1. O SURGIMENTO E A EVOLUÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os números são bastante utilizados em nosso dia a dia. Eles nos cercam e ajudam a entender o
mundo no qual vivemos. O surgimento dos números iniciasse na pré-história, quando ele passa
a comparar conjuntos de objetos para aprender a contar. Surgi nesse período, o conjunto dos
números naturais. Com as operações comerciais sobre ganhos e perdas (dívidas) e a
necessidade de representar o valor de perdas (números negativos) surgiram os números
inteiros. Com o comércio e a necessidade de medir comprimento surgiram os números
racionais. Os irracionais surgiram, também, da necessidade de medir. E eles foram o
complemento dos números racionais para formar o conjunto dos números reais. Todos esses
números não apareceram gradativamente. Eles existiam nas sociedades antigas, mas as
operações matemáticas que resultavam em números fora do conjunto numérico conhecido da
época eram chamadas de números absurdos. Somente com a evolução da sociedade foram
aceitos e preencheram nossas necessidades de interpretar o mundo.
Vídeo:
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=j8IQjaD1m3g
Alguns símbolos antigos
No começo da história da escrita de algumas civilizações como a
egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros
eram anotados pela repetição de traços verticais:
I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar
mais do que quatro termos:
IIII
IIII IIII IIII IIII
I II III IIII IIII
I II III IIII
I
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia
é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era
composto pelos seguintes símbolos numéricos:

2. Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia,
criado a aproximadamente 4 mil anos.
Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com
as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os
indivíduos chegavam a contar até o número 33.
O ábaco
O ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular com
fileiras de arame, cada fileira representando uma classe decimal
diferente, nas quais correm pequenas bolas
No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os
cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os
cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações
orientais e ocidentais. No Japão, o ábaco é chamado de soroban
e na China de suánpan, que significa bandeja de calcular.

3. O Sistema de numeração Indo-Arábico
Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos
no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão.
O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e
sua unicidade, o segundo número 2, significava a mulher da
família, a dualidade e o número 3 (três) significava muitos,
multidão. A curiosidade sobre os nomes do 3, não deve ter
ocorrido por acaso.
Inglês Francês Latim Grego Italiano Espanhol
three trois tres treis tre tres
Sueco Alemão Russo Polonês Hindu Português
tre drei tri trzy tri três
Notas históricas sobre a atual notação posicional
Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que
nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que
é comprovado por vários documentos, além de ser citado por
árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos).
Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrional
usaram por muito tempo uma numeração rudimentar que aparece
em muitas inscrições do século III antes de Cristo.
Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno.
Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
o que significava que um número como o 5 não era entendido
como 5 unidades mas como um símbolo independente.
Por muito tempo, estes algarismos foram denominados
algarismos arábicos, de uma forma errada.
Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hindus
passaram a usar a notação por extenso para os números, pois
não podiam exprimir grandes números por algarismos.

4. Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o
zero.
Cada algarismo tinha um nome:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
eka dvi tri catur pañca sat sapta asta nava
Quando foi criada pelos hindús a base 10, cada dezena, cada
centena e cada milhar, recebeu um nome individual:
10 = dasa
100 = sata
1.000 = sahasra
10.000 = ayuta
100.000 = laksa
1.000.000 = prayuta
10.000.000 = koti
100.000.000 = vyarbuda
1.000.000.000 = padma
Ao invés de fazer como hoje, de acordo com as potências
decrescentes de 10, os hindus escreviam os números em ordem
crescente das potências de 10 por volta do século IV depois do
nascimento de Jesus Cristo. Eles começavam pelas unidades,
depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante. O
número 3.709 ficava:
9 700 3000
nove sete centos três mil
nava sapta sata tri sahasra
Poderiamos escrever o número 12.345 como

5. pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
pois, 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000, logo:
5 = pañca
40 = catur dasa
300 = tri sata
2.000 = dvi sahasra
10.000 = ayuta
pañca caturdasatrisatadvisahasraayuta
Esta já era uma forma especial.
Em virtude da grande repetição que ocorria com as potências de
10, por volta do século V depois do nascimento de Jesus Cristo,
os matemáticos e astrônomos hindus resolveram abreviar a
notação retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números
grandes, assim o número 12.345 que era escrito como:
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
passou a ser escrito apenas:
54321 = pañca catur tri dvi dasa
12345 = 5 +4×10 +3×100 +2×1000 +1×10000
e esta se transformou em uma notação falada e escrita posicional
excelente para a época, mas começaram a acontecer alguns
problemas como escrever os números 321 e 301.
321 = 1 + 2 x 10 + 3 x 100
321 = dasa dvi tri
301 = 1 + 3 x 100
301 = dasa tri

6. É lógico que este último número não poderia ser o 31, pois:
31 = 1 + 3 x 10
31 = dasa tri
No número 301 faltava algo para representar as dezenas.
Para construir este material, usamos algumas partes do
excelente livro: "Os números: A história de uma grande
invenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985, com a
permissão da Editora.
Notas históricas sobre a criação do zero
Tendo em vista o problema na construção dos números como 31
e 301, os hindus criaram um símbolo para representar algo vazio
(ausência de tudo) que foi denominado sunya (a letra s tem um
acento agudo e a letra u tem um traço horizontal sobre ela).
Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um
algarismo para representar as dezenas no número 301 e assim
passaram a escrever:
301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100
301 = dasa sunya tri
Os hindus tinham acabado de descobrir o zero.
Porém, estas notações só serviam para as palavras e não para
os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero
bem como o atual sistema de notação posicional.
Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um
tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na
data de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um
movimento religioso hindú para enaltecer as suas próprias
qualidades científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número
14.236.713 escrito claramente:
triny ekam sapta sat trini dve catvary ekakam

7. três um sete seis três dois quatro um
Escrever tais números na ordem invertida, fornece:
um quatro dois três seis sete um três
1 4 2 3 6 7 1 3
Números como 123.000 eram escritos como:
sunya sunya sunya tri dvi dasa
que significa:
zero zero zero três dois um
que escrito na ordem invertida fornece:
um dois três zero zero zero
No texto existe a palavra hindú sthanakramad que significa "por
ordem de posição".
Observamos que tal notação posicional já era então conhecida no
quinto século de nossa era por uma grande quantidade de
cientistas e matemáticos.
Para escrever este material, usamos alguns tópicos do excelente
livro: "Os números: A história de uma grande invenção", Georges
Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985.
Notação Posicional
O sistema de numeração posicional indiano surgiu por volta do
século V. Este princípio de numeração posicional já aparecia nos
sistemas dos egípcios e chineses.
No sistema de numeração indiana não posicional que aparece no
século I não existia a necessidade do número zero.

8. Notação (ou valor) posicional é quando representamos um
número no sistema de numeração decimal, sendo que cada
algarismo tem um determinado valor, de acordo com a posição
relativa que ele ocupa na representação do numeral.
Mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o
valor do número. Por exemplo, tomemos o número 12. Mudando
as posições dos algarismos teremos 21.
12 = 1 × 10 + 2
21 = 2 × 10 + 1
O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso
matemático parece ter sido criado pelos babilônios. Os
documentos mais antigos conhecidos onde aparece o número
zero, não são anteriores ao século III antes de Cristo. Nesta
época, os números continham no máximo três algarismos.
Um dos grandes problemas do homem começou a ser a
representação de grandes quantidades. A solução para isto foi
instituir uma base para os sistemas de numeração. Os numerais
indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração
usam a base dez, isto porque o princípio da contagem se deu em
correspondência com os dedos das mãos de um indivíduo
normal.
Na base dez, cada dez unidades é representada por uma
dezena, que é formada pelo número um e o número zero: 10.
A base dez já aparecia no sistema de numeração chinês.
Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta.
Alguma vez você questionou sobre a razão pela qual há 360
graus em um círculo? Uma resposta razoável é que 360=6x60 e
60 é um dos menores números com grande quantidade de
divisores, como por exemplo:
D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Os indianos reuniram as diferentes características do princípio
posicional e da base dez em um único sistema numérico. Este
sistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos

9. árabes e por isso, passou a ser conhecido como sistema indo-
arábico.
Nosso sistema de numeração retrata o ábaco. Em cada posição
que um número se encontra seu valor é diferente.
O Sistema Romano de Numeração
O sistema de numeração Romano é um sistema decimal, ou seja,
sua base é dez. Este sistema é utilizado até hoje em
representações de séculos, capítulos de livros, mostradores de
relógios antigos, nomes de reis e papas e outros tipos de
representações oficiais em documentos. Estas eram as primeiras
formas da grafia dos algarismos romanos.
Tal sistema não permite que sejam feitos cálculos, não se
destinavam a fazer operações aritméticas mas apenas
representar quantidades. Com o passar do tempo, os símbolos
utilizados pelos romanos eram sete letras, cada uma com um
valor numérico:
Letra I V X L C D M
Valor 1 5 10 50 100 500 1000
Leitura Um Cinco Dez Cinquenta Cem Quinhentos Mil
Estas letras obedeciam aos três princípios:
1. Todo símbolo numérico que possui valor menor do que o
que está à sua esquerda, deve ser somado ao maior.
VI = 5 + 1 = 6
XII = 10 + 1 + 1 = 12
CLIII = 100 + 50 + 3 = 153
2. Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que
está à sua direita, deve ser subtraído do maior.
IX = 10 - 1 = 9
XL = 50 - 10 = 40
VD = 500 - 5 = 495

10. 3. Todo símbolo numérico com um traço horizontal sobre ele
representa milhar e o símbolo numérico que apresenta
dois traços sobre ele representa milhão.
Relação entre os conjuntos