v1.6.0
Ecoulement gravitaire en canal prismatique
HYDRAULIQUE À SURFACE LIBRE
Roland O. YONABA
Ing. M.Sc. Eau & Environnem...
OBJECTIFS DE COURS
■ Connaître et maîtriser les lois fondamentales de conservation en hydraulique
■ Conservation de masse ...
SOMMAIRE
1. Hydrodynamique des écoulements à surface libre
2. Ecoulement uniforme
3. Dimensionnement des canaux à surface ...
REFERENCES
17.04.16 4
■ Biaou, Chabi Angelbert. 2009. Cours d'Hydraulique à Surface Libre. Ouagadougou : 2iE, 2009.
■ Carl...
HYDRODYNAMIQUE DES 
ECOULEMENTS À SURFACE LIBRE
Chapitre I
01. GENERALITES
17.04.16
Domaines d’application
6
01. GENERALITES
■ Ecoulements semblables aux
écoulements en charge (lois de
conservations identiques)
■ Particularité : ex...
01. GENERALITES
17.04.16
Classification des écoulements à surface libre (1/2)
8
■ Paramètres : débit et hauteur d’eau
■ Hy...
17.04.16 9
01. GENERALITES
Classification des écoulements à surface libre (2/2)
Ecoulement permanent Ecoulement non perman...
01. GENERALITES
17.04.16
Forme géométrique
10
rectangle Trapèze
CercleTriangle
Parabole
01. GENERALITES
■ Largeur au radier :
■ Fruit de berges :
■ Tirant d’eau :
■ Largeur en miroir (en gueule) :
■ Section mou...
01. GENERALITES
17.04.16
Eléments géométriques de formes paramétrées (tiré de Mar, 2004)
12
02. EQUATION DE CONTINUITE
■ Equation de continuité : équation fondamentale de la mécanique des
fluides
« la variation de ...
02. EQUATION DE CONTINUITE
■ La variation de volume pendant le temps :
■ Entraîne la variation de la surface libre dans la...
03. VITESSE D’ECOULEMENT
17.04.16
Dimensionnalité et directionnalité de l’écoulement
15
Ecoulement 
tridirectionnel
, , Ec...
03. VITESSE D’ECOULEMENT
17.04.16
Répartition de vitesse dans la section d’écoulement
16
La vitesse n’est pas constante da...
03. VITESSE D’ECOULEMENT
■ La vitesse moyenne en canal :
■ Cependant, la distribution de vitesse n’est pas
uniforme dans l...
03. VITESSE D’ECOULEMENT
■ La conception des canaux à ciel ouvert est parfois régie par des
contraintes de vitesse
■ La vi...
■ Afin d’éviter les dépôts des matériaux en suspension, on choisit
une vitesse moyenne supérieure à une vitesse minimale d...
03. VITESSE D’ECOULEMENT
■ Elle est définie pour préserver la stabilité du canal contre
l’érosion par affouillements. Elle...
03. VITESSE D’ECOULEMENT
■ Vitesses minimales : on admet , 	 / pour les limons fins et
, 	 / pour les sables
■ Vitesses ma...
03. VITESSE D’ECOULEMENT
17.04.16
Diagramme de Hjulström (1935)
22
Henning Filip Hjulström
(1902‐1982)
Diagramme définissa...
04. REGIMES D’ECOULEMENT
■ Elle est exprimée à travers le nombre de Reynolds, en utilisant
comme longueur caractéristique ...
04. REGIMES D’ECOULEMENT
■ Nombre adimensionnel
exprimant le rapport entre la
vitesse moyenne et la
vitesse de propagation...
05. PRESSION
■ En un point M dans un écoulement,
la pression effective est :
cos
■ En admettant que la pente de fond
est f...
05. PRESSION
■ Dans le cas d’un écoulement se produisant sur un fond courbe, une
accélération centrifuge de masse / est in...
06. ENERGIE HYDRAULIQUE
■ La charge hydraulique en un point M :	 ⁄ 2⁄
■ La charge moyenne dans la section devient alors :
...
07. REVÊTEMENT
■ Les fonctions assurées par le
revêtement :
■ Réduction des pertes en eau par
infiltration
■ Maximisation ...
ECOULEMENT UNIFORME
Chapitre II
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Définition et hypothèses
30
■ Un écoulement est dit uniforme lorsque les filets de couran...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Mise en équation
31
■ Application de la 2nde loi de Newton : ∑
datum
1
2
sin
0 (canal pri...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Equation de Chézy (1768)
32
■ Postulat de Chézy :
■ Il vient alors que :
■ C [m1/2.s-1] e...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Formulations empiriques de la constante de Chézy
33
■ Kutter (1869)
100
■ Bazin (1897)
87...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Formulation de Bazin de la constante de Chézy
34
0,06
0,16
0,46
0,85
1,30
1,75
Nature de ...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Formulation de Gauckler-Manning-Strickler de la constante de Chézy
35
■ Gauckler (1867) r...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Estimation du coefficient de rugosité de Manning-Strickler (1/2)
36
■ Le matériau de couv...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Estimation du coefficient de rugosité de Manning-Strickler (2/2)
37
Nature du cours d’eau...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Rugosité des sections composites
38
■ Les vitesses dans les sous-sections sont
différente...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Problème typique : Calcul d’un débit
39
■ Pour un canal, le tirant , la pente , les dimen...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Problème typique : calcul d’une profondeur normale
40
■ Pour un canal, supposons , , les ...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Calcul explicite de en canal rectangulaire
41
■ Achour et Bédjaoui (2006) proposent une f...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Calcul explicite de en canal trapézoïdal
42
■ Vatankhah (2013) propose une formule explic...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Calcul explicite de en canal circulaire
43
■ On définit le débit adimensionnel ⁄⁄
■ Hager...
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Abaque de calcul de (tiré de Mar, 2004)
44
01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Variation de l’énergie le long d’un courant
45
■ Dans un écoulement en charge, la singula...
DIMENSIONNEMENT 
DES CANAUX À SURFACE LIBRE
Chapitre III
01. CRITERES D’IMPLANTATION
17.04.16
Choix de forme
47
■ La section semi-circulaire est la plus
économe, mais demande une ...
01. CRITERES D’IMPLANTATION
17.04.16
Fruit des berges
48
■ Le fruit de berges doit être inférieur à l’angle de talus natur...
02. DIMENSIONNEMENT SIMPLE
17.04.16
Algorithme de calcul simplifié
49
■ Objectif : écouler un débit à travers une section ...
03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
Section Hydrauliquement Favorable (SHF)
50
■ SHF : section minimisant et , de sorte à ...
03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
Cas I : section circulaire
51
■ Pour la section circulaire et
■ Conséquence : et
■ La ...
03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
SHF circulaire – vitesse maximale
52
■ En utilisant l’équation de Manning Strickler :
...
03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
SHF circulaire – débit maximum
53
■ En utilisant l’équation de Manning et Strickler :
...
03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
SHF circulaire : abaque
54
03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
Valeur pratique pour le dimensionnement des sections circulaires
55
On retiendra plutô...
03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
Cas II : section trapézoïdale
56
■ La section et le périmètre dependent des variables ...
03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
Cas II : section trapézoïdale – propriétés géométriques
57
■ Une section trapézoïdale ...
03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
Cas II : section trapézoïdale – fruit de berges optimal
58
■ Le fruit de berges optima...
04. CALCUL DE SECTION AVEC CONTRAINTES
17.04.16
Section trapézoïdale avec vitesse limite
59
■ Contrainte : Il existe une v...
04. CALCUL DE SECTION AVEC CONTRAINTES
17.04.16
Calcul d’une pente limite pour section trapézoïdale avec vitesse maximale
...
04. CALCUL DE SECTION AVEC CONTRAINTES
17.04.16
Calcul d’une pente limite pour section trapézoïdale avec ou fixé
61
■ La p...
05. SYNTHESE DU CALCUL DE SECTION
17.04.16
1.10 – Principes de calcul
62
■ L’esprit du dimensionnement de section est de r...
ECOULEMENTS GRADUELLEMENT 
VARIES
Chapitre IV
01. ECOULEMENTS VARIES
17.04.16
Définition
64
■ Les écoulements variés se rencontrent dans les rivières au profil irréguli...
02. CARACTERISATION DES EGV
17.04.16
Hypothèses et propriétés
65
■ Les EGV se caractérisent par une variation « lente » et...
03. ENERGIE DES ECOULEMENTS
17.04.16
Charge moyenne et charge spécifique
66
■ Soit l’énergie totale H :
■ La charge diminu...
04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Variation de suivant
67
■ Etudions la variation de suivant le profil en long du canal :
■ ...
04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Variation de suivant pour un débit Q donné (1/2)
68
■ Pour un débit fixé :
■ Si → 0, S → 0...
04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Variation de suivant pour un débit Q donné (2/2)
69
04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Propriétés de la charge spécifique
70
■ Pour qu’il y ait écoulement d’un débit , une charg...
04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Charge spécifique critique (1/2)
71
■ À la profondeur critique :
1
1
■ On en déduit donc :
04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Charge spécifique critique (2/2)
72
2
2
8
sin
sin
2
04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Variation de pour une énergie spécifique fixée (1/2)
73
■ Pour une charge spécifique fixée...
04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Variation de pour une énergie spécifique fixée (2/2)
74
Ainsi, pour une énergie
spécifique...
05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Propriétés
75
■ L’écoulement critique
présente les propriétés
suivantes :
■ Il transporte un ...
05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Calcul de la profondeur critique
76
■ La profondeur critique	 est obtenue par résolution de l...
05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Calcul explicite de en section trapézoïdale
77
■ Vatankhah (2013) propose la méthode explicit...
05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Calcul explicite de en section circulaire
78
■ En notant l’erreur relative, Hager (1999) prop...
05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Abaque de calcul de (tiré de Mar, 2004)
79
05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Ecoulement à l’approche d’une chute
80
■ En pratique, il est admis que le tirant d’eau est cr...
05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Franchissement d’un déversoir
81
■ En pratique, il est admis que le tirant d’eau est critique...
05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Pente critique
82
■ La pente critique est la pente pour laquelle un débit donné s’écoule
en r...
05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Problèmes typiques au régime critique
83
■ Si l’on cherche la pente critique et que le débit ...
06. TYPES DE CANAUX
17.04.16
Classification des canaux suivant le type de pente (1/2)
84
■ Il s’agit d’attribuer une lettr...
06. TYPES DE CANAUX
17.04.16
Classification des canaux suivant le type de pente (2/2)
85
Pente critique 
Pente faible (
Ca...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Définition et problématique
86
■ C’est le profil en long de la surface libre dans un EGV ex...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Nomenclature
87
■ En associant le type de canal à la position de la ligne d’eau, on
établit...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Courbes en canal de classe F (ou M)
88
Courbes de remous en canal à pente faible (type F ou...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Courbes en canal de classe T (ou S)
89
Courbes de remous en canal à pente forte (type T ou ...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Courbes en canal de classe C
90
Courbes de remous en canal à pente critique (type C)
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Courbes en canal de classe H
91
Courbes de remous en canal à pente nulle (type H)
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Courbes en canal de classe A
92
Courbes de remous en canal à pente adverse (type A)
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Comportement de la ligne d’eau aux limites
93
■ Les limites des zones 1,2 et 3 sont : 0, , ...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Equation dynamique de la ligne d’eau
94
■ On recherche la dérivée de la fonction caractéris...
7. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Section de contrôle
95
■ La résolution de l’équation de la ligne d’eau nécessite une conditi...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthodes de calcul
96
■ L’intégration du problème différentiel suivant permet de définir
le...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthode d’intégration graphique
97
■ Soit la fonction
■ Le canal étant supposé prismatique ...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (1/5)
98
■ Méthode applicable à toutes les form...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (2/5)
99
1
1
1
1
1
1
■ Soit le débit correspond...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (3/5)
100
■ Bakhmeteff fait l’hypothèse que le ...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (4/5)
101
■ A partir de la section de contrôle ...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (5/5)
102
■ Algorithme d’application de la méth...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Détermination de l’exposant hydraulique (1/2)
103
■ L’exposant hydraulique s’obtient par re...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Détermination de l’exposant hydraulique (2/2)
104
■ Chow (1959), partant du postulat et en ...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthodes des différences finies
105
■ Elles sont basées sur une subdivision du canal en bie...
07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthodes des pas directs
106
■ Algorithme d’application : soit connu à la section de contrô...
ECOULEMENTS BRUSQUEMENT 
VARIES
Chapitre V
01. ECOULEMENT BRUSQUEMENT VARIE
17.04.16
Définition
108
■ Un EBV est un écoulement permanent dont les variables physiques...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Illustration (1/2)
109
Barrage des Trois Gorges, Yangzi Jiang, Chine
01. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Illustration (2/2)
110
Ressaut en canal rectangulaire en aval d’un déversoir
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Définition
111
■ Un ressaut est une surélévation brusque de la ligne d’eau au
passage d’u...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Classification des ressauts sur la base du Froude d’amont
112
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Valeurs caractéristiques
113
■ Hauteur du ressaut :
■ Rendement du ressaut :
■ Perte de c...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Notion d’impulsion (1/3)
114
■ Soit la quantité notée	 et appelée impulsion. On pose :
■ ...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Notion d’impulsion (2/3)
115
■ L’analyse de la fonction montre que :
■ Si → 0, → 0 et → ∞...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Notion d’impulsion (3/3)
116
■ Un débit donné peut s’écouler
sous deux profondeurs
(torre...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Réajustement de l’équation d’Euler
117
■ L’équation de conservation de l’impulsion peut ê...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Ressaut en canal rectangulaire (1/3)
118
■ En canal rectangulaire, on définit les relatio...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Ressaut en canal rectangulaire (2/3)
119
■ La solution physiquement acceptable est l’équa...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Ressaut en canal rectangulaire (3/3)
120
■ Il est alors possible d’écrire des expressions...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Ressaut en canal triangulaire
121
■ En canal triangulaire, on définit les relations :
1
3...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Ressaut en canal circulaire
122
■ Soit / le taux de remplissage de section
■ En canal cir...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Degré de submersion du ressaut
123
■ Lorsque le tirant d’eau conjugué de l’écoulement tor...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Position du ressaut (1/4)
124
■ La position du ressaut est définie suivant la relation en...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Position du ressaut (2/4)
125
■ Cas 2 : on a . Le ressaut se déplace vers l’aval
■ Cas 3 ...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Position du ressaut (3/4)
126
■ Dans le cas où le régime uniforme aval arrive à s’établir...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Position du ressaut (4/4)
127
■ Si l’écoulement uniforme ne s’établit pas à l’aval, on re...
02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Applications du ressaut hydraulique
128
■ Le ressaut hydraulique peut être forcé en canal...
LA SECTION DE CONTRÔLE
Chapitre VI
01. SECTION DE CONTRÔLE
17.04.16
Définition
130
■ Il s’agit de toute singularité permettant le passage d’un régime
fluvial...
02. DEVERSOIRS
17.04.16
Définition (1/2)
131
■ Considéré comme un orifice incomplet
laissant passer l’eau en nappe par-
de...
02. DEVERSOIRS
17.04.16
Définition (2/2)
132
■ Le déversoir peut se résumer à une plaque de hauteur appelée
« pelle », obs...
02. DEVERSOIRS
17.04.16
Modes de fonctionnement
133
■ Le déversoir peut fonctionner en écoulement noyé ou dénoyé.
Fonction...
02. DEVERSOIRS
17.04.16
Formule des déversoirs à seuil mince
134
■ Pour un déversoir frontal de largeur , le
débit passant...
02. DEVERSOIRS
17.04.16
Formule des déversoirs à seuil épais
135
■ Pour les seuils épais, il est admis que l’écoulement su...
03. VANNES
17.04.16
Définition
136
■ Considéré comme un organe mobile placé de manière frontale (ou
latérale) permettant l...
03. VANNES
17.04.16
Modes de fonctionnement
137
■ La vanne de fond peut fonctionner en écoulement noyé ou dénoyé.
Fonction...
03. VANNES
17.04.16
Principe d’étude
138
■ Soit la hauteur de levée de la vanne et le coefficient de
contraction de l’orif...
03. VANNES
17.04.16
Cas d’une vanne rectangulaire dénoyée
139
■ Pour une section rectangulaire de vanne dénoyée, on a :
2 ...
03. VANNES
17.04.16
Cas d’une vanne rectangulaire noyée
140
■ Pour une section rectangulaire de vanne noyée, on a :
2 2
■ ...
ETUDE DE QUELQUES SINGULARITES
Chapitre VII
01. SINGULARITES
17.04.16
Objectifs d’étude
142
■ En canal prismatique, le régime d’écoulement reste uniforme, mais
pertur...
01. SINGULARITES
17.04.16
Types de problèmes
143
■ Deux situations de calcul peuvent se présenter
■ Cas 1 : le débit est c...
01. SINGULARITES
17.04.16
Leçons tirées de l’étude des EGV (1/2)
144
■ Pour une charge spécifique donnée correspond
deux t...
01. SINGULARITES
17.04.16
Leçons tirées de l’étude des EGV (2/2)
145
■ Il n’existe pas de courbe de remous qui se raccorde...
02. CHANGEMENT DE PENTE
17.04.16
Augmentation de la pente de fond
146
Remous  (ou  )
Remous  (ou  )
Remous  (ou  )
02. CHANGEMENT DE PENTE
17.04.16
Diminution de la pente de fond
147
Remous  (ou  )
Remous  (ou  )
Remous  (ou  ) et ressau...
03. COURBES
17.04.16
Dévers transversal de la surface libre d’un écoulement dans une courbe
148
■ Un écoulement en courbe ...
04. TRANSITIONS
17.04.16
Passage d’une transition
149
■ Une transition est un bref passage d’un écoulement uniforme à
un a...
04. TRANSITIONS
17.04.16
Décrochement de radier
150
■ Notons ∆ le décrochement de radier :
■ Dans le cas d’une sous-élévat...
04. TRANSITIONS
17.04.16
Décrochement de radier : seuil négatif
151
■ Pour une charge spécifique
donnée, deux tirants d’ea...
04. TRANSITIONS
17.04.16
Décrochement de radier : seuil positif
152
■ Pour une charge spécifique
donnée, deux tirants d’ea...
04. TRANSITIONS
17.04.16
Calcul de à l’aval immédiat d’un seuil
153
■ Si , le débit passe entièrement et est donné par la
...
QUELQUES LOGICIELS…
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Hydraulique à Surface Libre

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Support de présentation de cours d'hydraulique à surface libre, à application pour l'ingénieur hydraulicien. Aborde l'écoulement permanent en canal en régime uniforme et varié.

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Hydraulique à Surface Libre

  1. 1. v1.6.0 Ecoulement gravitaire en canal prismatique HYDRAULIQUE À SURFACE LIBRE Roland O. YONABA Ing. M.Sc. Eau & Environnement Assistant d’Enseignement et de Recherche en Hydraulique Département Hydraulique et Assainissement/LEAH ‐ 2iE Email: ousmane.yonaba@2ie‐edu.org
  2. 2. OBJECTIFS DE COURS ■ Connaître et maîtriser les lois fondamentales de conservation en hydraulique ■ Conservation de masse (équation de continuité), de quantité de mouvement et d’énergie ■ Etre capable de résoudre les problèmes typiques en HSL au régime permanent et uniforme ■ Calcul de section, débit, vitesse, pente, rugosité, tirant d’eau,… ■ Maitriser les concepts régissant l’énergie des écoulements ■ Energie hydraulique et spécifique ■ Connaître le régime permanent non uniforme ■ Caractérisation des écoulements variés, notion de section de contrôle ■ Connaître l’influence de quelques singularités sur l’écoulement ■ Changement de pente, de radier, de section, écoulement en courbe 17.04.16 2
  3. 3. SOMMAIRE 1. Hydrodynamique des écoulements à surface libre 2. Ecoulement uniforme 3. Dimensionnement des canaux à surface libre 4. Ecoulements graduellement variés 5. Ecoulements brusquement variés 6. La section de contrôle 7. Etude de quelques singularités 17.04.16 3
  4. 4. REFERENCES 17.04.16 4 ■ Biaou, Chabi Angelbert. 2009. Cours d'Hydraulique à Surface Libre. Ouagadougou : 2iE, 2009. ■ Carlier, Michel. 1972. Hydraulique Générale et Appliquée. Paris : Eyrolles, 1972. ■ Class, Holger et Walter, Lena. 2011. Environmental Fluid Mechanics ‐ Part I :  Hydromechanics. Stuttgart : Universität Stuttgart, 2011. ■ Dufresne, Matthieu et Vazquez, José. 2013. Hydraulique pour le technicien et l'Ingénieur.  Strasbourg : ENGEES, 2013. ■ Graf, Walter et Mustafa, Altinakar. 1998. Hydraulique Fluviale. Lausanne : Presses  Polytechniques Romandes, 1998. ■ Idel'Cik. 1969. Memento de pertes de charges. Paris : Eyrolles, 1969. ■ Lencastre, A. 1996. Hydraulique Générale. Paris : Eyrolles, 1996. ■ Mar, Amadou Lamine. 2004. Cours d'Hydraulique ‐ T2: Ecoulements à Surface Libre. s.l. :  Groupe des Ecoles EIER‐ETSHER, 2004. Vol. 1. ■ Mounirou, Adjadi Lawani. 2014. Essentiel d'Hydraulique Générale. Ouagadougou : 2iE, 2014. ■ Te Chow, Ven. 1959. Open Channel Hydraulics. s.l. : McGraw‐Hill, 1959.
  5. 5. HYDRODYNAMIQUE DES  ECOULEMENTS À SURFACE LIBRE Chapitre I
  6. 6. 01. GENERALITES 17.04.16 Domaines d’application 6
  7. 7. 01. GENERALITES ■ Ecoulements semblables aux écoulements en charge (lois de conservations identiques) ■ Particularité : existence d’une surface libre : surface de contact entre l’écoulement et l’air libre, à pression atmosphérique : ■ Débit d’écoulement défini par la pente ■ Mais pas par le gradient de pression (comme dans le cas des écoulements en charge) 17.04.16 Définition des écoulements à surface libre 7
  8. 8. 01. GENERALITES 17.04.16 Classification des écoulements à surface libre (1/2) 8 ■ Paramètres : débit et hauteur d’eau ■ Hypothèses : Ecoulement 1D (uni-dimensionnel) et conservatif ■ Variables : temps et position ■ Classification des écoulements suivant le temps ■ Permanent (Q constant dans le temps à une section de référence) ■ Non permanent (Q variant dans le temps à une section de référence) ■ Classification des écoulements suivant la position ■ Uniforme (et conservatif) : et y ■ Varié : et y f x ■ Ecoulements Graduellement Variés (EGV) ■ Ecoulements Brutalement Variés (EBV)
  9. 9. 17.04.16 9 01. GENERALITES Classification des écoulements à surface libre (2/2) Ecoulement permanent Ecoulement non permanent Ecoulements uniformes et variés (régime permanent et conservatif)
  10. 10. 01. GENERALITES 17.04.16 Forme géométrique 10 rectangle Trapèze CercleTriangle Parabole
  11. 11. 01. GENERALITES ■ Largeur au radier : ■ Fruit de berges : ■ Tirant d’eau : ■ Largeur en miroir (en gueule) : ■ Section mouillée : ■ Périmètre mouillé : ■ Rayon hydraulique : / ■ Diamètre hydraulique : 4 ■ Profondeur hydraulique : / ■ Profondeur du centre de gravité : ■ Pente de fond : tan 17.04.16 Paramètres géométriques et hydrauliques 11
  12. 12. 01. GENERALITES 17.04.16 Eléments géométriques de formes paramétrées (tiré de Mar, 2004) 12
  13. 13. 02. EQUATION DE CONTINUITE ■ Equation de continuité : équation fondamentale de la mécanique des fluides « la variation de la masse fluide contenue dans un volume donné pendant un certain temps est égal à la somme des masses fluides qui y entrent, diminuée de celles qui en sortent » 17.04.16 Principe de conservation de masse (1/2) 13
  14. 14. 02. EQUATION DE CONTINUITE ■ La variation de volume pendant le temps : ■ Entraîne la variation de la surface libre dans la même durée : ■ En égalisant les expressions, et en faisant l’hypothèse d’un régime permanent : 0 ⇒ 0 ⇒ 17.04.16 Principe de conservation de masse (2/2) 14
  15. 15. 03. VITESSE D’ECOULEMENT 17.04.16 Dimensionnalité et directionnalité de l’écoulement 15 Ecoulement  tridirectionnel , , Ecoulement  bidirectionnel , Ecoulement  unidirectionnel Les calculs en hydraulique supposent le  plus souvent un écoulement  unidirectionnel et unidimensionnel!
  16. 16. 03. VITESSE D’ECOULEMENT 17.04.16 Répartition de vitesse dans la section d’écoulement 16 La vitesse n’est pas constante dans la  section et est maximale à  approximativement 25% en dessous de la  surface libre. Influence de la  rugosité des  parois du  canal sur le  profil vertical  de vitesse (Chow, 1959) Ven Te Chow (1914‐1981)
  17. 17. 03. VITESSE D’ECOULEMENT ■ La vitesse moyenne en canal : ■ Cependant, la distribution de vitesse n’est pas uniforme dans la section. ■ Quelques relations empiriques existent : ■ , (Prony) ■ 0,5 , , (USGS) ■ , (cf. Graf, 1996) 17.04.16 Vitesse moyenne en section de canal 17 Gaspard de Prony (1755‐1839) 1 . 1 . Équation 2D Équation 1D
  18. 18. 03. VITESSE D’ECOULEMENT ■ La conception des canaux à ciel ouvert est parfois régie par des contraintes de vitesse ■ La vitesse d’écoulement doit assurer des fonctions particulières : ■ Auto-curage (ou auto-entretien) ■ Préservation de la stabilité structurale (érosion) du canal ■ En conséquence, la vitesse moyenne d’écoulement ne doit être ni trop faible, ni trop élevée 17.04.16 Vitesses limites 18
  19. 19. ■ Afin d’éviter les dépôts des matériaux en suspension, on choisit une vitesse moyenne supérieure à une vitesse minimale donnée par la formule de Kennedy (1963) : , ■ Alternativement, on peut adopter une forme de canal pour les faibles débits 03. VITESSE D’ECOULEMENT 17.04.16 Vitesse minimale 19
  20. 20. 03. VITESSE D’ECOULEMENT ■ Elle est définie pour préserver la stabilité du canal contre l’érosion par affouillements. Elle est définie sur la base de deux approches : ■ Sur la base du matériau formant le lit du chenal ■ L’approche par la contrainte tractrice ■ Soit la contrainte tractrice . On définit alors: ■ au fond ■ sur les parois 17.04.16 Vitesse maximale 20 On adoptera des conditions d’écoulement telles que les contraintes maximales et  soient inférieures à une contrainte critique  de destructuration du  matériau du canal
  21. 21. 03. VITESSE D’ECOULEMENT ■ Vitesses minimales : on admet , / pour les limons fins et , / pour les sables ■ Vitesses maximales définies suivant la nature des parois 17.04.16 Valeurs indicatives 21 Nature des parois Vitesses maximales admissibles (m/s) Terre détrempée 0,10 0,15 0,08 Argiles 0,25 0,30 0,15 Sables 0,50 0,60 0,30 Graviers 0,95 1,25 0,70 Roches stratifiées 2,25 2,75 1,80 Roches compactes 3,70 4,25 3,15
  22. 22. 03. VITESSE D’ECOULEMENT 17.04.16 Diagramme de Hjulström (1935) 22 Henning Filip Hjulström (1902‐1982) Diagramme définissant  l’état d’un grain, en  fonction de sa taille et  de la vitesse de  l’écoulement. Si le matériau en place forme le canal a une granulométrie connue,  et  peuvent être choisis sur la base du diagramme de Hjulström
  23. 23. 04. REGIMES D’ECOULEMENT ■ Elle est exprimée à travers le nombre de Reynolds, en utilisant comme longueur caractéristique le diamètre hydraulique , / / 4 4 , ■ Permet de classifier l’écoulement en trois régimes: ■ Laminaire : 500 ■ Transitoire : 500 1000 ■ Turbulent : 1000 ■ Cette classification a peu d’importance en HSL, les écoulements étant rarement laminaires 17.04.16 Effet des forces de viscosité 23 Osborne Reynolds (1842 – 1912)
  24. 24. 04. REGIMES D’ECOULEMENT ■ Nombre adimensionnel exprimant le rapport entre la vitesse moyenne et la vitesse de propagation des petites ondes gravitaires (1861) ■ Permet de distinguer trois régimes d’écoulement : ■ Fluvial : 1 ■ Critique : 1 ■ Torrentiel : 1 17.04.16 Effet des forces de gravité 24 William Froude (1810 – 1879)
  25. 25. 05. PRESSION ■ En un point M dans un écoulement, la pression effective est : cos ■ En admettant que la pente de fond est faible ( 10%, cos 1), il advient que , d’ou : cos 17.04.16 Répartition de pression 25
  26. 26. 05. PRESSION ■ Dans le cas d’un écoulement se produisant sur un fond courbe, une accélération centrifuge de masse / est introduite, induisant une force d’inertie supplémentaire : la distribution de pression n’est plus hydrostatique ■ L’accélération / est positive sur fond concave (+) et négative sur fond convexe (-). L’expression de la pression sur le fond est : 17.04.16 Répartition de pression : cas des courants courbes 26 Sur fond concave, la pression sur le fond est  abaissée et peut devenir inférieure à  ,  entrainement un décollement du fond. Sur fond convexe, la pression sur le fond  est augmentée. Cela accentue l’érosion du  fond de la convexité
  27. 27. 06. ENERGIE HYDRAULIQUE ■ La charge hydraulique en un point M : ⁄ 2⁄ ■ La charge moyenne dans la section devient alors : 1 2 ■ est le coefficient de Coriolis, de valeur comprise entre 1,03 et 1,36 suivant la rugosité des parois (Chow, 1959). On retient généralement la valeur de 1. 1 17.04.16 Charge hydraulique 27
  28. 28. 07. REVÊTEMENT ■ Les fonctions assurées par le revêtement : ■ Réduction des pertes en eau par infiltration ■ Maximisation du débit, par réduction de la rugosité des parois ■ Minimisation de l’effet de l’érosion ■ Quelques exemples de matériaux de couverture : ■ Béton, asphalte, ciment, ■ Bois, ■ Matériau pulvérulent, graviers, rochers, etc… 17.04.16 Définition et propriétés 28
  29. 29. ECOULEMENT UNIFORME Chapitre II
  30. 30. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Définition et hypothèses 30 ■ Un écoulement est dit uniforme lorsque les filets de courants sont rectilignes et parallèles, avec un profil de vitesse constant suivant le profil en long, ■ Le débit , la vitesse et le tirant d’eau sont constants ■ Propriétés de l’EU : ■ Canal prismatique (section constante) ■ Vitesse moyenne constante d’une section à l’autre ■ Distribution de pression hydrostatique ■ Surface libre parallèle à la pente de fond
  31. 31. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Mise en équation 31 ■ Application de la 2nde loi de Newton : ∑ datum 1 2 sin 0 (canal prismatique) (écoulement uniforme) → 0 ⇒ sin
  32. 32. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Equation de Chézy (1768) 32 ■ Postulat de Chézy : ■ Il vient alors que : ■ C [m1/2.s-1] est la constante de Chézy et dépend : ■ De la forme de la section ■ De la rugosité ■ Des conditions d’écoulement Antoine de Chézy (1718 – 1798)
  33. 33. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Formulations empiriques de la constante de Chézy 33 ■ Kutter (1869) 100 ■ Bazin (1897) 87 ■ Powell (1950), logarithmique et implicite en C 2 log 4
  34. 34. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Formulation de Bazin de la constante de Chézy 34 0,06 0,16 0,46 0,85 1,30 1,75 Nature de la paroi Parois très unies (ciment lissé) Parois unies (planches, briques, pierres de taille) Parois en maçonnerie Parois en terre bien régulières Parois en terre ordinaires Parois en terre et fond de galets ou herbes Henri Bazin (1829 – 1927) Valeurs du coefficient  dans la formulation de  Bazin du coefficient de Chézy (1897) 87
  35. 35. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Formulation de Gauckler-Manning-Strickler de la constante de Chézy 35 ■ Gauckler (1867) relie le coefficient de Chézy à ■ Puis, Manning (1889) et Strickler (1891) proposent une approche similaire : / / ■ D’où la formule très usitée de Manning-Strickler : / / Robert Manning (1816‐1897) Albert Strickler (1887‐1963)
  36. 36. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Estimation du coefficient de rugosité de Manning-Strickler (1/2) 36 ■ Le matériau de couverture est connu : la valeur de ou est prise dans les tables qui les définit suivant la nature du matériau ■ Le débit , la pente et le rayon hydraulique sont connus : la rugosité est approchée expérimentalement par jaugeage ■ Le revêtement est constitué de matériau non-cohérents : ou est approché de manière empirique : 26 ⁄ 1 0,041 / 1 0,038 /
  37. 37. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Estimation du coefficient de rugosité de Manning-Strickler (2/2) 37 Nature du cours d’eau Petits torrents de montagne à fond très irrégulier 23 à 26 Cours d’eau de montagne de 30 à 50m de large, pente supérieure à  0.002, fond de graviers atteignant 10 à 20 cm. 27 à 29 Cours d’eau de montagne de 50m et plus de large, pente comprise entre  0.0008 et 0.002, fond de graviers ne dépassant que rarement 10 cm. 30 à 33 Rivières à fond de graviers de 4 à 8 cm et de pente 0.0006 à 0.0008 34 à 37 Rivières à fond de graviers inférieurs à 4 cm et de pente 0.0006 à 0.0008 38 à 40 Rivières à fond de sable ou petits graviers et de pente 0.0006 à 0.00025 41 à 42 Cours d’eau peu turbulents, pente faible de 0.00012 à 0.00025, fond de  sable et de vase 43 à 45 Très grands fleuves à très faible pente inférieure à 0.00012 et à fond très  lisse 46 à 50 Valeurs estimatives de  pour les cours d’eau naturels  (CEMAGREF)
  38. 38. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Rugosité des sections composites 38 ■ Les vitesses dans les sous-sections sont différentes , , ⁄ ■ La vitesse dans les sous-sections sont proches de la vitesse moyenne U. D’où l’expression de rugosité équivalente (Einstein,1934) é ∑ / ⁄ Hans Albert Einstein (1904‐1973)
  39. 39. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Problème typique : Calcul d’un débit 39 ■ Pour un canal, le tirant , la pente , les dimensions , , et la rugosité sont connus. Nous souhaitons estimer le débit ■ On utilise la formule de Manning-Strickler / Ou l’écriture équivalente : ⁄ /
  40. 40. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Problème typique : calcul d’une profondeur normale 40 ■ Pour un canal, supposons , , les dimensions caractéristiques ( , , ) et rugosité sont connus. Il s’agit d’estimer le tirant d’eau ■ L’écoulement est uniforme : est alors appelé profondeur normale (noté ) et est déduit de l’équation de Manning-Strickler par la méthode de la débitance. / / ■ Alternativement, il est possible d’employer la méthode de l’abaque ou des méthodes de convergence (point fixe, Newton-Raphson,…)
  41. 41. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Calcul explicite de en canal rectangulaire 41 ■ Achour et Bédjaoui (2006) proposent une formulation explicite pour le calcul de la profondeur normale en section rectangulaire Bachir Achour 4 5 4 5 16 5 4 5 896 5 ⋯
  42. 42. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Calcul explicite de en canal trapézoïdal 42 ■ Vatankhah (2013) propose une formule explicite pour le calcul de en section trapézoïdale (avec une erreur maximale 0,25%) 4 1 ∗ 1 1 0,885 ∗ 0,98 1 ∗ 1,05 , , 1 2 1 2 1 ∗ 1 , , Ali R. Vatankhah
  43. 43. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Calcul explicite de en canal circulaire 43 ■ On définit le débit adimensionnel ⁄⁄ ■ Hager (1985) propose une approximation : ■ Achour (2013) propose une meilleure approximation : Valable : • si 0,2 ⁄ 0,95 ( 5%) • Ou si 0,4 ⁄ 0,95 3% 3 4 1 7 12 , , ⁄ ⁄ Valable si ⁄ 0,75 et  0,2842 , ,
  44. 44. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Abaque de calcul de (tiré de Mar, 2004) 44
  45. 45. 01. ECOULEMENT UNIFORME 17.04.16 Variation de l’énergie le long d’un courant 45 ■ Dans un écoulement en charge, la singularité provoque une diminution du débit. ■ Dans un écoulement en surface libre, malgré la présence d’une singularité, le débit reste constant, mais l’écoulement devient localement non uniforme ■ Exemple d’un seuil : économie d’énergie en amont du seuil, puis déperdition en aval du seuil
  46. 46. DIMENSIONNEMENT  DES CANAUX À SURFACE LIBRE Chapitre III
  47. 47. 01. CRITERES D’IMPLANTATION 17.04.16 Choix de forme 47 ■ La section semi-circulaire est la plus économe, mais demande une plus grande profondeur. Elle est surtout employée pour les aqueducs en demi- buse (non enterrés) en irrigation. ■ La section rectangulaire doit être excavée dans un sol stable, car elle présente le risque éboulement des parois si la profondeur est grande. ■ La section trapézoïdale est la plus utilisée. Les cavaliers sont confectionnés avec les déblais et les banquettes sont aménagées lorsque la profondeur est grande.
  48. 48. 01. CRITERES D’IMPLANTATION 17.04.16 Fruit des berges 48 ■ Le fruit de berges doit être inférieur à l’angle de talus naturel lorsque le canal est confectionné avec le matériau en place. ■ On notera que plus le matériau est lâche, plus le fruit de berges est élevé. Nature du terrain Roche ferme, maçonnerie ordinaire 0 à 0,25 Rocher fissuré, pierre sèche 0,5 Argile 0,74 Alluvions compacts 1 Terre ordinaire, sable grossier 2 Terre remuée, sable fin 2,5 à 3 Quelques valeurs  pratiques du fruit de  berges pour les chenaux  naturels
  49. 49. 02. DIMENSIONNEMENT SIMPLE 17.04.16 Algorithme de calcul simplifié 49 ■ Objectif : écouler un débit à travers une section dont les dimensions et le tirant d’eau sont à définir. ■ Hypothèse : écoulement uniforme. ■ Algorithme simplifié : ■ Choisir d’une forme de canal (trapézoïdal, circulaire,…) ■ Choisir d’un revêtement pour la définition de la rugosité ■ Soit fixer (trapézoïdal) ou (circulaire) et déterminer par itération, ■ Ou, fixer et déterminer par itération ■ Infinité de solutions possibles.
  50. 50. 03. SECTION « ECONOMIQUE » 17.04.16 Section Hydrauliquement Favorable (SHF) 50 ■ SHF : section minimisant et , de sorte à maximiser sur une pente donnée ou section minimisant pour un débit donné. ■ Elle est dite « économique », mais ne constitue pas toujours la meilleure solution lorsqu’il existe des contraintes: ■ De type terrain horizontal ■ De type profondeur limite ■ De type vitesse limite d’écoulement ■ La section circulaire (cas I) est déjà économique par essence. Mais la section trapézoïdale (cas II) nécessite des relations particulières entre ses dimensions pour être « hydrauliquement favorable ». ■ La SHF ne tient pas compte de la revanche
  51. 51. 03. SECTION « ECONOMIQUE » 17.04.16 Cas I : section circulaire 51 ■ Pour la section circulaire et ■ Conséquence : et ■ La fonction S est croissante avec points d’inflexion, tandis que la fonction P est croissante et linéaire. ■ De ce fait, et ne sont pas atteints à la même profondeur ■ Il apparait donc deux situations optimales pour la section circulaire hydrauliquement favorable ■ SHF pour la vitesse ■ SHF pour le débit 8 sin 2
  52. 52. 03. SECTION « ECONOMIQUE » 17.04.16 SHF circulaire – vitesse maximale 52 ■ En utilisant l’équation de Manning Strickler : ⁄ ■ La vitesse est maximale pour : Condition de vitesse maximale : 0 4,493 257, 453 ° /
  53. 53. 03. SECTION « ECONOMIQUE » 17.04.16 SHF circulaire – débit maximum 53 ■ En utilisant l’équation de Manning et Strickler : ⁄ ■ Le débit est maximal pour : Condition de débit maximal : 0 5,278 302,413 ° /
  54. 54. 03. SECTION « ECONOMIQUE » 17.04.16 SHF circulaire : abaque 54
  55. 55. 03. SECTION « ECONOMIQUE » 17.04.16 Valeur pratique pour le dimensionnement des sections circulaires 55 On retiendra plutôt un taux de remplissage de 75% ( 340 ° ). La perte de débit sera de 15% par rapport à . 2r = D  = 302°  = 258°  = 240° 0 r = D/2 1.88 r 1.63 r 1.5 r 0.5 r 15 % Qmax. Umax. Niveau pratique V(H) Q(H) Rh(H) H En général on évite de réaliser les SHF en section circulaire car avec les taux de remplissage atteints ( 94% à et 81,5% à ), la conduite peut se mettre en charge.
  56. 56. 03. SECTION « ECONOMIQUE » 17.04.16 Cas II : section trapézoïdale 56 ■ La section et le périmètre dependent des variables et . Minimiser et implique 0 et 0 , , 2 1 ⇒ 0 ⇒ 2 0 0 ⇒ 2 1 0 ■ La solution non triviale (0,0) existe si le déterminant est nul. D’où la solution : 2 2⁄ 2 1 / 2 / ⇒ / 2 / / / ⇒
  57. 57. 03. SECTION « ECONOMIQUE » 17.04.16 Cas II : section trapézoïdale – propriétés géométriques 57 ■ Une section trapézoïdale et hydrauliquement favorable a ses trois côtés tangents à un demi-cercle inscrit de centre et de rayon sin 1 1 sin ⇒ sin 2 1 On montre que, pour la SHF : 1 2 et 2 2
  58. 58. 03. SECTION « ECONOMIQUE » 17.04.16 Cas II : section trapézoïdale – fruit de berges optimal 58 ■ Le fruit de berges optimal pour une SHF trapézoïdale est celle qui fait de la section un semi-hexagone, soit ° ■ Il est obtenu en retenant la solution non triviale ( 0) qui annule la dérivée du périmètre , pour variant : 2 2 2 1 1 0 ⇒ ° ■ Attention! Le fruit de berges optimal n’est pas toujours la meilleure option
  59. 59. 04. CALCUL DE SECTION AVEC CONTRAINTES 17.04.16 Section trapézoïdale avec vitesse limite 59 ■ Contrainte : Il existe une vitesse maximale ■ Le couple solution , doit vérifier l’équation : 0 ■ On définit le discriminant ∆ 4 . ■ ∆ 0 : pas de solution. Diminuer et reprendre. ■ ∆ 0 : solution unique : la SHF: /2 ■ ∆ 0 : retenir une solution pratique entre les deux suivantes: ∆ ⇒ ∆ ⇒ /
  60. 60. 04. CALCUL DE SECTION AVEC CONTRAINTES 17.04.16 Calcul d’une pente limite pour section trapézoïdale avec vitesse maximale 60 ■ La pente d’écoulement optimale est à définir, ainsi que la section, mais pour une vitesse maximale déjà fixée. ■ Si est optimale, la section est alors hydrauliquement favorable pour écouler le débit de manière efficace. D’où l’écriture : 2 1 ■ De l’équation de Manning-Strickler, il vient que : ⁄ ⁄ ⁄ /
  61. 61. 04. CALCUL DE SECTION AVEC CONTRAINTES 17.04.16 Calcul d’une pente limite pour section trapézoïdale avec ou fixé 61 ■ La pente d’écoulement optimale est à définir, mais l’une des dimensions ou est fixée, ainsi que la vitesse . Il vient alors que : 0 ■ La solution est de la forme : ■ De l’équation de Manning-Strickler, nous déduisons : /
  62. 62. 05. SYNTHESE DU CALCUL DE SECTION 17.04.16 1.10 – Principes de calcul 62 ■ L’esprit du dimensionnement de section est de remplir les conditions suivantes : 1. Minimiser l’emprise de l’ouvrage 2. Minimiser la profondeur de fouille 3. Minimiser la section de l’ouvrage 4. Réaliser une vitesse d’écoulement ni trop faible, ni trop élevée ■ En général, on essaiera le plus souvent de : ■ Satisfaire les conditions 3 et 4 en premier, ■ Revoir les dimensions afin de satisfaire les conditions 1 et 2 (si besoin est) ■ Jouer la pente pour satisfaire la condition 5 (si besoin est).
  63. 63. ECOULEMENTS GRADUELLEMENT  VARIES Chapitre IV
  64. 64. 01. ECOULEMENTS VARIES 17.04.16 Définition 64 ■ Les écoulements variés se rencontrent dans les rivières au profil irrégulier, près des singularités en canal et en zone de transition entre deux écoulements uniformes. ■ Ils sont caractérisés par une variation de la hauteur d’eau entre deux sections. ■ Les écoulements graduellement variés (EGV) ■ Les écoulements brusquement variés (EBV)
  65. 65. 02. CARACTERISATION DES EGV 17.04.16 Hypothèses et propriétés 65 ■ Les EGV se caractérisent par une variation « lente » et « continue » de la ligne d’eau, soit en exhaussement ou en rabaissement. ■ Dans l’étude des EGV, on admet les hypothèses suivantes : ■ La courbure des lignes de courant est suffisamment faible pour être négligée ■ La distribution de pression reste hydrostatique ■ Le coefficient de Coriolis reste constant ■ La loi de débit par Manning-Strickler s’écrit désormais : ⁄ ⁄
  66. 66. 03. ENERGIE DES ECOULEMENTS 17.04.16 Charge moyenne et charge spécifique 66 ■ Soit l’énergie totale H : ■ La charge diminue toujours dans le sens de l’écoulement ■ est décroissante ■ La charge spécifique est la charge moyenne ramenée au fond du canal x 2y 1y ∆ / /
  67. 67. 04. ENERGIE SPECIFIQUE 17.04.16 Variation de suivant 67 ■ Etudions la variation de suivant le profil en long du canal : ■ En écoulement uniforme, : est constante. ■ En écoulement non uniforme, : ■ If , augmente, diminue. ■ If , diminue, augmente.
  68. 68. 04. ENERGIE SPECIFIQUE 17.04.16 Variation de suivant pour un débit Q donné (1/2) 68 ■ Pour un débit fixé : ■ Si → 0, S → 0 donc → ∞ ■ Si → ∞, → ∞ donc → → ∞ ■ Aussi, si → ∞, ⁄ → 1, donc → (asymptote) ■ On établit l’expression : 1 1 ■ est minimale pour 1 : c’est le régime critique.
  69. 69. 04. ENERGIE SPECIFIQUE 17.04.16 Variation de suivant pour un débit Q donné (2/2) 69
  70. 70. 04. ENERGIE SPECIFIQUE 17.04.16 Propriétés de la charge spécifique 70 ■ Pour qu’il y ait écoulement d’un débit , une charge spécifique minimale est nécessaire. C’est la charge spécifique au régime critique. 2 ■ Pour une charge spécifique , le débit est écoulé sous deux régimes possibles : ■ 1 : fluvial (potentiel élevé, cinétique faible) ■ 1 : torrentiel (potentiel faible, cinétique élevée) ■ Le régime critique 1 est un régime de transition, instable, qui apparaît généralement aux sections de contrôle.
  71. 71. 04. ENERGIE SPECIFIQUE 17.04.16 Charge spécifique critique (1/2) 71 ■ À la profondeur critique : 1 1 ■ On en déduit donc :
  72. 72. 04. ENERGIE SPECIFIQUE 17.04.16 Charge spécifique critique (2/2) 72 2 2 8 sin sin 2
  73. 73. 04. ENERGIE SPECIFIQUE 17.04.16 Variation de pour une énergie spécifique fixée (1/2) 73 ■ Pour une charge spécifique fixée , étudions la variation du débit avec la hauteur d’eau ■ On en déduit le comportement suivant aux limites : ■ → 0, → 0, → 0 ■ → , → 0 ■ Le graphe est parabolique et admet un maximum pour 0 ⇒ 1 ⇒
  74. 74. 04. ENERGIE SPECIFIQUE 17.04.16 Variation de pour une énergie spécifique fixée (2/2) 74 Ainsi, pour une énergie spécifique fixée, le débit est maximal lorsque le régime  est critique. La hauteur d’eau correspondante est appellée “tirant d’eau critique” 
  75. 75. 05. REGIME CRITIQUE 17.04.16 Propriétés 75 ■ L’écoulement critique présente les propriétés suivantes : ■ Il transporte un débit avec une charge spécifique minimale ■ Pour une énergie spécifique fixée, il transporte le débit maximal
  76. 76. 05. REGIME CRITIQUE 17.04.16 Calcul de la profondeur critique 76 ■ La profondeur critique est obtenue par résolution de la condition critique 1. ■ Canaux rectangulaires : ■ Canaux triangulaires : ■ Canaux circulaires : 2 2 1 cos 2 sin 8 sin 2 Cette équation est en général résolue par la  méthode des itérations successives dans le cas des  sections trapézoïdales et circulaires La profondeur critique reste indépendante de la pente 1 ⇒ 1 ⇒
  77. 77. 05. REGIME CRITIQUE 17.04.16 Calcul explicite de en section trapézoïdale 77 ■ Vatankhah (2013) propose la méthode explicite suivante, d’erreur maximale relative 0,07%, en section trapézoïdale symétrique : 4 t 1 1,161 1 0,666 , , 1 2 1 2 5 1 6 Ali R. Vatankhah
  78. 78. 05. REGIME CRITIQUE 17.04.16 Calcul explicite de en section circulaire 78 ■ En notant l’erreur relative, Hager (1999) propose les approximations suivantes en canal circulaire : ■ De plus, en posant que le débit réduit ⁄ : Valable si 0,3 ⁄ 0,95 Avec une erreur relative   4% Valable si 0,2 ⁄ 0,91 Avec une erreur relative   4% Valable si 0,1 0,75 Avec une erreur relative   4% 5 3 3 2 /
  79. 79. 05. REGIME CRITIQUE 17.04.16 Abaque de calcul de (tiré de Mar, 2004) 79
  80. 80. 05. REGIME CRITIQUE 17.04.16 Ecoulement à l’approche d’une chute 80 ■ En pratique, il est admis que le tirant d’eau est critique pour un écoulement à pente faible à l’approche d’une chute. ■ Rouse (1938) et Rajaratnam (1964) ont montré que la hauteur à l’approche d’une chute est en réalité , à , tandis que est mesuré à une distance de 3 à 4 en amont de la chute N. Rajaratnam
  81. 81. 05. REGIME CRITIQUE 17.04.16 Franchissement d’un déversoir 81 ■ En pratique, il est admis que le tirant d’eau est critique lors du franchissement de la crête d’un déversoir Déversoir à seuil mince Le tirant d’eau à la crête est critique Déversoir à seuil épais L’écoulement au dessus de la crête est  assimilable à l’écoulement à l’approche  d’une chute
  82. 82. 05. REGIME CRITIQUE 17.04.16 Pente critique 82 ■ La pente critique est la pente pour laquelle un débit donné s’écoule en régime uniforme à la profondeur normale critique ■ On ne dimensionne jamais un canal avec une pente critique. Le comportement de la ligne d’eau y serait imprévisible. ■ La détermination de la pente critique nécessite la résolution simultanée de la condition critique et de l’équation de Manning-Strickler pour la section critique. ⁄
  83. 83. 05. REGIME CRITIQUE 17.04.16 Problèmes typiques au régime critique 83 ■ Si l’on cherche la pente critique et que le débit est connu, on résout la condition critique pour obtenir et l’on déduit de l’équation de Manning-Strickler la pente ⁄ ■ Si l’on cherche le tirant critique et que la pente critique est connue, la résolution itérative de l’équation suivante fournit la solution ⁄
  84. 84. 06. TYPES DE CANAUX 17.04.16 Classification des canaux suivant le type de pente (1/2) 84 ■ Il s’agit d’attribuer une lettre latine à un bief de canal, obtenue en faisant la comparaison entre et , ou entre et , ou entre et 1 Signe de la  pente Pente Tirant d’eau Notation Française Notation anglaise Type de canal 0 F : fluvial M : mild Canal à pente faible C : critique C : critical Canal à pente critique T : torrentiel S : steep Canal à pente forte 0 → ∞ H : horizontal H : horizontal Canal horizontal 0 ? A : adverse A : adverse Canal à contre pente
  85. 85. 06. TYPES DE CANAUX 17.04.16 Classification des canaux suivant le type de pente (2/2) 85 Pente critique  Pente faible ( Canal de type F Pente forte ( Canal de type T Pente critique ( Canal de type C Pente nulle  0 Canal de type H Pente adverse  0 Canal de type A Attention: ne pas confondre le type de canal à  l’écoulement qui s’y produit. Il est possible d’avoir un  EGV fluvial en canal T, ou un EGV torrentiel en canal F
  86. 86. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Définition et problématique 86 ■ C’est le profil en long de la surface libre dans un EGV exprimée en fonction de l’abscisse de la section considérée ■ En canal prismatique, la pente étant constante, elle se réduit à la fonction analytique . Son expression n’est pas connue à priori et reste difficilement approchable. Mais sa dérivée / reste connue. ■ Pour un EGV, on compare la position du tirant d’eau varié aux tirants d’eau et . On en déduit les 3 cas suivants : ■ est au dessus de et de : zone 1 ■ est compris entre et de : zone 2 ■ est en dessous de et de : zone 3
  87. 87. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Nomenclature 87 ■ En associant le type de canal à la position de la ligne d’eau, on établit l’existence de 13 profils différents de lignes d’eau. ■ Fluvial : , ■ Critique : , ■ Torrentiel : , ■ Horizontal : ■ Adverse : NB: Le est sujet à controverse! ■ Pas de remous de type (car → ∞) et de type (car ?)
  88. 88. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Courbes en canal de classe F (ou M) 88 Courbes de remous en canal à pente faible (type F ou M)
  89. 89. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Courbes en canal de classe T (ou S) 89 Courbes de remous en canal à pente forte (type T ou S)
  90. 90. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Courbes en canal de classe C 90 Courbes de remous en canal à pente critique (type C)
  91. 91. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Courbes en canal de classe H 91 Courbes de remous en canal à pente nulle (type H)
  92. 92. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Courbes en canal de classe A 92 Courbes de remous en canal à pente adverse (type A)
  93. 93. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Comportement de la ligne d’eau aux limites 93 ■ Les limites des zones 1,2 et 3 sont : 0, , ∞ ■ Quand → 0, → et la courbe de remous tend asymptotiquement vers ■ Quand → , la courbe de remous devient normale à et l’on observe une variation brusque de la ligne d’eau : il s’agit d’un ressaut ou d’une chute. ■ Quand → ∞, alors → 0 et ⁄ → : la ligne d’eau tend vers l’horizontal ■ Quand → 0, on obtient une indétermination de type ∞/∞ qui sera levée par une condition aux limites définissant l’origine du débit
  94. 94. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Equation dynamique de la ligne d’eau 94 ■ On recherche la dérivée de la fonction caractérisant le profil en long de la ligne d’eau. Il a été établi les relations suivantes : 1 ■ On en déduit alors que : ■ est donné par la formule de Manning-Strickler en écoulement non uniforme : ⁄
  95. 95. 7. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Section de contrôle 95 ■ La résolution de l’équation de la ligne d’eau nécessite une condition à la limite : c’est la section de contrôle, à l’abcisse où l’on connait le tirant d’eau ■ Cette section est définie à partir des propriétés hydrauliques de la singularité occasionnant le remous : déversoir, vanne de fond, changement de pente, de section, exhaussement ou décrochement du fond ■ Elle est située à l’aval en EGV fluvial pour les courbes , , , , , et se calcule de l’aval vers l’amont. ■ Elle est située à l’amont en EGV torrentiel pour les courbes , , , , , et se calcule de l’amont vers l’aval.
  96. 96. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Méthodes de calcul 96 ■ L’intégration du problème différentiel suivant permet de définir le profil de la ligne d’eau 1 ⁄ 1 ■ Les méthodes de résolution suivantes sont employées: ■ Méthode d’intégration graphique ■ Méthode d’intégration directe (Bresse, Bakhmeteff, Chow, Silber, Raytchine et Chatelain, Pavlovski,…) ■ Méthode des différences finies
  97. 97. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Méthode d’intégration graphique 97 ■ Soit la fonction ■ Le canal étant supposé prismatique : ■ Le calcul est mené par petits pas ∆ constants dont la finesse définira la précision du résultat. La méthode reste applicable à toutes formes de section de canal prismatique 1 ⇒
  98. 98. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (1/5) 98 ■ Méthode applicable à toutes les formes de sections. Elle emploie la formule de Manning-Strickler pour l’expression de la perte de charge ■ On définit les quantités et qui sont des débitances dépendant respectivement de l’écoulement normal et de l’écoulement varié ⁄ ⁄ Boris Bakhmeteff 1880‐1951 Jean Antoine Charles Bresse 1822‐1883
  99. 99. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (2/5) 99 1 1 1 1 1 1 ■ Soit le débit correspondant à la débitance pour l’écoulement varié sur la pente critique . Il advient alors : ⇒ 1 1 ■ D’où : 1 1
  100. 100. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (3/5) 100 ■ Bakhmeteff fait l’hypothèse que le carré de la débitance varie comme une fonction puissance du tirant d’eau. ù ■ Si l’on pose ⁄ et ⁄ alors : 1 1 1 1
  101. 101. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (4/5) 101 ■ A partir de la section de contrôle , , on développe la relation suivante , Φ , 1 ■ La fonction , est lue sur la table de Bakhmeteff ou approchée par le développement limité suivant : , , , ,
  102. 102. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (5/5) 102 ■ Algorithme d’application de la méthode de Bakhmeteff ■ Calculer les profondeurs , ■ En déduire puis / ■ Calculer / et / ■ Calculer l’exposant hydraulique de section ■ Lire sur la table de Bakhmeteff les valeurs , et , ou les calculer à partir du développement limité de , ■ Calculer la longueur de la courbe de remous : , ,
  103. 103. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Détermination de l’exposant hydraulique (1/2) 103 ■ L’exposant hydraulique s’obtient par représentation de la débitance en fonction du tirant d’eau sur papier bi logarithmique : ⁄ ■ L’exposant est la moitié de la pente de la droite obtenue ln 1 2 ln 2 ln 2 ln ■ Quelques valeurs indicatives pour des formes paramétrées : ■ rectangulaire : 2 ≪ , 2,5 2 , 3 ≫ ■ trapézoïdale : 3 4 ■ triangulaire : 5,3 5,5 ■ parabolique : 4
  104. 104. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Détermination de l’exposant hydraulique (2/2) 104 ■ Chow (1959), partant du postulat et en dérivant l’équation de Manning-Strickler, établit que : 2 ln ln 2 4 3 ■ La relation peut être généralisée pour une section trapézoïdale sous la forme suivante : ■ L’analyse de la relation précédente montre que ,
  105. 105. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Méthodes des différences finies 105 ■ Elles sont basées sur une subdivision du canal en biefs courts et une progression par pas de calcul ■ Méthode de variation de profondeurs ou à pas directs : ∆ fixé, ∆ calculé ■ Méthode des tronçons ou à pas standards: ∆ fixé, ∆ calculé ■ Ces méthodes introduisent une erreur systématique d’ordre 2 (∆ ou ∆ selon les cas) mais elles sont suffisamment précises pour les applications pratiques. Elles ont des variantes sur la manière d’évaluer les valeurs moyennes sur le bief ∆ ■ Nous exposerons ici la méthode des pas directs (cf. Mar, 2004 pour la méthode des pas standards).
  106. 106. 07. COURBES DE REMOUS 17.04.16 Méthodes des pas directs 106 ■ Algorithme d’application : soit connu à la section de contrôle ̅ ■ Calculer et ■ Pour ∆ , calculer et ■ Calculer ̅ /2 ou ̅ / ■ Calculer ∆ / ̅ ■ Passer à la section suivante en prenant et ∆
  107. 107. ECOULEMENTS BRUSQUEMENT  VARIES Chapitre V
  108. 108. 01. ECOULEMENT BRUSQUEMENT VARIE 17.04.16 Définition 108 ■ Un EBV est un écoulement permanent dont les variables physiques varient très vite (voire de manière discontinue) dans l’espace. ■ Caractéristiques des EBV : ■ Courbure prononcée des lignes de courant (répartition des pressions non hydrostatique) ■ Coefficient de Coriolis ≫ 1 ■ Effet de frottement contre les parois négligeable (distance courte) ■ Surface libre souvent instable et irrégulière ■ Principe d’étude : l’on choisit deux sections englobant l’EBV ■ Théorème d’Euler pour les EBV divergents (dissipation d’énergie) : cas du ressaut hydraulique ■ Théorème de Bernoulli pour les EBV convergents (sans dissipation d’énergie) : cas des écoulements sous vanne (cf. section de contrôle)
  109. 109. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Illustration (1/2) 109 Barrage des Trois Gorges, Yangzi Jiang, Chine
  110. 110. 01. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Illustration (2/2) 110 Ressaut en canal rectangulaire en aval d’un déversoir
  111. 111. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Définition 111 ■ Un ressaut est une surélévation brusque de la ligne d’eau au passage d’un écoulement torrentiel à un écoulement fluvial. ■ Les hauteurs d’eau avant et après le ressaut sont appelées profondeurs conjuguées. Ressaut aval d’un déversoir sur le fleuve MississipiRessaut circulaire en évier
  112. 112. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Classification des ressauts sur la base du Froude d’amont 112
  113. 113. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Valeurs caractéristiques 113 ■ Hauteur du ressaut : ■ Rendement du ressaut : ■ Perte de charge au ressaut : ∆ ■ Longueur du ressaut (formules empiriques) ■ Smetana : ■ Safranez : , ■ Miami District : ■ Hsing et Posey (trapézoïdal) : Jan Smetana (1883‐1962)
  114. 114. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Notion d’impulsion (1/3) 114 ■ Soit la quantité notée et appelée impulsion. On pose : ■ Application du théorème des quantités de mouvement entre les sections et du ressaut : ■ Il y a conservation de l’impulsion au ressaut
  115. 115. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Notion d’impulsion (2/3) 115 ■ L’analyse de la fonction montre que : ■ Si → 0, → 0 et → ∞ ■ Si → ∞, → ∞ et → ∞ ■ La fonction étant positive et continue sur 0, ∞ elle admet nécessairement un minimum. 1 0 ⇒ 1 é ■ Au régime critique, l’impulsion est minimale.
  116. 116. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Notion d’impulsion (3/3) 116 ■ Un débit donné peut s’écouler sous deux profondeurs (torrentiel) et (fluvial) qui sont des profondeurs conjuguées au sens du ressaut ■ Ce principe est utilisé pour la résolution graphique du calcul d’une profondeur conjuguée par le ressaut
  117. 117. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Réajustement de l’équation d’Euler 117 ■ L’équation de conservation de l’impulsion peut être présentée de la façon suivante 1 1 ■ En posant (avec un coefficient indiquant la position du centre de gravité de section) on en déduit: ■ Cette forme simplifiée servira à l’écriture de l’équation du ressaut en canal rectangulaire et triangulaire
  118. 118. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Ressaut en canal rectangulaire (1/3) 118 ■ En canal rectangulaire, on définit les relations suivantes : 1 2 ■ En posant / , on établit une équation symétrique du 2nd degré : ■ La résolution en ,donne l’expression d’un discriminant toujours positif : ∆ 8 1 8 1 8 0
  119. 119. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Ressaut en canal rectangulaire (2/3) 119 ■ La solution physiquement acceptable est l’équation de Bélanger : ■ Ou sa solution duale, obtenue en résolvant le problème en : Jean‐Baptiste Charles Joseph Bélanger (1790‐1894)
  120. 120. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Ressaut en canal rectangulaire (3/3) 120 ■ Il est alors possible d’écrire des expressions simplifiées du rendement ressaut et de la perte de charge au ressaut ∆ pour la section rectangulaire : ■ Rendement du ressaut : ■ Perte de charge au ressaut : ∆
  121. 121. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Ressaut en canal triangulaire 121 ■ En canal triangulaire, on définit les relations : 1 3 ■ Ce qui permet d’établir la relation suivante :
  122. 122. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Ressaut en canal circulaire 122 ■ Soit / le taux de remplissage de section ■ En canal circulaire, Hager (1999) propose une approximation pour le calcul de la profondeur aval connaissant la profondeur d’amont , valable si et seulement si , : ■ on définit les débits réduits et ■ La valeur de est alors donnée par la relation : ,
  123. 123. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Degré de submersion du ressaut 123 ■ Lorsque le tirant d’eau conjugué de l’écoulement torrentiel amont est inférieur au tirant d’eau normal fluvial d’aval , le ressaut est dit « submergé ». Le cas échéant, on parlera de ressaut « libre » . ■ Le facteur de submersion peut être évalué : ■ La longueur du ressaut submergé : ■ Selon Lencastre, 1996 : , , ■ Selon Rao et Rajaratnam, 1963 : , , Armando Lencastre (1924 ‐ ?)
  124. 124. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Position du ressaut (1/4) 124 ■ La position du ressaut est définie suivant la relation entre le point de contrôle au torrentiel d’amont et le tirant d’eau fluvial normal aval. ■ Soit la hauteur de la veine contractée, son conjugué par le ressaut et le tirant d’eau normal aval. ■ Cas 1 : on a . Le ressaut se forme au pied de la chute
  125. 125. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Position du ressaut (2/4) 125 ■ Cas 2 : on a . Le ressaut se déplace vers l’aval ■ Cas 3 : on a . Le ressaut est noyé.
  126. 126. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Position du ressaut (3/4) 126 ■ Dans le cas où le régime uniforme aval arrive à s’établir (bief aval suffisamment long), on fait l’hypothèse que le ressaut effectue la connexion avec l’écoulement normal aval. ■ La démarche de résolution est alors la suivante : ■ On évalue par Manning-Strickler la profondeur à l’aval ■ Puisque , conjugué de par le ressaut d’amont, on déduit par l’équation d’Euler ■ On détermine alors l’abscisse à laquelle la hauteur est atteinte par la courbe de remous d’amont, en partant de son point de contrôle amont à la section de contrôle
  127. 127. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Position du ressaut (4/4) 127 ■ Si l’écoulement uniforme ne s’établit pas à l’aval, on recherche la position précise du ressaut à l’intersection entre le conjugué de la ligne d’eau torrentielle en amont et fluvial en aval ■ Procédure : ■ tracer les lignes d’eau amont et aval ■ Tracer la conjuguée de la ligne d’eau amont ■ Définir la droite A’Z’ à l’intersection à l’amont ■ Calculer la longueur du ressaut ■ Positionner de sorte que et parallèle au fond du canal ■ Le ressaut est alors localisé entre A et Z.
  128. 128. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE 17.04.16 Applications du ressaut hydraulique 128 ■ Le ressaut hydraulique peut être forcé en canal afin de remplir les objectifs suivants : ■ Dissiper l’énergie à la sortie des évacuateurs de crue et vannes de fond, afin de limiter l’érosion régressive sur le talus aval. ■ Augmenter, maintenir, réguler le débit vanné ou déversé ■ Réaliser une coupure hydraulique dans un écoulement, de sorte que l’aval n’influence pas l’amont ■ Mixer les produits chimiques dans le traitement de l’eau ■ Aérer l’eau
  129. 129. LA SECTION DE CONTRÔLE Chapitre VI
  130. 130. 01. SECTION DE CONTRÔLE 17.04.16 Définition 130 ■ Il s’agit de toute singularité permettant le passage d’un régime fluvial au torrentiel. ■ Cela suppose l’existence d’un régime critique localisé au droit de la section de contrôle où la relation « débit-hauteur » est univoque ■ La section de contrôle est utilisée pour la mesure de débit. ■ La courbe est appelée courbe de tarage ■ Le contrôle d’un écoulement: ■ fluvial se fait à l’aval de cet écoulement ■ torrentiel se fait à l’amont de cet écoulement ■ Nous aborderons le cas des déversoirs et des vannes de fond.
  131. 131. 02. DEVERSOIRS 17.04.16 Définition (1/2) 131 ■ Considéré comme un orifice incomplet laissant passer l’eau en nappe par- dessus. ■ Deux types distincts : frontal, ou latéral
  132. 132. 02. DEVERSOIRS 17.04.16 Définition (2/2) 132 ■ Le déversoir peut se résumer à une plaque de hauteur appelée « pelle », obstruant le passage de l’eau. ■ On distingue les déversoirs à seuil mince /2 et les déversoirs à seuil épais 2 /3 (CETMEF, 2005) ■ Pour un seuil ni mince, ni épais, aucune loi à priori n’étant définie, une étude spécifique est nécessaire Déversoir à seuil mince Déversoir à seuil épais
  133. 133. 02. DEVERSOIRS 17.04.16 Modes de fonctionnement 133 ■ Le déversoir peut fonctionner en écoulement noyé ou dénoyé. Fonctionnement dénoyé La hauteur  en amont  (appelée marnage) est  entièrement conditionnée  par le débit  déversé. La  hauteur aval  n’influence  pas l’écoulement Fonctionnement noyé La côte d’eau à l’aval passe au  dessus du seuil. La hauteur  en  amont en alors influencée par le  débit  et par la hauteur aval  .  Plus le ratio  / augmente,  plus l’influence sur le débit est  grande
  134. 134. 02. DEVERSOIRS 17.04.16 Formule des déversoirs à seuil mince 134 ■ Pour un déversoir frontal de largeur , le débit passant au dessus est lié à un coefficient de contraction : / ■ Existence de formules empiriques spécifiques : Bazin (1898), Rehbock (1929), Francis, Gourley et Grimp, Thompson, Cipoletti, Hegly, etc. ■ Le choix de la forme du déversoir se fait suivant le débit à mesurer : ■ Triangulaire, si 30 / ■ Rectangulaire, si 300 /
  135. 135. 02. DEVERSOIRS 17.04.16 Formule des déversoirs à seuil épais 135 ■ Pour les seuils épais, il est admis que l’écoulement sur la crête épaisse se fait en régime critique. Le débit déversé est alors : ■ Cette relation suppose les coefficients (donnés par les tables) ■ , coefficient de débit, représentant les conditions d’amenée ■ , coefficient de vitesse ( 1) ■ Une approche simplifiée ne tenant pas compte des coefficients définis ci-dessus peut être retenue : ■ Existence d’approches empiriques par Bélanger, Bazin,…
  136. 136. 03. VANNES 17.04.16 Définition 136 ■ Considéré comme un organe mobile placé de manière frontale (ou latérale) permettant la régulation de la hauteur d’eau en amont et la régulation du débit à la sortie d’un réservoir d’eau
  137. 137. 03. VANNES 17.04.16 Modes de fonctionnement 137 ■ La vanne de fond peut fonctionner en écoulement noyé ou dénoyé. Fonctionnement dénoyé Après la vanne, on observe  un raccordement rapide au  a) torrentiel normal d’aval  ou b) fluvial normal d’aval  par un ressaut Fonctionnement noyé On observe un tirant d’eau fluvial aval.  Cela se produit lorsque le conjugué de la  hauteur de veine contractée  par le  ressaut est inférieur au tirant d’eau  normal aval 
  138. 138. 03. VANNES 17.04.16 Principe d’étude 138 ■ Soit la hauteur de levée de la vanne et le coefficient de contraction de l’orifice. La hauteur . ■ Le principe d’étude est alors le suivant : on définit deux sections, l’une à l’amont immédiat de la vanne et l’autre à la naissance de la veine contractée et l’on applique le théorème de Bernoulli. 2 2 ■ Le fond est supposé plat entre les deux sections (dénivelée quasiment nulle). Il advient alors que 2 2
  139. 139. 03. VANNES 17.04.16 Cas d’une vanne rectangulaire dénoyée 139 ■ Pour une section rectangulaire de vanne dénoyée, on a : 2 2 ■ On en déduit : ■ En admettant que ≪ , on obtient la relation simplifiée :
  140. 140. 03. VANNES 17.04.16 Cas d’une vanne rectangulaire noyée 140 ■ Pour une section rectangulaire de vanne noyée, on a : 2 2 ■ On en déduit : ■ En admettant que ≪ , on obtient la relation simplifiée :
  141. 141. ETUDE DE QUELQUES SINGULARITES Chapitre VII
  142. 142. 01. SINGULARITES 17.04.16 Objectifs d’étude 142 ■ En canal prismatique, le régime d’écoulement reste uniforme, mais perturbé aux abords des singularités. ■ En écoulement en charge, la singularité entraine une chute brusque de la ligne de charge. En écoulement à surface libre, elle modifie la ligne d’eau sur un bief plus ou moins long. ■ Etudier les singularités permettra de : ■ Prévoir un dimensionnement local des ouvrages afin de contenir les perturbations engendrées par les singularités ■ Modifier les dispositions des singularités de sorte à réduire les irrégularités de l’écoulement
  143. 143. 01. SINGULARITES 17.04.16 Types de problèmes 143 ■ Deux situations de calcul peuvent se présenter ■ Cas 1 : le débit est connu. Il s’agit alors de déterminer les sections de contrôle et de définir la ligne d’eau dans la zone d’influence de la singularité ■ Cas 2 : le débit n’est pas connu. Il s’agit alors de le déterminer à partir d’une condition de niveau et de tracer alors la ligne d’eau ■ Divers types de singularités : ■ Changement de pente, de radier, de section ■ Pile de ponts, grille, coudes ■ Passage canal-réservoir, réservoir-canal ■ Nous n’aborderons ici que les changements de pente, les écoulements dans les courbes et les transitions (cf. Mar, 2004 pour le développement des autres cas)
  144. 144. 01. SINGULARITES 17.04.16 Leçons tirées de l’étude des EGV (1/2) 144 ■ Pour une charge spécifique donnée correspond deux tirants d’eau : (torrentiel) et (fluvial) ■ L’écoulement d’un débit nécessite une charge spécifique minimale critique ■ Les courbes , , , sont des courbes qui permettent d’augmenter l’énergie spécifique : ⁄ 0 ■ Le passage du fluvial au torrentiel nécessite de passer par une section critique (chute) ■ Le passage du torrentiel au fluvial nécessite un ressaut hydraulique
  145. 145. 01. SINGULARITES 17.04.16 Leçons tirées de l’étude des EGV (2/2) 145 ■ Il n’existe pas de courbe de remous qui se raccorde à un tirant d’eau normal torrentiel en amont : l’écoulement torrentiel, contrôlé par l’amont, arrive jusqu’à la singularité, ou au ressaut. ■ Il n’existe pas de courbe de remous qui se raccorde à un tirant d’eau normal fluvial en aval: l’écoulement fluvial, contrôlé par l’aval, arrive jusqu’à la singularité ou au ressaut
  146. 146. 02. CHANGEMENT DE PENTE 17.04.16 Augmentation de la pente de fond 146 Remous  (ou  ) Remous  (ou  ) Remous  (ou  )
  147. 147. 02. CHANGEMENT DE PENTE 17.04.16 Diminution de la pente de fond 147 Remous  (ou  ) Remous  (ou  ) Remous  (ou  ) et ressaut Ressaut et remous  (ou  )
  148. 148. 03. COURBES 17.04.16 Dévers transversal de la surface libre d’un écoulement dans une courbe 148 ■ Un écoulement en courbe voit naitre des courants secondaires impulsant un mouvement hélicoïdal aux masses fluides. Il se crée alors : ■ Des pertes de charges singulières (négligeables si 2 ou 45°) ■ Un dévers latéral et symétrique de la surface libre de valeur ∆ (surélévation du côté extérieur, abaissement du côté intérieur) ∆ 2
  149. 149. 04. TRANSITIONS 17.04.16 Passage d’une transition 149 ■ Une transition est un bref passage d’un écoulement uniforme à un autre qui se fait par l’intermédiaire d’un court EBV. ■ Le passage par une section critique n’est pas ici obligatoire. ■ Les transitions sont rencontrées dans le cas d’un changement brusque de section de canal : ■ Décrochement positif ou négatif d’un seuil au fond ■ Elargissement ou rétrécissement brusque de section ■ Nous traiterons du cas des décrochements de seuils (cf. Graf, 1998 pour les autres cas)
  150. 150. 04. TRANSITIONS 17.04.16 Décrochement de radier 150 ■ Notons ∆ le décrochement de radier : ■ Dans le cas d’une sous-élévation (abaissement), on a ∆ ■ Dans le cas d’une surélévation (exhaussement), on a ∆ ■ En admettant que la transition est courte, Rouse (1938) propose de négliger les pertes de charges entre deux sections très proches encadrant le décrochement de seuil. D’où l’équation du 3ème degré : ∆ ∆ Hunter Rouse (1906‐1996)
  151. 151. 04. TRANSITIONS 17.04.16 Décrochement de radier : seuil négatif 151 ■ Pour une charge spécifique donnée, deux tirants d’eau (fluvial et torrentiel) sont possibles. ■ L’écoulement n’est possible qu’à la condition que . ■ La charge spécifique définira alors deux nouveaux tirants d’eau possibles selon le type d’écoulement à l’amont : ■ fluvial : (élévation) ■ torrentiel : (abaissement)
  152. 152. 04. TRANSITIONS 17.04.16 Décrochement de radier : seuil positif 152 ■ Pour une charge spécifique donnée, deux tirants d’eau (fluvial et torrentiel) sont possibles. De plus : ∆ ■ L’écoulement n’est possible qu’à la condition que . ■ La charge spécifique définira alors deux nouveaux tirants d’eau possibles selon le type d’écoulement à l’amont : ■ fluvial : (abaissement) ■ torrentiel : (élévation)
  153. 153. 04. TRANSITIONS 17.04.16 Calcul de à l’aval immédiat d’un seuil 153 ■ Si , le débit passe entièrement et est donné par la résolution du théorème de Bernoulli (avec en fluvial ou en torrentiel). ■ Si , le débit passe entièrement, avec . ■ Si , alors deux cas peuvent se produire : ■ Le débit passe entièrement (pas de contrôle au seuil). Un exhaussement se produit en amont, et en aval. On calcule , ∆ et on en déduit ′ y ■ Un débit passe (contrôle au seuil) : pour avec ′ ′.
  154. 154. QUELQUES LOGICIELS…
  155. 155. LOGICIELS 17.04.16 Outils de simulation des écoulements à surface libre 155

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