1. Introdução ao escoamento incompressível
Matéria
Variação de massa específica associada à
variação de energia cinética
Revisões de Termodinâmica
Equação de energia unidimensional para gases
em regime estacionário sem trocas de energia ao
veio
Entalpia e temperatura de estagnação
Exemplo
Escoamento subsónico, crítico e supersónico.
2. Introdução ao escoamento incompressível
Matéria
Condições críticas
Evoluções em funão do número de Mach
Equações para regime compressível unidimensional
Transferência de calor em condutas de secção
constante
Exemplo.
3. Introdução ao escoamento compressível
Efeito de compressibilidade associado a variações intensas de energia
cinética:
2
2
V
p
∆
−=∆ ρEquação de Bernoulli:
2
V∆ p∆elevados elevados
ρ∆
ρ = ρ (T,p)
significativos Efeitos de
compressibilidade
Importância do termo
p∂
∂ρ
2
1
a
= a = velocidade do som no fluido (efeitos mais intensos nos
fluidos de menor a)
4. Introdução ao escoamento compressível
Aumento do número de variáveis (e equações):
Esc. incompressível Esc. compressível
V e p
Equação da continuidade
Equação de Bernoulli
(ou de quantidade de movimento)
V, p, ρ e T
Equação da continuidade
Equação de Energia
Equação da quantidade de movimento
Equação de estado (G.P.): RTp ρ=
Novos parâmetros: a – Velocidade do som
M – Número de Mach
(M = V/a)
5. Revisão de Termodinâmica
Algumas definições:
Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de
duas delas (p.ex. pressão e temperatura).
Processo: conjunto de estados intermédios entre o inicial e o
final.
Processo reversível: permite o regresso ao estado inicial sem
interferência do exterior.
Processo irreversível: caso contrário (efeitos do atrito ou de
trocas de calor).
Leis da Termodinâmica:
1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de
energia.
2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais
6. 1ª Lei da Termodinâmica (para sistemas
abertos/volumes de controlo)
Equação de energia para escoamentos unidimensionais:
QWmgy
V
hmgy
V
hd
V
u
t
veio
ent
k
ksaída
i
iVC
+=
++−
+++
+
∂
∂
∑∑∫∫∫ 222
222
ψρ
Equação de energia para regime estacionário, sem troca de energia ao
veio, secções de entrada e saída únicas, desprezando energia
potencial (gases), por unidade de massa:
q
V
h
V
h =
+−
+
1
2
2
2
22
7. 2ª Lei da Termodinâmica
Num processo real a entropia s varia de modo a que;
T
dq
ds > ( ) ( )irrevrev dsdsds +=
s e q expressos por unidade de massa
T
dq
Num processo adiabático (dq = 0) a entropia aumenta,
excepto se o processo for reversível (sem atrito), caso em
que s = cte – processo isentrópico.
Adiabático + reversível (sem atrito) isentrópico, ds = 0
8. Gases perfeitos
Equação de estado: comRTp ρ= MR R=
R – constante do gás, M – molécula-grama do gás (massa em gramas de uma
mole do gás), R – constante universal dos gases perfeitos (8,314 JK-1
mole-1
)
e ainda:
dTcdh
dTcdu
p
v
=
=
vp
vp
ccR
cc
−=
=γ
Evoluções isentrópicas:
1
1
2
1
1
2
1
2
−
−
=
=
γ
γ
γ
ρ
ρ
p
p
T
T
γ varia entre 1 e 1,4 (gases diatómicos) em função da complexidade da
molécula do gás; vapor de água γ =1,33.
1−
=
γ
γR
cp
9. Número de Mach, M
somdovelocidade
fluidodovelocidade
==
a
V
M
( )
M
p
V
=
∂∂
=
ρ
( )
M
p
V
=
∂∂
=
ρ
( ) 2
22
Lp
LV
ρρ
ρ
∂∂
=
elálástiforço
inérciadeforçoForça de inércia
Força elástica
( ) 3
32
Lp
LV
ρρ
ρ
∂∂
=
elálástienergia
cinéticaenergiaEnergia cinética
Energia elástica
10. 2
2
0
V
hh +=
qhh =− 1020
Entalpia de estagnação adiabática:
Equação de energia: q
V
h
V
h =
+−
+
1
2
2
2
22
Num escoamento adiabático (q = 0): .
2
2
0 cte
V
hh =+=
Entalpia de estagnação adiabática: a entalpia dum ponto levado ao repouso
numa desaceleração adiabática
Entalpia de estagnação adiabática
11. Temperatura de estagnação adiabática:
Temperatura de estagnação adiabática
pc
V
TT
2
2
0 +=
qhh =− 1020
.
2
2
0 cte
V
hh =+=
Para um gás perfeito: dTcdh p=
Num escoamento adiabático:
Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado
ao repouso numa desaceleração adiabática
Equação da energia:
pc
q
TT =− 1020
.
2
2
0 cte
c
V
TT
p
=+=
12. p0=84 kPa
V
p1=70 kPa
T1=-50 C
Nota: os pontos 1 e 0 estão muito
próximos e estariam à mesma
pressão e temperatura se o ponto 0
não fosse de estagnação devido à
presença do Pitot.
Exemplo
Um tubo de Pitot mede uma pressão total de p0=14 kPa acima da
pressão estática local de p1=70 kPa. Sabendo que a temperatura
local é T1=-50 C determine a velocidade do escoamento, V.
pc
q
TT =− 1020Equação da energia:
.
2
2
0 cte
c
V
TT
p
=+=
1 0
pc
V
TT
2
2
1
10 += ( )11 2 TTcV op −=
Evolução isentrópica:
γ
γ 1
11
−
=
p
p
T
T oo
K9,2340 =TK223502731 =−=T m/s1541 =VResultados:
0=q
?
13. Temperatura de estagnação em função do
número de Mach - M
Temperatura de estagnação, T0:
pc
V
TT
2
2
0 +=
+=
Tc
V
TT
p2
1
2
0
( )
−
+=
RT
V
TT
γ
γ 2
0
2
1
1
2
a
( )
−
+= 2
0
2
1
1 MTT
γ
1−
=
γ
γR
cp
=
p
14. Condições críticas (M=1)
Para M=1 ( )
−
+=
2
1
10
γ
TT
( )
−
+= 2
0
2
1
1 MTT
γ
( ) 1
0 2
1
−∗
+
=
γ
T
T
∗∗
=
+
= a
RT
V
1
0
γ
γ
T* é a temperatura crítica
V* é a temperatura crítica:
a* é a velocidade do som crítica
15. Equações a utilizar em escoamento
compressível
Equação da energia:
pc
q
TT =− 1020
Equação da continuidade:
Equação de estado:
Equação do número de Mach:
pc
dq
dT =0
.cteAV =ρ 0=++
V
dV
A
dAd
ρ
ρ
RTp ρ= 0=−−
T
dTd
p
dp
ρ
ρ
a
V
M = 0=−+
V
dV
a
da
M
dM
16. Equações a utilizar em escoamento
compressível
( )( ) AVdV
d
dxV
fdAAdpppdApA ρρ =−++−+
2
2
Equação da quantidade de movimento:
( )12 xxx VVmF −=
0
2
2
=−+
d
dx
A
M
f
RT
VdV
p
dp
γ
V V+dV
A, p, ρ
A+dA
p+dp
ρ+dρ
(escoamento sem mudança de direcção)
RTp
1
=
ρ
p
pForça longitudinal exercida pela pressão
na parede lateral
17. Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
Equação da energia:
pc
dq
dT =0
dq
V
p, ρ
V+dV p+dp
ρ+dρ
pc
VdV
dTdT +=0
Definição de temperatura
de estagnação:
T+dT
T0+dT0
M+dM
18. Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
Equação da continuidade: 0=++
V
dV
A
dAd
ρ
ρ
Equação de estado: 0=−−
T
dTd
p
dp
ρ
ρ
Eq. número de Mach: 0=−+
V
dV
a
da
M
dM
0
2
2
=−+
d
dx
A
M
f
RT
VdV
p
dp
γ Eq. da quant. movimento:
(desprezando o atrito)
19. Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
6 incógnitas (dV, dp, dT, dρ, dM, dT0) e 6 equações
Solução:
( )
pc
dq
M
V
dV
T
dT
=−= 20
1
Aquecimento: acelera o escoamento de subsónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por redução do caudal,
mantendo escoamento sónico à saída)
ou desacelera o escoamento de supersónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por um aumento do
caudal, mantendo escoamento sónico à saída)
20. Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal
indicado (isto é, para Ms = 1)?
smRTMV eee 95== γ
q
M=0,3
T=250 K
saída
12
1436 −
= smkg
A
m
3
15 mkg
V
Am
e
e ==
ρ PaTRp eee 1083628== ρ
( )eses VV
A
m
pp −−=
( )22
eesse VVp ρρ −−=
sRTγ
( )2
eesses VRTpp ργρ −−=
sp
21. Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
Pa
Vp
p eee
s 507918
1
2
=
+
+
=
γ
ρ
3
9,2 mkg
RT
p
s
s
s ==ρ
sm
Am
V
s
s 495==
ρ
M=0,3
T=250 K
saída
12
1436 −
= smkg
A
m
s
s
s
s
s
AV
m
RT
RT
p
==
ρ
γ
s
s
RT
A
m
p
= KTs 610=
( ) KgKJ
VV
TTcq es
esp 4,479
2
22
=
−
+−=
( )sss RTVM γ==1
( )2
eesses VRTpp ργρ −−=
sp
22. Introdução ao escoamento incompressível
Bibliografia
Secções 9.1 a 9.4, R.H. Sabersky, A.J. Acosta,
E.G. Hauptmann, E.M. Gates, Fluid Flow, 4ª
edição, Prentice Hall, 1999.
Secções 9.1 a 9.4, F.M. White, Fluid Mechanics,
3ª edição, McGraw-Hill, 1994.