Intersección medicina y matemáticas

Aplicación de las Matemáticas al estudio de
procesos fisiológicos de la enfermedad
Intersecando Geometr´ıa y Medicina
Gema R. Quintana1,2
quintanagr@unican.es
1Departamento de MATemáticas, EStad´ıstica y COmputación
Universidad de Cantabria
2Trabajo parcialmente financiado por el proyecto del MICINN
MTM2008-04699-C03-03
Foro de Investigación Biomédica de Cantabria
Gema R. Quintana Geometr´ıa Medicina

Introducción
El primer análisis matemático del pulso arterial fue llevado a cabo
por Otto Frank:
“Die Grundform des arteriellen Pulses”Erste Abhandlung.
Mathematische Analyse. Z. Biol. 37 483–526 (1899)
Durante las siguientes décadas se llevaron a cabo distintas
aproximaciones para entender propiedades mecánicas del sistema
circulatorio:
Brunberg, A., Heinke, S., Spillner, J., Autschbach, R. , Abel,
D., Leonhardt, S.:“Modelling and simulation of the
cardiovascular system: A review of applications, methods, and
potentials”, Biomedizinische Technick 54(5), 233–244 (2009)

Introducci´on
Gracias al trabajo de Hodgking y Huxley
“A quantitative description of membrane current and its
application to conduction and excitation in nerve”, Journal of
Physiology 117, 500–544 (1952)
empezaron a proliferar modelos de electroﬁsiolog´ıa card´ıaca:
Noble D.:“The surprising hearth: a review of recent progress
in cardiac electrophysiology”, Journal of Physiology 353, 1–50
(1984)

Introducción
El ordenador permite ir aumentando el tamaño de los problemas.
A finales de los sesenta Guyton y Coleman desarrollaron un
elaborado modelo de equilibrio electrol´ıtico de fluidos
“Quantitative analysis of the pathophysiology of hipertension”,
Circulation Research 24 (Suppl. I), I-1–I-19 (1969)
aún es usado para modelar la respiración.

Opiniones
“Mathematical Modelling is a key to the future breakthroughs
in the treatment of diseases.”
Millennium Maths Project.
“The frontiers of biological and medical research are becoming
increasingly dependent on sophisticated modeling, analysis,
and computational techniques. Operations research and
mathematics are rapidly emerging as vital tools.”
Institute for Operations Research and the Management
Sciences Workshop, Pittsburgh.

Big Data Era
Las enormes cantidades de datos cl´ınicos disponibles son
aprovechadas por proyectos como el Physiome Project.
Objetivo:“quantitative description of physiological dynamics
and functional behaviour of the intact organism”.
Virtual Physiological Human (VPH):“worldwide eﬀort to
develop next-generation computer technologies to integrate all
information available for each patient, and generate computer
models capable of predicting how the health of that patient will
evolve under certain conditions”.

CAD
CAD = Coronary Artery Diseases
Cardiopat´ıa isqu´emica.

CAD y CAGD
CAD = Computer Aided Desing
Empleo del ordenador para creación, modificación, análisis u
optimización de un diseño.
CAGD = Computer Aided Geometric Desing
Representación de objetos del mundo real en la forma más
adecuada para los cálculos de ordenador en los sistemas CAD.

Bio-CAD modeling

Bio-CAD modeling
Proceso reconstrucci´on 3D

Bio-CAD modeling
Adquisición de datos, segmentación y reconstrucción.

Bio-CAD modeling
Preprocesamiento y postprocesamiento del modelo.

Mathematical Modeling of Vascular Stents

El éxito del stent depende de sus propiedades geométricas.
Las propiedades geométricas determinan las mecánicas.
Aplicación médica y efecto terapéutico dependiente de la
mecánica.

Distintas aproximaciones dependiendo del contexto:
grandes deformaciones a causa de la expansión
→ elasticidad y plasticidad no lineales;
pequeñas deformaciones una vez colocado
→ elasticidad lineal.
Empleo de elementos finitos
→ mayor coste computacional.

Ventajas de este modelo:
Empleo de“one-dimensional curved rods”.
Tiene en cuenta deformaciones en las tres direcciones del
espacio.
Menor coste computacional.
Proporciona fórmulas simples que relacionan presión y
desplazamiento:
Modelizado de la interacción entre flujo sangu´ıneo y stent.
Estimación de la máx. presión soportable por deformación
pequeña (<10 %).

Problema
¿Como afecta presi´on aplicada al stent?

Formulación
Dado un conjunto de parámetros que determinan las propiedades
mecánico-geométricas del stent, encontrar la relación
presión-desplazamiento de la estructura.

Puntos donde se aplica presi´on y deformaciones experimentadas.

Patient-Specific Vascular NURBS Modeling for
Isogeometric Analysis of Blood Flow
Ventajas del análisis isogeométrico

El an´alisis isogeom´etrico mejora y generaliza FEM (2005).
Usan NURBS (non-uniform rational B-splines)

NURBS: Ventajas
Invariantes bajo transformaciones afines y perspectivas
(rotación y traslación aplicadas a sus puntos control).
Estructura matemática común para figuras anal´ıticas
estándar (i.e. cónicas) y figuras de forma libre.
Proporcionan flexibilidad para diseñar una gran variedad de
figuras.
Reducen el consumo de memoria al almacenar figuras.
Son evaluados rápidamente por algoritmos numéricamente
estables y precisos.

Proceso para crear un modelo vascular sólido NURBS
personalizado
1 Preprocesado: mejora de la calidad de los datos CT/MRI.
2 Extracción de caminos:“esqueleto”(curvatura, torsión y
tortuosidad) del vaso sangu´ıneo (empleo de diagramas de
Voronoi y Delaunay).
3 Malla de control: construcción del mallado NURBS
hexaédrico mediante“sweeping’.’
4 Resultado: superficie NURBS a partir del mallado y
simulación del flujo sangu´ıneo mediante análisis isogeométrico.

Ecuaciones de un parche

Aorta tor´acica.
(a) geometr´ıa; (b) control mesh;
(c)solid NURBS (41,526 elementos); (d)ﬂujo

Aorta tor´acica.
(a) geometr´ıa; (b) control mesh;
(c)solid NURBS (73,314 elementos); (d)ﬂujo

Análisis geométrico de estructuras vasculares
La geometr´ıa tiene un gran impacto en la dinámica del flujo
sangu´ıneo, influyendo en el desarrollo de enfermedades
(arteriosclerosis, aneurisma...).
Se busca identificar caracter´ısticas geométricas asociadas a las
patolog´ıas que permitan sacar conclusiones sobre la
patogénesis y desarrollo de las mismas.
Gran desarrollo de tecnolog´ıas para imagen médica vs. falta de
herramientas robustas y objetivas para análisis cuantitativo de
goemetr´ıas vasculares:
Inmensa variabilidad anatómica.
Algoritmo robusto para extracción de datos de la imagen.
Para poder utilizarlo (diagnóstico, diseño de dispositivos,
planificado y simulación de intervenciones) necesitamos
simulaciones realmente fieles a la geometr´ıa real del vaso.

Frenet Frame vs. Parallel transport frame

Complejidad de las autointersecciones

Conclusiones
Debido a la cantidad ingente de datos biológicos, biomédicos
y cl´ınicos disponibles, la Medicina puede beneficiarse de
modelos matemáticos tanto a la hora de esclarecer resultados
como para diseñar nuevos experimentos.
“Mathematics is Biology’s next microscope, only better;
Biology Is Mathematics’ Next Physics, Only Better.”
J.E. Cohen.
Pero...

Conclusiones
“Listening to the data is important. . . but so is experience and
intuition. After all, what is intuition at its best but large amounts
of data of all kinds ﬁltered through a human brain rather than a
math model?”
Steve Lohr para el The New York Times (2012).
¡Muchas gracias!

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