salah satu metode iterasi yang muncul di mata kuliah Metode Numerik

1. 2.1. Metode Euler
Persamaan diferensial berbentuk :
y' = y( t ); untuk a £ t £ b dengan nilai awal y( a ) = α
dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Salah satu metode untuk penyelesaian yang paling
fundamental adalah Metode Euler.
Penyelesaian persamaan deferensial biasa (ordinary differential equation) dengan metode
Euler adalah proses mencari nilai fungsi y(x) pada titik x tertentu dari persamaan deferensial
biasa f ( x, y ) yang diketahui dengan menggunakan persamaan umum persamaan 2.
Dengan menggunakan turunan numerik bahwa :
f ( x h, y ) f ( x, y ) = + + -
f ' ( x, y ) O( h )
h
Dengan transformasi ke domain waktu t dan besaran y, maka :
f ( t h, y ) f ( t , y ) = + + -
f ' ( t , y ) O( h )
h
atau
f ( t + h, y )= f ( t , y ) + h f ' ( t , y ) + O( h ) (1)
Dengan demikian persamaan diferensial dapat diselesaikan melalui iterasi, di mana :
= =
+
y y( a ) α
0
= + = -
f f h f ( t , y ) untuk i 0,1,2, . . ., n 1
i
'
i 1 i
(2)
dengan
= -
h ( b a ) / n
t i = a +
i h
Penyelesaian persamaan deferensial biasa dengan metode Euler sangat sederhana, akan tetapi
hasil penyelesaiannya sering merupakan penyelesaian pendekatan dengan nilai error yang
cukup besar. Biasanya untuk mengurangi nilai errornya diambil Îx yang cukup kecil, akan
tetapi hal ini akan menambah jumlah iterasinya.
Contoh 1:
Gunakan Metode Euler untuk mengintegrasi numerik
y' = -2x 3 + 12x 2 - 20 x + 8,5
dari x = 0 hingga x = 4 untuk tiap titik data dengan selang h = 0,5. kondisi awal pada saat x =
0 adalah y = 1. tentukan y(3)?

2. Jawab :
dari persamaan 1 : y( x + h )= y( x ) + h y' ( x ) maka
untuk x = 0;
y( 0,5 )= y( 0 ) + 0,5 y' ( 0 )
dengan
y' ( 0 ) 2( 0 )3 12( 0 )2 20( 0 ) 8,5
= - + - +
8,5
=
Sehingga
= +
y( 0,5 ) y( 0 ) 0,5 y' ( 0 )
= +
1 0,5 * 8,5
5,25
=
untuk x = 0,5;
y( 1 )= y( 0,5 ) + 0,5 y' ( 0,5 )
dengan
y' ( 0,5 ) 2( 0,5 )3 12( 0,5 )2 20( 0,5 ) 8,5
1,25
=
= - + - +
Sehingga
= +
y( 1 ) y( 0,5 ) 0,5 y' ( 0,5 )
= +
5,25 0,5 * 1,25
5,875
=
Hitungan selanjutnya ditabelkan sebagai berikut :
x y’(i) y(i) Eksak
0,0 8,5000000 1,0000000 1,0000000
0,5 1,2500000 5,2500000 3,2187500
1,0 -1,5000000 5,8750000 3,0000000
1,5 -1,2500000 5,1250000 2,2187500
2,0 0,5000000 4,5000000 2,0000000
2,5 2,2500000 4,7500000 2,7187500
3,0 2,5000000 5,8750000 4,0000000
3,5 -0,2500000 7,1250000 4,7187500
4,0 -7,5000000 7,0000000 3,0000000

3. Contoh 2 :
Carilah nilai y(0,3) dari persamaan diferensail di bawah ini dengan metode euler untuk
h=0,05 dengan y(0) = 3.
dy = = + -
y' x y 3
dx
Jawab :
x y'(i) y(x) Eksak
0 0,0000000 3,0000000 3,0000000
0,05 0,0500000 3,0000000 3,0012711
0,1 0,1025000 3,0025000 3,0051709
0,15 0,1576250 3,0076250 3,0118342
0,2 0,2155063 3,0155063 3,0214028
0,25 0,2762816 3,0262816 3,0340254
0,3 0,3400956 3,0400956 3,0498588
0,35 0,4071004 3,0571004 3,0690675
0,4 0,4774554 3,0774554 3,0918247
0,45 0,5513282 3,1013282 3,1183122
0,5 0,6288946 3,1288946 3,1487213

4. 2.2. Metode Runge Kutta
Seperti yang telah diketahui persamaan diferensial orde pertama berbentuk f (t, y, y' )= 0
dan dapat ditulis dalam bentuk y' = f (t, y). Masalah nilai awal terdiri atas sebuah persamaan
diferensial dan sebuah syarat atau kondisi yang harus dipenuhi oleh solusinya. Masalah nilai awal
yang berbentuk:
y' = f (t, y), ( ) 0 0 y t = y
dengan f diasumsikan sedemikian rupa sehingga masalah ini mempunyai solusi tunggal
pada selang tertentu yang mengandung 0 y . Prinsip metode Runge-Kutta orde-4 untuk persamaan
diferensial biasa adalah menentukan solusi pada titik-titik, [ ] tn , tn+1 . tn merupakan batas awal
interval dan tn+1 merupakan batas atas interval dengan t t nh n = + 0 untuk n = 1, 2, ..., ¥ dan h
adalah jarak interval.
Diberikan metode Runge-Kutta orde-4 sebagai berikut:
( ) 1 1 2 3 4 2 2
6
k k k k
h
1
y = y+ + + + y y ( k 2k 2k k
) n + n n = + + + + +
1 n 1 2 3 4 6
dengan: dengan:
( ) n n k1 = f t , y ( ) n n k hf t , y 1 =
k )
h
, y
h
k f ( t 2 n n 1 2 2

 = + + 2 1 2
+ + = 

1
,
2
y k
h
k hf t n n
k )
h
, y
h
k f ( t 3 n n 2 2 2

 = + + 3 2 2
+ + = 

1
,
2
y k
h
k hf t n n
( ) 4 3 k f t h, y h* k = n + n + ( ) 4 3 k hf t h, y k n n = + +
Contoh :
Carilah nilai y( 0,1 ) dari persamaan deferensial di bawah ini dengan metode Runge Kutta
orde empat.
dy = = + =
f ( x, y ) x y, y( 0 ) 1.5
dx
Penyelesaian
Langkah pertama
Mencari nilai h, misalnya diambil h =0,05, disini x0 = 0, kemudian mencari nilai k1, k2, k3
dan k4, yaitu:

5. 1. Misalnya h = 0.05. disini x0 = 0, kemudian mencari nilai k1, k2, k3 dan k4 yaitu :
= = + = + =
k f ( x , y ) x y 0 1.5 1.5
1 0 0 0 0
k1
= + + = + +
k f ( x , y h. ) x , y h.
1.5
0.05
k1
= + + + =
( 0 ) ( 1.5 0.05. ) 1.5625
k2
0 2 h
2 0
= + + = + + +
k f ( x , y h. ) ( x ) ( y h. )
1.5625
0.05
2
= + + + =
( 0 ) ( 1.5 0.05. ) 1.5640625
2
= + + = + + +
k 4 f ( x h, y h.k ) ( x h ) ( y h.k )
0 0 3 0 0 3
2
( 0 0.05 ) ( 1.5 0.05 * 1.564025 ) 1.628203125
k2
0 2 h
3 0
2
2
2
0 2 h
2 0
0 2 h
2 0
= + + + =
maka y1 = y( 0.05 ) dengan persamaan (3), yaitu:
y = y + h
1 0 ( k1 + 2k2 + 2k3 +
k4 ) 6
0.05
= + + + +
y 1.5 ( 1.5 2 * 1.5625 2 * 1.5640625 1.628203125 )
6
1.578177734
1
=
2. Melakukan iterasi kedua untuk mencari y(0,1), dengan mencari nilai k1, k2, k3 dan k4
yang baru, yaitu:
= = + =
k f ( x , y ) 0.05 1.578177734 1,628177734
1.62817773
0.05
k1
1 1 1
h
= + + = + + +
k f ( x , y h. ) ( 0.05 ) ( 1.57817773 0.05 * )
1.693882177
1.693882177
0.05
k 2
h
=
= + + = + + +
k f ( x , y h. ) ( 0.05 ) ( 1.57817773 0.05 * )
1.695524788
=
= + + = + + +
k 4 f ( x h, y h.k ) ( 0.05 0.05 ) ( 1.57817773 0.05 * 1.695524788 )
1.7762953973
1 1 3
2
2
2
2 1
3 1
2
2
2
2 1
2 1
=
sehingga didapatkan y2 = y( 0 ,1 ) , yaitu :
y = y + h
2 1 ( k1 + 2k2 + 2k3 +
k4 ) 6
0.05
= + +
y 1.578177734 ( 1,628177734 2 * 1.693882177
6
2 * 1.6955247885 1.7762953973 ) 1.66292728
2
+ + =

6. Latihan :
Carilah nilai y( 0,4 ) dari persamaan deferensial di bawah ini dengan metode Runge Kutta
orde empat dengan h = 0.05.
x y 3, y(0 ) 3
dy
f ( x, y )= = + =
dx