informacion de la unidad 4 de estadistica 2

1. Estadística II
Unidad 4 Introducción a los diseños factoriales
4.1. Conceptos Básicos en Diseños Factoriales.
4.2. Diseños Factoriales con dos Factores.
4.3. Diseños Factoriales con tres Factores.
4.4. Diseño Factorial General.
4.5. Modelos de Efectos Aleatorios.
4.6. Uso de un software estadístico.
4.1. Conceptos Básicos en Diseños
Factoriales.
4.1 CONCEPTOS BÁSICOS EN DISEÑOS FACTORIALES.

2. Muchos experimentos se llevan a cabo para estudiar los efectos producidos por dos o más factores. Puede
mostrarse que en general los diseños factoriales son los más eficientes para este tipo de experimentos.
Por diseño factorial se entiende aquel en el que se investigan todas las posibles combinaciones de los niveles
de los factores en cada ensayo completo o réplica del experimento. Por ejemplo, si existen a niveles del
factor A y b niveles del factor B, entonces cada réplica del experimento contiene todas las ab combinaciones
de los tratamientos. A menudo, se dice que los factores están cruzados cuando éstos se arreglan en un
diseño factorial.
El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un cambio en el nivel del factor.
Con frecuencia, éste se conoce como efecto principal porque se refiere a los factores de interés primordial del
experimento. Por ejemplo, consideremos en la tabla 4-1. El efecto principal del factor A podría interpretarse
como la diferencia entre la respuesta promedio en el primero y segundo nivel de ese factor. Numéricamente:
En otras palabras, incrementar el factor A del nivel 1 al 2 produce un cambio en la respuesta promedio de 21
unidades. Similarmente, el efecto principal de B es:
Tabla 4-1 Un experimento factorial
Factor B
B1
B2
20
30
40
52
Factor A
A1
A2
Si los factores tienen más de dos niveles, el procedimiento anterior debe ser modificado ya que las diferencias
entre las respuestas promedio pueden expresarse de muchas formas.
En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor
no es la misma en todos los niveles de los otros factores. Cuando esto ocurre existe una interacción entre los
factores. Por ejemplo, considérense los datos de la tabla 4-2. En el primer nivel del factor B, el efecto de A es:

3. Mientras que en el segundo nivel de B, el efecto de A es:
Tabla 4-2 Un experimento factorial con interacción
Factor B
Factor A
B1
B2
20
40
50
12
A1
A2
Puede observarse que existe una interacción entre los factores A y B porque el efecto de A depende del nivel
elegido de B. Estas ideas pueden ilustrarse gráficamente. En la Fig. 4.1 se muestra una gráfica de la
respuesta de los datos de la Tabla 4-1 contra los niveles del factor A para ambos niveles del factor B. Se
observa que las rectas B1 y B2 son aproximadamente, paralelas. Esto indica que no hay interacción entre los
factores.
De manera similar, en la Fig. 4-2 se presenta una gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 4-2. En este
caso se ve que las rectas B1 y B2 no son paralelas. Esto muestra que existe una interacción entre A y B. Con
frecuencia, estas gráficas son muy útiles para interpretar interacciones significativas y presentar resultados a
gerentes con poco conocimiento estadístico. Sin embargo no debe de ser la única técnica para analizar los
datos. Porque su interpretación es subjetiva y su apariencia, a menudo, es engañosa.

4. Figura 4-1. Un experimento factorial sin interacción.
Figura 4-2. Un experimento factorial sin interacción.
Hay que notar que cuando una interacción es grande los correspondientes efectos principales tienen poco
significado poco significado práctico. Una estimación del efecto principal de A de los datos de la Tabla 4-2 es:
El cual resulta ser muy pequeño corriéndose el riesgo de concluir que no existe un efecto debido a A. Sin
embargo, cuando se examinó el efecto de A en niveles diferentesde B se concluyó que este no era el caso.
El factor A tiene un efecto, pero depende del nivel del factor B. En otras palabras, es más útil conocer la
interacción AB que en efecto principal. Una interacción significativa oculta a menudo el significado de los
efectos principales. Esto se muestra claramente en los datos de la Tabla 4-2.
Usualmente, para obtener conclusiones acerca del efecto principal de un factor por ejemplo el A, en presencia
de una interacción significativa, el experimentador debe examinar los niveles de dicho factor, manteniendo
fijos los niveles de los otros factores.
Ventajas de los Factoriales
Las ventajas de los diseños factoriales pueden ilustrarse fácilmente. Supongamos que se tienen dos
factores, A y B. cada uno con dos niveles. Estos niveles se representan mediante A1, A2, B1 y B2.
La información acerca de ambos factores puede obtenerse variando un factor a la vez como aparece en la
Tabla 4-3. El efecto de variar el factor A está dada por A2B1 –A1B2. A consecuencia de que existe error

5. experimental, es conveniente realizar, por ejemplo, dos observaciones de cada combinación de tratamiento y
hacer una estimación de los efectos de los factores usando las respuestas promedio. Por lo tanto, se requiere
un total de seis observaciones.
Tabla 4-3 El método de un factor a la vez
Factor B
B1
B2
A1B1
A1B2
Factor A
A1
A2
A2B1
Si se hubiese realizado un experimento factorial, adicionalmente se habría recurrido a la combinación de
tratamientos A2B2. Así, usando sólo cuatro observaciones pueden calcularse dos estimaciones del efecto de
A; A2B1 – A1B1 y A2B2 – A1B2. En forma similar, se puede hacer dos estimaciones del efecto de B. Estas
estimaciones podrían promediarse para producir efectos principales promedio que tienen la misma
precisión que los del experimento de un factor, pero requieren tan sólo de cuatro observaciones y podría
decirse que la eficiencia relativa del diseño factorial para el experimento de un factor a la vez es 6/4 = 1.5. Por
lo general esta eficiencia relativa aumenta con el número de factores, como se observa en la Fig. 4-3.
Figura 4-3. Eficiencia relativa de un diseño factorial para un experimento de un factor a la vez (niveles de dos
factores).

6. Ahora supongamos que existe interacción. Si el primer diseño considerado indica que A1B2 y A2B1 dan mejor
respuesta que A1B1; una conclusión lógica es que A2B2 sería aún mejor. Sin embargo, si hay interacción, al
hacer esta conclusión se incurre en un serio error. Como ejemplo refiérase a los datos de la Tabla 4-2.
En resumen, se concluye que los diseños factoriales poseen algunas ventajas. Son más eficientes que los
experimentos de un factor a la vez. Más aún, los diseños factoriales son necesarios cuando alguna interacción
puede estar presente, con el propósito de evitar hacer conclusiones que son engañosas. Finalmente, los
diseños factoriales permiten estimar los efectos de un factor en diversos niveles de los otros factores,
produciendo conclusiones que son válidas sobre toda la extensión de las condiciones experimentales.
Análisis de varianza
Muchos experimentos se llevan a cabo para estudiar los efectos producidos por dos o más
factores. Ningún factor se considera extraño; todos tienen el mismo interés. En el
experimento factorial o arreglo factorial, se investigan todas las posibles combinaciones de
los niveles de los factores en cada ensayo completo o réplica del experimento. El
experimento factorial afecta al diseños de tratamientos, que se refiere a la elección de los
factores a estudiar, sus niveles y la combinación de ellos. Se debe tener en cuenta que el
diseño de tratamientos es independiente del diseño experimental, que indica la manera en
que los tratamientos se aleatorizan en las diferentes unidades experimentales y la forma de
controlar la variabilidad natural de las mismas. No es usual tener diseños experimentales
muy complicados en los experimentos factoriales por la dificultad que involucra el análisis y
la interpretación.
Razones para estudiar conjuntamente varios factores
1. Encontrar un modelo que describa el comportamiento general del fenómeno en estudio.
Por ello son muy usados en experimentos exploratorios.
2. Optimizar la respuesta o variable dependiente; es decir, encontrar la combinación de
niveles que optimizan la variable dependiente.
La característica general y esencial que hace necesario el estudio conjunto de factores es que
el efecto de un factor cambie según sean los niveles de otros factores o sea que exista
interacción.
Ventajas de los Experimentos Factoriales
1. Economía en el material experimental ya que se obtiene información sobre varios factores
sin incrementar el tamaño del experimento.
2. Permitir el estudio de la interacción, o sea determinar el grado y la forma en la cual se
modifica el efecto de un factor por los niveles de otro factor
Desventajas de los Experimentos Factoriales
Una desventaja de los experimentos factoriales es que requieren un gran número de
tratamientos, especialmente cuando se tienen muchos factores o muchos niveles de un
mismo factor. Este hecho tiene los siguientes efectos:
1. Si se desea usar bloques completos es difícil encontrar grupos de unidades experimentales
homogéneas para aplicar todos los tratamientos.
2. Se aumenta el costo del experimento al tener muchas unidades experimentales; esto se
minimiza usando factoriales fraccionados donde se prueba una sola parte de todo el conjunto
de tratamientos.
Los experimentos facoriales se pueden ejecutar bajo cualquier tipo de diseño de control de
error o un Submuestreo o con covariables. En las siguientes secciones sólo se presenta el
análisis de un experimento factorial de dos fatores bajo un DCA.