1. “AÑO DE LA INTEGRACION NACIONAL Y EL
RECONOCIMIENTO DE NUESTRA DIVERSIDAD”
MARIANO MELGAR
PROFESORA: CARRION NIN
ALUMNO :ANTONY TENA
GRADO :5TO B
AREA: MATEMATICA
2012
4. Antes de iniciar con el desarrollo de las ecuaciones de
la recta es importante considerar una de sus
características particulares, la pendiente. A partir de esta
cualidad partiremos para obtener cada ecuación.
La pendiente de la recta que
pasa por P1(x1,y1) y
P2(x2,y2) es:
5. Ecuación de la recta que pasa por el origen
Considere la recta que pasa
por el origen 0 y forma un
ángulo de inclinación con el
eje x.
Tómese sobre la recta los
puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2)
y P3 (x3, y3). Al proyectar
los puntos P1, P2 y P3 sobre
el eje x, se obtienen los
puntos P’1, P’2, P’3.
6. Ecuación de la recta que pasa por el origen.
Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son
semejantes; se tiene que:
Esto es,
Es decir, y = mx
7. Ecuación de la recta en su forma punto
pendiente
Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa
por el punto A(x1, y1), con una pendiente dada.
• Si un punto P(x, y) está en una recta y m es la
pendiente de la misma, la pendiente puede
definirse como: m y y 1
x x1
8. • Despejando las ordenadas y acomodando
miembros tenemos:
y y1 m x x1
• Esta es la ecuación de la recta en su forma
punto pendiente. Las coordenadas (x1, y1) son las
de un punto cualquiera que pertenezca a dicha
recta.
• Ejemplo 1: Sea m=1/5 y A(-2, -4), la pendiente y
un punto respectivamente de una recta. Verifique
que su ecuación en su forma punto pendiente es:
5y-x+18=0
9. Ecuación De La Recta Que Pasa Por Dos
Puntos.
• Considera dos puntos por los cuales pasa una
recta como se muestra en la figura:
• A partir de la pendiente m y de la ecuación de la recta
en forma de punto pendiente. Considera las
coordenadas del punto A como las del punto
pendiente.
y2 y1
y y1 x x1
x2 x1
10. • O bien, la pareja de coordenadas del punto B
y2 y1
y y2 x x2
x2 x1
• Ambas son la ecuación de la recta que pasa por
dos puntos, como se puede observar es indistinto el
punto que se sustituya, el resultado será el mismo y
representará la misma recta.
• Ejemplo 2: Sean A(-1, 3) y B(3, -4), dos puntos que
pertenecen a una misma recta. Verifica que la
ecuación de ésta es la que se muestra a continuación,
y que es indistinto el punto que se toma como punto
pendiente. Sol. 4y+7x-5=0
11. Ecuación de la recta con pendiente dada y
ordenada al origen.
• Ecuación de la recta en forma simplificada.
Considera un recta que pasa por los puntos A(x, y) y
B(0,b), como se muestra en la figura
12. • Calculando la pendiente
b y
m
0 x
• Despejando y, y ordenando los términos
y mx b
• La coordenada b se define como la ordenada al
origen, y es el punto donde la recta corta el eje y
13. • Ejercicio en equipo: Las ecuaciones de oferta y
demanda de un producto son p y q respectivamente.
1
p q 2 q 2p 2
7
• Traza la gráfica respectiva de cada una y encuentra el
punto de equilibrio del producto.
• Nota: Se define como punto de equilibrio el punto en
el cual los ingresos totales son iguales a los costos
totales, es decir, no hay pérdidas pero tampoco hay
ganancias.
• Sol. Punto de equilibrio: 42 16
,
5 5
14. Ecuación de la recta en forma simétrica.
• La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los
puntos A(a,0) y B(0,b).
• Al calcular la pendiente obtendríamos:
b 0 b
m m
0 a a
15. • Al sustituir m en la ecuación de la recta en su forma
ordenada al origen y=mx+b, tenemos
b
y x b
a
• Ordenando los miembros de la ecuación
x y
1
a b
• Esta es la ecuación simétrica de la recta.
16. Ecuación general de la recta.
• La ecuación general de la recta es de la siguiente
forma: Ax+By+C=0
• A partir de la ecuación anterior podemos analizar
cuatro casos diferentes
• Caso 1. Recta paralela al eje x: Si A=0, B 0, C 0; la
ecuación se reducirá a By+C=0, de la cual se obtiene
que y=-C/B, que representa una recta paralela al eje x.
• Haciendo a=-C/B, donde a es la
distancia de la recta al eje de la
abscisas, es decir, y=a, como se
aprecia en la figura.
17. • Caso 2. Recta paralela al eje y: Si A 0, B=0, C 0; la
ecuación se reducirá a Ax+C=0, de la cual se obtiene
que x=-C/A, que representa una recta paralela al eje y.
• Gráficamente x=a, donde a=-C/A, y es la distancia de
la recta al eje de las ordenadas.
18. • Caso 3. Ecuación de una recta que pasa por el
origen: Si A=1, B=1, C=0; la ecuación se reducirá a
y=-x o x=-y, o bien y=|x|, que representa una línea recta
con pendiente de 45º que pasa por el origen como lo
muestra la figura.
19. • Caso 4. Ecuación de una recta en cualquier posición:
Si A 1, B 1, C 0; al despejar y la ecuación general
toma la forma A C
y x
B B
• Reduciéndose así a la ecuación de la recta de la forma
pendiente dada y ordenada al origen, donde la pendiente
sería m=-A/B y la ordenada al origen b=-C/A; que puede
ser representada como se muestra
20. • Ejercicio en equipo: Un ingeniero civil desea saber
el material gastado en cierto puente, para ello
necesita de tu ayuda. Determina la pendiente y
ecuación de cada una de las vigas que sostienen la
estructura del puente y la longitud total de las vigas
verticales
22. Ecuación de la circunferencia
Ahora vamos a suponer que queremos encontrar el
lugar geométrico de los puntos que equidistan 5
unidades del punto Q(4, 3).
5
3
4
Vamos a llamar P(x, y) a uno de los puntos del lugar
geométrico. Entonces, tenemos que la distancia de
este punto a Q debe ser 5, es decir d(P, Q)=5
23. Que se escribe como
2 2
d P,Q x 4 y 3 5
De donde, 2 2
x 4 y 3 25
Esta ecuación representa un círculo
La forma canónica o estándar del círculo
de radio r y con centro en C(a, b) es:
2 2 2
x a y b r r
b C
a
24. Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anterior
x2-2xa+a2+y2-2yb+b2
=x2+y2+(-2a)x+(-2b)y+a2+b2
notamos que a2+b2=r2
Si D=-2a, E=-2b y F=a2+b2-r2
x2+y2+Dx+Ey+F=0
Esta es la forma general de la
ecuación del círculo.
25. Problema individual: Encontrar el centro y radio
del círculo cuya ecuación es
4x2+4y2-12x+40y+77=0
4(x2-3x)+4(y2 +10y)= -77
(x2-3x)+(y2 +10y)= -77/4
(x2-3x+9/4)+(y2 +10y+25)= -77/4+9/5+25
(x-3/2)2+(y+5)2= 8
Entonces el centro es (3/2, -5) y el radio es 8=2 2
26. Ejercicio en equipo
Deducir una ecuación del círculo que pasa por los puntos
(1,5), (-2,3), (2,1). Resuelva de manera analítica y gráfica.
Solución: Sabemos que la ecuación deseada tiene la forma
siguiente:
x2+y2+Dx+Ey+F=0
Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del
círculo por estar en él, tenemos
1+25+D+5E+F=0
4+9-2D+3E+F=0
4+1+2D-E+F=0
27. Es decir,
D+5E+F=-26
-2D+3E+F=-13
2D-E+F=-5
Resolviendo el sistema tenemos,
D=-9/5, E=19/5, F=-26/5
Por lo tanto la ecuación del círculo es:
5x2+5y2-9x-19y-26=0
El ejemplo anterior demuestra el empleo de la
fórmula general para deducir la ecuación deseada.
28. Solución alterna
Como los puntos (1,5) y (-2,3) se ubican en el
círculo, el segmento de uno a otro es una cuerda del
círculo que deseamos.
(1,5)
(-2,3)
(2,-1)
Para la cuerda que une a (1,5) con (-2,3), el punto
medio es (-1/2,4) y la pendiente m=2/3.
29. Ejercicio en equipo
Encontrar la ecuación de la recta tangente al
círculo (x-3)2+(y-12)2=100 en el punto P(-5,6).
Recuerda: Una recta es tangente a un círculo si
toca a éste en un solo punto. La recta tangente a
un circulo tiene la propiedad de ser
perpendicular al radio que une al centro del
círculo con el punto de tangencia. Esta propiedad
es la que nos permite encontrar la ecuación de la
recta tangente.
30. Solución:
Primero debemos encontrar la pendiente del radio
que une a P con el centro del círculo. El centro
tiene coordenadas (3,12). La pendiente buscada es
m=3/4.
De donde la pendiente de la recta tangente al
círculo en P es –4/3; por tanto su ecuación es
y-6=-4/3(x-(-5)), o bien 4x+3y+2=0
12
6
-5 3
31. Ejercicio en equipo
Encontrar la ecuación del círculo que es tangente a la
recta x-2y+2=0 en el punto P(8,5) y pasa por Q(12,9)
Solución: El centro C(xo, yo) del círculo debe estar en
la recta l que es perpendicular a la recta dada y que
pasa por P. Como la recta dada tiene pendiente ½ , la
recta l tiene pendiente m=-2; por tanto su ecuación es
y-5=-2(x-8) 2x+y-21=0
Por tanto las coordenadas de C satisfacen
2xo+yo-21=0 (1)
Como la distancia de C(xo, yo) a P(8,5) debe ser igual a
la distancia de C(xo, yo) a Q(12,9), se tiene que
32. 2 2 2 2
x0 8 y0 5 x0 12 y0 9
Elevando al cuadrado y simplificando tenemos
xo+yo-17=0 (2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por
(1) y (2) encontramos las coordenadas del centro
C(4,13) y el radio r= 80
Así la ecuación de la circunferencia es
(x-4)2+(y-13)2=80, o bien x2+y2-8x-26y+105=0
13
5
4 8
34. LA PARABÓLA
Definiciones .
Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta
dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano
cuya distancia al punto F es igual a la distancia a la recta DD.
35. . La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se
llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace
referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se
denota por PDD-F.
Esto es:
PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1} PD
36. OBSERVASIONES
Al trazar por F la perpendicular a la directriz. Se llamará : la distancia
del foco a la directriz.
Sea V el punto medio del segmento . Como , entonces el punto V
pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola.
El lugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta .
En efecto, si P’ es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP’’
= P’’P’. Por lo tanto, el triángulo PP’’F es congruente al triángulo
P’P’’F. De donde P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces, , lo cual nos
muestra que P’ e PDD-F.
37. Ecuaciones Analíticas de la Parábola
En esta sección sólo se considerarán parábolas con
el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos
focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig.)
40. TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)
La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por
directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3).
Recíprocamente si un punto P del plano, satisface (3) entonces
P x PDD-F
La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por
directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4)
Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces
P x PDD-F
fig. 6.1.3.
42. Observaciones:
En la fig. 6.1.3. aparecen las gráficas de dos parábolas abiertas hacia
arriba (en el caso de p>0) y hacia abajo (p<0), respectivamente y cuyos focos
están localizados en el punto
F(0, p/2) y cuya directriz es la recta de ecuación y = -p/2.
Además, todos sus puntos son simétricos con respecto al eje y: de aquí que las
ecuaciones que representan sus lugares geométricos, presentan únicamente a la
variable x elevada en una potencia par.
. Igualmente, las gráficas de la fig. 6.1.4. corresponden a las gráficas de
parábolas abiertas hacia la derecha (p > 0) e izquierda (p < 0) respectivamente,
con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -
p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que
las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen únicamente a
la variable y elevada a su potencia par.
43. Traslación de Ejes
En el ejemplo 5 de la sección 5.6., se determinó que la ecuación de la
circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era:
ó
Sin embargo, si se encuentra la ecuación con centro en C(0, 0) y radio
5. Se obtiene.
De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuación sin
cambiar la forma de la gráfica (fig. 6.1.5.).
44. Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a
los ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES".
Al fin de analizar los cambios que se presenten en las coordenadas de los
puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coorde- nadas x’ e y’
paralelo a los ejes x e y, se toma un punto fijo o’(h, k) que se llama:
ORIGEN del nuevo sistema.
Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas están referidas al
sistema con origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P(x’, y’) referidas al
sistema x’-y’ vienen dadas por las relaciones:
x = x’ + h (1)
y = y’ + k (2)
llamadas: ECUACIONES
DE TRASLACIÓN DE EJES, y
que pueden deducirse fácilmente de la
fig. 6.1.6.
46. Ecuación de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de
coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de
coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
F'(-c, 0) y F(c, 0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
47. Ejemplo
Hallar los elementos característicos y la ecuación
reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje
mayor mide 10.
Semieje mayor
49. Ejemplo
Dada la ecuación reducida de la elipse
, hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la
excentricidad.
50. Ecuación de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es
paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0)
y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:
Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:
Donde A y B tienen el mismo signo.
51.
52. Ecuación de eje vertical de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es
paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c)
y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:
