au voisinage des rétrécissements locaux est donnée par Izard et Bradley (1958) : ■ Ce calcul est surtout important pour les ouvrages (piles de pont) non fondés dans le substratum rocheux ■ En présence de pavage, ce calcul n’a de sens que pour les débits susceptibles de rompre le pavage 06. GEOMETRIE D’EQUILIBRE 04.09.16 Profondeur des fonds perturbés 59 𝒇 𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟑 𝒒 Τ𝟐 𝟑 𝒅 𝟏/𝟔 Principe d’affouillement d’une pile de pont fp Profondeur des fonds perturbés
  60. 60. ■ Soit un bief de rivière en aval d’un point de piégeage des sédiments transportés (seuil, barrage par exemple). Le débit liquide reste inchangé. Supposons que les berges ne sont pas mobilisables. ■ La saturation en débit solide n’est plus assurée : une érosion régressive se déclenche en aval ■ Le lit du cours d’eau évoluera à long terme vers une nouvelle pente d’équilibre 𝐼𝑒𝑞 ou de non-transport 𝐼 𝑁𝑇 ■ Pour l’établir, on considère que pour le débit à plein bord, la contrainte exercée sur le fond (équation de Manning-Strickler) coïncide avec la contrainte critique de mise en mouvement (équation de Shields) ■ Le calcul est itératif 06. GEOMETRIE D’EQUILIBRE 04.09.16 Pente de non transport ou pente d’équilibre (1/2) 60
  61. 61. ■ L’équation de Shields (1936) donne, à l’équilibre : ■ À partir de l’équation de Manning-Strickler (1891), on peut aussi écrire : ■ Ce qui permet de déduire l’expression suivante, non implicite en 𝑦 que l’on peut résoudre avec de manière itérative ou avec un solveur ■ Par suite, la valeur de 𝐼𝑒𝑞 sera calculée à partir de l’équation de Shields (1936) ou de Manning-Strickler (1891) 06. GEOMETRIE D’EQUILIBRE 04.09.16 Pente de non transport ou pente d’équilibre (2/2) 61 𝑅ℎ(𝑦) 𝐼𝑒𝑞 = 𝑠𝑠 − 1 𝑑𝜏 𝑐𝑟 ∗ 𝑆(𝑦) 2 𝑅ℎ(𝑦) Τ4 3 𝐼𝑒𝑞 = 𝑄2 𝐾𝑠 2 ⇒ 𝑆(𝑦) 2 𝑅ℎ(𝑦) Τ1 3 (𝑅ℎ(𝑦) 𝐼𝑒𝑞) = 𝑄2 𝐾𝑠 2 𝑺(𝒚) 𝟐 𝑹 𝒉(𝒚) Τ𝟏 𝟑 = 𝑸 𝟐 𝑺 𝒔 − 𝟏 𝑲 𝒔 𝟐 𝒅𝝉 𝒄𝒓 ∗
  62. 62. 07. MESURE DU TRANSPORT SOLIDE 04.09.16 Mesure du charriage 62 ■ Principe : mesurer les dépôts dans un secteur qui naturellement piège les sédiments charriés ■ Mesure des volumes de dépôts effectués par suivi bathymétrique ■ Possibilité d’utiliser les structures existantes ■ Barrages ou anciennes fosses d’extraction ■ Alternativement, construire des fosses à piégeage dans le lit mineur. ■ Risque d’érosion progressive : à implanter donc dans une zone sans enjeux particuliers ■ Volume équivalent à 1~2 ans d’apports solides, prédéterminé par les équations de transport solide ■ Après chaque mesure, effectuer des curages Barrage envasé Trappe à sédiment en lit mineur de cours d’eau
  63. 63. ■ Autres échantillonneurs : ■ Bedload Transport Meter Arnhem (BTMA), développé aux Pays-Bas ■ Karolyi, développé en Hongrie 07. MESURE DU TRANSPORT SOLIDE 04.09.16 Equipements d’échantillonage 63 Karolyi BTMA ■ Préleveur Helley-Smith : ■ Préleveur le plus connu et répandu ■ Modèles variant suivant la taille des grains à échantillonner ainsi que la vitesse de l’écoulement Préleveur Helley-Smith 𝑞 𝑠𝑏 = 𝑘𝑠𝑠 1 − 𝑝 𝑉 𝑏𝑇
  64. 64. 07. MESURE DU TRANSPORT SOLIDE 04.09.16 Equipements d’échantillonage 64  La bouteille de Delft sur chariot permet la mesure de saltation et suspension à différentes hauteurs d’eau entre 0,05 [m] et 0,5 [m] au dessus du fond.  Il est adapté aux cours d’eau dont les alluvions sont composés de sables et graviers fins.  L’appareil est conçu de façon à ce que l’écoulement – et le transport des matériaux solides ne soient pas perturbés : c’est une caractéristique propre à cet équipement Bouteille de Delft sur chariot
  65. 65. CONSEQUENCES MORPHOLOGIQUES DE QUELQUES AMENAGEMENTS Chapitre III
  66. 66. ■ Les aménagements portés sur le bassin versants sont susceptibles de modifier les formes naturelles des cours d’eau ■ Dans la recherche de l’équilibre dynamique, le cours d’eau peut mobiliser : ■ le lit : érosion sur le profil en long ■ les berges : érosion latérale ou érosion des berges ■ Le lit d’un cours d’eau : ■ peut se creuser au fil du temps : érosion ou incision ■ Peut se surélever dans le temps : exhaussement ■ Ces modifications peuvent se propager : ■ vers l’amont : érosion ou exhaussement régressifs ■ Vers l’aval : érosion ou exhaussement progressifs 01. AMENAGEMENTS DE COURS D’EAU 04.09.16 Conséquences morphologiques 66
  67. 67. 02. PRELEVEMENT DE SEDIMENTS 04.09.16 Excavation dans un lit mineur pour exploitation de gisement alluvial 67 Conséquences de prélèvement dans un lit de cours d’eau (Degoutte, 2012) Situation : le lit d’un cours d’eau est excavé localement pour son gisement alluvial Abaissement de la ligne d’eau à l’amont de l’excavation Augmentation de la pente et de la tractrice efficace (1) Erosion régressive vers l’amont (2) Piégeage des sédiments dans l’excavation (3) Erosion progressive vers l’aval pour assurer la saturation en débit solide (1) Restauration de la pente initiale si l’érosion régressive rencontre un point dur en amont (seuil rocheux) (3) Etablissement de la pente de non transport en aval
  68. 68. 03. CALIBRAGE DE LIT 04.09.16 Elargissement de lit sans modification des berges (1/2) 68 La ligne d’eau s’abaisse sur tout le tronçon calibré, la tractrice efficace diminue (2) Mise en vitesse à l’entrée du tronçon, ce qui déclenche une érosion régressive vers l’amont (3) Erosion progressive vers l’aval pour assurer la saturation en débit solide (1) La capacité de transport solide a diminué dans le bief, ce qui occasionne des dépôts Situation : le lit d’un cours d’eau est élargi sur une grande longueur sans stabilisation des berges Observations à court terme Calibrage de lit (Degoutte, 2012)
  69. 69. 03. CALIBRAGE DE LIT 04.09.16 Elargissement de lit sans modification des berges (2/2) 69 Sur le long termeSur le long terme, le bief élargi modifie sa pente et subséquemment, le tirant d’eau, de sorte à ajuster sa capacité de transport solide à celui du bief amont. Du terme 𝑞 𝑠2 nous pouvons extraire la valeur d’une contrainte tractrice 𝜏2 ∗ qui permettra de disposer d’une relation fonctionnelle entre les connues 𝑦2 et 𝑖2 En outre, l’élargissement ne modifie pas le débit liquide écoulé. 𝑞 𝑠1 𝑏1 = 𝑞 𝑠2 𝑏2 ⇒ 𝑞 𝑠2 = 𝑏1 𝑏2 𝑞 𝑠1 Le tirant d’eau 𝑦2 est alors donné par : Et si une approximation de type 𝑅ℎ ≈ 𝑦 est possible : La pente 𝑖2 sera alors déduite de l’équation de Manning-Strickler (1981) ou de Shields (1936) 𝑅ℎ 𝑦2 𝑖2 = 𝑠𝑠 − 1 𝑑𝜏2 ∗ 𝑆(𝑦2) 𝑅ℎ(𝑦2) Τ2 3 𝑖2 = 𝐾𝑠1 𝐾𝑠2 𝑆(𝑦1) 𝑅ℎ(𝑦1) Τ2 3 𝑖1 𝑺(𝒚 𝟐) 𝟐 𝑹 𝒉 𝒚 𝟐 Τ𝟏 𝟑 = 𝑲 𝒔 𝟏 𝟐 𝑲 𝒔 𝟐 𝟐 𝑺(𝒚 𝟏) 𝟐 𝑹 𝒉(𝒚 𝟏) Τ𝟒 𝟑 𝒊 𝟏 𝒔 𝒔 − 𝟏 𝒅𝝉 𝟐 ∗ 𝒚 𝟐 = 𝑲 𝒔 𝟐 𝟐 𝑲 𝒔 𝟐 𝟏 𝒔 𝒔 − 𝟏 𝒅𝝉 𝟐 ∗ 𝒚 𝟏 Τ𝟏𝟎 𝟑 𝒊 𝟏 − 𝟑 𝟕
  70. 70. 04. ABLATION DE RIPISYLVE 04.09.16 Enlèvement important de la végétation des berges 70 L’enlèvement de végétation entraine une augmentation de 𝐾𝑠 et une diminution de 𝑦. (2) L’augmentation de 𝐾𝑠 induite entraine une augmentation de 𝛽 et donc la tractrice efficace à l’entrée, ce qui occasionne une érosion régressive vers l’amont (3) A l’aval, on retrouve l’ancienne tractrice efficace, plus faible, ce qui occasionne donc un dépôt (1) l’augmentation de tractrice efficace induit une hausse de la capacité de transport solide. La rivière mobile donc le fond, qui se creuse Situation : La ripisylve est enlevée de manière importante sur les berges, qui sont supposées stables Enlèvement de végétation des berges (Degoutte, 2012)
  71. 71. 05. ENDIGUEMENTS 04.09.16 Enfoncement de lit à la suite d’un endiguement de lit 71 Pour des crues inférieures à l’ancien débit à plein bords, rien ne se produit Situation : Les berges d’un cours d’eau sont inchangées et surélevées par des digues latérales Endiguements (Degoutte, 2012) Pour des crues plus importantes que l’ancien débit à plein bord, la tractrice efficace augmente, ce qui occasionne une érosion régressive en amont et un dépôt en aval Le lit s’enfonce donc de manière à assurer une pente quasi-parallèle à l’ancienne. Selon Ramette (1981), l’enfoncement vaut : ∆𝑯 = 𝑸 𝑸 𝒎 𝟐/𝟑 − 𝟏
  72. 72. 06. RETRECISSEMENT LOCALISE 04.09.16 Ouvrages rétrécissant localement la section du lit mineur 72 Situation : Un ouvrage de largeur 𝐿0 est implanté dans un cours d’eau de largeur 𝐿1 > 𝐿0 𝐻0: profondeur initiale 𝐻1: profondeur après affouillement 𝐻2: profondeur au droit des culées Dans la section rétrécie, la hauteur d’eau augmente, ainsi que la contrainte tractrice, ce qui génère un affouillement local du lit. Selon Ramette (1981), la profondeur 𝐻1 est donnée par : Un affouillement localisé plus profond 𝐻2 se mettra en place au droit d’une culée, que l’on peut approximer par la profondeur des fonds perturbés : Rétrécissement localisé (Degoutte, 2012) 𝑯 𝟏 = 𝑯 𝟎 𝑳 𝟏 𝑳 𝟎 Τ𝟐 𝟑 𝑯 𝟐 ≈ 𝒇 𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟑𝒒 Τ𝟐 𝟑 𝒅−𝟏/𝟔
  73. 73. 07. RETENUES D’EAU 04.09.16 Influence des barrages (1/2) 73 La retenue d’un barrage joue un rôle décanteur : la charge solide est déposée du fait du ralentissement de la vitesse, suivant un tri granulométrique de l’entrée de la retenue vers l’aval. Le comblement progressif est irréversible Influence d’un barrage sur la charge solide (Degoutte, 2012) À l’aval, le lâcher d’eau claire crée un défit en charge solide. Pour assurer la saturation, l’écoulement prélève dans le matériau en place, ce qui déclenche une érosion progressive pouvant déchausser le pied de la digue
  74. 74. 07. RETENUES D’EAU 04.09.16 Influence des barrages (2/2) 74 Vörösmarty, Charles J, Michel Meybeck, Balázs Fekete, Keshav Sharma, Pamela Green, and James PM Syvitski. 2003. “Anthropogenic Sediment Retention: Major Global Impact from Registered River Impoundments.” Global and Planetary Change 39 (1): 169–90. Efficience de piégeage de sédiments transportés à l’échelle des grands bassins versants (Vörösmarty et al., 2003)
  75. 75. 08. OUVRAGES OBLIQUES 04.09.16 Influence de l’implantation d’ouvrages obliques 75 L’implantation d’ouvrages obliques (épis, quais) peut avoir divers types de conséquences ■ Tout ouvrage oblique vers l’aval provoque un rejet du courant vers la berge, qui peut en aggraver les risques d’affouillement et d’érosion ■ Tout ouvrage orienté vers l’amont favorisera le rejet du courant vers l’axe de la rivière, avec un déplacement en conséquent des risques d’affouillement si la tête fait obstacle Epis en rochers Ouvrage orienté vers l’amontOuvrage orienté vers l’aval Quai
  76. 76. DEVELOPPEMENTS HYDRODYNAMIQUES Chapitre IV
  77. 77. ■ Nous présenterons ici les développements hydrodynamiques caractérisant l’écoulement à surface libre sur un lit à fond mobile ■ Pour la simplification des expressions, nous supposerons une section d’écoulement rectangulaire, de largeur au radier 𝑏 ■ Les équations régissant les écoulements à surface libre sur fond fixe sont les équations de Saint-Venant (1871) ■ L’équation de continuité ■ L’équation de l’énergie ■ À ces relations s’ajoute l’équation d’Exner (1920) qui prend en compte le caractère mobile du fond du lit 01. EQUATIONS HYDRODYNAMIQUES 04.09.16 Equations fondamentales de l’écoulement à surface libre sur fond mobile 77 Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797-1886) Felix Maria Exner von Ewarten (1876-1930)
  78. 78. Volume entrant par la section (1) : 𝑄 𝑥 𝑑𝑡 02. EQUATIONS DE SAINT-VENANT 04.09.16 Principe de conservation de masse 78 Volume sortant par la section (2) : 𝑄 𝑥+𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑄 𝑥 𝑑𝑡 + 𝜕𝑄 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑡 Variation de volume liée à l’élévation de la surface libre (3) : ∆𝑆𝑑𝑥 = 𝜕𝑆 𝜕𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 On obtient l’équation de continuité en posant (3) = (1) - (2) : 𝜕𝑆 𝜕𝑡 + 𝜕𝑄 𝜕𝑥 = 0 ⇒ 𝜕𝑆 𝜕𝑡 + 𝑈 𝜕𝑆 𝜕𝑥 + 𝑆 𝜕𝑈 𝜕𝑥 = 0 Pour un canal rectangulaire, en posant 𝑆 = 𝑆(𝑦) = 𝑏𝑦 et en simplifiant par 𝑏, on obtient : 𝝏𝒚 𝝏𝒕 + 𝒚 𝝏𝑼 𝝏𝒙 + 𝑼 𝝏𝒚 𝝏𝒙 = 𝟎
  79. 79. 02. EQUATIONS DE SAINT-VENANT 04.09.16 Principe de conservation de l’énergie 79 La pente d’énergie 𝑗 est liée à 𝐻 par : 𝑗 = − 𝑑𝐻 𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝐻 = −𝑗𝑑𝑥 ⇒ 𝑑 𝑈2 2𝑔 + 𝑧 + 𝑦 = −𝑗𝑑𝑥 Or : 𝑑𝑧 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑑𝑥 Et : 𝑑 𝑈2 2𝑔 = 1 2𝑔 𝑑𝑈𝑡,𝑥 2 = 1 2𝑔 𝜕𝑈2 𝜕𝑡 𝑑𝑡 + 𝜕𝑈2 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑈2 2𝑔 = 𝑈 𝑔 𝜕𝑈 𝜕𝑡 𝑑𝑡 + 𝜕𝑈 𝜕𝑥 𝑑𝑥 En simplifiant par 𝑑𝑥, sachant que Τ𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑈, il vient que : La pente 𝑗 est alors donnée par une loi de frottement: 𝝏𝑼 𝝏𝒕 + 𝑼 𝝏𝑼 𝝏𝒙 + 𝒈 𝝏𝒚 𝝏𝒙 + 𝒈 𝝏𝒛 𝝏𝒙 = −𝒈𝒋 𝒋 = 𝒇(𝒚, 𝑼, ƒ)
  80. 80. Pour exprimer la continuité de la phase solide (à l’image de l’équation de continuité pour la phase liquide), Krishnappan (1981) propose : 𝜕𝑧 𝜕𝑡 + 1 1 − 𝑝 𝜕𝑞 𝑠 𝜕𝑥 = 0 où le débit solide 𝑞 𝑠 est une fonction (à déterminer) du débit liquide et des sédiments charriés : 𝑞 𝑠 = 𝑓(𝑦, 𝑈, 𝑠é𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠) 03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER 04.09.16 Equations couplées de l’écoulement des phases liquide et solide 80 𝜕𝑦 𝜕𝑡 + 𝑦 𝜕𝑈 𝜕𝑥 + 𝑈 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑈 𝜕𝑡 + 𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑦 𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = −𝑔𝑗 𝑗 = 𝑓(𝑦, 𝑈, 𝑘) 𝜕𝑧 𝜕𝑡 + 1 1 − 𝑝 𝜕𝑞 𝑠 𝜕𝑥 = 0 𝑞 𝑠 = 𝑓(𝑦, 𝑈, 𝑠é𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠) Equations de Saint - Venant, exprimant l’écoulement de la phase liquide sur fond mobile Equations exprimant le transport de la phase solide Equations de Saint-Venant-Exner Bommanna Krishnappan
  81. 81. 03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER 04.09.16 Effort de résolution (1/3) 81 ■ Les équations de Saint-Venant-Exner sont implicitement couplées. En pratique, pour les résoudre il faudrait : ■ chercher une solution pour la phase liquide ■ puis une solution pour la phase solide, afin d’obtenir la variation 𝑧(𝑥,𝑡) ■ Pour les coupler de manière explicite, Krishnappan (1981) propose d’exprimer la continuité pour la phase liquide : ■ Dès lors, les équations de Saint-Venant-Exner peuvent être résolues ■ De manière analytique pour des cas simples ■ De manière numérique pour des cas plus complexes 𝜕𝑦 𝜕𝑡 + 𝜕𝑧 𝜕𝑡 + 𝜕𝑞 𝜕𝑥 = 0
  82. 82. 03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER 04.09.16 Effort de résolution (2/3) 82 ■ Les équations de Saint-Venant-Exner sont non linéaires et hyperboliques ■ Trouver des solutions analytiques est très complexe ■ Mais des approximations peuvent être faites ■ Hypothèse : écoulement à faible nombre de Froude : 𝑭 𝒓 < 𝟎, 𝟔 ■ Ecoulement quasi-stationnaire : Τ𝜕 𝜕𝑡 ≈ 0 ■ Hypothèse valable car en pratique, 𝜕𝑞/𝜕𝑡 se produit sur un court terme tandis que 𝜕𝑧/𝜕𝑡 se produit sur un long terme, lorsque 𝜕𝑞/𝜕𝑡 a déjà disparu ■ Si l’on étudie donc 𝑧(𝑥, 𝑡) sur le long terme, alors 𝑞 = 𝐶 𝑡𝑒 et Τ𝜕 𝜕𝑡 ≈ 0 ■ On écrira donc pour équations de continuité et d’énergie : 𝒚 𝝏𝑼 𝝏𝒙 + 𝑼 𝝏𝒚 𝝏𝒙 = 𝟎 𝑼 𝝏𝑼 𝝏𝒙 + 𝒈 𝝏𝒚 𝝏𝒙 + 𝒈 𝝏𝒛 𝝏𝒙 = −𝒈𝒋
  83. 83. 03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER 04.09.16 Effort de résolution (3/3) 83 ■ On peut coupler les équations de Saint-Venant en une seule équation en multipliant l’équation de continuité par 𝑔/𝑈 et en l’éliminant avec l’équation de l’énergie. Il vient alors que : ■ Associons à cette nouvelle équation celle de la continuité de la phase solide (Krishnappan, 1981) en réécrivant toutefois le terme 𝜕𝑞 𝑠/𝜕𝑥 ■ Ces équations étant non linéaires, seules des solutions numériques sont envisageables. 𝜕𝑧 𝜕𝑡 + 1 1 − 𝑝 𝜕𝑞 𝑠 𝜕𝑥 = 0 ⇒ 𝝏𝑼 𝝏𝒙 𝑼 − 𝒈 𝒚 𝑼 + 𝒈 𝝏𝒛 𝝏𝒙 = −𝒈𝒋 (𝟏 − 𝒑) 𝝏𝒛 𝝏𝒕 + 𝝏𝒒 𝒔 𝝏𝑼 𝝏𝑼 𝝏𝒙 = 𝟎
  84. 84. 03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER 04.09.16 Modèle parabolique (1/4) 84 Selon Vreugdenhil et de Vries (1973), la quasi- stationnarité implique une quasi-uniformité de l’écoulement, donc Τ𝜕𝑈 𝜕𝑥 ≈ 0. Il vient alors que, pour l ’équation de l’énergie, en supposant une loi de frottement de Chézy : 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = −𝑗 = − 𝑈2 𝐶2ℎ = − 𝑈3 𝐶2 𝑞 ⇒ 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥2 = − 3𝑈2 𝐶2 𝑞 𝜕𝑈 𝜕𝑥 D’où : Dans l’équation de Krishnappan (1981), nous pouvons réintroduire la nouvelle écriture du terme 𝜕𝑈/𝜕𝑥. Il vient donc : En définissant donc un coefficient de diffusion 𝐾(𝑡): Nous déduisons donc le modèle parabolique: 𝜕𝑧 𝜕𝑡 − 1 3 𝜕𝑞 𝑠 𝜕𝑈 1 1 − 𝑝 𝐶2 ℎ 𝑈 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥2 = 0 𝐾(𝑡) = 1 3 𝜕𝑞 𝑠 𝜕𝑈 1 1 − 𝑝 𝐶2 ℎ 𝑈 𝝏𝒛 𝝏𝒕 − 𝑲 𝝏 𝟐 𝒛 𝝏𝒙 𝟐 = 𝟎 𝝏𝑼 𝝏𝒙 = − 𝟏 𝟑 𝑪 𝟐 𝒉 𝑼 𝝏 𝟐 𝒛 𝝏𝒙 𝟐 M. J. de Vries C. B. Vreugdenhil
  85. 85. 03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER 04.09.16 Modèle parabolique (2/4) 85 ■ Le modèle parabolique reste valable pour les cas applicatifs suivants : ■ Ecoulement à faible nombre de Froude : 𝑭 𝒓 < 𝟎, 𝟔 ■ Calcul sur le long terme : 𝑥, 𝑡 assez grands et 𝑥 > 3𝑦/𝑗 (de Vries, 1973) ■ En outre, de Vries (1973) propose que la constante 𝐾 soit linéarisée en : 𝑲 = 𝟏 𝟑 𝒒 𝒔 𝒃 𝒔 𝟏 𝟏 − 𝒑 𝟏 𝒋 𝟎 𝝏𝒛 𝝏𝒕 − 𝑲 𝝏 𝟐 𝒛 𝝏𝒙 𝟐 = 𝟎 𝒃 𝒔 = 𝟐𝜷 = 𝟐 𝟐, 𝟓𝟐 ≈ 𝟓 cf. formule de Graf et Acaroglu (1968) William Henry Froude (1810-1879)
  86. 86. 03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER 04.09.16 Modèle parabolique (3/4) 86 ■ Posons des conditions aux limites et initiales pour le modèle parabolique ■ Vreugdenhil et de Vries (1973), en utilisant les transformées de Laplace, définissent alors une solution analytique au modèle parabolique : ■ Où erfc fait référence à la fonction complémentaire d’erreur, définie par : 𝒛 𝒙, 𝒕 = ∆𝒉 𝐞𝐫𝐟𝐜 𝑿 𝟐 𝑲𝒕 𝑧 ∀𝑥, 𝑡 = 0 = 0 𝑧 𝑥 = 0, 𝑡 → ∞ = ∆ℎ 𝑧 𝑥 → ∞, 𝑡 = 0 𝐞𝐫𝐟𝐜 𝒀 = 𝟐 𝝅 න 𝒀 ∞ 𝒆−𝝃 𝟐 𝒅𝝃 𝜕𝑧 𝜕𝑡 − 𝐾 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥2 = 0
  87. 87. 03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER 04.09.16 Modèle parabolique (4/4) 87 Les valeurs de la fonction complémentaire d’erreur : ■ sont disponibles dans les tables mathématiques ■ Fournies par Microsoft Excel, en standard, via la fonction ERFC ■ Implémentées en librairies/packages standards pour divers langages et/ou environnements de programmation Abramowitz and Stegun (1964) proposent une approximation polynomiale : Table de la fonction complémentaire d’erreur - tiré de Graf et Altinakar (2000) 𝐞𝐫𝐟𝐜(𝒀) ≈ 𝟏 + ෍ 𝒊=𝟏 𝟔 𝒂𝒊 𝒀𝒊 −𝟏𝟔 + 𝝐(𝒀) Où 𝝐 𝒀 ≤ 𝟑. 𝟏𝟎−𝟕 a1 = 0,0705230784 a2 = 0,0422820123 a3 = 0,0092705272 a4 = 0,0001520143 a5 = 0,0002765672 a6 = 0,0000430638 Milton Abramowitz (1912-1958) Irene Ann Stegun (1912-2008)
  88. 88. 04. CALCUL D’EVOLUTION DE LIT 04.09.16 Cas simples d’application du modèle parabolique 88 Schémas de dégradation ou d’aggradation (Graf et Altinakar, 2000) Le modèle parabolique reste pratique pour décrire l’évolution du fond de lit pour des simples de dégradation ou d’aggradation ■ Cas de dégradation : ■ Débit solide interrompu en amont ■ Augmentation de débit liquide ■ Baisse d’un point fixe en aval ■ Cas d’aggradation : ■ Augmentation de débit solide en amont ■ Diminution de débit liquide ■ Montée d’un point fixe en aval
  89. 89. 04. CALCUL D’EVOLUTION DE LIT 04.09.16 Application du modèle parabolique à un canal en dégradation 89 ■ Soit un canal à fond mobile, véhiculant un débit unitaire 𝑞 uniforme et constant à hauteur d’eau 𝑦0 ■ À l’entrée dans un réservoir en aval, la hauteur d’eau imposée est telle que le tirant d’eau s’abaisse de ∆ℎ, générant une érosion régressive vers l’amont. ■ Au temps 𝑡 = ∞, on observera un abaissement de fond partout dans le canal et 𝑦∞ ≡ 𝑦0 Dégradation par abaissement de fond (Graf et Altinakar, 2000) Conditions initiales et aux limites : 𝑧 ∀𝑥, 𝑡 = 0 = 0 𝑧 𝑥 = 0, 𝑡 → ∞ = ∆ℎ 𝑧 𝑥 → ∞, 𝑡 = 0 La solution de du modèle parabolique de Vreugdenhil et de Vries (1973) est donc applicable !
  90. 90. 04. CALCUL D’EVOLUTION DE LIT 04.09.16 Application du modèle parabolique à un canal en aggradation 90 ■ Soit un canal à fond mobile, en équilibre, véhiculant un débit unitaire 𝑞 uniforme et constant à hauteur d’eau 𝑦0 ■ À une section particulière, il y a surcharge en débit solide (apport localisé). Une aggradation du fond de lit commence et la côte du fond augmente de ∆ℎ ainsi que celle de la surface libre Aggradation par surcharge en débit solide (Graf et Altinakar, 2000) Conditions initiales et aux limites : 𝑧 ∀𝑥, 𝑡 = 0 = 0 𝑧 𝑥 = 0, 𝑡 → ∞ = ∆ℎ(𝑡) 𝑧 𝑥 → ∞, 𝑡 = 0 La solution de du modèle parabolique de Vreugdenhil et de Vries (1973) est donc applicable !
  91. 91. 04. CALCUL D’EVOLUTION DE LIT 04.09.16 Quelques problèmes typiques (1/2) 91 ■ Problème : Après combien de temps, à une position 𝒙∆𝒑, la côte de fond aura- t-elle baissé de ∆𝒑 ? ■ On pose alors que 𝑧 𝑥, 𝑡 = ∆𝑝. Il vient alors que : ■ Problème : Quelle est l’allure du fond du canal après une durée ∆𝒕 ? ■ On définit en premier lieu la profondeur affouillée ∆ℎ(𝑡) = 𝑧 0, 𝑡 = ∆𝑡 donnée par Soni et al. (1980) ■ On calcule alors à diverses abscisses 𝑥𝑖 sur la longueur souhaitée les profondeurs 𝑧(𝑥𝑖, 𝑡 = ∆𝑡) par la solution au modèle parabolique ∆𝑝 ∆ℎ = erfc 𝑥∆𝑝 2 𝐾𝑡∆𝑝 ⇒ ∆𝒉(𝒕) = 𝒒 𝒔∆𝒕 𝟏, 𝟏𝟑 𝟏 − 𝒑 𝑲𝒕 = ∆𝒉 𝒕∆𝒑 = 𝒙∆𝒑 𝟐𝑲 𝒆𝒓𝒇𝒄−𝟏 ∆𝒑 ∆𝒉 𝟐
  92. 92. 04. CALCUL D’EVOLUTION DE LIT 04.09.16 Quelques problèmes typiques (2/2) 92 ■ Problème : Quelle est la longueur 𝑳 𝒂 d’aggradation après un temps ∆𝒕? ■ On pose alors qu’il s’agit de la longueur à partir de laquelle le ratio 𝑧/∆ℎ devient très faible. Il vient alors que : ■ En définitive, il l’emploi du modèle parabolique pour les calcul de dégradation et d’aggradation ne convient que lorsque : ■ L’écoulement est quasi-stationnaire (variation du fond sur le long terme) ■ L’écoulement est quasi-uniforme et fluvial: 𝑭 𝒓 < 𝟎, 𝟔 ■ Le calcul est effectué sur de grandes longueurs : 𝒙 > 𝟑𝒚/𝒋 ■ Dans le cas où ces conditions ne sont pas remplies, il convient de faire la résolution des équations de Saint-Venant et Exner de façon numérique. 𝑧 ∆ℎ ≈ 0,01 ⇒ 𝒙 = 𝟐 𝑲∆𝒕 ≅ 𝟑, 𝟔𝟓 𝑲∆𝒕
  93. 93. 05. MODELES HYDROSEDIMENTAIRES 04.09.16 93 Quelques modèles numériques de simulation du transport hydrosédimentaire

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